Tài liệu Bài giảng tuyến tính A2 docx

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A2 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Toán cao cấp A2 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – ðHCN TP.HCM.
3. Toán cao cấp A2 – ðỗ Công Khanh – NXBðHQG TP. HCM.
4. Toán cao cấp A2 – Nguyễn ðình Trí – NXB Giáo dục.
5. Toán cao cấp A2 – Nguyễn Viết ðông – NXB Giáo dục.
6. Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục.
7. Bài tập Toán cao cấp ðại số Tuyến tính – Hoàng Xuân Sính – NXB Giáo dục.
8. ðại số tuyến tính – Bùi Xuân Hải (chủ biên) – ðHKHTN TP. HCM.

Chương 1. MA TRẬN – ðỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

§1. MA TRẬN

1.1. ðịnh nghĩa
a) Ma trận A cấp m n× trên
ℝ
là 1 hệ thống gồm m.n số
( )
1, ; 1,
ij
a i m j n∈ = =ℝ
và ñược sắp xếp thành bảng:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...

... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
(gồm m dòng và n cột).
• a
ij
là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j.
• Cặp số (m, n) là kích thước của A.
• Khi m = 1, A = (a
11
a
12
… a
1n
) là ma trận dòng; n = 1,
11
1

...
m
a
A
a
 
 
=
 
 
 
là ma trận cột; m = n = 1, A = (a
11
) (1 phần tử).
• Tập hợp các ma trận A là
,
( )
m n
M ℝ , ñể cho gọn ta viết
( )
ij m n
A a
×
= .

b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ
khi chúng cùng kích thước và a
ij
= b
ij

.


VD 1.
1 1 0 1
0; 1; 2; 2; 3
2 2 3
x y
x y z u t
z t u
−
   
= ⇔ = = − = = =
   
   
.

c) Ma trận
(0 )
ij m n×
Ο =
gồm tất cả các phần tử ñều bằng 0 là
ma trận không.

d) Khi m = n: A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu
( )
ij n
A a=
.

Các ma trận vuông ñặc biệt:
• ðường chéo chứa a
11
, a
22
, …, a
nn
là ñường chéo chính của
A, ñường chéo còn lại là ñường chéo phụ.
• Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài ñường
chéo chính ñều bằng 0 là ma trận chéo.
• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên ñường
chéo chính ñều bằng 1 là ma trận ñơn vị cấp n, ký hiệu I
n
.
VD 2.
2
1 0
0 1
I
 
=
 
 
,
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1

I
 
 
=
 
 
 
.


• Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần
tử nằm phía dưới (trên) ñường chéo chính ñều bằng 0.
VD 3.
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A
−
 
 
= −
 
 
 
là ma trận tam giác trên;

3 0 0
4 1 0
1 5 2
B

 
 
=
 
 
−
 
là ma trận tam giác dưới.
• Ma trận ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối xứng
qua ñường chéo chính bằng nhau (a
ij
= a
ji
).
• Ma trận phản ñối xứng cấp n là ma trận có các phần tử ñối
xứng qua ñường chéo chính ñối nhau (a
ij
= –a
ji
) và tất cả các
phần tử trên ñường chéo chính ñều bằng 0.

VD 4.
3 4 1
4 1 0
1 0 2
A
−
 
 

=
 
 
−
 
là ma trận ñối xứng;

0 4 1
4 0 0
1 0 0
B
−
 
 
=
 
 
−
 
là ma trận phản ñối xứng.

1.2. Các phép toán trên ma trận
a) Phép cộng và trừ
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,

( )
ij m n
B b
×
=
ta có:
( )
ij ij m n
A B a b
×
± = ±
.
VD 5.
1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
−
     
+ =
     
− − −
     
;

1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
− −
     
− =
     
− − − −

     
.

• Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.

b) Nhân vô hướng
Cho
( )
ij m n
A a
×
=
,
λ
∈
ℝ ta có:
( )
ij m n
A a
λ λ
×
=
.
VD 6.
1 1 0 3 3 0
3
2 0 4 6 0 12
− −
   
− =

   
− −
   
;

2 6 4 1 3 2
2
4 0 8 2 0 4
   
=
   
− −
   
.
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối ñối với phép cộng
ma trận.
• Ma trận –A là ma trận ñối của A.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 2


c) Nhân hai ma trận
• Cho ( )
ij m n
A a
×
= , ( )
jk n p
B b
×

= ta có:
( )
1
( ) , 1, ; 1,
n
ik m p ik ij jk
j
AB c c a b i m k p
×
=
= = = =
∑
.
VD 7. Tính a)
( )
1
1 2 3 2
5
−
 
 
 
 
−
 
; b)
1 0 0 0
4 0 3 2
  
  

−
  
;
c)
2 0 1
1 1 1
1 1 2
2 0 3
1 3 2
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
− −
 
.

• Phép nhân ma trận có các tính chất:

1) (AB)C = A(BC);
2) A(B + C) = AB + AC;
3) (A + B)C = AC + BC;
4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5)

n m
AI A I A= =
, với
,
( )
m n
A M∈
ℝ .

VD 8. Tính
a)
1 1 2 0 1 3 2 1 2 1
2 3 0 1 2 1 1 0 2 1
1 1 4 2 1 3 3 1 0 2
− − −
     
     
− − − −
     
     
− − − −
     
;


b)
1 0 1 1 2 1
2 2 0 0 3 1
3 0 3 2 1 0
− − −

   
   
− −
   
   
− −
   
và

1 2 1 1 0 1
0 3 1 2 2 0
2 1 0 3 0 3
− − −
  
  
− −
  
  
− −
  
.

• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.
• ðặc biệt, khi
( )
ij n
A a=
và
*
p∈

ℕ ta có:
A
0
= I
n
; A
p
= A
p–1
A (lũy thừa ma trận).

VD 9. a) Cho
1 1
0 1
A
−
 
=
 
 
, tính A
2009
;
b) Cho
2 0
1 2
B
 
=
 

 
, tính (I
2
– B)
2009
.
VD 10. Cho A = (a
ij
) là ma trận vuông cấp 100 có các phần
tử ở dòng thứ i là (–1)
i
. Tìm phần tử a
36
của A
2
.

d) Phép chuyển vị
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=
, ma trận chuyển vị của A là:
( )
T
ji n m
A a
×

=
(chuyển tất cả dòng thành cột).


• Tính chất:
1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
;
2) (λA)
T
= λA
T
;
3) (A
T
)
T
= A;
4) (AB)
T
= B
T
A
T
;
5)

T
A A= ⇔
A ñối xứng;
6)
T
A A= − ⇔
A phản xứng.

1.3. Phép biến ñổi sơ cấp trên dòng của ma trận
a) ðịnh nghĩa
• Cho
( )
ij m n
A a
×
=

( 2)m ≥
. Các phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p dòng
e trên A là:

– (e

1
): Hoán v
ị
hai dòng cho nhau
i k
d d
A A
↔
′
→
.
– (e
2
): Nhân 1 dòng v
ớ
i s
ố

0
λ
≠
,
i i
d d
A A
λ
→
′′
→
.

– (e
3
): Thay 1 dòng b
ở
i t
ổ
ng c
ủ
a dòng
ñ
ó v
ớ
i tích
λ
dòng
khác
i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′
→
.

Chú ý
1) Trong th
ự
c hành ta th
ườ

ng làm
i i k
d d d
A B
µ λ
→ +
→
.
2) Sau 1 s
ố
h
ữ
u h
ạ
n các PB
ð
SC dòng ta
ñượ
c ma tr
ậ
n
B t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i A, ký hi
ệ
u

B A∼
.
3) T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có các phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p trên
c
ộ
t c
ủ
a ma tr
ậ
n.


VD 11.
Cho
1 2 3
2 1 1

3 1 2
A
−
 
 
= −
 
 
−
 
và
1 2 3
0 1 7 / 5
0 0 0
B
−
 
 
= −
 
 
 
.
Ch
ứ
ng t
ỏ

A B∼
.

b) Ma trận sơ cấp
• Ma tr
ậ
n thu
ñượ
c t
ừ
I
n
b
ở
i
ñ
úng 1 phép bi
ế
n
ñổ
i s
ơ
c
ấ
p
dòng (c
ộ
t) là ma tr
ậ
n s
ơ
c

ấ
p.
VD 12.

0 0 1
0 1 0
1 0 0
 
 
 
 
 
,
1 0 0
0 5 0
0 0 1
 
 
−
 
 
 
và
1 0 0
2 1 0
0 0 1
 
 
 
 

 
là các ma
tr
ậ
n s
ơ
c
ấ
p.

1.4. Ma trận bậc thang và ma trận bậc thang rút gọn

a) Ma trận bậc thang
• Hàng có t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử

ñề
u b
ằ
ng 0
ñượ
c g
ọ
i là hàng

b
ằ
ng 0.

• Ph
ầ
n t
ử
khác 0
ñầ
u tiên tính t
ừ
trái sang c
ủ
a 1 hàng
ñượ
c
g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử

cơ sở
c
ủ
a hàng
ñ
ó.

• Ma tr
ậ
n b
ậ
c thang là ma tr
ậ
n khác 0 c
ấ
p
m n×

( , 2)
m n ≥

th
ỏ
a:
1) Các hàng b
ằ
ng 0
ở
d
ướ
i các hàng khác 0;
2) Ph
ầ
n t
ử
c

ơ
s
ở
c
ủ
a 1 hàng b
ấ
t k
ỳ
n
ằ
m bên ph
ả
i
ph
ầ
n t
ử
c
ơ
s
ở
c
ủ
a hàng trên nó.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 3


VD 13.
+
1 0 2
0 0 3
0 0 0
 
 
 
 
 
,
0 1 2 3
0 0 4 5
0 0 0 1
 
 
 
 
 
và I
n
là các ma trận bậc thang;
+
0 2 7
0 3 4

0 0 5
 
 
 
 
 
và
2 3 5
0 0 0
0 1 3
 
 
 
 
 
không là ma trận bậc thang.

ðịnh lý
• Mọi ma trận ñều có thể ñưa về bậc thang bằng hữu hạn
phép biến ñổi sơ cấp trên dòng.

b) Ma trận bậc thang rút gọn

• Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có phần tử
cơ sở của một dòng bất kỳ ñều bằng 1 và là phần tử khác 0
duy nhất của cột chứa nó.

VD 14.
I
n

,
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
và
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 0 0
 
 
 
 
 
là các ma trận bậc
thang rút gọn.



1.5. Ma trận khả nghịch

a) ðịnh nghĩa

• Ma trận
( )
n

A M∈ ℝ
ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại
( )
n
B M∈ ℝ
sao cho AB = BA = I
n
.
Ma trận B là duy nhất và ñược gọi là ma trận nghịch ñảo
của A, ký hiệu A
–1
. Khi ñó:
A
–1
A = AA
–1
= I
n
; (A
–1
)
–1
= A.

• Nếu B là ma trận nghịch ñảo của A thì A cũng là ma trận
nghịch ñảo của B.

VD 15.
2 5
1 3

A
 
=
 
 
và
3 5
1 2
B
−
 
=
 
−
 
là nghịch ñảo của nhau vì
AB = BA = I
2
.

Nhận xét
1) Nếu ma trận vuông A có 1 dòng (hoặc 1 cột)
bằng 0 thì không khả nghịch.
2) Mọi ma trận sơ cấp ñều khả nghịch và ma trận
nghịch ñảo cũng là ma trận sơ cấp.
3) (AB)
–1
= B
–1
A

–1
.



b) Tìm ma trận nghịch ñảo bằng phép biến ñổi sơ cấp
dòng

• Cho
( )
n
A M∈ ℝ
, ta tìm A
–1
như sau:
Bước 1.
Lập ma trận
( )
n
A I
(ma trận chia khối) bằng cách ghép I
n

vào bên phải A.
Bước 2.
Dùng phép biến ñổi sơ cấp dòng ñể ñưa
( )
n
A I
về dạng

( )
A B
′
(
A
′
là ma trận bậc thang dòng rút gọn).

1) Nếu
A
′
có 1 dòng (cột) bằng 0 hoặc
n
A I
′
≠
thì A
không khả nghịch.

2) Nếu
n
A I
′
=
thì A khả nghịch và A
–1
= B.

VD 16. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
1 1 0 1

0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
−
 
 
−
 
=
 
 
 
và
1 1 1
1 0 1
2 1 0
B
−
 
 
=
 
 
 
.


§2. ðỊNH THỨC

2.1. ðịnh nghĩa

a) Ma trận con cấp k

• Cho ma trận vuông
( )
( )
ij n
n
A a M= ∈ ℝ
. Ma trận vuông
cấp k ñược lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k cột
của A ñược gọi là ma trận con cấp k của A.

• Ma trận M
ij
cấp n–1 thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi dòng
thứ i và cột thứ j là ma trận con của A ứng với phần tử a
ij
.


b) ðịnh thức

• ðịnh thức cấp n của ma trận vuông
( )
( )
ij n
n

A a M= ∈ ℝ
,
ký hiệu detA hay
A
, là 1 số thực ñược ñịnh nghĩa:

1) A cấp 1:
11 11
( ) det
A a A a
=
⇒
=
;
2) A cấp 2:
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
 
=
⇒
= −
 
 
;
3) A cấp n: det A = a

11
A
11
+ a
12
A
12
+ … + a
1n
A
1n
, trong
ñó A
ij
= (–1)
i+j
det(M
ij
) là phần bù ñại số của phần tử a
ij
.






ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 4

Chú ý
•
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
= + +

31 22 13 12 21 33 23 32 11
a a a a a a a a a− − −
(quy tắc 6 ñường chéo).
ðặc biệt.
det I
n
= 1, det 0
n
= 0.
VD 1. Tính các ñịnh thức của:
3 2
1 4
A
−
 
=
 
 
,

1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
−
 
 
= −
 
 
 
và
1 0 2 0
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
C
 
 
−
 
=
 
 
 
.

2.2. Các tính chất cơ bản của ñịnh thức
• Cho ma trận vuông
( )

( )
ij n
n
A a M= ∈ ℝ
, ta có các tính
chất cơ bản sau:
Tính chất 1
( )
det det
T
A A=
.
VD 2.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1
1 1 1 2 1 1
−
− = −
−
;

1 3 2 1 0 0
0 2 1 3 2 0
0 0 1 2 1 1
− = −
.


Tính chất 2. Hoán vị hai dòng (cột) cho nhau thì ñịnh thức
ñổi dấu.

VD 3.
1 3 2 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 3 2 3 1 2
− −
− = − − = −
−
.
Hệ quả
• ðịnh thức có ít nhất 2 dòng (cột) giống nhau thì bằng 0.
VD 4.
3 3 1
2 2 1 0
1 1 7
=
;
2 3
2 5
2 5
1 0
1
x x x
y y
y y
=
;
2 5
2 5
2 5
1

1 0
1
y y
y y
y y
=
.
Tính chất 3. Nhân 1 dòng (cột) với số thực λ thì ñịnh thức
tăng lên λ lần.
VD 5.
3 0 3 1 0 1
2 1 2 3 2 1 2
3 1 7 3 1 7
− −
− = −
;
3 3
3 3
3 3
1 1
( 1) 1 1
1 1
x x x x x
x y y x y y
z z x z z
+
+ = +
+
.
Hệ quả

1) ðịnh thức có ít nhất 1 dòng (cột) bằng 0 thì bằng 0.
2) ðịnh thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì ñịnh thức
bằng 0.


Tính chất 4
• Nếu ñịnh thức có 1 dòng (cột) mà mỗi phần tử là tổng của
2 số hạng thì có thể tách thành tổng 2 ñịnh thức.
VD 6.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
1 1
1 1
1 1
x x x x x x x x
x y y x y y y y
x z z x z z z z
+
+ = +
− −
.
Tính chất 5
• ðịnh thức sẽ không ñổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) với λ
lần dòng (cột) khác.
VD 7. Tính các ñịnh thức:
1 2 3
1 2 1
2 3 4
− −

;
1 1
1 1
1 1
x
x
x
.

Chú ý
• Phép biến ñổi
1 2 1
2
1 5 0 7
2 3 1 3
d d d→ −
−
=
là sai do dòng 1 ñã
nhân với số –2.

2.3. ðịnh lý Laplace
• Cho ma trận vuông
( )
( )
ij n
n
A a M= ∈
ℝ
, ta có các khai

triển det A sau:
a) Khai triển theo dòng thứ i
1 1 2 2
1
det ...
, ( 1) det( )
i i i i in in
n
i j
ij ij ij ij
j
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.


b) Khai triển theo cột thứ j
1 1 2 2
1
det ...
, ( 1) det( )
j j j j nj nj
n
i j
ij ij ij ij

i
A a A a A a A
a A A M
+
=
= + + +
= = −
∑
.

VD 8. Tính ñịnh thức
1 0 0 2
2 1 1 2
1 2 2 3
3 0 2 1

bằng cách khai triển theo dòng 1; cột 2.

VD 9. Áp dụng tính chất và ñịnh lý Laplace, tính ñịnh thức:
1 1 1 2
2 1 1 3
1 2 1 2
3 3 2 1
−
−
.
Các kết quả ñặc biệt:

1)
11 12 1 11

22 2 21 22
11 22
1 2
... 0 ... 0
0 ... ... 0
...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ...
n
n
nn
nn n n nn
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
= =

(dạng tam giác).

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A2ðH
Trang 5


2) det(AB) = detA.detB (ñịnh thức của tích hai ma trận).
3)
det .det
0
n
A B

A C
C
=
, với
, , ( )
n
A B C M∈ ℝ

(ñịnh thức chia khối).
VD 10. a)
1 2 3 4
0 2 7 19 1 2 3 0
0 0 3 0 0 2 0 1
0 0 0 1
−
=
− −
−
;
b)
1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4
2 0 3 2 1 3 2 0 3 2 1 3
1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1
− −
  
  
=
  
  
− −

  
;

c)
1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
T
− −
   
   
=
   
   
−
   

1 1 1 2 1 4 3 1 4
2 0 3 2 1 3 0 1 2
1 2 3 1 2 1 1 2 1
− −
=
−
.

2.4. Ứng dụng ñịnh thức tìm ma trận nghịch ñảo
a) ðịnh lý
• Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det A khác 0.

b) Thuật toán tìm A
–1


• Bước 1
Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A không khả nghịch,
ngược lại làm tiếp bước 2.

• Bước 2
Lập ma trận
( ) ( )
T
T
ij ij
n n
A A A⇒ =
(ma trận phụ hợp của A).

• Bước 3. Ma trận nghịch ñảo là:

1
1
.
det
T
A A
A
−
=

.
VD 11. Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của:
1 2 1
1 1 2
3 5 4
A
 
 
=
 
 
 
và
1 2 1
0 1 1
1 2 3
B
 
 
=
 
 
 
.

Nhận xét

• Nếu
0ac bd− ≠
thì:

1
1
a b c b
d c d a
ac bd
−
−
   
=
   
−
−
   
.



2.5. Hạng của ma trận
a) ðịnh thức con cấp k
• Cho ma trận
( )
ij
m n
A a
×
=
. ðịnh thức của ma trận con cấp
k của A ñược gọi là ñịnh thức con cấp k của A.
ðịnh lý
• Nếu trong ma trận A tất cả các ñịnh thức con cấp k ñều

bằng 0 thì các ñịnh thức con cấp k + 1 cũng bằng 0.

b) Hạng của ma trận
• Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của ñịnh thức con
khác 0 của A, ký hiệu r(A). Ta có:
1 ( ) min{ , }r A m n≤ ≤
.
• Nế
u A là ma tr
ậ
n không thì ta quy
ướ
c r(A) = 0.

c) Phương pháp tìm hạng của ma trận
ðịnh lý
• H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ậ
c thang (dòng) b
ằ
ng s
ố
dòng khác 0
c

ủ
a ma tr
ậ
n
ñ
ó.
• Cho A là ma vuông c
ấ
p n,
( ) det 0r A n A= ⇔ ≠
.
Phương pháp
• B
ướ
c 1. Dùng PB
ð
SC dòng
ñư
a ma tr
ậ
n A v
ề
b
ậ
c thang.
• B
ướ
c 2. S
ố
dòng khác 0 c

ủ
a A sau bi
ế
n
ñổ
i là r(A).
VD 12.
Tìm h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
2 1 1 3
0 1 0 0
0 1 2 0
0 1 1 4
A
−
 
 
−
 
=
 
 
− −
 
.

VD 13.
Tìm h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n
1 3 4 2
2 5 1 4
3 8 5 6
A
−
 
 
= −
 
 
−
 
.

VD 14.
Tùy theo giá tr
ị
m, tìm h
ạ
ng c

ủ
a ma tr
ậ
n
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m
A
m
− −
 
 
− − −
 
=
 
 
−
 
.