SKKN T6 Th 14

<span class='text_page_counter'>(1)</span>A. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác , tính hệ thống ,tính khoa học và tính lôgíc…, vì thế nếu chất lượng dạy học và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại , giàu tính nhân văn của nhân loại. Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. Trong đó việc nâng cao chất lượng mũi nhọn là một trong những vấn đề quan trọng để đánh giá chất lượng dạy học hiện nay. Yếu tố quan trọng để đánh giá chất lượng là phải có “nguồn” . Đó chính là những học sinh có tư chất , năng lực tốt, cùng với niềm đam mê học hỏi . Có được “nguồn” đó nhưng muốn phát huy được thì cần phải có hoa tiêu dẫn đường tin cậy. Không ai khác, để làm được điều đó chính là người thầy giáo. Từ những năm đầu còn non trẻ được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tôi đã luôn cố gắng tìm tòi đưa ra các dạng bài tập để nâng cao kiến thức cho các em . Các bài tập đó thường được lấy từ những bài khó ở sách giáo khoa hay sách bài tập và được góp nhặt từ các tài liệu tham khảo khác. Bước đầu tuy đã có kết quả nhưng còn rất khiêm tốn, nên tôi cảm thấy không hài lòng. Do đó tôi đã nhận thấy để nâng cao chất lượng giảng dạy thì người thầy giáo cần thực sự phải luôn tìm tòi, học hỏi, đúc rút kinh nghiệm để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ để đưa ra được nhiều phương pháp , biện pháp giúp cho học sinh hiểu thấu đáo các kiến thức ở sách giáo khoa, việc phân dạng, phân loại bài tập, hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải là việc làm quan trọng hơn là việc chỉ giúp cho học sinh có lời giải đúng. Sau một vài năm đựơc phân công trực tiếp tham gia bồi giỏi học sinh lớp 6 , tôi đã không ngừng học hỏi, tìm tòi để phân loại, phân dạng bài tập. Mỗi dạng bài tập đưa ra cách giải cụ thể thì tôi cảm thấy hiệu quả cũng đã tăng lên rõ rệt so với các năm trước..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chính vì thế, việc giúp đỡ các em nhận định dạng bài tập và tìm tòi cách giải, hiểu rõ bản chất của bài toán là rất cần thiết , để từ đó các em biết huy động kiến thức của mình để giải bài toán và đặc biệt hơn là từ một bài toán cơ bản các em đã biết khai thác sâu hơn về những bài toán có liên quan. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng sáng tạo trong việc giải toán. Tôi nghĩ đó là việc làm rất cần của người giáo viên. Với phạm vi hạn hẹp , tôi xin trình bày một số kinh nghiệm bản thân đã tìm tòi, đúc rút được khi dạy học sinh giải bài tập liên quan đến phân số tối giản với đề tài: “ Giải các bài toán liên quan đến phân số tối giản ”. Xin được đưa ra để các đồng nghiệp tham khảo và góp ý. ************************ B. Giải quyết vấn đề I) CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong nhiều năm qua từ việc học tập, nghiên cứu về thay đổi chương trình sách giáo khoa, về phương pháp dạy học theo hướng tích cực, đồng thời qua thực tế dạy học , những băn khoăn trăn trở, tôi đã rút cho bản thân mình được nhiều bài học bổ ích. Có nhiều cách dẫn dắt song với phương pháp đổi mới của sách giáo khoa hiện nay, để tạo cho học sinh một ‘luồng’ kiến thức có liên quan một cách logíc, có sức thuyết phục, dễ nhớ dễ hiểu và phát huy được tính sáng tạo ở học sinh. Trên cơ sở các bài tập đơn giản tường minh về phân số tối giản ở trong sách giáo khoa , thì mỗi bài toán ấy đưa ra không có qui tắc giải tổng quát mà mỗi bài toán chỉ có với số liệu riêng của nó đòi hỏi cách giải phù hợp. Điều đó cũng có tác dụng cho học sinh tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo.Nhưng nếu học sinh được tiếp cận với các bài tập ở các dạng khác cao hơn so với sách giáo khoa , khi đó học sinh sẽ lúng túng , chính vì thế khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi giáo viên phải tìm tòi, góp nhặt sáng cung cấp cho học sinh các dạng toán thường gặp khi chứng minh phân số tối giản (có tử và mẫu là những biểu thức chứa chữ) nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn.. II) THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) Khảo sát thực tế của đề tài: Qua quá trình bồi dưỡng học sinh mũi nhọn môn toán 6 ở các năm thì tôi đã nhận thấy một điều là các em khi bắt gặp dạng toán chứng minh phân số tối giản thì hầu hết các em đã biết đưa phân số đó về dạng mà cả tử và mẫu của nó không thể rút gọn được , còn khi bắt gặp những bài toán mà phân số cho dưới dạng tử và mẫu là những biểu thức chứa chữ (tham số )với yêu cầu chứng minh phân số đó là phân số tối giản hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số đã cho trở thành phân số tối giản …thì hầu hết các em gặp khó khăn, nếu các em có biết cách giải thì cũng chưa rèn được kỹ năng giải toán ở dạng này . Hơn thế nữa các em có thể mắc sai lầm trong khi giải loại tóan đó .Khi chưa áp dụng đề tài này trong quá trình bồi dưỡng thì tôi nhận thấy : Số HS không giải được. Số HS giải đem ra kết quả. Số HS giải đúng. sai 35%. 25%. 40%. b) Phân tích nguyên nhân : * Học sinh không giải được : - Do các em chưa hiểu được về khái niệm của dạng toán chứng minh phân số tối giản mà tử và mẫu là những biểu thức chứa chữ hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số đã cho trở thành phân số tối giản. - Có hiểu được khái niệm song chưa nắm bắt được các dạng toán * Học sinh giải dem ra kết quả sai: - Do mắc một số sai lầm thường gặp khi hiểu khái niệm chứng minh phân số tối giản hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số chưa logíc, chưa đầy đủ.. III) ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP Khi giải toán dạng này giáo viên cần cung cấp cho học sinh nắm vững kiến thức :.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> - Nắm được các kiến thức cơ bản có liên quan - Từ các kiến thức cơ bản đó phát triển thành sơ đồ nhờ sự gợi mở của giáo viên và suy luận của học sinh - Các dạng toán thường gặp IV) NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1)Giúp học sinh nắm được các kiến thức cơ bản có liên quan và kiến thức bổ sung. - Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được. -. a (a, b  Z , b 0) a ; b  1 Phân số b là phân số tối giản ƯCLN  .. - Mọi phân số đều có thể đưa về dạng phân số tối giản. -. a b Phân số b là phân số tối giản thì a cũng là phân số tối giản. - Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản. 5 5 ; 3  1 Ví dụ: 13 là phân số tối giản vì ƯCLN  8 12 là phân số chưa tối giản vì ƯCLN (2;8) = 2 1 13 12 Và do đó 5 là phân số tối giản còn phân số 8 là phân số chưa tối giản. 13 3  2 5 là phân số tối giản Phân số 5 là phân số tối giản. 2) Các dạng bài tập áp dụng.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Với các kiến thức cơ bản trên thì học sinh đã dễ dàng nhận ra phân số đã cho là phân số tối giản hay chưa song không phải bao giờ bài toán cũng cho ở dạng tường minh mà bài toán còn cho ở nhiều dạng khác nhau Bài 1: Chứng tỏ rằng một phân số đã cho là phân số tối giản? ?Vậy để giải được dạng toán này ta làm như thế nào? HS: Ta phải chứng tỏ được giá trị tuyệt đối của tử và mẫu của phân số đã cho là một cặp nguyên tố cùng nhau ? Vậy trọng tâm của bài toán này là kiến thức nào. HS: Đó là ước chung lớn nhất (ƯCLN) Từ kiến thức chính là ƯCLN đó giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ thông qua một hệ thống câu hỏi vấn đáp giáo viên cùng học sinh hoàn thành sơ đồ: NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU. Dùng thuật toán Ơclide. ƯCLN (a,b)=1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu Phản chứng. BỘI VÀ ƯỚC SỐ NGUYÊN. Các dấu a b  có  q Z sao chia(a,b) 1) a=b.q Thuật toán Euclide tìmhiệu ƯCLN cho hết  a)Nếu a b thì ƯCLN (a,b) =b. Các tính chất chia hết. Tổng hiệu số nguyên chia hết cho một số. b)Nếu a  b thì giả sử a=b.q + c thì ƯCLN (a,b) = ƯCLN(b,c).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> c) Thuật toán Euclide: Giả sử a= b.q + r 1 với 0 < r 1 < b b = r 1.q1  r2 với 0 < r2 < r 1 r 1 = r2 q2  r3 với 0 < r2 < r3 ……………… . . . . . . . . . rn  2 rn 1.qn  1  rn với 0< rn < r n 1 r n 1 = r n qn. Thuật toán Euclide phải kết thúc vơi một số dư r n1 = 0 Như vậy theo b) ta c ó: ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b, r 1 ) = ƯCLN(r 1 , r 2 ) =….= ƯCLN(r n 1 , rn )= rn ( theo a) 2) Chứng minh phản chứng. Giả sử d = ƯCLN (a,b) với d 1 khi đó kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán dẫn đến điều vô lí thì suy ra được ƯCLN (a,b) = 1 1 Bài 2: Chứng tỏ phân số n tối giản với mọi n  Z , n 0. Đến đây tất cả các học sinh dễ dàng nhận thấy ƯCLN (1,n)=1với  n Z,n 0 2007 Bài 3: Chứng minh rằng phân số 2009 là phân số tối giản. Ở bài này HS cần nhận định rõ phương pháp và kiến thức cần sử dụng. Rõ ràng đây là bài toán cần tìm trực tiếp ƯCLN (2007,2009). Từ đó học sinh thấy được cách làm là sử dụng kiến thức ở phần b) của thuật toán Ơclide . Vì 2009 = 2007.1 +2 nên ƯCLN ( 2007, 2009) = ƯCLN ( 2007; 2) Mà 2 là số nguyên tố và vì 2007 không chia hết cho 2 Nên ƯCLN (2007,2) =1 2007 Do đó 2009 là phân số tối giản. n 1 Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số n  2 phân số tối giản..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đến đây giáo viên hướng dẫn học sinh xác định các cách giải khác nhau để các em thấy được sự phong phú trong việc giải toán. Cách 1: Ta có : n + 2 = (n+1)*1 +1 Theo thuật toán Euclide thì ƯCLN( n+2, n+1)= ƯCLN(1,n+1)=1 n 1 Do đó n  2 là phân số tối giản.. Cách 2: Giả sử ƯCLN( n+2,n+1) = d khi đó (n+2)  d và (n+1)  d tức là (n+1)+1  d và n+1  d  1  d (theo tính chất chia hết của một tổng) n 1 Vậy d = 1 thì n  2 là phân số tối giản.. Cách 3:. Gọi d= ƯCLN ( n+2; n+1) với d  N; d 1) Khi đó n+2  d và n+1  d  n+2- n- 1 =1  d vậy d =1. n 1 Như vậy phân số n  2 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n 21n  4 Bài 5: Chứng minh rằng phân số 14n  3 là phân số tối giản với  n Z. Ở bài này theo cách giải ở bài 4 thì các em đã bắt đầu tìm được hướng giải quyết theo các cách khác nhau. Tuy nhiên với bài toán này nếu với cách suy nghĩ đơn điệu và máy móc thì các em sẽ gặp khó khăn. Để tháo gỡ khó khăn này các em cần sự gợi mở của giáo viên để các em có thể đưa mẫu và tử về dạng A+1 và A khi đó chắc các em sẽ giải được bài toán theo cách 2. Như vậy cần huy động kiến thức a d thì n.a d ( n  Z ) Giải: Cách1: Gọi d là ước nguyên dương của (21n+4) và (14n+3) Khi đó 2(21n+4)  d và 3(14n+3) d hay 42n + 9 - 42n – 8 =1 d  d=1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 21n  4 Như vậy phân số 14n  3 là phân số tối giản 21n  4 14n  3  7 n  1 7 n 1  1  14n  3 14n  3 Cách 2: Ta có: 14n  3 21n  4 7n  1 Để phân số 14n  3 là phân số tối giản thì phân số 14n  3 là phân số tối giản. ( sử dụng kiến thức cơ bản tổng , hiệu của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản). Thực ra bản chất của cách làm này là thuật toán Euclide nhưng được trình bày dưới góc độ nhận thức của học sinh lớp 6 khiến các em tiếp thu một cách nhẹ nhàng và thoải mái hơn . Trên đây là một số bài toán của cùng 1 dạng được lần lượt nêu từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức của học sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây được sự hứng thú , lôi cuốn sự tìm tòi của các em , đồng thời cũng là một cách để khai thác sâu hơn bài toán chứng minh phân số tối giản . Với sự nắm bắt một cách chắc chắn dạng toán điển hình này để làm nền cho việc khai thác các bài toán có liên quan khác được ra với nhiều hình thức câu hỏi khác nhau. 18n  3 Bài toán 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 21n  7 là phân số tối giản Giải: Ta có:. 18n  3 3  6n  1  21n  7 7  3n  1. Nếu ƯCLN( 3,7) =ƯCLN(3,3n+1)= ƯCLN(6n+1,3n+1)=1 18n  3 Để 21n  7 tối giản thì ƯCLN (6n+1;7) =1. Mà 6n+1 =7n-n+1=7n-(n-1)  ƯCLN(6n+1,7) =1  ƯCLN(7n-(n-1);7)=1 Tức là ƯCLN(n-1;7) = 1  n 7k +1 (k  Z). n  13 Bài toán 2: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số n  2 là phân số tối giản..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đây là bài toán liên quan trực tiếp của dạng toán “ Chứng minh phân số tối giản” mà người giáo viên cần khai thác và giúp học sinh khai thác n  13 n  2  15 15  1  (n 2) n 2 n 2 Ta có : n  2 n  13 15 Để phân số n  2 là phân số tối giản thì phân số n  2 là phân số tối giản. Muốn vậy 15 và n-2 phải là hai số nguyên tố cùng nhau . Vì 15 có 2 ước khác 1; 15 đó là 3 và 5.  n-2 không chia hết cho 3 và 5 Tức là n-2 3k và n-2  5k hay n 3k + 2 và n 5k + 2( k  N , k 0) Bài toán 3: (Tổng quát của bài toán 1và bài toán 2) 8n  193 Tìm số tự nhiên n để phân số A = 4n  3. a) Có giá trị là số nguyên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150  170 thì phân số A rút gọn được. Đến đây thì HS có thể áp dụng bài toán 1 và bài toán 2 để gải HDẫn : a). 8n  193 187 2  4n  3 4n  3. 8n  193 187 Để 4n  3 có giá trị nguyên thì phân số 4n  3 có giá nguyên tức là 187 4n +3. hay 4n+3  Ư(187)  n=2, n=46 8n  193 Vậy với n= 2, n=46 thì phân số 4n  3 có giá trị nguyên 8n  193 187 b)Để phân số 4n  3 là phân số tối giản thì phân số 4n  3 phải tối giản.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  n 11k +2 ; n 17m + 12 (k, m  N). c)Các số tự nhiên từ 150 đến 170 có dạng 11k + 2 hoặc 17m +12 là: 156, 165, 167 131 Vậy với n = 156 thì A = 57 ; 89 với n = 165 thì A = 39 ; 139 với n=167 thì A = 61 a a b Bài toán 4: Cho phân số b tối giản . Chứng minh rằng phân số b tối giản.. Giải: a b a b a   1  b b b Cách 1: Ta có b a a Mà b tối giản nên 1+ b cũng tối giản a b Vậy b là phân số tối giản. Cách 2: Dùng phương pháp phản chứng a b Giả sử b không tối giản  ƯCLN( a+b,b)= d 1  a+ b  d và b  d nên a  b hay ƯCLN (a,b) = d 1 a Như vậy trái với bài ra b là tối giản a b Vậy b là phân số tối giản. Từ bài toán 1, ta có thể chuyển về bài toán : “Cho a,b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a + b và ab nguyên tố cùng nhau” Bài toán 5: Chứng minh rằng: (2n +1)(3n+1) và 5n+2 nguyên tố cùng nhau.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> (Đề thi HS Giỏi tỉnh năm 2003 – 2004). Hdẫn : Ta có 2n +1 +3n +1 = 5n + 2  ta đưa về bài toán gốc ở trên ( chứng minh 2n +1 và 3n+ 1 nguyên tố cùng nhau) n 3  2n 4 2 Bài toán 6: Chứng minh A = n  3n  1 tối giản với n  N. Giải :. Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d ( d  N d 1) thì. 4 2 3 n3  2n d và n 4  3n 2  1 d  n  3n  1  n n  2n  d hay n 2  1 d. . . 2 3 3 3 2 Do đó n(n +1) = n + n  d , vì thế n + 2 n - n - n = n  d nên n d 2 2 Suy ra n +1 - n = 1  d , Vậy d = 1  phân số đã cho tối giản.. 3) Dưới đây là một số dạng bài tập tương tự : Bài 1: Tìm tất cả các giá trị n nguyên sao cho mỗi phân số sau trở thành 1 số. nguyên:. 7 17 n 3 n ; n  4 ; 2n  2. n 1 Bài 2: Chứng minh rằng phân số 2n  3 là phân số tối giản.. Bài 3: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản 3n  2 a) 7n  1. Bài 4:. 2n  7 b) 5n  2. n 8 Tìm n  N để phân số A = 2n  5. a) Có giá trị nguyên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n trong khoảng 6  65 thì A rút gän được. 2n  5 Bài 5: Chứng minh B = n  5n  6 tối giản n  N 2. C . KÊT LUẬN.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Qua nhiều năm áp dụng kinh nghiệm này để giảng dạy cũng như công tác bồi giỏi học sinh khối 6 thì bản thân tôi nhận thấy khả năng tư duy của các em đã được nâng lên rõ rệt. Các em đã hứng thú hơn với giờ học, đã mạnh dạn , chủ động trong việc lĩnh hội kiến thức , làm quen với các kỹ năng , các em hăng say hơn trong việc chủ động thảo luận , chủ động học tập, gây được nhiều hứng thú cho các em trong việc giải toán.Chỉ sau một vài lần làm quen các em có thể tự mình tìm ra lời giải rất tự nhiên, và điều làm tôi tâm đắc nhất là chất lượng học toán nói chung và chất lượng giải các bài có liên quan đến phân số tối giản nói riêng của những lớp tôi phụ trách ngày càng được nâng lên rõ rệt. Kết quả học tập của các em trong những năm gần đây mà tôi đã áp dụng kinh nghiệm này trong công tác giảng dạy . Số HS không giải được. Số HS giải đưa ra kết quả sai. Số HS giải đúng. 5%. 20%. 75%. Tôi cũng không tham vọng gì nhiều ở các em , nhưng bước đầu thấy khả năng tiếp thu của các em đã được nâng lên rõ rệt và cũng đã rèn luyện cho các em đựơc một cái nhìn khái quát hơn đối với dạng toán này cũng như tạo được niềm say mê hứng thú trong việc giải toán nói chung và giải các bài toán có liên quan đến phân số tối giản nói riêng , nên tôi đã mạnh dạn xin trình bày lại kinh nghiệm của tôi về “ Gióp HS giải các bài toán liên quan đến phân số tối giản”. Cùng với trào lưu chung của việc đổi mới cách dạy, cách học hiện nay đang đòi hỏi mỗi giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ, trau dồi chuyên môn, tìm tòi cho mình cách dạy hay, những kinh nghiệm hay được đúc rút qua thực tế dạy học là điều hết sức quan trọng . Trong chừng mực nhất định những điều suy ngẫm của mình chưa thực sự là một sáng kiến đặc sắc nhưng ít nhiều đó là những điều bổ ích giúp học sinh hứng thú trong việc giải toán . Với sự non trẻ về tuổi đời và cả tuổi nghề chắc chắn rằng không thể tránh khỏi thiếu sót .Tôi rất mong nhận được những góp ý chân thành của các đồng chí và đồng nghiệp để tôi có được cách làm tốt hơn , đạt hiệu quả hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Nam Kim, Ngày12 tháng 2năm 2014 MỤC LỤC.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> A. Đặt vấn đề B. Giải quyết vấn đề I). Cơ sở thực tiễn. II). Thực tiễn của vấn đề a) Khảo sát thực tế của đề tài b) Phân tích nguyên nhân. III). Đề xuất giải pháp. IV). Nội dung giải quyết vấn đề 1) Giúp học sinh nắm được các kiến thức cơ bản có liên quan và kiến thức bổ sung 2) Các dạng bài tập áp dụng 3) Bài tập tương tự. C. Kết luận. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Các dạng bài toán và phương pháp giải toán 6 (tập 2) Tác giả: Tôn Thân, Vũ Hữu Bình.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên 2) Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6 Tác giả: Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm 3) Nâng cao và phát triển toán 6 (tập2 ) Tác giả: Vũ Hữu Bình 4) Toán cơ bản và nâng cao THCS toán 6 (tập 2) Tác giả: Vũ Thế Hựu.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>