de Thi thu HSG toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Cấp độ Chủ đề. Nhận biết. 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. Giải phương trình. Biết phân tích đa thức thành nhân tử rồi Giải phương trình 1 0,75đ 7,5%. Số câu Số điểm Tỉ lệ % Rút gọn phân thức rồi tính giá trị biểu thức. Số câu Số điểm Tỉ lệ % Chứng minh tính chia hết Số câu Số điểm Tỉ lệ % 3. Tam giác đồng dạng. Tính diện tích tam giác, đa giác Số câu Số điểm Tỉ lệ % Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTNN Số câu Số điểm Tỉ lệ % Tổng số câu: Tổng số điểm: Tỉ lệ:. Thông hiểu. Vận dụng Cấp độ thấp. Biết phân tích đa thức thành nhân tử bậc cao 1 0,75đ 7,5%. Cấp độ cao Biết phân tích đa thức thành nhân tử để cm là số chính phương 1 3 0,75đ 2,25đ 7,5% 22,5% Biết Rút gọn phân thức rồi tính giá trị biểu thức 1 1 1đ 1đ 10% 10%. 1 1đ 10%. Biết Chứng Biết tìm hệ số để minh tính chia đa thức chia hết hết 1 1 1đ 1đ 10% 10% Vận dụng đươc các trường hợp đồng dạng của tam giác để giải toán 1 1đ 10%. Sử dụng công thức tính diện tích để chứng minh đẳng thức 1 1đ 10%. 2 1,75đ 17.5%. Biết tìm GTNN của phân thức 1 0,75đ 7,5% 3 2,5đ 25%. Biết sử dụng cô si để chướng minh 1 1đ 10% 4 3,75đ 37,5%. Chỉ ra được định lí talet trong tam giác. 2 2đ 20% 1. Cộng. 2 2đ 20%. 3 3đ 30%. 2 1,75đ 17.5% 11 10,0đ 100%.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013-2014 Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 150 phút) (Đề thi này gồm 01 trang).. ĐỀ GIỚI THIỆU. Câu 1: (1,5 điểm ) . 4 2 a) Phân tích đa thức x  2014 x  2013 x  2014 thành nhân tử 2 b) Giải phương trình: x  x  2013.2014 0. Câu 2: (2,0 điểm ) a) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 2014. Tính giá trị biểu thức: 2014a 2bc ab 2c abc 2   ab  2014 a  2014 bc  b  2014 ac  c  1 P= 2014 b) Cho a1 , a2 ,...a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 . 3 3 3 Chứng minh rằng: B a1  a2  ...  a2013 chia hết cho 3.. Câu 3: (1,5 điểm ) x 2  2 x  2014 A 2013 x 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. ( x khác 0) b) Tìm số tự nhiên n sao cho số A = n +2014 là số chính phương. 2. Câu 4: (2,0 điểm ) 3 2 a) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  6 b) Cho a , b , c là độ dài ba 3 cạnh của một tam giác và abc = 2014. a 2bc ab 2 c abc 2   6042 Chứng minh rằng :A = b  c  a a  c  b a  b  c. Câu 5: (3,0điểm ) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng: diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1. 1. 2. b) Chứng minh rằng AB + CD =MN . c) Chứng tỏ rằng bình phương diện tích tam giác AOD bằng tích diện tích tam giác AOB với diện tích tam giác DOC. Từ đó tính diện tích hình thang ABCD. Biết SAOB= 20132 (đơn vị diện tích); SCOD= 20142 (đơn vị diện tích).. --------------------Hết-------------------Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ) PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH ĐỀ GIỚI THIỆU. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013-2014 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài 150 phút. Câu ý Nội dung 4 2 Câu 1 a Ta có x  2014 x  2013 x  2014 1,5đ 0,75đ  x 4  x   2014 x 2  2014 x  2014. Điểm 0,25.  x  x  1  x 2  x  1  2014  x 2  x  1. 0,1.  x 2  x  1  x 2  x  2014 . 0,15 0.25.  x 2  x  1  x 2  x  2014  4 2 Kết luận x  2014 x  2013 x  2014  x 2  x  2013.2014 0 b 0,75đ  x 2  2014 x  2013x  2013.2014 0. 0,1 0,15 0,1 0,15.  x( x  2014)  2013( x  2014) 0  ( x  2014)( x  2013) 0  ( x  2014) 0   ( x  2013) 0. 01.  x 2014   x  2013  2013; 2014. Câu 2 2.0đ. a 1,0đ.  Vậy phương trình có tập nghiệm S =  2014a 2bc ab 2c abc 2   ab  2014 a  2014 bc  b  2014 ac  c  1 P= 2014a b c   abc.      ab  2014a  2014 bc  b  2014 ac  c  1  =. Thay abc = 2014 vào P ta có:. (. P = abc.. abca b c + + ab+ abca+ abc bc+ b+abc ac+ c+1. abca b c + + ac+ c+1 ab. (1+ ac+ c) b .(c +1+ac). = abc.. [. = abc.. (acac +c +1 +ac+1c+ 1 + ac+cc+1 ) ac+ c+1. = abc. ac+ c+1. = abc = 2014. 3. ]. ). 0,15. 0,25 0,25. 0,15 0.1 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b 1,0đ. 3. Dễ thấy a  a a (a  1)(a  1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 3 3 3 Xét hiệu B  (a1  a2  ...  a2013 ) (a1  a2  ...  a2013 )  (a1  a2  ...  a2013 ) 3 (a13  a1 )  ( a23  a2 )  ...  (a2013  a2013 ). Mà a1 , a2 ,...a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 Do vậy B chia hết cho 3. Câu 3 a 2014 x  2 x.2014  2014 1,5đ 0,75đ A = 2013.2014 x 2 2. 0,25. chia hết cho 3 2014. 2. 0,25. 3 .. 0,25 0,25. 2. 2. 2. x  2 x.2014  2014 2013x 2 2 2013.2014 x = + 2013.2014 x ( x  2014)2 1 1   2 = 2013.2014 x 2014 2014 1 A min = 2014 khi x - 2014 = 0 hay x = 2014. b Giả sử 2014 + n2 là số chính phương thì 2014 + n2 = m2 (m  N ) 0,75đ Từ đó suy ra m2 - n2 = 2014  (m + n) (m – n) = 2014 Như vậy trong 2 số m + n và m – n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn.. 0,25 0,25 0,15 0.1 0,15 0,1 0,15. 0,25.  (m + n) (m – n)  4 nhưng 2014 không chia hết cho 4  Điều giả sử sai.. Câu 4 2,0đ. a 1,0đ. b 1,0đ. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phương. 2 f(x) chia hết cho x  x  6  f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)  f(- 3) = 0   3a  b 27 (1) Tương tự ta có f(2) = 0  2a  b  8 (2) Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được: - 5a = 35  a  7 Thay a = - 7 vào (1) tìm được b = 6 a b c   ) b c  a a c  b a b  c Ta có A = a b c 2014(   ) b c  a a c  b a b  c A= abc(. Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz xy ;b  ;c  2 2 ; Từ đó suy ra a= 2 yz xz x y A 2014(   ) 2 x 2 y 2 z Thay vào ta được. 4. 0,1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,15 0,1 0,15 0,1 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 y x x z y z  A 2014.  (  )  (  )  (  )  2 x y z x z y  y x  2 x y Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ta có. Từ đó suy ra A 1007(2  2  2) hay A 6042 Câu 5 3,0đ. B. A. M. 0,25 0,25. O. N. C. D. a Vì AB//CD ⇒ S DAB S CAB (có cùng chiều cao so với đáy 0,75đ AB). 0,25. S DAB  S OAB S CAB  S OAB => b 1,0đ. Xét xét. 0,25. S AOD S BOC OM DM = AB AD OM AM = Δ ADC do OM//DC => DC AD Δ ABD do OM//AB =>. (1),. 0,25. (2). 0,1. 1 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1. 1 1 Từ đó có (OM + ON). ( AB + CD )=2. OB S AOB OB S BOC   S AOD OD , S DOC OD. ⇒. ⇒. 0,25 0,15. 1. Chứng minh tương tự ON. ( AB + CD )=1. c 1,0đ. 0,25. 1 1 2 + = AB CD MN. S AOB S  BOC S AOD S DOC. 0,25 0,25 0,1. ⇒. S AOB .S DOC S BOC .S AOD. S S BOC Chứng minh được AOD ⇒. 0,25. S AOB .S DOC (S AOD )2. Thay số 20132.20142 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2013.2014. 0,15. Do đó SABCD = 20132 + 2.2013.2014 + 20142 = (2013 + 2014)2 = 40272 (đơn vị DT). 0,25. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tổng 10 Ghi chú: Học sinh có thể làm bằng cách khác nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. x 3  2x 2  x  2 x3  x Bài 1 Cho biểu thức: A =. a) Rút gọn A b) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên. Tìm các giá trị nguyên đó của A. Bài 2 : Giải các phương trình: a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = 0. 4 1  1  4   1 0 2 x (x  1) x x  1   b) 2. 1 1 1  2  2 6 2 m n p Bài 3 : a) Cho các số m, n, p thỏa mãn : . 4 4 4 Tính giá trị của biểu thức A = m + n + p . b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 2y2 – 2x – 4y + 1 = 0. Bài 4 : Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB < CD) có các đường phân giác trong của các góc A, B, C, D cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, DC. m2  n 2  p2 . . . a) Chứng minh: AOD BOC 90 b) Chứng minh: AH.DK = BH.CK c) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AD và BC, EH cắt CD tại F. Chứng minh: CF = DK. Bài 5 : Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 1  1  1  a    b   c   P =  a   b  c  x2  x   4 x  1   x  3    2  : 1 x  2x  3 3  x   x  2   Bài 1 : Cho biểu thức P =. a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -2 Bài 2 : Giải các phương trình sau: 2. x2 . c) Tìm x để P < 0. 1 1 x  2 x x. a) x + 3x – 4 = 0 b) c) | x | + | x – 1| = 5 2 2 Bài 3 : a) Cho biểu thức M = x + xy + y – 3x – 3y + 2011. Với giá trị nào của x và y thì M đạt giá trị nhỏ nhất. x2 y2 z2   b) Tính giá trị của biểu thức: A = y  z z  x x  y . x y z   1 Biết rằng các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : y  z z  x x  y. Bài 4 : Cho tam giác ABC có AK là trung tuyến. Từ điểm I trên cạnh BC kẻ đường thẳng a song song với AK cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh : a) AC. AM = AB. AN b) MI + NI = 2.AK Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Trên AB và AD lấy M, N sao cho AM = AN. Kẻ AH vuông góc với MD. Chứng minh : a) AHN DHC b) CH2 + HN2 + ND2 + DC2 = MC2 + NC2. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>