SKKN: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn Đại số

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

3) Nhiệm vụ của đề tài:
3.1 Đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với
trình ®é nhËn thøc cđa häc sinh THCS
3.2 Trang bÞ cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức ,áp dụng
để giải bài tập.
3.3 Rút ra một số nhận xét và chú ý cho từng phơng pháp.
3.4 Chọn lọc ,hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng
pháp giải.
3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị,giải một số phơng
trình không mẫu mực .
4) Phạm vi đề tài.
Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức (phân
môn đại số) đối với học sinh khá, giỏi lớp 8,lớp 9.
5) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành.
Đề tài áp dụng với học sinh líp 8 vµ líp 9 . TiÕn hµnh thùc hiện đề tài trong
các giờ luyện tập,ôn tập cuối chơng, cuối kỳ và cuối năm đặc biệt là trong các
giờ phụ đạo học sinh giỏi ,ôn thi cấp 3.
6) Dự kiến kết quả của đề tài.
Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc một số bài tập về bất đẳng
thức đơn giản,hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn,ngại làm bài tập về
bất đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng
thức,làm bài tập tốt hơn,tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức dạng tơng
tự,hạn chế đợc sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.

1
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

1


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

B. Nội dung và phơng pháp giải quyết
Phần I: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
1, Định nghĩa
* a>b a -b>0

* a≥b ↔ a -b≥0

*a
* a≤b ↔ a -b0

2, Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thøc :
*

a>b ↔b
*

a > b vµ b > c → a > c (tính chất bắc cầu)

(tính chất đối xứng)

* Tính chất đơn điệu của phép cộng:
a>b a+c>b+c

Hệ quả :

a>b → a-c>b-c

* a > b vµ c > d → a + c > b + d
a > b vµ c < d → a - c > b - d
Chú ý: Không đợc trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều
*Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dơng thì bất đẳng thức
không đổi chiều
a > b vµ c > 0 → ac > bc
* Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì bất đẳng thức đổi
chiều
a > b và c < 0 ac < bc
2
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

2


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

*Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm:
a ≥ b ≥ 0 ; c ≥ d ≥ 0 → ac ≥ bd ≥ 0
*N©ng lịy thõa tõng vÕ của bất đẳng thức
a > b > 0 an > bn víi mäi n
→ an > bn víi n lẻ .

a>b

>

an > bn với n chẵn

* So sánh hai lịy thõa cïng c¬ sè
m > n > 0 và a > 1 thì am > an
m > n > 0 và 0 < a < 1 thì am < an
* Lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức của hai số cùng dấu thì đổi
chiều bất đẳng thức
a < b và ab > 0 thì

>

3, Một số bất đẳng thức cần nhớ :
* a2 0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
* ≥ 0 víi mäi a, dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = 0
* -≤a ≤
*

≤ + , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab 0

*

-

* Bất đẳng thức Côsi :

Với 2 số dơng a , b ta có :

a+b

ab
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
*Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
3
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

3


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Với mọi số a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

≤

(a2 + b2)(x2 + y2)

a b
=
x y

II. Mét sè ph¬ng pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phơng pháp1: Dùng định nghĩa
- Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B , ta cÇn chØ ra r»ng

A-B≥0.
- Lu ý các hằng đẳng thức:
( a b)2 = a2 2ab + b2 ≥ 0
( a +b +c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca ≥ 0
- VÝ dơ :
Bµi 1.1 :
Chøng minh r»ngvíi mäi x,y ta luôn có :
x2 +



xy

Giải :
Xét hiệu : A = x2+

- xy = =

≥

0
x,y

=> A

≥

0 víi mäi x,y x2 +

Dấu '' = '' xảy ra

xy (đpcm)

2x = y

Bài 1.2 :
Víi mäi sè : a, b, c chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 +3

≥

2(a + b + c)

Giải :
4
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

4


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Ta xét hiệu : B = a2 + b2 + c2 +3 - 2( a + b + c)
= a2 + b2 + c2 +3 - 2a - 2b - 2c
= (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1)
= (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2
≥

Do (a - 1)2
(b - 1)2

≥
≥

(c - 1)2

0

a

0

b

0

c

→ A =(a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2
Hay a2 + b2 + c2 +3

≥

≥

0

a, b, c

2(a + b + c)

a, b, c .

DÊu b»ng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bµi 1.3 : Chøng minh r»ng víi mäi x,y ta lu«n cã:
x2 + y2 +1

≥

xy + x + y

Gi¶i :
Ta xÐt hiƯu

C = x2 + y2 +1 - xy - x -y

= ( 2x2 +2 y2 +2 - 2xy - 2x -2y )
=
=
Do (x - y)2
(x - 1)2
(y - 1)2

0

x,y

0

x

0

y

5
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

5


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

C=



0

x,y

Hay x2 + y2 +1



xy + x + y

Dấu bằng xảy ra khi và chØ khi x = y = 1
Bµi 1.4 :
Chøng minh bất đẳng thức :

a)
b)

a2 + b2 a + b


2
2

2



c) HÃy tổng quát bài toán.
Giải :
a2 + b2  a + b 
−

2
 2 

a) XÐt hiÖu : D =

=

2

2(a 2 + b 2 ) − ( a 2 + 2ab + b 2 )
4

=

1
1
(2a 2 + 2b 2 − a 2 − b 2 − 2ab) = (a − b) 2 ≥ 0
4
4

a, b.

DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b .
b) Häc sinh làm tơng tự câu a
c) Tổng quát


Lời bình: Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa là
một phơng pháp đơn giản và phổ biến .Với hệ thống bài tập giáo viên đa ra từ
6
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

6


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp đà tạo cho học sinh có hứng thú học tập
ban đầu khi tiếp cận với dạng toán bất đẳng thức.
2.Phơng pháp2: Sử dụng tính chất bắc cầu
- Kiến thức : A B và B C th× A C
- Lu ý : +
+

0 x 1 th× x2 x

(v× x - x2 = x (1 - x) )

(1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz

Bµi tËp 2.1:
Cho 0 x, y, z 1 chøng minh r»ng:
a) 0 x+ y + z - xy - yz - zx 1
b) x2 + y2 +z2 1 + x2 y + y2 z + z2x
Lêi giải:
a) Vì 0 x, y, z 1 nên ta có: (1 - x) 0 , (1 - y) 0 , (1 - z) 0
Do ®ã: x+ y + z - xy - yz - zx
= x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) 0

(1)

Mặt khác ta cã: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz 0
→ x+ y + z - xy - yz - zx 1 -xyz 1

(2)

( vì xyz )

Từ (1) và (2) ta có 0 x+ y + z - xy - yz - zx 1 (®pcm)
b)Ta chøng minh: x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x 1
Ta cã : x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x = x2(1 - y) + y2 (1 - z ) + z2 (1 - x)
x(1 - y) + y(1 - z) + z (1 - x) (vì x2 x, y2 y, z2 z )
Do đó : x2+ y2+ z2 - x2y - y2z - z2x 1 ( theo c©u a)
VËy

x2 + y2 +z2 1 + x2 y + y2 z + z2x

Bài 2.2:
7
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

7


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Cho a,b,c là số đo độ dài ba cạnh tam giác có chu vi b»ng 2.
Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 +2abc < 2 .

Lêi gi¶i:
Tríc hÕt ta chøng minh a, b, c < 1. ThËt vËy nÕu a 1 th× tõ b+ c > a 1
suy ra a + b + c > 2 trái giả thiết
Ta lại có (1-a)(1-b)(1-c) = 1 - a - b - c + ab + ac + bc - abc > 0
→ abc < ab + bc + ca - 1

(1)

( v× a + b + c = 2)

Mµ 4 = ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc )
→ ab + ac + bc = 2 -

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra abc < 2 - - 1
Hay a2 + b2 + c2 +2abc < 2 (đpcm
3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đà đợc chứng minh là đúng .
- Một số hằng đẳng thức thêng dïng :
* (A+B)2=A2+2AB+B2
* (A-B)2=A2-2AB+B2
* (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
* (A+B)3=A3+3A2B+3AB2 + B3
Bµi 3.1:
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x , y , z ta lu«n cã:
x2+ 2y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2z - 2 (1)
Lời giải:
8

Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

8


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Vì x , y , z là các số nguyên nên:

x2+ 2y2 + 2z2

2xy + 2yz + 2z - 2

(x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2yz + z2) +( z2 - 2z + 1) + 1 0
(x- y)2 + (y - z)2 + (z - 1)2 + 1 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đà cho đợc chøng
minh.
Bµi 3.2:
Víi a , b , c > 0 chøng minh:

Lời giải:
Vì a , b , c > 0 nên:
a2 + b2 + c2

2 (bc + ac - ab)

a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab 0
( a + b + c )2 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đà cho đợc chứng
minh.
Bài 3.3:
Chứng minh rằng: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1

x

Lời giải:
Ta có (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1
(x2 - 7x + 6 )(x2 - 7x + 12) + 9 0
9
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

9


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

(x2 - 7x + 9 - 3 )(x2 - 7x + 9 + 3) + 9 0
(x2 - 7x + 9 )2 - 9 + 9 0
(x2 - 7x + 9 )2 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đà cho đợc chứng
minh
Bài 3.4 :
Chứng minh bất đẳng thức :
a3 + b3  a + b 
≥


2
 2 

3

; trong ®ã a > 0 ; b > 0

Lêi gi¶i :
Víi a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

Ta cã :

a 3 + b3  a + b 
≥

2
 2 

3

 a+b 2
 a+b a+b
2

.( a − ab + b ) ≥ 
 

 2 
 2   2 

2

.

a2 - ab + b2

a+b


≥  2 

4a2 - 4ab + 4b2
3a2 - 6ab + 3b2

≥
≥

2

a2 + 2ab + b2
0

3(a + b)2 0

Bất đẳng thức cuối cïng ®óng víi mäi a , b. Suy ra :

a3 + b3  a + b 
≥

2

 2 

3

10
Ngun ThÞ Hoµng Hoan

Trêng THCS Hång TiÕn

10


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Bài 3.5:

Cho 2 số a, b tho¶ m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab

1
≥ 2

Lêi gi¶i :

Ta cã : a3 + b3 + ab

1
≥ 2

a3 + b3 + ab -

(a + b)(a2 - ab + b2) + ab -

a2 + b2 -

1
2 ≥

2a2 + 2b2 - 1

0
≥

( 2a - 1 )2

≥

≥

0

0

( V× a + b = 1)
0

2a2 + 2(1-a)2 - 1
4a2 - 4a + 1

1
2 ≥

1
2 ≥

≥

0

( v× b = a -1 )

0

0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng . VËy a3 + b3 + ab

1
≥ 2

1
2

DÊu '' = '' xảy ra khi a = b =
Bài 3.6: Nếu a >b >0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n

thì

a m bm a n bn
>
a m + bm a n + bn

(1)

Lời giải :
11
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trêng THCS Hång TiÕn

11


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Thật vậy ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh
a m bm a n − bn
>
a m + bm a n + bn
a m + b m − 2b m a n + b n − 2b n
>
⇔
a m + bm
an + bn

⇔

⇔

⇔

1-

2b m
2b n
2b m
2b n
> 1− n
⇔− m
>− n
a m + bm
a + bn
a + bm
a + bn

m

n

bm
bm

bn
bn

b
b
< n
⇔ m
<
m

a
b m a n bn
a +b
a + bn
+
+
bm bm bn bn
m

1
m

a
+1
bm

<

1
n

a
+1
bn

am
an
⇔ m +1 > n +1
b
b

⇔

am an
a
a
> n ⇔ ( )m > ( )n
m
b
b
b
b

(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên
(1) luôn đúng

a
>1
b

và m>n vậy bất đẳng thức

Bài tập tự giải:
Bài 3.7 Cho a>b>0 CMR:
12
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

12


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
a 2011 b 2011
a 2011 + b 2011

>

a 2010 − b 2010
a 2010 + b 2010

3. Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức phụ và bất đẳng thức quen thuộc .
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức phụ nh:
* x 2 + y2 2 ,
* x+

(víi x 0),

* x2 + y2 + z2 xy + yz + xz

* +

( x , y)

Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên :
* x 2 + y2
* x 2 + y2

≥

≥

2xy ,
4xy

*Víi ab > 0 ,

a b
+ ≥2
b a

* Víi ab < 0 ,
*
Chứng minh một số bất đẳng thức phụ và hệ quả:
1) Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 2
Ta có : x2 + y2 2

1.1)
1.2)

0 (luôn đúng)

Ta có x2 + y2 2 2xy
Ta cã (x + y)2 x2 + y2 4xy

2) Chứng minh bất đẳng thức:
13
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trêng THCS Hång TiÕn

13


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

x+

(với x 0),

x2 + 1 2x x2 + 1 - 2x 0 (x - 1)2 0 ( luôn đúng)
3) Chứng minh bất đẳng thức:

x2 + y2 + z2 xy + yz + xz

Ta cã: x2 + y2 + z2 xy + yz + xz 2 x2 +2 y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2xz
( x2 - 2xy + y2 ) + ( x2 - 2yz + z2) + (y2 - 2 xz + z2 ) 0
(x - y)2 + (x - z)2 + ( y - z)2 0 (luôn đúng)
4) Chứng minh bất đẳng thức:

+

( x , y)

Vì x , y nên ta có :
+

(x + y)2 4xy

(x - y)2 0 (luôn đúng)

Chúng ta còn dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki ,
bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh .
Các vÝ dơ :
Bµi 4.1: Cho a,b tháa m·n a2 + b2 2, chứng minh:
-2

a+b 2

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức phụ : a2 + b2

2ab và giả thiết a2 + b2 2

ta

suy ra 2ab 2 hay ab 1
L¹i cã : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 2 + 2 = 4
Suy ra 2 do đó - 2
Bài 4.2: Cho

a + b 2 (®pcm)

0 a , b , c , d 1 chøng minh r»ng:
( a + b + c + d + 1)2 4 (a2 + b2 + c2 + d2)

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức phụ : x2 + y2

4xy ta có:

14
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

14


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

( a + b + c + d + 1)2 4 (a + b + c + d ) víi x = a + b + c + d và y = 1
Mặt khác v× 0 a , b , c , d 1 nªn a a2 , b b2 , c c2 , d d2
Nªn ( a + b + c + d + 1)2 4 (a2 + b2 + c2 + d2) (đpcm)
Bài 4.3: Cho a, b, c là các số dơng tho¶ m·n : a + b + c = 4
Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a)

≥

a3b3c3

Gi¶i:
Tõ : (a + b)2
→ 16

≥

→ a+b

≥

4ab , (a + b + c)2 =

4(a + b)c → 16(a + b)
≥

≥

[ ( a + b ) + c ] 2 ≥ 4( a + b ) c
4(a + b)2c

≥

16 abc

abc

T¬ng tù : b + c

≥

c+a

abc
≥

abc

→ (a + b)(b + c)(c + a)

≥

a3b3c3

Bµi 4.4 :
Chøng minh r»ng :
a)

b)

( a + b + c ).( +

+ ) 9

+ +

(§Ị thi chän häc sinh giái toán lớp 9 huyện Khoái Châu -Năm học 2008-2009 )

Lời gi¶i :
a ) Ta cã ( a + b + c ).( +

+ )

=1+ + + +1+ + + +1
=3+( + )+( +

)+( + ) 3+2+2+2

15
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

15


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Vậy ( a + b + c ).( +
b)

+ ) 9

(®pcm)

+ +
( + 1) + ( + 1) + ( + 1 )
+ +
(a + b + c ) . ( + + )
2 (a + b + c ) . ( + + ) 9

.( + + ) 9
Đặt x= a + b , y = b + c , z = c + a rồi áp dụng câu a ta có đpcm.
Bài 4.5 : Cho ba sè a , b , c tháa m·n ®iỊu kiƯn: a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh: -

ab + bc + ca 1

(1)

Lời giải :
Vì a2 + b2 + c2 = 1 nªn
-

-

ab + bc + ca 1

ab + bc + ca a2 + b2 + c2

Mµ - ab + bc + ca - (a2 + b2 + c2 ) 2ab +2bc + 2ca
( a + b + c )2 0 ( luôn đúng)
Lại có: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (luôn đúng - bất đẳng thức phụ)
Vậy bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh.
Bài 4.6: Cho 4 số dơng a , b , c , d . Chøng minh rằng:
+ +

+

2

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức phụ

( x , y > 0)

16

Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

16


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Ta có: + =
và

(1)

+ = (2)

LÊy (1) céng (2) ta cã:
++ +
Ta chøng minh:

2

(3)

(a - c )2 + (b - d)2 0

(4)

ThËt vËy : 4( + )
2 (+ )

- 4ac - 4bd 0

(4) lu«n đúng nên ta có (3) tức là có đpcm.
Bài 4.7:
Cho x , y là 2 số thực thoả mÃn :
x 1− y2 + y 1− x2

x 2 + y2 =
Chøng minh rằng : 3x + 4y



5

Lời giải :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
x 1

x 1 y2 + y 1− x2

(x + y ) = (
2

)

2 2

≤

2

(

y ≤1

;

)

(x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2)

( x 2 + y2 )

≤

2( x2 + y2)

2 - (x2 + y2)
≤

2

17
NguyÔn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

17

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

x 2 + y2



1

Ta lại có : (3x + 4y)2



3x + 4y

Đẳng thức xảy ra

Điều kiện :

(32 + 42)(x2 + y2)




25

5

2
2

x + y = 1

 x > 0, y > 0
 x y
 3=4


3

x = 5

4
y =
5


3
5
≤x≤
2
2

Bµi 4.8:
Cho a, b, c
a,
b,

≥

0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng :

a+b + b+c + c+a ≤ 6
a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

Gi¶i
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 sè ta cã :

(
(
→

)

(

a + b .1 + b + c .1 + c + a .1 ≤ (1 + 1 + 1)  a + b



a +b + b+c + c+a

)

2

) +(
2

b+c

) +(
2

)

2
c+a 



≤ 3.( 2a + 2b + ac) = 6

a+b + b+c + c+a ≤ 6

.

DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c =

1
3

18
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

18


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :
a +1

(a + 1) + 1 a
= +1
2
2

b +1 ≤

T¬ng tù :

b
+1
2

c +1

;

c
+1
2

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta ®ỵc :
a +1 + b +1 + c +1 ≤

a+b+c
+ 3 = 3,5

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

VËy :

Bµi 4.9 : Cho các số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = 1 .

Chøng minh r»ng :

1 1 1
+ + ≥9
a b c

Lêi gi¶i :

Ta cã :

Ta cã :

a b
+ >0
b a

,a,b>0

1 1 1
1 1 1
+ + =( + + )

a b c
a b c

1+

=

=

.1 =

1 1 1
( + + )
a b c

.(a + b + c)

a a b
b c c
+ + +1+ + + +1
b c a
c a b

a b
b c
c a
3+( + )+( + )+( + ) ≥
b a
c b
a c

3+2+2+2=9

19
NguyÔn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

19


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số



1 1 1
+ + ≥9
a b c

DÊu ''='' x¶y ra khi : a = b = c =

1
3

4. Phơng pháp 5: Dùng các tính chÊt cđa tØ sè
KiÕn thøc :
1) Cho ba sè d¬ng a, b , c khi đó
* Nếu < 1 thì

<

* Nếu

>

> 1 thì



Nếu b , d > 0 thì từ
Các vÝ dơ:

Bµi 5.1: Cho a , b , c lµ 3 số dơng , chứng minh rằng:
1< + +

<2

(Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 huyện Khoái Châu -Năm học 2001-2002 )

Lời giải:
Ta luôn có
Vì

<1

<

(1) (vì c > 0)

nên theo tính chất trên ta có:

(2)

< <

Từ (1) và (2) ta cã
T¬ng tù ta cã:

<

< <
< <

Céng vÕ víi vế ba bất đẳng thức kép trên ta có:
< + +

<

20
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

20


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Hay

1< + +

<2

(đpcm)

Bài tâp tơng tự tự giải:
Bài 5.2:
Cho a , b , c , d > 0 , chøng minh r»ng:
a) 1 < + + +
b) 2 < + + +

<2
<3

Bµi 5.3: Cho a , b , c là ba cạnh của tam giác , chứng minh rằng:
1< + +

<2

6. phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác



a
(1)

b < a+c

(2)

c < a+b

(3)

Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳng
thức về hiệu hai cạnh
ab < c

a
(4)
⇒ b−c < a

b < a+c (2)

(5)
⇒ c−a
c < a+b

(3)

(6)

Bài 6.1:
Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của
tam giác ) . Chứng minh rằng :

21
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

21


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số
1
1
1
+
+
2 ( 1 + 1 + 1)
p −a p −b p −c
a b c

Lời giải:

Ta có : p - a =

b+ca
>0
2

Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;

áp dụng bất đẳng thức phụ

+

( x , y) ,

1
1
4
4
+
≥
=
p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c

ta cã :

T¬ng tù :

1
1
4
+
≥
p−b p −c a
1
1
4
+
≥
p−a p−c b

2(

→
→

1
1
1
1 1 1
+
+
) ≥ 4( + + )
pa pc pc
a b c

điều phải chứng minh .

DÊu '' = '' x¶y ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
Bài 6.2:
Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR:


(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
Giải:
Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta biết:
22
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

22


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

b c < a ⇒ 0 < a 2 − (b − c ) 2 ≤ a 2
c − a < b ⇒ 0 < b 2 − (c − a ) 2 ≤ b 2

a − b < c ⇒ 0 < c 2 − (a − b) 2 ≤ c 2
a 2 − (b − c ) 2 b 2 − (c − a ) 2 c 2 − (a − b) 2 ≤ a 2b 2 c 2

Tõ ®ã:
⇔
⇔
⇔

(a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)
(a+b-c) (b+c-a) (c+a-b)
2

2

2

≤ a 2 b2 c 2

≤ a 2b 2 c 2

(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc

Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên
a+b-c >0
b+c-a >0
c+a-b >0

và abc > 0

Vậy bất đẳng thức đà cho đợc chứng minh

7. Phơng pháp 7 : Phơng pháp làm trội,làm giảm.
Dùng các tính chất của bất đẳng thức ,tính chất của tỉ số để đa một vế của
bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
Bài 7.1: Chứng minh rằng víi mäi n ta cã :
a) 1 + + + + … +

>

b) Chøng minh r»ng nÕu 0 < a1 < a2 < a3 < … < a9999 th×
< 11
( §Ị thi chän häc sinh giái to¸n líp 9 hun Khoái Châu -Năm học 2006-2007)

23
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng TiÕn

23

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Lời giải:
Với k > 1 ta cã :

<

=
→

= =

< 2 ()

Víi k = 2: th×

< 2 ()

Víi k = 3: th×

< 2 ()

…
Víi k = n: thì

< 2 ()

Do đó: + +

+ < 2 () <

Suy ra: +

+ +

+ < 1 +

=

(đpcm)

Bài 7.2:
Với mọi số tự nhiên n 1 ,chứng minh rằng:

<
Lời giải:
Ta có : =

<

=

Víi k = 1 ta cã :

<

Víi k = 2 ta cã :

<

…
Víi k = 1 ta cã :

<

Nh©n các bất đẳng thức trên theo từng vế ta đợc:

< .=

(đpcm)

Bài tập tự giải:
24
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hồng Tiến

24


Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

Bài 7.3:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
++ + <1
b) + + + <

c)

++ +

(
(

>

n1)

n1)

8. Phơng pháp 8 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đà cho về
dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đà biết cách giải ...
Các ví dụ :
Bài 8. 1 :
Chứng minh rằng : NÕu a , b , c > 0 th× :
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a b+a 2

Lời giải:
Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z

→ a+b+c=

→ a=

y+z−x
2

x+ y+z
2

, b=

z+x− y
2

, c=

x+ y−z
2

Khi ®ã :

VT =

a
b
c
+
+

b+c c+a b+a

=

y+zx z+x y x+ yz
+
+
2x
2y
2z

25
Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Trờng THCS Hång TiÕn

25