Mot So Bat Dang Thuc Thuong Dung

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BẤT ĐẲNG THỨC – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bất đẳng thức Cauchy Với a1, a2, a3, ..., an là những số dương, n ≥ 2, ta luôn có a1 + a 2 + a 3 +...... + a n ³ n. n. a1a 2a 3...a n. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ... = an. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: Có 3 cách chứng minh như sau Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp toán học a1 + a 2 ³ 2 Bước 1: Thử với n = 2 thì. a1a 2 Û ( a1 -. a 2 )2 ³ 0. (đúng). Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2. Bước 2: Giả sử như biểu thức (*) đúng khi n = k ta có a1 + a 2 +... + a k ³ k. k. a1a 2 ...a k. (1) Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = ... = ak. Bước 3: Ta cần chứng minh (*) sễ đúng với n = k + 1. Xét (k + 1) số không âm a1, a2, ..., ak+1. Nếu trong các số này có số lớn nhất và nhỏ nhất, ta có quyền sắp xếp sao cho ak là một trong các số nhỏ nhất và ak+1 là một trong các số lớn nhất. Nếu chúng không có số lớn nhất và nhỏ nhất thì chúng sẽ bằng nhau ta không cần sắp xếp. μ=. a1 + a 2 +... + a k+1 k +1 (2) thì khi đó ak+1 ≥ μ ≥ ak. (2’). Đặt Đặt bk = ak + ak+1 – μ suy ra ak + ak+1 = bk + μ (3) Từ (2) và (3) suy ra (k + 1)μ = a1 + a2 + ... + ak–1 + bk + μ hay kμ = a1 + a2 + ... + ak–1 + bk. Þ μ=. a1 + a 2 +... + a k- 1 + b k k. Áp dụng giả thuyết (1) ta được μ³. k. a1a 2 ...a k- 1b k Û μ k ³ a1a 2 ...a k- 1 (a k + a k+1 - μ). Û μ k +1 ³ a1a 2 ...a k- 1 (a k + a k +1 - μ)μ (4). Bây giờ ta thấy (ak + ak+1 – μ)μ – akak+1 = ak(μ – ak+1) + (ak+1 – μ)μ = (ak+1 – μ)(μ – ak) ≥ 0 do điều kiện (2’) Từ đó suy ra (ak + ak+1 – μ)μ ≥ akak+1 (5) Û μ³. k. a a ...a. 1 2 k +1 (6) Thay (5) vào (4) ta được μk+1 ≥ a1a2...ak+1 Từ (6) suy ra điều phải chứng minh ở bước 3. Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = ... = ak–1 = bk = μ và (ak+1 – μ)(μ – ak) = 0. Nói cách khác dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = ... = ak–1 = ak = ak+1. Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp thì bất đẳng thức (*) luôn đúng với điều kiện ở đề bài. Cách 2: Dùng tính đơn điệu của hàm số Xét hàm số f(x) = ex–1 – x. Đạo hàm f’(x) = ex–1 – 1. f’(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1. f’’(x) = ex–1 > 0 nên f’’(1) > 0. Hàm số này nghịch biến trên (–∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞). min[f(x)] = f(1) = 0 nên f(x) ≥ f(1) = 0 với mọi x Hay ex–1 ≥ x (1) với mọi x. Xét một dãy số thực không âm a1, a2, ..., an có trung bình cộng là μ. Nếu μ = 0 thì a1 = a2 = ... = an = 0 dẫn đến (*) hiển nhiên đúng. Nếu μ > 0 ta có:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a1. a2. an. a1. a2. an. -1 -1 -1 - 1+ - 1+...+ - 1 a1 a 2 a n μ μ × ... £ e μ e μ ...e μ = e μ μ μ μ (2) a1 a2 an a1 + a 2 +... + a n - 1 + - 1 +... + - 1 = - n =n- n =0 μ μ μ μ Mà. (2) Û. a1.a 2 ...a n μ. n. £ e0 = 1 Û μ ³. n. a1.a 2 ...a n. (3). Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = ... = an = μ. Cách 3: Chứng minh của Cauchy a1 + a 2 ³ 2 Xét trường hợp n = 2 thì. a1a 2 Û ( a1 -. a 2 )2 ³ 0. (đúng). Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2. Giả sử trường hợp n = 2k = b đúng. Khi đó xét n = 2k+1 = 2b ta có a1 + a 2 +... + a 2b a1 + a 2 +... + a b a b+1 + a b+2 +...a 2b 1 b = + ³ ( a1a 2 ...a b + b a b+1a b+2 ...a 2b ) 2b 2b 2b 2 (2) 1 b ( a1a 2 ...a b + b a b+1a b+2 ...a 2b ) ³ b a1a 2 ...a 2b = 2b a1a 2 ...a 2b Áp dụng cho hai số ta được 2 (3) a1 + a 2 +... + a 2b 2b ³ a1a 2 ...a 2b 2b Từ (2) và (3) suy ra. Do đó bất đẳng thức luôn đúng với mọi n = 2k, k là số nguyên dương. Nếu n không phải là 2k, thì tồn tại giá trị k sao cho 2k > n. Ta đặt m = 2k – n. Xét n số không âm a1, a2, ..., an có trung bình cộng là μ. Xét tiếp m số an+1, an+2, ..., an+m sao cho an+1 = an+2 = ... = an+m = μ. Như vậy ta áp dụng bất thức n + m = 2k số như sau a1 + a 2 +... + a n + a n+1 + a n +2 +... + a n+m ³ (n + m) n+m a1a 2 ...a n a n+1a n+2 ...a n+m Û (n + m)μ ³ (n + m) n+m a1a 2 ...aμn. m. Û μ n+m ³ a1a 2 ...a n μ m Û μ n ³ a1a 2 ...a n. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bất đẳng thức Bunyakovsky – Cauchy – Schwarz (B.C.S) Với mọi a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn ta luôn có (a1b1 + a 2b 2 +... + a n b n )2 £ (a12 + a 22 +... + a 2n )(b12 + b 22 +... + b 2n ) a1 a 2 a 3 a = = = ....... = n bn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b1 b 2 b3. Đặc biệt: nếu a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn > 0 b12 b 22 b 2 (b + b 2 +... + b n ) 2 + +... + n ³ 1 a1 a 2 an a1 + a 2 +... + a n b1 b 2 b3 b = = = ....... = n an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a 2 a 3. Chứng minh bất đẳng thức B.C.S 2 2 2 2 2 Xét n = 2: (a1b1 + a 2 b 2 ) £ (a1 + a 2 )(b1 + b 2 ). Û a12 b12 + 2a1a 2 b1b 2 + a 22 b 22 £ (a12 b12 + a12 b 22 + a 22 b12 + a 22b 22 ) Û 0 £ a12 b22 - 2a1a 2 b1b2 + a 22 b12 Û 0 £ (a1b 2 - a 2 b1 ) 2 (Đúng).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a1 a 2 = b b2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1b2 = a2b1 hay 2 2 2 2 2 2 2 Giả sử n = k ta có (a1b1 + a 2 b2 +... + a k b k ) £ (a1 + a 2 +... + a k )(b1 + b 2 +... + b k ) a1 a 2 a 3 a = = = ....... = k bk Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b1 b 2 b3. →. a1b1 + a 2 b2 +... + a k bk £ a12 + a 22 +... + a k2 . b12 + b22 +... + b 2k. Mặt khác:. a1b1 + a 2 b 2 +... + a k b k + a k+1b k +1 £ a1b1 + a 2b 2 +... + a k b k + a k +1b k+1. a 2 + a 2 +... + a 2. b 2 + b 2 +... + b 2k. 2 k và b = 1 2 Đặt a = 1 Áp dụng B.C.S cho bộ bốn số a, b, |ak+1|, |bk+1|:. ab + |ak+1||bk+1| ≤ →. a 2 + a 2k+1 . b 2 + b2k+1 = a12 + a 22 +... + a 2k+1 . b12 + b 22 +... + b2k+1. a1b1 + a 2 b2 +... + a k bk + a k +1b k +1 £ a12 + a 22 +... + a k2+1 . b12 + b 22 +... + b k2+1 a a1 a 2 a 3 a = = = ....... = k = k+1 b1 b 2 b3 b k b k +1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Nên n = k + 1 vẫn đúng Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 2 BÀI TẬP MINH HỌA. A=. a 2. +. b 2. +. c. 1+ b 1+c 1+a Bài toán 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn giải Nhận xét do tính đối xứng của (a; b; c) nên đẳng thức có thể xảy ra khi a = b = c = 1. a 2. =a-. Ta có: 1 + b mà 1 + b² ≥ 2b a 2. ³ a-. 2. ab 2 1 + b2. ab 2. → 1+ b Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế: 1 A ≥ a + b + c – 2 (ab + bc + ca). (1) Mặt khác 2ab ≤ a² + b²; 2bc ≤ b² + c²; 2ca ≤ c² + a² → 2ab + 2bc + 2ca ≤ 2(a² + b² + c²) → ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² → 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² = 9 → ab + bc + ca ≤ 3 (2) 3 Vậy từ (1) và (2) ta được A ≥ 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. ïìï a = b = c í ïïî a + b + c = 3. hay a = b = c = 1. Bài toán 2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn giải. A=. 1+ a 1 + b2. +. 1+ b 1 + c2. +. 1+ c 1+a 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1+a 2. = (a +1) -. b 2 (a +1). b(a +1) 2. ³ (a +1) -. 2. 1+ b Ta có 1 + b Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được 3+. a + b + c ab + bc + ca 2 2. A≥ Mà 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² = 9 → ab + bc + ca ≤ 3 Từ đó suy ra A ≥ 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài toán 3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c , d ta luôn có a3 2. a +b. 2. +. b3 2. b +c. 2. +. c3 2. c +d. 2. +. d3 2. d +a. 2. a +b +c +d 2. ³. Hướng dẫn giải a3 2 2 Ta có a + b. =ab3. 2. Tương tự: b + c. 2. ab 2 a 2 + b2 ³ b-. b 2. ³ a-. c3. c ; 2. 2. c +d a. 3. 2. 2. +. ³ c-. 2. b. 3. 2. 2. +. d3. d ; 2. 2. d +a c. 3. 2. 2. +. 2. ³ d-. d3 2. 2. ³. b +c c +d d +a Cộng vế theo vế ta được: a + b Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ,ta luôn có a3 2. a + ab + b. 2. +. b3 2. b + bc + c. + 2. c3 2. c + ca + a. 2. ³. a 2. a +b +c +d 2. a + b +c 3. Hướng dẫn giải Ta có a3 a 2 + ab + b 2. =a-. ab ( a + b) a 2 + ab + b 2. ³ a-. ab ( a + b ) a +b =a3ab 3. Chứng minh tương tự b3 b 2 + bc + c 2. ³ b-. b +c ; 3. c3 c 2 + ca + a 2. ³ c-. c +a 3. Cộng vế theo vế được điều phải chứng minh Bài toán 5. CHo a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p. Chứng minh rằng: abc a. (p – a)(p – b)(p – c) ≤ 8 æ ö 1 1 1 1 1 1÷ + + ³ 2ç + + ÷ ç ÷ ç èa b c ø b. p - a p - b p - c. Hướng dẫn giải a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương p - a +p - b c = (1) 2 2 p - b +p - c a (p - b)(p - c) £ = (2) 2 2 p - c +p - a b (p - c)(p - a) £ = (3) 2 2 (p - a)(p - b) £. Nhân vế theo vế (1), (2), (3) ta được đpcm. b. Áp dụng bất đẳng thức ta có.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 4 4 + ³ = p- a p- b p- a +p- b c 1 1 4 4 + ³ = p- b p- c p- b +p- c a 1 1 4 4 + ³ = p- c p - a p - c +p - a b. Cộng vế theo vế ta được đpcm BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 a2. Chứng minh 1 + 2b. + 3. b2. c2 + ³ 1 1 + 2c3 1 + 2a 3 1 3. 3. Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a + b + abc Bài 3. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 4. a2. b2. 1 + c2d. +. c2. +. 1 3. 3. b + c + abc. +. 1 3. 3. c + a + abc. +£. 1 abc. d2. ³ 2 1 + d 2a 1 + a 2 b ab bc ca a +b +c + + £ 2 Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a + b b + c c + a 2 Chứng minh 1 + b c. +. +. Bài 5. Cho 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. Chứng minh (1 – x)(2 – y)(4x – y) ≤ 4. Đẳng thức xảy ra khi nào. 1 1 1 + + = 20 Bài 6. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1 1 1 + + £5 Chứng minh rằng x + y + 2z y + z + 2x z + x + 2y. Bài 7. Cho x, y > 0 và x² + y² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất A = x³ + y³. Bài 8. Cho x, y, z > 0 và x² + y² + z² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất A = x4 + y4 + z4. Bài 9. Cho x, y > 0; 0 < a < b; a, b nguyên và xa + ya = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất A = xb + yb. Bài 10. Cho x, y, z > 0, và x4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất A = x6 + y6 + z6. Bài 11. Cho x, y > 0 và 3x² + 4y² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất A = 5x³ + 6y³ Bài 12. Cho x, y > 0 và 7x² + 8y² = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất A = 9x³ + 10y³ 1 1 1 + + ³ 2 Bài 13. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 + a 1 + b 1 + c . Chứng minh rằng abc. ≤ 0,125. Gợi ý: 1/(1 + a) = b/(1 + b) + c/(1 + c) Bài 14. Cho ba số a, b, c > 0. Chứng minh (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + Bài 15. Cho ba số a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. b 2 + 2a 2 c2 + 2b2 a 2 + 2c2 + + ³ ab bc ca. 3. abc )³. 3. Chứng minh: Bài 16. Cho ba số a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c) 1 1 1 1 + + + ³ 3 Bài 17. Cho a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn điều kiện 1 + a 1 + b 1 + c 1 + d. Chứng minh rằng abc ≤ 1/81 1 1 x 2 + y 2 + + ³ 2( x + y) x y Bài 18. Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 19. Cho x, y là những số dương thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy +. 1 xy. biểu thức Bài 20. Cho x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 1 tìm giá trị lớn nhất, và nhỏ nhất của P = x + y + z + xy + yz + zx. Bài 21. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x + 9y. Bất đẳng thức vector Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0. 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ³ Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng Oxy gọi ba vectơ. 3(x + y + z).  y 3y  z 3z  x 3x a = (x + ; ) ; b = (y + ; ) ; c = (z + ; ) 2 2 2 2 2 2    3 3 Þ a + b + c = ( (x + y + z); (x + y + z)) 2 2       a + b + c ³ a +b +c. Theo bất đẳng thức vectơ: Þ. x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ³. 3(x + y + z). BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho ba số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 1 x2 +. Chứng minh rằng: Bài 2. Chứng minh rằng. 1 x. 2. + y2 +. 1 y. 2. + z2 +. 1 z2. ³. 82. 2 2 2 2 2 2 a. (a + b) + (b + d) £ a + b + c + d 2 2 2 2 2 2 b. (a + c) + b + (a - c) + b ³ 2 a + b. Bài 3. Cho ba số x, y, z > 0, chứng minh rằng x + y + z £ 3 x + y + z Bài 4. Chứng minh với mọi số thực x, y, z ta có xyz(x + y + z) ≤ x4 + y4 + z4. Định lí Lagrange Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại f '(c) . f (b)  f (a) b a. một điểm c thuộc (a; b) sao cho → Hệ số góc tiếp tuyến tại (c; f(c)) bằng với hệ số góc của cát tuyến AB. Bài toán 1. Tìm c trong công thức Lagrange với y = f(x) = x² – x trên đoạn [1; 5]. Hướng dẫn giải Hàm số liên tục trên đoạn [1; 5] và có đạo hàm trên khoảng (1; 5) nên theo Lagrange ta có f '(c) =. f (b) - f (a) b- a. <=> 2c – 1 = 5 <=> c = 3 a- b a a- b < ln < b b Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì a. Hướng dẫn giải Xét hàm số f(x) = ln x trên đoạn [b; a].

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1 Đạo hàm f’(x) = x xác định trên (b; a) ln a - ln b a a- b $c Î (a; b) : = f ¢(c) Þ ln = a- b b c Theo Lagrange ta có a- b a- b a- b < < c b Mà 0 < b < c < a suy ra a a- b a a- b < ln < b b Vậy a 1 n 1 < ln < n- 1 n- 1 Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu số nguyên n > 1 thì n 1 1 1 1 1 + +... + < ln n <1 + +... + n 2 n- 1 Suy ra: 2 3. Hướng dẫn giải Xét hàm số f(x) = ln x trên đoạn [n – 1, n] 1 Đạo hàm f’(x) = x xác định trên (n – 1, n). Theo Lagrange: ln n - ln(n- 1) n 1 = f '(c) Þ ln = n - (n - 1) n- 1 c 1 1 1 < < Mà 0 < n – 1 < c < n → n c n - 1 1 n 1 < ln < n- 1 n- 1 → n $c Î (n - 1; n) :. n = 2: 1/2 < ln 2 < 1 n = 3: 1/3 < ln 3 – ln 2 < 1/2 ... n = n: 1/n < ln n – ln (n – 1) < 1/(n – 1) 1 1 1 1 1 + + + < ln n <1 + + + n 2 n- 1 Cộng vế theo vế, ta được 2 3. Bài toán 4. Cho phương trình: ax² + x + c = 0 (a khác 0). Biết 6a + 3b + 2c = 0. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 3). Hướng dẫn giải 1 1 f (x) = x 3 + bx + cx 3 2 Xét hàm số. Đạo hàm f’(x) = ax² + bx + c Áp dung Lagrange trên đoạn [0; 3] $x Î (0;3) :. f (3) - f (0) = f '(x) = 6a + 3b + 2c = 0 (3 - 0). Vậy phương trình: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ít nhất một nghiệm trong (0; 3)..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>