4 bai hinh hoc phang hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG. Bài 1: Cho tam giác ABC cố định. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm di động trên BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF luôn đồng quy ở O. Xác định vị trí các điểm D, E, F sao cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.. S BDF x  ; S ABC  x  1  z  1   S DEF S ABC .  1  . S DEF . SCED y  S ABC  x  1  y  1.   x y z        1  z   1  x   1  x   1  y   1  y   1  z   . Cauchy 2S 1  S 4 1 x 1 y  1  z . Dấu “=” xảy ra  D, E , F lần lượt là trung điểm các đoạn BC , CA, AB .. Bài 2: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d  (O ) . Gọi E là chân đường vuông góc từ O tới d . M  d  E . Từ M kẻ 2 đường tiếp tuyến tới (O ) là MA, MB . Gọi C , D lần lượt là hình chiếu của E lên MA, MB . Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố. DB EC FA x;  y; z EA FB Đặt DC. định.. Do AD, BE , CF luôn đồng quy tại O , ta có định lý Mê-nê-la-uýt: DB EC FA . . 1  xyz 1 DC EA FB ;. S DEF S ABC   S AEF  S BDF  SCED . S AEF AE. AF  S AB. AC ABC Mà. EC EA 1 EA 1 y     EC y AC y  1 Do EA. Và. FA AF z S z z    AEF  FB AB z  1 S ABC  y  1  z  1. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:. Giả sử CD  OE F ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Từ E kẻ EK  AB K ; AB  OE H. Dễ dàng chứng minh. OH .OE R 2  OH . T. R2 const  H OE cố định.. AA2 BB2 CC 2   A1 A2 B1B2 C1C 2. Trước hết ta dễ dàng chứng minh các điểm A, O, B, E , M cùng thuộc.  E   AMB  đường tròn đường kính OM. Mà ta lại có:.  EC  MA   ED  MB  CDK  EK  AB . là đường thẳng Xim-sơn của MAB.  C , D, K thẳng hàng.. Do tứ giác OBEM nội tiếp  MOE MBE DBE (1) Ta lại dễ dàng nhận thấy tứ giác DBKE nội tiếp. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Nối A2C ..  DBE DKE.   Ta có: Do CC2 là phân giác góc C nên C2 A C2 B. (2). Từ (1) và (2) suy ra FKE FOM FEK (do OM / / EK ).  FEK cân ở F  FE FK Mà HKE vuông ở K  FH  FE  F cố định Mà F  CD  CD luôn đi qua một điểm cố định..   Tương tự: AA2 là phân giác góc A nên A2 B  A2C      Suy ra A2C  C2 A C2 B  A2 B  A2C2  A2 IC A2CI  A2 IC cân  A2 I  A2C (1) Chứng minh tương tự: A2 I  A2 B. O . Bài 3: Cho ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn Các đường phân giác AA1; BB1 ; CC1 lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ hai là A2 ; B2 ; C 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:. Ta cũng có: A2CA1 A1 AB A2 AC  A2 A1C A2CA 2.  A2 A1. A2 A  A2C  A2 I. 2. . (do (1)). A2 A A2 I  A2 I A2 A1. (2).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Do tứ giác ABA2C nội tiếp, áp dụng định lý Ptôlêmê: AA2 b  c  A2 I a. c. A2C  b.A2 B a. AA2 . (3) 2. A2 A A2 I  b  c  A2 A  b  c  .      A I A A a A A    a  2 2 1 2 1 Từ (2) và (3) suy ra: 2. B2 B  c  a  C2 C  a  b     ;  C2C1  c  Tương tự: B2 B1  b  2. 2.  b c   c a   a b   T        a   b   c . Trước hết, ta thấy các tứ giác AEBD, ADFC nội tiếp. 2. 2 Bunhyakovski. . 2.   1  b c c a a b    3   a   b   c   M . 2.  ACD ACB AFD AFE   ABC AEF  g .g . AED AEC ABD ABC Mà M , N lần lượt là trung điểm các đoạn BC , EF ..  1 1 1 M  3  a  b  c      9  M 6  T 12 a b c. BAM EAN  EAB NAM   ABM AEN   EA AB   NA AM . Dấu “=” xảy ra  a b c  ABC đều..  EAB NAM (c.g .c.)  AEB ANM 90. Vậy Tmin 12  ABC đều.. Bài 4: Cho ABC và điểm D là chân đường cao kẻ từ A xuống BC . Đường thẳng EF đi qua D sao cho AEB AFC 90.  E , F  D  . Gọi. M , N lần lượt là trung điểm các đoạn BC , EF . Chứng minh rằng: ANM 90 ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span>