De tai Phuong phap tim cuc tri

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. PhầnI:Một số vấn đề chung 1)lý do chọn đề tài : a/ C¬ së lý luËn: Việc giải toán, việc giải quyết vấn đề trong cuộc sống có những vấn đề giống nhau nếu cả hai việc đó đều đuợc tiến hành một cách khoa học. ThËt vËy to¸n häc lµ mét m«n häc cã tÝnh chÊt rÊt quan träng trong viÖc ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn kü n¨ng, t duy s¸ng t¹o, kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp, tÝnh cÈn thËn, kiªn tr×, tÝnh chÝnh x¸c, n¨ng lùc s¸ng t¹o vµ kh¶ n¨ng t duy l«gÝc cho häc sinh . Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc ë bËc trung häc c¬ së c¸c bµi to¸n cùc trÞ gi÷ vai trß v« cïng quan träng, nã rÌn cho häc sinh cã kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp, t duy s¸ng tạo, tính độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực t duy và sự linh ho¹t trong gi¶i to¸n. b/ C¬ së thùc tiÔn: Lµ mét gi¸o viªn gi¶ng dËy m«n to¸n líp 9 , trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ «n tËp cho häc sinh líp 9 chuÈn bÞ thi hÕt bËc häc THCS , thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT vµ båi dỡng học sinh giỏi trong nhiều năm qua tôi nhận thấy: “Các bài toán tìm cực trị “ thờng gặp nhiều, đặc biệt trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT và thi học sinh giỏi, nhng nó lại là một phần kến thức khó đối với học sinh, đa số học sinh thờng bỏ qua hoặc chỉ có một số học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ song kết quả không cao . Các em rất lúng túng khi gặp dạng toán này vì cha có phơng pháp giải . trong khi đó vấn đề này ở SGK toán THCS lại đề cập rất ít, không đi sâu. Các tài liệu tham khảo không nhiều mµ. chØ. chung. chung. kh«ng. cã. ph¬ng. ph¸p. cô. thÓ. .. Để giúp các em vợt qua trở ngại này trong nhiều năm qua tôi đã cố gắng đúc rút kinh nghiệm và đi sâu nghiên cứu đề tài : “ Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị”. §Ó ph©n d¹ng vµ t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi to¸n t×m cùc trÞ . Nh»m trang bÞ cho c¸c em häc sinh mét sè ph¬ng ph¸p vµ kü n¨ng c¬ b¶n khi gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ . 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. 2)Mục đích nghiên cứu : a/ §èi víi gi¸o viªn . 1/Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết, các phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số. vµ h×nh häc 2/Xây dựng đợc hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối tợng học sinh, có phơng pháp giải của từng dạng. 3/TÝch cùc t×m tßi, sö dông c¸ch gi¶i ng¾n ,chÝnh x¸c. 4/ Kh¾c phôc sai lÇm cña häc sinh trong qu¸ tr×nh lµm to¸n. b/ §èi víi häc sinh . 1/Hiểu đợc các dạng toán cực trị đại số và hình học. 2/Nắm đợc phơng pháp giải toán.Vận dụng tốt các phơng pháp giải toán để làm bµi tËp. 3/Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và t duy sáng tạo trong việc giải toán. 3) §èi tîng vµ ph¹m vi nghiªn cøu: a/ §èi tîng: Häc sinh líp 8 , 9 b/ Ph¹m vi : C¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ 4) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: a/ Nghiªn cøu lý luËn: - Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài. - T×m hiÓu c¸c d¹ng to¸n vÒ cùc trÞ - §a ra c¸c c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n sao cho ng¾n gän vµ dÓ hiÓu nhÊt. - §a ra c¸c c¬ së lý luËn cho mçi d¹ng bµi trong d¹ng to¸n nµy. b/ Nghiªn cøu thùc tÕ: - Khảo sát kỹ năng giải bài toán về cực trị ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp đại diÖn cho c¸c khèi.. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. - Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi d ỡng học sinh giỏi. - Thực hành tổ chức, kết hợp thực hiện theo các cách dạy khác nhau để so sánh đa ra cách giải quyết vấn đề tối u nhất. - Phân tích tổng hợp, rút kinh nghiệm về đổi mới nội dung và phơng pháp giảng d¹y d¹ng to¸n "Cùc trÞ ".. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. PhÇn II: Néi dung A/ c¬ së lý thuyÕt I/ Nguyªn t¾c chung vÒ cùc trÞ: a) Cho biểu thức A. Ta chứng minh đợc A α ( α là hằng số)và phơng trình A= α cho ta Ýt nhÊt mét gi¸ trÞ (hay mét bé gi¸ trÞ) cña biÕn cã mÆt trong A lµm nghiÖm th× ta kÕt luËn MinA= α Ngợc lại ta chứng minh đợc A β ( β là hằng số) và phơng trình A= β cho ta Ýt nhÊt mét gi¸ trÞ (hay mét bé gi¸ trÞ) cña biÕn cã mÆt trong A lµm nghiÖm th× ta kÕt luËn MaxA= β b) Bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc lµ bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét đại lợng hình học biến thiên m ; (m có thể là độ dài đoạn thẳng, độ lớn của chu vi, diện tích,độ lớn của góc. . .) Yêu cầu tìm đợc các giá trị m1,m2 cố định thoả mãn : m1 m m2 đồng thời chỉ rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó m đạt giá trị nhỏ nhất m 1 hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt m2 . §«i khi bµi to¸n chØ yªu cÇu t×m mét trong hai gi¸ trÞ m 1 hoÆc m2 II/ Mét sè kiÕn thøc thêng dïng . 1/ các tính chất của bất đẳng thức: 1.1) a > b ⇔ b < a 1.2) TÝnh chÊt b¾c cÇu: a > b ; b > c. ⇒a> c. 1.3) Tính chất đơn điệu của phép cộng : a > b ⇒ a+ c> b+c 1.4). Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều: a > b ; c > d ⇒ a+ c> b+d * Chú ý: Không đợc trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. 1.5) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngợc chiều: a > b ; c < d ⇒ a − c> b −d 1.6) Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) a > b ; c > 0. ⇒ ac > bc. b) a > b ; c < 0. ⇒ ac < bc. 1.7) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm : a > b 0 , c > d 0 , ⇒ ac > bd 1.8) Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức : +¿. n. n Z ¿ ta cã : a > b > 0 ⇒ a > b n n a > b ⇔ a > b víi n lÎ; |a|>|b|⇔ an >b n víi n ch½n;. n. 1.9) So s¸nh hai luü thõa cïng c¬ sè víi sè mò nguyªn d¬ng: +¿. m , n Z ¿ ; m > n th×: m n a = 1 ⇒a =a. m n a > 1 ⇒a > a. m n 0 < a < 1 ⇒a <a. 1.10) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: 1 1 a > b , ab > 0 ⇒ a < b. 2) Một số bất đẳng thức thờng dùng: a) a2. 0 ; -a2. 0. DÊu “=” x¶y ra khi a = 0. b) Bất đẳng thức côsi và hệ quả: Cho n sè kh«ng ©m a1,a2,...,an .Ta cã: a1+a2+...+an. n n . ❑ √ a1 a2 .. . .a n. DÊu “=” khi a1=a2=.....=an . * HÖ qu¶: -Nếu tổng n số dơng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi các số đó bằng nhau. -Nếu tích n số dơng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi các số đó bằng nhau. c) Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Cho 2n sè : a1,a2,...,an ; b1,b2,,...,bn a + a + .. .+a Ta lu«n cã : ( 1 2 . ( b 1 +b 2 +. . .+ bn )  ( a1 b1 +. ..+ an bn ) ❑2 n ) 2. 2. 2. 2. 2. 2. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. a1 a a = 2 =....= n b1 b2 bn. DÊu “=” x¶y ra khi. d/Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: DÊu “=” x¶y ra khi a = 0 |a|≥ 0 0 |a|+|b|≥|a+ b| DÊu “=” x¶y ra khi ab 0 ; |a|≥|b| |a|−|b|≤|a − b| DÊu “=” x¶y ra khi ab 3/Bất đẳng thức trong hình học : a) NÕu tam gi¸c ABC cã gãc A = 90o th× AC BC ( DÊu “ = ’’ x¶y ra khi tam gi¸c ABC suy biÕn thµnh ®o¹n th¼ng hay A B ). b) Víi tam gi¸c ABC tuú ý ta lu«n cã: AB + BC AC . DÊu “ = ” khi tam gi¸c ABC suy biÕn( B n»m gi÷a A vµ C ). c)Quan hÖ gi÷a c¹nh vµ gãc trong mét tam gi¸c . Cho tam gi¸c ABC , nÕu gãc A. gãc B ⇔. BC. AC .. d)Trong đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất . Trong đờng tròn dây cung nào gần tâm hơn là dây cung lớn hơn và ngợc lại Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngợc lại III/ Mét sè ph¬ng ph¸p thêng ¸p dông: 1/ §a vÒ tam thøc bËc hai: Cho tam thøc bËc hai:. (. Ta cã : P(x)=a V×. ( x + 2ba ). 2. x+. P(x) =ax2+bx+c b 2a. ). 2. b2 − 4 ac 4a. b =a x + 2 a. (. ). Δ 4a. -. 2. 0 víi mäi x nªn : Δ. −b. +Nếu a > 0 thì P(x)đạt GTNN bằng - 4 a khi x= 2 a Δ. −b. +nếu a < 0thì P(x)đạt GTLN bằng - 4 a khi x= 2 a 2/ Dùng những đánh giá cơ bản: B×nh ph¬ng mét sè (hay mét biÓu thøc) lu«n kh«ng ©m . VËy A2+ α. α. dÊu “=” khi A=0. -A2+ β. β. dÊu “=” khi A=0. 3/ Dïng ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh bËc hai. M« h×nh tæng qu¸t: XÐt A=P(x) (1). T×m Min A ; Max A. 6. 2 ; ( Δ=b − 4 · ac ).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. Hàm P(x) có tập xác định khác φ. ta biến đổi (1) về dạng: α ( A ) x2+ β ( A ) x+. γ ( A ) =0 (2). ở đây A tham gia với t cách nh một tham số. Vì tập xác định của P(x) khác rỗng nên pt(2) cÇn cã nghiÖm. Từ đó. Δ (A) =. β. 2. (A) - 4 α (A) γ (A). 0. Từ bất đẳng thức trên ta rút ra miền bị chặn đối với A từ đó tìm đợc Max A và Min A 4/ Dïngph¬ng ph¸p h×nh häc: Để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức y= P(x) ta có thể dùng đồ thị y= P(x) trong hệ toạ độ đề các vuông góc xOy từ dáng điệu đờng cong ta có thể xác định đợc gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña y. 5/ Dựa vào các bất đẳng thức để đánh giá: B/ C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i: Dạng 1: Cực trị đại số 1.T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc ax2+bx+c (a 0 ) VÝ dô 1 : T×m GTLN cña biÓu thøc sau : A= -3x2- 4x -1 Gi¶i : 4. 4. 1. 2. 1. Ta cã A = -3 (x2 + 3 x+ 9 ) + 3  A = -3 (x + 3 )2+ 3 0 ) 2 2 DÊu “=” x¶y ra khi x + 3 = 0 ⇔ x= − 3. 1 3. 1 2 . VËy Max A = 3 khi x= − 3. VÝ dô 2 : Cho B = (x - 2)2 +(x- 4)2 . T×m GTNN cña B Gi¶i : Ta cã B = x2- 4x+ 4 +x2 - 8x + 16 = 2x2 -12x + 20 = 2(x2 - 6x +9) + 2. 7. 2. (v× -3 (x + 3 )2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. = 2(x - 3)2 + 2 2. ( v× 2(x - 3)2 0 ). DÊu “=” x¶y ra khi x-3 = 0 ⇔ x=3 . VËy Min B = 2 khi x=3. Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a)T×m GTNN cña biÓu thøc sau : C = (x + 1)2 + (x + 3)2 D = 2x2 - 8x - 1 b)T×m GTLN cña biÓu thøc sau : A = -x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + Chó ý : Häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm khi tÝnh GTNN cña B ë VÝ dô 2 B = (x - 2)2 +(x- 4)2 nh sau : (x - 2)2 0 (x- 4)2. 0. ⇒. B 0. Nhng thực chất x - 2 và x - 4 không đồng thời bằng 0 2) Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối : VÝ dô 1 : T×m GTNN cña biÓu thøc sau : A = |x − 2|+|x − 3| Gi¶i: *C¸ch 1 : Ta cã A = |x − 2|+|3 − x| |x − 2+3 − x|=1 |X|+|Y |≥| X +Y | DÊu “=” x¶y ra khi (x-2)(3-x) 0 V× (x-2)(x-3) 0. ⇔ 2. x≤3. VËy Min A = 1 khi 2 x ≤ 3. *Cách 2 : Dùng phơng pháp đánh giá : NÕu x < 2 suy ra A = -x + 2 - x + 3 =- 2x + 5 > 5 - 2.2 = 1. NÕu 2. x 3. suy ra A = x - 2 - x + 3 = 1. NÕu x >3 suy ra A = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 > 2.3 - 5 = 1 Từ đó Min A = 1 khi 2 x ≤ 3 Có thể dùng phơng pháp đồ thị hàm số : y = |x − 2|+|x − 3| ta tìm đợc Min y .. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. VÝ dô 2 : T×m GTNN cña hµm sè sau : y = |2 x+1|+|x+2| Gi¶i : 1 1 1 y = 2 x + 2 +|x +2|= x+ 2 +( x+ 2 +|x +2|) 1 1 1 3 x + +|x +2|=|x+ 2|+ − x − ≥ x +2− x − = Ta cã. | | | 2|. | || | | 2| |. DÊu “=” x¶y ra khi -2. 2. −1 2. x. |. 2. . 1. |x + 12|≥ 0. 3. 1. DÊu “=” x¶y ra khi x =- 2 , vËy Min y = 2. khi x =- 2. VÝ dô 3 : T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = |x +2|+|x +1|+|x −2|+|x −3| Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức | A|+|B|≥| A+ B| ta có : |2+ x|+|x − 3|=|− x −2|+|x −3|≥|− x −2+ x − 3|=5 (1) DÊu “=” x¶y ra khi -2 x 3 |x +1|+|x − 2|=| x+1|+|− x +2|≥|x +1 − x +2|=3 (2) DÊu “=” x¶y ra khi -1 x 2 Tõ (1) vµ (2) suy ra A VËy Min A = 8 VÝ dô 4 :. 8 DÊu “=” x¶y ra khi -1. khi. -1. x. x. 2. 2.. T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = (3x - 1)2 - 4 |3 x −1|+ 5 Gi¶i :. §Æt. |3 x −1| = t. 0. ta cã : A = t2 - 4t + 5 = (t - 2)2 + 1 1. DÊu “=” x¶y ra khi t = 2 hay |3 x −1|=2. 1. hay x = 1 hoÆc x = - 3. 1. VËy Min A = 1 khi x = 1 hoÆc x = - 3 Mét sè bµi tËp cïng d¹ng T×m GTNN cña biÓu2 thøc sau: A= B=. 2003+ x ¿ 2002+ x ¿2 ¿ ¿ + √ ¿ √ ¿ |x 2 − x +1|+| x2 − x −2|. 3)Các bài toán cực trị dùng phơng pháp đánh giá : A2. + α≥α 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. -A2 + β ≤ β VÝ dô 1: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = x2 - 2x + y2 + 4y + 5 Gi¶i : Ta cã A = (x - 1)2 +(y+2)2 0. DÊu “=” x¶y ra khi x =1 ; y= -2. VËy Min A = 0 khi x =1 ; y= -2 VÝ dô 2: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: B = 2x2+y2 - 2xy - 2x +3 Gi¶i : Ta cã B = (x2-2x+1)+(x2-2xy+y2)+2 = (x-1)2+(x-y)2 +2 2 DÊu “=” x¶y ra khi x = y= 1. VËy Min B = 2 khi x = y= 1. VÝ dô 3: T×m GTNN cña biÓu thøc sau:. C= x(x-3)(x-4)(x-7). Gi¶i : Ta cã. C = (x2-7x)(x2-7x+12) = [(x2-7x +6)-6] [(x2-7x +6) +6] = (x2-7x +6)2- 36 −36. DÊu “=” x¶y ra khi x2-7x +6 = 0. ⇔. x = 1 hoÆc x = 6. VËy Min C = -36 khi x = 1 hoÆc x = 6 VÝ dô 4: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = x2+xy+y2-3x-3y Gi¶i : Ta cã. 4A = 4 x2+4xy+4y2-12x-12y = (2x + y -3)2+3(y-1)2-12 −12. suy ra A −3. DÊu “=” x¶y ra khi x = y =1.. 1. VËy Min A = -3 khi x=y=1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. VÝ dô 5: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: B = m2- 4mn + 5n2 + 10 m - 22 n + 28 Gi¶i : Ta cã B = [m2- 2m (2n-5) + (2n - 5)2] +(n2 - 2n + 1) + 2= (m - 2n + 5)2+(n-1)2+2. 2. DÊu “=” x¶y ra khi m =-3 ; n = 1. VËy Min B = 2 khi m=-3 ; n = 1 VÝ dô 6: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: D = 4x2 + 2y2 - 4xy - 20x - 4y + 174 Gi¶i : Ta cã D = [(2x)2- 2.2x(y + 5) + (y+5)2] + (y2 -14y + 49) + 100 = (2x - y - 5)2 + (y-7)2 + 100. 100 DÊu “=” x¶y ra khi x= 6 ; y = 7. VËy Min D = 100 khi x= 6 ; y = 7. Mét sè bµi tËp cïng d¹ng T×m GTNN cña c¸c biÓu thøcsau : A=x2+y2-6x-2y+17 B=-xy+x2+y2+2x+3y C=x2-2xy+2y2+2x-10y+17 4) C¸c bµi to¸n dùa vµo ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph¬ng trïnh bËc hai : 2 VÝ dô 1: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc: A=. x +2 x+3 2 x +2. Gi¶i : Viết biểu thức đã cho về dạng:. (A-1)x2-2x+(2A-3)=0. (1). ❑ Víi A 1 th× pt (1) trë thµnh pt bËc hai cña x; pt(1) cã nghiÖm khi Δ ≥ 0 hay. 1-(2A-3)(A-1) ⇔. 0. 2A2-5A+2 0 ⇔. 1 ≤ A≤2 2. ⇔ (2 A − 3)( A − 1)−1 ≤ 0 ⇔. (2A - 1)(A - 2) 0 1. ; A=2 khi x=1 vµ A= 2 khi x=-2. 1. VËy max A = 2 ; min A = 2. (Chó ý max A 1 vµ min A 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. ). 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. x+1. VÝ dô2: T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè: y= x 2 + x+ 1 Gi¶i: ViÕt hÖ thøc vÒ d¹ng : yx2+(y-1)x+(y-1) = 0. (1). Khi y 0 ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cña x. Pt(1) cã nghiÖm khi. Δ≥0. hay (y- 1)2- 4y(y- 1) 0. ⇔ (3 y+ 1)( y −1). 0. ⇔ 4 y ( y −1)−( y −1). 1 ⇔ − ≤ y ≤1 3. 2. 0. 1. ; y=1 khi x= 0 vµ y = - 3 khi x = -2. 1. VËy Min y = - 3 vµ Max y = 1. 2. 2. x − xy+ y VÝ dô 3: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc sau: A= x 2+ xy + y 2. Gi¶i: ViÕt hÖ thøc vÒ d¹ng (A-1) x2+y(A+1)x+y2(A-1) = 0 (1) Khi A 1 th× 2pt(1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cña x, pt (1) cã nghiÖm khi : 2 A −1 ¿ ≥ 0 2 A − 2¿ − ¿≤ 0 2 2 ¿ A +1 ¿ − 4 y ¿ 2 2 ⇔y ¿ Δ= y ¿ 1 ⇔ y 2 (3 A −1)( A −3)≤0 ⇔ A ≤3 3 1 Ta cã A=3 khi x=-y vµ A= 3 khi x=y.. 1. VËy MaxA = 3 vµ MinA = 3. VÝ dô 4: T×m cÆp sè (x;y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: x2y + 2xy- 4x + y= 0 (1) sao cho y đạt giá trị lớn nhất. Gi¶i : ViÕt ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng : yx 2+ 2(y-2)x + y = 0 (2) Khi y 0. ph¬ng tr×nh (2) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cña x.. ❑ Pt (2) cã nghiÖm khi Δ ≥ 0 hay (y-2)2- y2 0. 1. ⇔ 4 − 4 y ≥0. ⇔ y ≤1. dÊu “ =” x¶y ra.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. khi x = 1. VËy max y = 1 khi (x; y) = (1; 1). Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a)Tìm giá trị lớn nhất của y đối với nó tồn tại x thoả mãn : 2x2 +5y2 +2xy -x - 2y - 3 = 0 b) Xác định tất cả các giá trị của a sao cho nghiệm của phơng trình sau là lớn nhÊt, nhá nhÊt : x4+ 2x2 +2ax + a2 + 2a +1 = 0 2. x+1992¿ ¿ x ¿. c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P =. 5) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi . Ví dụ 1: Cho x; y thay đổi sao cho 0 x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : A=(3 - x)(4 - y)(2x + 3y) Gi¶i : Do 0 x ≤ 3 ;. 0 y≤ 4. ⇒3 − x ≥0 ; 4- y. 0 ; 2x+3y. 0. Ta cã : 6A = (6 - 2x)(12- 3y)(2x+3y) lµ tÝch cña 3 sè kh«ng ©m nªn 6 - 2x +12 - 3y +2x+3y =18 không đổi . 6A lớn nhất khi 3 số : 18 6 - 2x ; 12- 3y ; 2x + 3y b»ng nhau, khi 6 - 2x =12-3y = 2x+3y = 3 =6 hay x= 0 ; y=2. khi đó 6A= 6.6.6 = 36.6 suy ra A=36. Vậy Max A = 36 khi x= 0 ; y = 2 a2 b2 c2 + + VÝ dô 2: Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1 .T×m GTNN cña: P= b+c a+ c a+b. Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a2 b+ c a2 b +c + ≥2 . = a (1) DÊu “=” x¶y ra khi 2a = b + c b+c 4 b+c 4. √. T¬ng tù :. 2. b a+c + ≥b a+c 4. (2) DÊu “=” x¶y ra khi 2b = a + c 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. 2. c a+b + ≥c a+b 4. (3) DÊu “=” x¶y ra khi 2c = b + a. Céng vÕ theo vÕ cña ba B§T cïng chiÒu (1), (2), (3) ta cã : a+b+ c a+b+ c 1 ≥ a+b+c = hay P 2 2 2 1 1 VËy Min P = 2 khi a = b = c = 3. P+. 1. DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = 3 1 1 1. VÝ dô 3: Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng, t×m gi¸ trÞ nho nhÊt cña : P =(a + b + c)( a + b + c ) Gi¶i : 3 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng a, b, c ta có a +b + c 3 √ abc (1). 1 1 1 + + a b c. c. 3. √ 3. 1 abc. (2) Nh©n theo vÕ (1), (2) ta cã P 9 dÊu “=” x¶y ra khi a = b =. VËy Min P = 9 khi a = b = c Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho 3 sè d¬ng tho¶ m·n: a + b + c = 3 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 1. 1. 1. S = ab+1 + ac+1 + bc+1 b) Cho x lµ sè d¬ng tho¶ m·n: 0 < x < 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña : x(1- x) 2. c) Cho x > y > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P =. y +1 ¿ (x − y )¿ x ( x − y )( y +1)+ 4 ¿. 6) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki : VÝ dô 1: Cho c¸c sè x, y , z tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: x2 + y2 = 1 z2 + t 2 = 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc: M =xz +yt Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki . Cho: a1 = x ; b1 = z ; a2 = y ; b2 = t 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. Ta cã : ( xz + yt )2. 2 ( x 2 + y 2 ) ( z2 + t 2 ) = 1 ⇒ M ≤ 1. 1 √2. ⇒ −1 ≤ M ≤ 1 suy ra Min M = -1 khi x = y = 1. 1. ,. z = t = - √2. vµ Max M = 1 khi x = y = z = t = √2 VÝ dô 2: Cho c¸c sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 2x2 +3y2. 5. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 2x + 3y Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho : a1 = √ 2 x ; b1 = √ 2 ; a2 = √ 3 y ; b2 = √3 Ta cã : ( a1b1 + a2b2 )2 Theo gi¶ thiÕt. ( a12 + a22 )( b12 +b22 ) hay ( 2x +3y )2. 2x2 +3y2 5. VËy -5 M ≤ 5 suy ra. nªn ( 2x + 3y )2 = M2. 2x ¿. 2. +3y2)( 2 + 3 ). 25. Min M = - 5 khi x = y = -1 Max M = 5 khi x = y = 1. VÝ dô 3 : Cho a, b ,c tho¶ m·n a + b + c = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : M = √ 4 a+1 + √ 4 b+ 1. + √ 4 c +1. Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho : a1 = a2 = a3 = 1 b1 = √ 4 a+1 ; b2 = √ 4 b+ 1 ; b3 =. √ 4 c +1 Ta cã (a1b1 + a2b2+ a3b3 )2 Hay M 2. (a12 + a22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32). 3 (4a + 4b + 4c +3 ) = 21. Suy ra M √ 21 . VËy max M =. 1. √ 21 khi a = b = c = 3. Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho a2 + b2 = 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña : a+ b b) Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. §Æt M = u( x - y ) + v( x + y ). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña M. c) Cho 3x + 5y = 7 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = x2 + y2 7) Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: a x. Ví dụ 1 : Cho a , b, x, y là các số dơng; x , y thay đổi sao cho. b. + y. =1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x + y Gi¶i :. √a áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho a1 = √ x √y Ta cã ( a21 + a22 )( b12 + b22 ) a. Hay ( x. b. + y. √b ; a2 = √ y. ; b1= √ x. ( a1b1 + a2b2 )2 ( √ a + √ b )2 Nªn x + y. )( x + y ). ( √ a + √ b )2. Suy ra x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng ( √ a + √ b )2 DÊu “ =” khi. √a x. =. Hay x = a + √ ab. √b y. =. 1. √ a+ √ b. = √a+ ❑√b. x+ y. ; y = b + √ ab. VËy Min P = x + y = ( √ a + √ b )2 Khi x = a + √ ab ; y = b + √ ab VÝ dô 2: Cho x , y , z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: P =. 1+ x 1+ y 1+ z . . x y z. Gi¶i : Tõ gi¶ thiÕt ta cã 1 + x = x + x + y + z T¬ng tù :. 1+y. 4.4. 4.4. √ xy 2 z ;. ❑. √ x2 yz. ❑. 1+z. Nh©n theo vÕ :(1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + z ) 64 xyz (1+ x)(1+ y )(1+ z). Từ đó P = xyz. ; b2 =. 64 1. DÊu “ =’’ x¶y ra khi x = y = z = 3. VËy Min P = 64 1. 4. 4. √ xyz 2. ❑.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. VÝ dô 3 : Cho x , y , z lµ 3 sè d¬ng ; x + y + z = 1 x+ y. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : M = xyz Gi¶i :. Ta cã 1 = (x + y ) + z 2 . √( x + y )z ⇒. x+y ⇒. ⇒1. 4 ( x + y) z. 4.(x + y )2. z = 4(x2 + y2).z + 8xyz 16 xyz ( v× x2 + y2 x+ y xyz. 16. 1. 1. DÊu “ = ” khi x = y = 4 ; z = 2. 2xy ). VËy Min M = 16. VÝ dô 4: Cho a , b , c , d lµ 4 sè d¬ng cã tÝch abcd = 1 CMR : a2 + b2 + c2 + d 2 +ab + ac + ad + bc + bd + cd 10 . Gi¶i: Theo bất đẳng thức Côsi cho 10 số dơng ta có: a2 + b2 + c2 + d 2 +ab + ac + ad + bc + bd + cd 10 .. abcd ¿ 5 ¿ = 10 ❑ √¿. 10. Từ đó nếu đặt M = a2 +b2 +c2 +d2 +ab +ac +ad +bc +bd +cd Th× Min M = 10 khi a = b = c = d = 1 Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : P = 6x + 4y biÕt x , y > 0 vµ x + y = 10 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A = 3x +3y biÕt x + y = 2 x2 + y2 x− y. c) Cho x > y vµ xy = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = d) Cho x +2y = 1 .TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc x2 +2y2 D¹ng 2: Cùc trÞ h×nh häc. 1)D¹ng cùc trÞ vÒ t×m diÖn tÝch A Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC . M là điểm thay đổi trên BC. Qua M kÎ ME song song. với AB , MF song song với AC.Tìm vị trí của M để diện tích AEMF đạt giá trị lớn E. nhÊt.. Gi¶i: F. 1 B. M. C.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. S AEMF SABC. Ta cã AF. MC. 2 S AEF = S ABC. AF AE. =2 AB . AC . (1). AE MB AF AE = ⇒ + =1 AC BC AB AC AF AE 1 Nªn ta cã AB . AC 4 AF AE 1 DÊu “ =” x¶y ra khi AB = AC = 2. V× AB = BC. ;. Hay khi M lµ trung ®iÓm cña BC (2) 1 2 SABC DÊu “ =” x¶y ra khi M lµ trung ®iÓm cña BC. Tõ (1) vµ (2) ⇒ SAEMF 1. VËy Max SAEMF = 2 SABC khi M lµ trung ®iÓm cña BC. B. VÝ dô 2:. M. F. Cho tam gi¸c ABC ( gãc A = 90o ). M là một điểm di động trên cạnh huyền BC. H¹ ME. AC , MF. A. AB.. C. E. Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất. Gi¶i : DÔ thÊy ME // AB ; MF // AC. Bµi to¸n lµ trêng hîp riªng cña bµi to¸n 1 Suy ra diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của BC 1. VËy MaxSAEMF = 2 SABC VÝ dô 3: Cho h×nh ch÷ nhËt MNPQ néi tiÕp trong tam gi¸c ABC sao cho M. AB ; N AC ; P, Q BC .Tìm vị trí của M để SMNPQ đạt giá trị lớn nhất Gi¶i :. A. Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC , AH cắt MN ở K 1. Theo bµi to¸n 2 ta cã : SMQHK 2 S ABH (1). M. N K. 1 B. Q. H. P. C.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. DÊu “ = ” khi MA = MB 1. SNPHK 2 S. AHC. (2). DÊu “ = ” khi NA = NC 1. Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã : SMNPQ 2 SABC Dấu “ = ” khi M là trung điểmcủa AB ( Khi đó N là trung điểm của AC ) 1. VËy Max SMNPQ = 2 SABC Ví dụ 4: Cho điểm M thay đổi ở miền trong của góc xOy .Qua M hãy dựng một cát tuyến cắt Ox ở A và Oy ở B, sao cho SAOB đạt giá trị nhỏ nhất. Gi¶i :. Qua M kẻ ME // Oy ; MF // Ox, Ta có SMEOF cố định. x. Theo kÕt qu¶ bµi to¸n 1 ta cã: A. SAOB. 2SMEOF . DÊu “ = ” khi MA = MB E. Vậy SAOB đạt giá trị nhỏ nhất khi cát tuyến AB. M. nhËn M lµm trung ®iÓm. O. F. B. y. Ta cã c¸ch dùng AB nh sau: - Qua M kÎ ME // Oy ( E. Ox ). LÊy EA = EO ( A. Ox ).. - Dựng đờng thẳng AM cắt Oy ở B .Ta có cát tuyến cần tìm. Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đờng chéo AC .Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của M lên AD và DC . Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BEF là lớn nhÊt ; nhá nhÊt. b) Cho tø gi¸c ABCD, trªn AB, BC, CD, DA lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm K, L, M, N sao cho: AK BL CM DN = = = =x . Tìm x để diện tích tứ giác BKMN là nhỏ nhất. AB BC CD DA. 2)Dạng bài toán tìm cực trị là đo độ dài đoạn thẳng hoặc tổng độ dài các A' ®o¹n th¼ng. Ví dụ 1 : Cho hai điểm A, B nằm về cùng một phía của đờng thẳng d.C Tìm trên d mét C' d 1 A. B.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. ®iÓm C sao cho chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt. Gi¶i : §Æt chu vi tam gi¸c ABC lµ p, p = AC + BC + AB Do AB cố định nên p đạt giá trị nhỏ nhất khi BC + AC đạt giá trị nhỏ nhất.Gọi A/ là điểm đối xứng víi A qua d, A/B c¾t d ë C. §iÓm C lµ ®iÓm cÇn t×m. ThËt vËy lÊy C/. d , C/. C. Ta cã AC/ +BC/ = BC/ +A/C/ > AC + BC = A/B (®pcm).. VÝ dô 2 :Cho ®iÓm A bªn trong gãc nhän xOy cho tríc. Dùng tam gi¸c ABC cã chu vi nhỏ nhất sao cho 2 đỉnh B và C nằm trên hai cạnh của góc xOy Gi¶i: Gọi A1 , A2 lần lợt là các điểm đối xứng của A qua Ox vµ Oy. A1A2 c¾t Ox vµ Oy lÇn lît ë B vµ C Ta cã chu vi Δ ABC nhá nhÊt ThËt vËy gi¶ sö B’. Ox ; C’. Oy ; B’. B ; C’. C. Ta cã chu vi Δ AB’C’ = AB’ + B’C’ + C’A = = A1B’ + B’C’ + C’A2 > A1A2 = AB + BC + AC Hay chu vi Δ AB’C’ lín h¬n chu vi Δ ABC. VËy chu vi Δ ABC nhá nhÊt. VÝ dô 3: Cho Δ ABC , hãy xác định điểm M sao cho tổng các bán kính của các đờng tròn ngoại tiÕp c¸c tam gi¸c ABM vµ tam gi¸c BCM lµ nhá nhÊt. Gi¶i: Gọi các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp Δ ABM và Δ ACM là R1 Và R2 Ta cã R1 + R2. AB AC + 2 2. A. .. Dấu “ = ” khi AB và AC là đờng kính của các đờng tròn đã cho. Khi đó M là hình chiếu của A trên BC. 2. B. M. C.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. VËy R1 + R2 nhá nhÊt khi M lµ h×nh chiÕu cña A trªn BC. VÝ dô 4 : Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ( 0). §iÓm D thuéc cung BC kh«ng chøa A ; H¹ DE. AB ; DF. AC. Tìm D để EF đạt giá trị lớn nhất. Gi¶i :. Dễ thấy tứ giác AEDF nội tiếp đợc trong đờng tròn đờng kính AD. Do góc A < 90o không đổi. A. suy ra số đo cung nhỏ EDF có số đo không đổi. VËy EF lín nhÊt khi AD lín nhÊt. O. Suy ra AD là đờng kính của đờng tròn tâm O. F. B. C. E. VÝ dô 5. D. Cho đờng tròn ( 0) đờng kính AB . Một điểm P chạy trên đờng tròn. Hạ PH. AB. Gäi. R1 , R2 , R3 là bán kính của các đờng tròn nội tiếp các tam giác APB ,APH ,BPH Xác định P trên đờng tròn để R1 + R2 + R3 lớn nhất Gi¶i :. Vì R1 là bán kính của đờng tròn nội tiếp Δ APB vuông ở P nên R1= (PA + PB - AB ) : 2 (Bán kính của đờng tròn. P. néi tiÕp cña tam gi¸c vu«ng b»ng tæng hai c¹nh gãc vu«ng trõ c¹nh huyÒn chia cho 2 ). B. AH +HP − AP 2 PH +HB − PB R3 = 2 PA +PB− AB+ AH+ HP − AP+ PH+ HP − PB Từ đó : R1 +R2 +R3 = 2. H. O. A. T¬ng tù : R2 =. = PH. Vậy R1 +R2 +R3 đạt giá trị lớn nhất khi PH lớn nhất, suy ra P là điểm chính giữa của. 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. cung AB. VÝ dô 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đờng tròn tâm ( 0 ). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhá BC. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña MA + MB + MC. A. Gi¶i: Tríc hÕt ta chøng minh MA = MB + MC ThËt vËy lÊy D. MA ; sao cho MD = MB O. Ta có tam giác MBD đều.. D. V× MB = MD vµ gãc BMD = gãc BMA = gãc BCA =60. B. 0. C M. Suy ra gãc ABD = gãc CBM = 60o - gãc DBC Nªn Δ ABD = Δ CBM V× BA = BC ; gãc ABD = gãc CBM ; BD = BM. Suy ra AD = MC. VËy MA = MD + AD = MB + MC ( ®pcm). Trë l¹i bµi to¸n, tõ kÕt qu¶ trªn ta cã:. MA + MB + MC = 2MA đạt giá trị lớn nhất khi AM lớn nhất  AM là đờng kính của đờng tròn  M là điểm chính giữa cung BC , Khi đó MA + MB + MC = 4R VÝ dô 7: Điểm M chuyển động trên đáy BC của tam giác ABC. Từ M kẻ ME, MF lần lợt song song với AB , AC. Xác định vị trí của M để EF ngắn nhất. Gi¶i : Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua A. Gọi giao điểm của ME với CB’ là M’ B'. Ta cã tø gi¸c AEMF lµ h×nh b×nh hµnh suy ra EM // = AF. M'. Do đó AB = AB’ ; MM’ // BB’ suy ra EM = EM’ A F. E. 2 B. M. C.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. Từ đó EM’ // = AF. Suy ra tø gi¸c AFEM/ lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra EF = AM’ §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña EF ta t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña AM’. Khi M chuyển động trên BC thì M’ chuyển động trên CB’ cố định nên: a) NÕu gãc AB’C vµ gãc ACB’ lµ gãc nhän, suy ra M’ lµ h×nh chiÕu cña A lªn CB’ B'. Suy ra M. b)NÕu gãc AB’C. A. 900. §Ó AM/ nhá nhÊt th× M’ c) NÕu gãc ACB’. B’ vµ M. 90o th× M’. B. C. B. C vµ M. C B'. A B. C. *Mét sè bµi tËp cïng d¹ng + Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn (o). M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC . Từ M hạ ME , MF , MH vuông góc với các đờng thẳng AB, AC , BC .T×m GTLN vµ GTNN cña MA + MB + MC + ME + MF + MH. + Qua điểm M trong tam giác ABC kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB , AC t¹i B1, B2. §êng th¼ng song song víi AB c¾t CA , CB t¹i A1, A2 . §êng th¼ng song song víi AC c¾t AB , BC t¹i C1, C2 . T×m GTNN cña A1A2 + B1B2 + C1C2 .. 3) Mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ kh¸c: VÝ dô 1 :T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c cã c¸c c¹nh a, b, c tho¶ m·n : 0<a. 1. b. 2. c. 3. 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. Gi¶i : Ta gäi diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S . 1. 1. Ta cã : S 2 ab (dÊu “ = ” khi gãc C = 900 ). Suy ra S 2 .1 .2=1 DÊu “ = ” khi tam gi¸c ABC vu«ng ë C cã a = 1, b = 2 . Suy ra c = √ 5 tho¶ m·n : 2 < c < 3 .. VËy max S = 1.. Ví dụ 2 : Cho ( O; R ) , AC là đờng kính , BD là dây cung của ( O; R ) và BD vuông góc với AC . Xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất. Gi¶i : B. A. C. O. D. AC  BD nên SABCD=1/2.AC.BD = R.BD mà BD là dây cung của ( O; R ) Do đó BD  2R . Vậy SABCD  2R2 dấu “=” xảy ra  BD là đờng kính của ( O; R ) Ví dụ3: Cho tam giác ABC có AA1, BB1, CC1 là các đờng phân giác.Gọi khoảng cách. từ A1 đến AB là a1, khoảng cách từ B1 đến BC là b1, khoảng cách từ C1 đến CA là c1. a1 b1 c1   h hb hc . a T×m GTNN cña : P =. Gi¶i : Tõ A1 kÎ A1E. AB ; A1F. A. AC. DÔ thÊy A1E = A1F = a1 .. 2S Δ ABC = 2S Δ AA 1 B+2 SΔ AA1 C=a1 c +a1 b=a1 (b+ c) .. F E. MÆt kh¸c 2S Δ ABC=ah a . Suy ra a1(b + c ) = aha 2. B. A1. C.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. a1 a = ha b+c. ⇒. .. a1 b1 c1   b1 b c1 c h hb hc = a + b + c . = ; = a T¬ng tù ta cã : h a+c h a+b . VËy : P = b+c c +a a+b b c a b c 1 1 1 Suy ra P + 3 = ( 1 + b+c ¿+(1+ a+c )+(1+ a+b ) =( a+ b + c )( b+c + c +a + a+b ¿ 1 1 1 1 9 = 2 [(a+b)+(a+c )+(b+ c)]( a+ b + a+ c + b+ c )≥ 2 3 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c ,hay tam giác ABC đều . Suy ra P 2 . Vậy min P = 3 2 .. Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC và điểm 0 ở trong tam giác kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh, cách chúng một khoảng cách bằng khoảng cách từ 0 tới các cạnh đó. Mỗi đờng thẳng ấy tạo với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia một hình thang. Xác định vị trí của 0 để tổng diện tích của ba hình thang là nhỏ nhất . Gi¶i :. A. Gọi khoảng cách từ O đến BC là x .. ha z. §êng th¼ng // víi BC c¸ch BC B. mét kho¶ng lµ x c¾t AB vµ AC t¹i B’ vµ C’ .. Δ ABCđồng dạng Δ AB’C’. Ta cã h +x x 2 x x2 a. 2. 2. .. x S1. ⇒. y C. x. B'. Gäi diÖn tÝch h×nh thang BCC’B’ lµ S1 . 1+ ¿ =1+ 2. + ¿2 ha ha ha ha S +S 1 S ⇒ =¿ ⇒ 1+ 1 =¿ S S2 y 2S y =2 T¬ng tù : S (2) hb + hb. O. C'. S1 x x2 =2 + S ha ha. (1). 2. S3 z z2 =2 . + S h c hc. 2. (3). trong đó y, z là khoảng cách từ O đến AC và AB . S2 và S3 là diện tích hai hình thang cßn l¹i . y. 2. ¿ +¿ Céng theo vÕ hb (1) , (2) , (3) ta cã: x 2 ¿ +¿ ha ¿ S 1+ S2 + S3 x y z =2( + + )+ ¿ S h a hb h c. x y z 2 1 7 + + ¿ :3=2+ = ha hb hc 3 3 . 2+ ¿. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. x. y. z. ( DÔ thÊy ha + hb + hc =1¿ .. DÊu “ = ” khi. x y z 1 = = = ha hb hc 3. hay 0. G lµ träng t©m tam gi¸c ABC .. VËy s1  s2  s3 lín nhÊt khi O lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. *Mét sè bµi tËp cïng d¹ng a) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ( 0, R ) lÊy mét ®iÓm D trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A của đờng tròn đó .Hạ DH, DI, DK lần lợt vuông góc với BC, CA, AB .Tìm vị trí điểm D BC AC AB để : DH + DI + DK đạt giá trị nhỏ nhất .. b) Hai đờng tròn (01) và (02) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B . Một cát tuyến thay đổi qua A cắt đờng tròn thứ nhất tại C và đờng tròn thứ hai tại D sao cho A n»m trong ®oan th¼ng CD.T×m vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn CD sao cho chu vi tam gi¸c BCD đạt GTNN.. C/ bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề và ở mỗi chuyên đề đợc phân chia theo từng dạng bài, loại bài là hết sức cần thiết . Điều đó giúp các em có thể đi sâu hơn , phân tích đánh giá đầy đủ hơn đến từng nội dung kiến thức . V× vËy chóng ta ph¶i coi ®©y lµ viÖc lµm thêng xuyªn, cÇn thiÕt nh»m lµm cho kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em cao h¬n. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y kh«ng nh÷ng gi¸o viªn ph¶i tù nghiªn cøu , ph©n tÝch tæng hîp kiÕn thøc mµ cÇnph¶i chó träng viÖc d¹y cho häc sinh biÕt c¸ch ph©n d¹ng c¸c bµi tËp, tæng hîp kiÕn thøc . §©y lµ nhiÖm vô chÝnh cña gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ gi¸o dôc. Qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y t¹i trêng THCS thÞ trÊn V«i t«i nhËn thÊy: N¨ng lùc häc tËp 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. cña c¸c em trong trêng rÊt tèt, nhiÒu em cã thµnh tÝch häc tËp cao vµ liªn tôc, nhiÒu em đã đạt giải cao trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh. Tôi đã triển khai đề tài tại trờng và có kết quả tốt, ngoài ra còn mở rộng phạm vi ứng dụng vào việc bồi dỡng học sinh giỏi của toàn huyện tham gia dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh đạt kết quả cao. Từ đó tôi xin đề xuất: - Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lợng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tợng học sinh. - Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên khi áp dụng giáo viên h·y ¸p dông ph¬ng ph¸p gîi më (nÕu cÇn) vµ cã thÓ yªu cÇu häc sinh khai th¸c bµi to¸n ë nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau: T¬ng tù ho¸, tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n, vËn dông bµi to¸n sang bµi to¸n kh¸c, t×m tÝnh chung vµ tÝnh riªng cho tõng bµi, tõng d¹ng bµi. Nhng bên cạnh đó có thể chọn những bài toán cơ bản và cần thiết để dạy cho các đối tợng häc sinh trung b×nh. - Khi tham khảo đề tài giáo viên có thể linh hoạt bổ sung những "ý hay" để góp phần phong phú khi giảng dạy đề tài.. PhÇn III : KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña t«i sau khi d¹y häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n c¬ b¶n vÒ t×m cùc trÞ trong nh÷ng n¨m võa qua . Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thấy sau khi áp dụng chuyên đè trên thì : - Các em đã biết phân dạng và nhận biết đợc các dạng bài toán về tìm cực trị một cách đúng đắn và chính xác . - C¸c em kh«ng cßn ngÇn ng¹i khi gÆp d¹ng to¸n nµy . - Thông qua đánh giá trong khi ôn tập và kết quả các kì thi thì đa số các em đã 2.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. biÕt ph¬ng ph¸p gi¶i vµ gi¶i tèt d¹ng to¸n nµy. - Tuy nhiªn víi sù hiÓu biÕt vµ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y còng nh thêi gian cßn nhiều hạn chế , nên cha thể hiện đợc đầy đủ nội dung của chuyên đề và cũng không tránh khỏi những thiếu sót khi nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề này . Vậy bản thân tôi kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy , các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề đợc đầy đủ hơn nhằm nâng cao chất lợng học tập của học sinh nói chung và chất lợng học toán nói riêng. Xin ch©n hµnh c¸m ¬n!. Ngµy 20 th¸ng 5 n¨m 2009 Ngêi viÕt. §ç xu©n HuÊn. *Tµi liÖu tham kh¶o : 1/ S¸ch gi¸o khoa to¸n 8, 9 nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc . 2/ Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9 . (Vũ Hữu Bình) 3/ Bất đẳng thức (Nguyễn Vũ Thanh ) 4/ Một số vấn đề phát triển hình học 8, 9 . ( Vũ Hữu Bình ). 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n t×m cùc trÞ. 5/ To¸n häc vµ tuæi trÎ 6/ To¸n chän läc cÊp hai . Së GD - §T Hµ B¾c 7/ 23 chuyên đề giải toán sơ cấp (Nhà xuất bản trẻ ).. 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span>