Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

BÀI 4. ĐỊNH LÍ VI – ET VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ

1. TÍNH BIỂU THỨC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
BẰNG HỆ THỨC VI – ET.
Bài 1. Kiểm tra sự tồn tại của nghiệm rồi tính tổng và tích hai nghiệm mà khơng được giải
phương trình.
1.
3.
5.

x2 − 4x − 2 = 0

2.

2 x 2 + 3x − 1 = 0

4.

4 x2 − 4x + 1 = 0

6.

2 x + 3 x + 11 = 0
x2 −

9.

(

3.

x2 − x − 1 = 0

(

)

8.

)

2 +1 x + 2 = 0

Bài 2. Cho hai số
1.

4 x2 + 5x − 1 = 0

6x2 + 2 6 − 3 2 x − 2 3 = 0

2

7.

x2 − 5x + 6 = 0

x1 , x2

S,

có tổng là

x12 + x22

( x1 − x2 )

tích là

P

hãy tính các đại lượng sau theo

2.
2

4.

Bài 3. Nếu các phương trình sau có hai nghiệm

x12 + x22 , ( x1 − x2 ) , x1 − x2 , x12 − x22

1.

x13 + x23
x1 , x2

thì hãy tính giá trị các đại lượng sau:

3.

x 2 + 3x − 2 = 0

mà không được giải phương trình.
2.
4.

và

P.

x14 + x24

2

x 2 − 4 x − 12 = 0

S

x2 + 5x + 6 = 0
4 x2 + 5x − 1 = 0


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

x2 − 2x − 1 = 0

Bài 4. Nếu phương trình sau:
có hai nghiệm
các đại lượng sau mà không được giải phương trình.

x +x
1.

4.

7.

10.

13.

16.

19.

2
1

2
2

2.

x1
x
+ 2
x2 + 2 x1 + 2
x2
x

+ 21
x − 3 x1 − 3
2
2

x12 x22
+
x2 x1
x12
x22
+
x1 x22 − 1 x12 x2 − 1

x1 − x2
x1 x2
−
x2 x1

5.

8.

11.

14.

22.

25.

28.

3
2

x1
x
− 3 2
3
7 x1 x2 − 2 7 x1 x2 − 3

x12 x22
+
x22 x12

1
1
+ 2
2
x1 x2

x12 + 4 x22 + 4
+
x2
x1
x1
x
+ 2 2
2
3x1 x2 − 1 3x1 x2 − 1

17.

20.

23.

26.

29.

2
1

2
2

x1
x
− 2
x2 − 1 x1 − 1

x12 x22
−
x2 x1
1
1
− 2
2
x + x2 x1 + x23

3
1

x1
x
+ 32
x + 1 x1 + 1
3
2

x12 + 2 x22 + 2
+
x1
x2

6.

9.

thì hãy tính giá trị

x1 + 1 x2 + 1
=
x2
x1

3.

x1 − 1 x2 − 1
+

x2
x1

x −x

x −x
3
1

x1 x2
+
x2 x1

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x13 + x23

12.

15.

18.

21.

24.

27.

x1 − 1 x2 − 1

+ 2
x22
x1

( x1 − x2 )

2

1 1
−
x1 x2
3 x1 − 7 3 x2 − 7
−
x2
x1
x1 + 1 x2 + 1
− 2
x22
x1

x14 + x24


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

30.

x12 + 1 x22 + 1
+
x22 + 2 x12 + 2

31.

3x13 − 4 x1 + 2 3 x23 − 4 x2 + 2
+
x2
x1
x

Bài 5. Nếu phương trình bậc hai ẩn
thì hãy tính các đại lượng sau:

( x1 − x2 )
x

Bài 6. Nếu phương trình bậc hai ẩn
hãy tính các đại lượng sau:

Bài 7. Cho

Bài 8. Cho

Bài 9. Cho

x > 0

 2 1
 x + x 2 = 14

. Tính

x > 0

 2 1
 x + x 2 = 23
x < 0

 2 1
 x + x 2 = 34

Bài 10. Cho

Bài 11. Cho

. Tính

. Tính

x < 0

 2 1
 x + x 2 = 47
x > 0

 2 1
 x + x 2 = 7

( x1 − x2 )

2

2

x 2 − 2 ( m − 2 ) x − 4m + 1 = 0

sau:

; x1 − x2

sau:

theo

m

mà khơng được giải phương trình.

x 2 − 2 ( 2m − 1) x − 4m = 0

; x1 − x2

theo

m

có hai nghiệm

x1 , x2

có hai nghiệm

x1 , x2

thì

mà khơng được giải phương trình.

1
1  2 1  3 1 
1
x + , x 3 + 3 ,  x + 2 ÷ x + 3 ÷; x5 + 5
x 
x 
x
x 
x

1
1  2 1  3 1 
1
x + , x3 + 3 ,  x + 2 ÷ x + 3 ÷; x5 + 5
x 
x 
x
x 
x

1
1  2 1  3 1 
1

x + , x3 + 3 ,  x + 2 ÷ x + 3 ÷; x5 + 5
x 
x 
x
x 
x

x5 +
. Tính

x5 +
. Tính

1
x5

1
x5

.

(TS lớp 10 trường THPT chuyên LHP, vòng 2, 04 –05)
2. VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 12. Tìm điều kiện của tham số
phân biệt.

m

để các phương trình bậc hai ẩn

x

sau có hai nghiệm


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

1.
3.
5.
7.
9.

x 2 + x + 2m = 0

2.

−3x 2 + 4 x + 2m = 0
x 2 − 2 ( m + 4 ) x + m2 − 8 = 0

( m − 1) x 2 − 2mx + m − 3 = 0
( m − 2 ) x2 − 4 ( m + 1) x + 4m + 3 = 0

Bài 13. Tìm điều kiện của
1.
3.
5.
7.

m

( m + 1) x 2 − ( 2m + 1) x + m + 4 = 0
( m + 2 ) x 2 − 4mx + 4 ( m + 5 ) = 0
3 ( m − 1) x 2 − 6 ( m − 1) x + 3m + 1 = 0

m

3.

8.

7.
9.

( m + 1) x 2 − ( 2m − 1) x + m = 0
( 3 − 2m ) x 2 − ( 1 − 4 m ) x + 1 − 2m = 0

10.

2.
4.
6.
8.

2.
m2
=0
12

mx − 2 ( m + 1) x + ( m − 2 ) = 0

4.

( m − 1) x 2 − 4 ( m + 1) x + 4m + 3 = 0
( m − 2 ) x 2 − 2 ( m − 3) x + m − 1 = 0
( m − 3) x 2 − 2 ( m − 3 ) x + m + 1 = 0
( 3 − 2 m ) x 2 − 2 ( 3 − 2m ) x − 2 m + 5 = 0

( m − 1) x 2 + ( 2m − 1) x + m + 2 = 0
( m − 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0

x

sau có 2 nghiệm

2 x 2 + 3x + m − 1 = 0

4 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + m = 0

mx 2 − ( 3 − m ) x +

2

5.

mx 2 − 4 x − 1 = 0

để các phương trình bậc hai ẩn

x 2 − x − 2m = 0

3x 2 − ( 5 − m ) x +

6.

x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 1 = 0

đê các phương trình sau có nghiệm.

mx 2 − 2 ( m + 1) x + m + 3 = 0

Bài 14. Tìm điều kiện của
1.

4.

2x2 − x + 1 + m = 0

6.
8.

m
−2=0
4

( 2m + 1) x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 2m − 1 = 0

10.

( 2 m − 3) x 2 − 2 ( 2 m − 3 ) x + 2m + 1 = 0

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 15. Tìm điều kiện của
1.
3.
5.
7.
9.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

để các phương trình sau vơ nghiệm.

3x 2 − 2 x + m = 0
x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 + 2 = 0

mx 2 − 4mx + 4m − 1 = 0

( 3m − 2 ) x 2 − 2 ( 3m − 2 ) x + 3m + 4 = 0
( m + 3) x 2 − 2 ( m + 3) x + m + 4 = 0

Bài 16. Tìm

1.

m

m

2.
4.
6.
8.

8 x 2 + x − 5m = 0
x 2 − 2 ( m + 2 ) x + ( m + 1) ( m − 3) = 0

( m − 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m + 3 = 0
( m − 2 ) x 2 − 2 ( 2m + 1) x + 4m + 1 = 0

10.

( m − 4) x2 − 2 ( m − 4) x + m − 7 = 0

để các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt.

( x − 2 ) ( x 2 − 3x + m ) = 0
( x − 1) ( x 2 − 2 x + m − 1) = 0
( x − 3) ( x 2 − 4 x + m + 1) = 0
( x − 1) ( mx 2 − 4mx + 4m − 1) = 0
( 2 x − 1) ( m − 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + m − 2 = 0
( x − 1) ( m − 1) x 2 − 4 ( m + 1) x + 4m − 8 = 0
( 2 x − 1) ( m − 2 ) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m − 4  = 0
( 2 x − 1) ( m − 5) x2 − 2 ( m + 5) x + m − 10 = 0
( 4 x − 1) 4 ( m − 1) x 2 − 4 ( m + 1) x + m − 2 = 0


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

( 2 x − 3) ( m − 1) x 2 − 2 ( m + 1) x + m − 3 = 0

10.

Bài 17. Tìm

1.

m

để các phương trình sau vơ nghiệm.

x 2 − 6 ( m − 1) x + 9m 2
=0
x

3.

2.

3x − 2 ( 3m + 2 ) x + 3m + 4
=0
5x − 3
2

Bài 18. Tìm

4.

để các phương trình sau vô nghiệm.

( m − 1) x 2 + 2 x − 4m = 0

3.

( m − 2 ) x 2 + 2 ( 2m − 3) x + 3m = 0

x−2

1.

4.

( 2m − 3) x 2 + ( 12 − 7 m ) x − 4m = 0

7.

x+3

2.

2mx 2 + ( 2m − 3) x + m − 1
=0
2x −1

x−4

5.

m2
2 x − ( m + 1) x +
+1
8
=0
8x − 9
2

2

m

x 2 + ( 1 − 2m ) x + m 2 − 1
=0
x+3

3 ( 2m − 1) x 2 − ( 7 m − 2 ) x + 2m

=0
3x − 2

( m − 1) x 2 − 2mx + m + 2 = 0
x −1

6.

mx 2 − ( 2m + 3) x + m − 2
=0
x +1

( m + 1) x 2 − 4 ( m − 1) x + 4m = 0
2x + 5

8.

( m + 3) x 2 − 6 ( m + 1) x + 9m = 0
4x − 3

9.

10.

mx 2 − 2 ( m + 1) x + m + 3
=0
x−2

3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MỘT HỆ ĐỐI XỨNG

m

Bài 19. Tìm
để các phương trình bậc hai ẩn
thức đối xứng.

x 2 − 2mx + m 2 − m − 3 = 0

1.
07)

có hai nghiệm

x

sâu có hai nghiệm

x1 , x2

thỏa

x1 , x2

x12 + x22 = 6

thỏa mãn một đẳng

(TS lớp 10 chuyên 06 –

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

2.

x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 + 3 = 0

3.
4.

2

4 x + 4 ( 2m + 3) x + 4m − 3 = 0

Bài 20. Tìm
đối xứng.
1.
2.
3.
4.
5.

m

để các phương trình bậc hai ẩn

x 2 − 3x − m2 + m + 2 = 0

có hai nghiệm

− x 2 + x + m 2 + 2m + 3 = 0

x 2 + 2 x + m2 − 3m + 3 = 0

có hai nghiệm

4 x 2 − 4 x + 3m 2 − 2m − 4 = 0
3 x 2 − 6 x + 2m 2 + m + 2 = 0

Bài 21. Tìm
đối xứng.

m

x1 , x2

có hai nghiệm

để các phương trình bậc hai ẩn

x − 2 ( m − 1) x + m + 2 = 0
2

1.

x − 2 ( m − 1) x + m + 3 = 0

có hai nghiệm

2

2.

thỏa:

x1 , x2

có hai nghiệm

có hai nghiệm

3.

có hai nghiệm

x1 , x2

thỏa:

thỏa:

1
x12 + x22 = .
2

thỏa:

x1 , x2

x1 , x2

x

x1 , x2

thỏa một đẳng thức

x13 + x23 = 34.

x13 + x23 = 10.

thỏa:

thỏa:

x13 + x23 = −2.

x13 + x23 = −8.

sau có hai nghiệm

x1 , x2

x1 , x2

x13 + x23 = 9

thỏa:

thỏa:

thỏa:

2

x 2 + mx + 1 = 0

thỏa:

15
.
2

x12 + x22 = 20.

sau có hai nghiệm

x1 , x2

có hai nghiệm

thỏa

x1 , x2

có hai nghiệm

x

x12 + x22 =

x1 , x2

có hai nghiệm

2

x12 + x22 = 1

thỏa:

x1 , x2

có hai nghiệm

x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 6m − 5 = 0

2

5.

có hai nghiệm

2 x − 4 ( m + 2 ) x + 2m + 1 = 0
2

x1 , x2

x1 , x2

x1 x2
+ = 4.
x2 x1

x1 x2
+ = 14.
x2 x1
2

 x1   x2 
 ÷ + ÷ = 7
 x2   x1 

thỏa một đẳng thức


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9
2

4.

x 2 − ( m + 1) x + 2 = 0

có hai nghiệm

x1 , x2

2

 x1   x2 
 ÷ +  ÷ = 14.
 x2   x1 

thỏa:

2

5.

x 2 + 2 ( 2m − 1) x + m + 1 = 0

có hai nghiệm

x1 , x2

thỏa:

2

 x1   x2 
 ÷ +  ÷ = 98.
 x2   x1 

4. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM THỎA HỆ THỨC
KHƠNG ĐỐI XỨNG

m

Bài 22. Tìm
để các phương trình bậc hai ẩn
khơng đối xứng.
1.
2.
3.

x2 − ( m + 5) x − m + 6 = 0

x2 + 2x + m = 0

có hai nghiệm

có hai nghiệm

4 x 2 − ( m + 3) x − 24 = 0

x 2 − 2mx + ( m − 1) = 0

x1 , x2

3

4.

có hai nghiệm

3 x 2 − 18mx + ( m − 3) = 0

5.

x1 , x2

6.

7.

8.

9.

có hai nghiệm

x 2 − 2 ( 2m + 1) x + 3m2 + 6m
=0
x−2
x 2 + ( 3m − 2 ) x + 3m 2 + 6m
=0
x−2

x 2 − ( m + 6 ) x + 1 − 9m 2
=0
x+8
2 x 2 − 3mx − 8
=0
x−2

thỏa:

thỏa:

x1 , x2

có hai nghiệm
x1 , x2

thỏa một đẳng thức

2 x1 + 3x2 = 13.

x1 = x22 .
x1 = x22 .

x1 , x2

x1 , x2

x1 , x2

thỏa:

x1 + 2 x2 = −1.

thỏa:

có hai nghiệm

có hai nghiệm

có hai nghiệm

thỏa:

x1 , x2

x1 = 3 x2 .

x1 , x2

3

sau có hai nghiệm

x1 , x2

thỏa:

có hai nghiệm

x

thỏa:

thỏa:

thỏa:

x1 + 2 x2 = 16.

4 x1 + x2 = 2.

4 x1 + 3 x2 = 20.

x1 + 2 x2 = 2.

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
x1 , x2

S
P
có tổng (kí hiệu là ) và tích (kí hiệu là ) biết trước, hãy lập một
x1 , x2
phương trình bậc hai nhận hai số
làm nghiệm.

Bài 23. Cho hai số

S = 5; P = 6.

S = 3; P = 2.

1.

2.

S = −7; P = 12.

S = 8; P = −9.

3.

4.

S = 4; P = 4.

S = −10, P = 25

5.

6.
S = 1 + 2; P = 2.

S = 3 − 2; P = − 6.

7.

8.
S = 2 3; P = −9.

S = 2 3 + 3 2; P = 6 6.

9.

10.

Bài 24. Cho phương trình bậc hai ẩn
1. Chứng minh (1) có hai nghiệm
2. Khơng giải

( 1) ,

3. Khơng giải
X1 =

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

.

Bài 25. Cho phương trình bậc hai ẩn
1. Chứng minh
2. Không giải

( 1) ,

x1 , x2 .

.

x1
x
; X2 = 2
x1 + 1
x2 + 1

( 1)

sau:

x 2 − 5 x + 4 = 0 ( 1)

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

X 1 = x1 + 1; X 2 = x2 + 1

( 1) ,

x

có hai nghiệm

x

sau:

x 2 − 3 x − 5 = 0 ( 1) .

x1 , x2 .

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

X1 =

1
1
; X2 = .
x1
x2

3. Không giải
X1 =

( 1) ,

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

2 x1
2 x2
; X2 =
x1 − 1
x2 − 1

Bài 26. Cho phương trình bậc hai ẩn
1. Chứng minh
2. Không giải
X 1 = x1 −

( 1)

( 1) ,

có hai nghiệm

x

sau:

x 2 − 2mx − 1 = 0 ( 1)

x1 , x2 .

hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

3
3
; X 2 = x2 − .
x1
x2

Bài 27. Biết rằng

x1 , x2

ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) .

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

Viết một phương trình bậc hai nhận

x13

và

x23

x

sau:

làm nghiệm. [PTNK

ban AB, 1999 – 2000]
Bài 28. Biết rằng

x1 , x2

ax 2 − bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) .

Bài 29. Biết rằng

Viết một phương trình bậc hai nhận

x1 , x2

ax 2 + 2bx + 4c = 0 ( a ≠ 0 ) .

Bài 30. Biết rằng

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x1 , x2

4ax 2 + 2bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) .

x13

và

x23

Viết một phương trình bậc hai nhận

và

x23

Viết một phương trình bậc hai nhận

và

x23

x

sau:

làm nghiệm.

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x13

sau:

làm nghiệm.

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

x13

x

x

làm nghiệm.

sau:


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 31. Gọi

x1 , x2

là hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

Khơng giải phương trình

( 1)

x

sau:

x 2 − 5 x + 4 = 0 ( 1) .

hãy lập một phương trình bậc hai mà có các nghiệm là:

t1 = x1 ; t2 = x2

t1 = x1 + 1; t2 = x2 + 1

1.

2.

t1 = x1 + 1; t2 = x2 + 1.

.

t1 = x1 x1 ; t2 = x2 x2 .

3.

4.

t1 = x1 + x2 ; t2 = x2 + x1 .
5.
Bài 32. [PTNL ban Ab, 00 – 01]. Gọi
sau:

x2 − 7 x + 3 = 0

x1 , x2

là hai nghiệm số của phương trình bậc hai ẩn

.

1. Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm số là:

X 1 = 2 x1 − x2 ; X 2 = 2 x2 − x1.

A = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1 .
2. Hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 33. Gọi

x1 , x2

là hai nghiệm số của phương trình bậc hai ẩn

1. Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm số là:

x

sau:

x2 − x − 1 = 0

.

X 1 = 2 x1 − 3x2 ; X 2 = 2 x2 − 3x1.

A = 2 x1 − 3x2 + 2 x2 − 3x1 .
2. Hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 34. Gọi

x1 , x2

là hai nghiệm số của phương trình bậc hai ẩn

1. Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm số là:

x

sau:

3x 2 − 2 x − 2 = 0

X 1 = x1 + 3x2 ; X 2 = x2 + 3x1.

A = x1 + 3 x2 + x2 + 3 x1 .
2. Hãy tính giá trị của biểu thức:
6. HỆ THỨC CỦA NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ

.

x


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 35. Biết rằng các phương trình bậc hai ẩn
x1 , x2
m.
thức giữa
độc lập với tham số
1.
3.
5.

7.
9.

mx 2 − ( m − 3) x + 2m + 1 = 0

x

2.

( m − 2) x 2 − ( m + 4) x + 2 − m = 0
x 2 − ( m + 1) x + m + 4 = 0

4.
6.

x 2 − ( m + 1) x + m 2 + 4 = 0

8.

x 2 + 2 ( 2m + 1) x + 2m 2 − 1 = 0

sau đã có hai nghiệm

( m + 1) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m − 3 = 0
mx 2 − 2 ( m + 1) x + m + 3 = 0
− x 2 + ( m − 3) x − m 2 + 1 = 0

10.

x 2 − ( m + 4 ) x − 3m 2 − 7 = 0

Bài 36. Biết rằng các phương trình bậc hai ẩn sau đã có hai nghiệm
P = x1.x2
S
m.
P
hãy tìm một hệ thức giữa và độc lập với tham số
1.
2.

3.
4.
5.
6.
7.

[PTNK, ban CD, 04 – 05].

( m + 1) x 2 + ( m − 1) x + 2 − m 2 = 0

( 2 − m ) x 2 + ( 3m2 + 1) x − m = 0
( 2m + 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x − m 2 + 4 = 0
( 3m − 2 ) x 2 + 2 ( 4m + 1) x + 2m 2 + 1 = 0
( 4m + 1) x 2 + ( 5m − 2 ) x + 3m2 − 2 = 0
( 2m − 3) x 2 + ( 5m − 1) x − m 2 + 1 = 0

BÀI 5. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

, hãy tìm một hệ

( m − 4) x2 − 2 ( m − 2) x + m − 1 = 0

x

mx 2 + ( 2m + 1) x + m 2 − 1 = 0

x1 , x2

x1 , x2

. Đặt

S = x1 + x2 ,


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

1. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau. Nhìn đồ thị, đọc giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất (nếu có)
của hàm số:
1.
4.
7.

y = x +1

2.

y = −3x + 2

5.

y = x2

10.

8.

1
y = − x2
2

y = −x +1

3.

y=x

6.

y = − x2

y=
11.

y = x +1

9.

1 2

x
4

y = 2x − 1

y = −x

y = 2 x2

12.

y =− x +2

13.

y = x −1 − 3

14.

y = − x + 2 −1

15.

y=xx

16.

y = −x x

17.

18.

y=

y = −2 x x
19.

20.

1
y = − x2
4

1
xx
2

Bài 2. Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ và đọc tọa độ giao điểm của hai
đồ thị hàm số đó nếu có
1.
2.

3.

4.

5.

( D) : y = −x + 3

( D) : y = x +1

và

và

( D ) : y = 2x − 2

6.

( ∆ ) : y = − x + 1.
7.

( ∆) : y = −
và

( D ) : y = −2 x + 3
1
( D) : y = x
3

( ∆ ) : y = x − 1.

( ∆) : y =
và

1
x.
2

1
x.
2

8.
9.

( D ) : y = 2x + 3
( D ) : y = 2x − 3
( D ) : y = 3x − 2
( D ) : y = 3x + 2

10.
và

( ∆ ) : y = −3x + 1.

và
và
và
và

( D ) : y = −3x + 4

( P ) : y = x2 .
( P ) : y = − x2.
( P ) : y = x2 .
( P ) : y = − x2.

và

( P ) : y = x2 .


Bài 3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị sau bằng phép toán:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

( D) : y = −x + 3
( D) : y = x − 2

và

( P ) : y = − x 2.

và

( D) : y = 2x + 3
( D) : y = −x +1

và
và

( D) : x + y +1 = 0

( D) : x − 3y + 5 = 0
( D) : 4x − y − 3 = 0

10.

( P ) : y = x2.
( P ) : y = 2x2.

và

( D ) : 2x − y + 1 = 0

( D) : x + y −1 = 0

( ∆ ) : y = x − 1.

( ∆ ) : x − 2 y + 4 = 0.

và
và
và

và

( D ) : 5x − y − 6 = 0

( ∆ ) : −3x + 2 y − 3 = 0.

( ∆ ) : 2 x + y − 18 = 0.
( P ) : y = x2.

( P ) : y = 2 x 2.

và

( P ) : y = x2 .

Bài 4. Dùng đồ thị để đọc nghiệm số của các hệ phương trình sau:

1.

 y = 2x + 3

4 x − 2 y = 4

2.

y = 3

3x + 2 y = 3

3.

 y = −3 x + 5

2 x + y = 1

4.

2 x − y = 2

6 x − 3 y = 6

Bài 5. Dùng đồ thị để đọc nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
1.
4.
7.

x2 − x − 2 = 0
x2 + x + 1 = 0
x2 − 5x + 6 = 0

2.
5.
8.

2x2 − x −1 = 0
x2 − 2x + 1 = 0
x2 − 4x + 4 = 0

3.
6.

x2 + 2x + 1 = 0
x2 − x + 1 = 0

Bài 6. Chứng minh rằng ba đường thẳng

( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 )

đồng quy trong các trường hợp sau:

( D1 ) : y = x + 2 ( D2 ) : y = 2 x + 1; ( D3 ) : y = 3x

1.
;
(Hướng dẫn: dùng phép tốn tìm tọa độ
giao điểm của hai đường thẳng, rồi chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng thứ ba)
2.
3.

4.
5.
6.
7.
8.

( D1 ) : y = x + 1;

( D2 ) : y = 2;

( D3 ) : y = 3 − x.

( D1 ) : 3x − y − 7 = 0;

( D2 ) : 3x − 2 y − 8 = 0;

( D3 ) : y = −2 x + 3.

( D1 ) : 5 x + 4 y − 6 = 0;

( D2 ) : y = −2 x + 3;

( D3 ) : y =

( D1 ) : y = 4 x − 3;

( D2 ) : y = 3 x − 1;

( D3 ) : y = x + 3.

( D1 ) : 4 x − y − 3 = 0;

( D2 ) : 5 x − 2 y = 0;

( D3 ) : y = 3x − 1.

( D1 ) : y = − x + 2;

( D2 ) : y = −4 x − 4;

( D3 ) : y = x + 6.

( D1 ) : 4 x + y + 4 = 0

( D2 ) : 3x + y + 1 = 0;

( D3 ) : x + y − 5 = 0.

Bài 7. Định
1.
2.
3.
4.
5.

m

3
x − 4.
2

để ba đường thẳng sau đồng qui:

( D1 ) : y = x + 1;

( D2 ) : y = − x + m;

( D3 ) : y = 3x.

( D1 ) : y = 2 x;

( D2 ) : y = − x − 3;

( D3 ) : y = mx + 5.

( D1 ) : y = 2 x − 1;

( D2 ) : y = x + 2;

( D3 ) : y = mx − 3.

( D1 ) : y = 3x − 5;

( D2 ) : y = 2 x;

( D3 ) : y = − x + m.

( D1 ) : y = − x − 1;

( D2 ) : y = 3x − 3;

( D3 ) : y = 2 x − m.


Bài 8. Cho đường thẳng:
thẳng

( D)

( D ) : ( m + 2 ) x − ( 2m − 1) y + 6m − 8 = 0.

đi qua giao điểm của hai đường thẳng:

( D1 ) : x − 2 y + 6 = 0

Bài 9. Cho hai hàm số:
1. Tìm các giá trị của
2. Với giá trị
đó.

m

1. Tìm các giá trị của

m

1
1
9
y = mx + m 2 +
2
4
4
m

y = − x2 − 2x + 1

y = 3x + 6 x − 2

13.

và

( −1; 2 ) .

tìm được ở câu trên hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị đó.

y = 2 x2 −1

10.

( −1;2 ) .

y = ( m 2 + 1) x 2 .

để đồ thị của hai hàm số trên cùng đi qua điểm

2.
5.

2

7.

và

y = ( 4m 2 + 1) x 2 .

để đồ thị của hai hàm số trên cùng đi qua điểm

Bài 11: Với tất cả các giá trị của biến số
nhất của các hàm số sau (nếu có)

4.

( D2 ) : 2 x + y − 8 = 0.

tìm được ở câu trên hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị

Bài 10. Cho hai hàm số:

2. Với giá trị

m

và

9
4

y = mx + m 2 +

1.

Chứng minh rằng đường

1
y = − x2 + 2x − 5
3

y = 3x 2 + 4

x

thuộc tập xác định, hãy tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn

y = −3x 2 + 2
y = x2 − 4x + 9

y = −5 x + 20 x − 7

3.
6.

11.

14.

y = 2x2 + 5x + 8
y = − 9 − 2x2

y = − x2 − 6x + 2

y=

2

8.

y = x2 − 2x − 2

9.

12.

15.

1 2
x − 3x + 1
2

y = −3x 2 + 3 x + 1
y = −1 − x 2


y = − 2 x − x2 −

y = − x + 3x − 1
2

16.

19.

17.

22.

25.

y = 3x + 2 x − 1

23.

y = 2x − x − 3

26.

1
x +1

nghiệm

y=
4.

y=
7.

x+3
4 x 2 + 13

y=
10.

y≠0

1 − 2x
x − 2x + 3

−2
3x − 6 x + 4
2

21.

y=

24.

1 2
51
x − 4x +
5
5
−1

y=

−4 x 2 + 3x + 45

27.

thuộc tập xác định, hãy tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn

1
x − 4x + 6

y=

2

2.

yx 2 − x + y = 0,

−x + 2
x2 + 5

x

y=

2

(Hướng dẫn: giả sử

−5 x 2 − 3 x + 14

1 2
x − 2x + 4
3

y=

3

y=

Bài 12. Với tất cả các giá trị của biến số
nhất của các hàm số sau (nếu có)

1.

18.

2

y = −3x 2 + 5 x + 2

y=

x2 + 2x + 5

20.

2

y=

1

y=

y = − 5x2 + 2 x + 1

3
2

3.

x
x +1
2

y

và

là một giá trị của hàm số thì phương trình ẩn

nghĩa là

∆≥0

2x −1
x2 + 2

5.

8.

x −1
x − 2x + 2

y=

2

11.

sau đây có

).

y=

y=

x

−3 x + 1
3x 2 + 1

y=

−2 x + 5
2x2 − 6x + 7

6.

2

3x − 5
3 x − 12 x + 13

y=

9.

y=

2

12.

x +1
4 x − 16 x + 29
2

2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BIỂU DIỄN HÀM SỐ
Bài 13. Viết phương trình đường thẳng (D) biết:
A(2; 3)
B(1; 4)
A(−3; 2)
B(−3; 0)
1. (D) đi qua
và
.
2. (D) đi qua
và
.
A(−5; − 1)
B (10; − 1)
A(1; 2)
B(2; 0)
3. (D) đi qua
và
.
4. (D) đi qua
và
.


B(4; − 1)

A(4; 0)
5. (D) đi qua

và
A(5; 7)

7. (D) đi qua

A(−2; 1)
.

B(1; 7)

6. (D) đi qua

B(−2; − 15)
và

A(4; − 2)

.
B(6; − 2)

và
.
8. (D) đi qua
và
.
M ( −1; 4)
−2

9. (D) đi qua
và cắt trục tung tại điểm N có tung độ bằng
.
H (1; − 3)
10. (D) đi qua
và cắt trục hoành tại điểm K có hồnh độ là 4.
11. (D) cắt trục tung tại điểm E có tung độ là 3 và cắt trục hồnh tại điểm F có hồnh độ là
1.
−2
12. (D) cắt trục tung tại điểm G có tung độ là
và cắt trục hồnh tại điểm H có hồnh độ
là 2.
13. (D) cắt trục tung tại điểm I có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm K có hồnh độ là
2.
−1
14. (D) cắt trục tung tại điểm A có tung độ là
và cắt trục hồnh tại điểm B có hồnh độ
−5
là .
Bài 14. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng trong các trường hợp sau:
A(1; 2), B(0; 1), C ( −1; 0)
1.
(Hướng dẫn: viết phương trình đường thẳng AB rồi chứng minh điểm C thuộc đường thẳng
AB)
A(3; − 6),
B (−2; 4),
C (1; − 2)
A(−1; 3), B (3; − 1),
C (−3; 5)
2.

. 3.
A(4; − 2),
B ( −1; 3),
C (−3; 5)
A(1; 1),
B (0; − 1),
C (2; 3)
4.
5.
A(2; 0),
B (4; − 1),
C (−2; 2)
A(1; 5),
B( −1; 1),
C ( −2; − 4)
6.
7.
A(−3; 2),
B (−3; 3),
C (−3; 7)
A(−10; 2), B (0; 2),
C (1; 2)
8.
9.
1
A(0; ),
B (3; 4),
C (−1; − 2)
2
10.

y = x2
Bài 15. Cho (P):
1. Vẽ (P).
xA = 1
B (5; − 3)
2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có
và đi qua
.
x A = −2
3. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có
vàcắt trục hồnh tại
xB = 3
B có
.


4. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có
yB = 1
có
.
y = − x2
Bài 16. Cho (P):
.

xA = 3

và cắt trục tung tại B

−1
1. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là

và đi qua
B (2; 3)
.
−3
2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là
và cắt trục
hồnh tại B có hồnh độ là 2.
−2
3. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là
và cắt trục
tung tại điểm có tung độ là 4.
y = 2 x2
Bài 17. Cho (P):
.
1. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là 1 và cắt trục tung
tại B có tung độ là 3.
−1
2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có hồnh độ là
và cắt trục
hồnh tại điểm có hồnh độ là 0.
y = x2
Bài 18. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
là 1 và cắt trục tung tại B có tung độ là 2.
y = − x2
Bài 19. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
−1
−2
là

và cắt trục tung tại B có tung độ là
.
2
y=x
Bài 20. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) đi qua gốc tọa độ và cắt
(P) tại A có tung độ là 4.
y = − x2
Bài 21.Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
−4
là
và cắt trục hồnh tại B có hoành độ là 2.
y = x2
Bài 22. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) cắt (P) tại A có tung độ
là 9 và cắt trục hồnh tại B có hồnh độ là 3.
y = x+b
y = ax 2
Bài 23. Cho (P):
và (D):
.
−1
1. Tìm a và b biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh độ là
và 2.
2. Viết phương trình các đường thẳng cắt (P) tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục tung tại
điểm có tung độ là 2.


Bài 24. Cho (P):

−2
độ là 1 và
.

y = ax 2

y = ax 2

Bài 25. Cho (P):
−2
độ là 1 và
.

y = ax 2

Bài 26. Cho (P):
−1
−2
độ là
và
.

và (D):

và (D):

và (D):

y = x+b

. Tìm a và b biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh

y = kx + 1

y = kx + 2

. Tìm a và k biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh

. Tìm a và k biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh

y = kx − 1

y = ax 2

Bài 27. Cho (P):
và (D):
. Tìm a và k biết (D) cắt (P) tại hai điểm có hồnh
độ là 1 và 2.
Bài 28. Tìm phương trình đường thẳng (D) biết:
A(−3; 4)
1. (D) đi qua
và có hệ số góc là 2.
A( −2; 1)
y = −2 x + 3
2. (D) đi qua
và song song với đường thẳng (D):
.
A(1; 2)
y = 2x + 1
3. (D) đi qua

và vng góc với đường thẳng (D):
.
1
y= x
−3
2
4. (D) cắt trục tung tại A có tung độ là
và vng góc với đường thẳng (D):
.
5. (D) cắt trục hồnh tại A có hồnh độ là 2 và song song với đường thẳng (D):

6. (D) cắt (P):
7. (D) cắt (P):
8. (D) cắt

y = −x

2

y = 2x

2

tại A có hồnh độ là 1 và vng góc với đường thẳng (D):
tại A có hồnh độ là

(∆) y = 3x − 2
:

y = 2x

−1

và song song với đường thẳng (D):

.

1
y=− x
2
y=x

.

y = 4x

tại A có tung độ là 1 và vng góc với đường thẳng (D):
.
( D1 ) : y = kx + 5
( D1 )
Bài 29. Cho đường thẳng
. Tìm k để đường thẳng
song song với đường
( D2 )
A(1; 2)
B (−3; − 2)
thẳng
đi qua hai điểm
và
. (PTNK ban CD 1999 – 2000)

( D1 ) : y = kx − 1
( D1 )
Bài 30.Cho đường thẳng
. Tìm k để đường thẳng
song song với đường
( D2 )
A(2; 3)
B (−3; − 2)
thẳng
đi qua hai điểm
và
.


( D1 ) : y = kx − 2

( D1 )

Bài 31. Cho đường thẳng
. Tìm k để đường thẳng
vng góc với đường
( D2 )
A(−1; − 2)
B(−2; − 3)
thẳng
đi qua hai điểm
và
.
2
y = ax

Bài 32. Cho (P):
A(1; − 1)
1. Tìm (P) biết (P) đi qua
.
xB = −2
2. Trên (P) lấy điểm B có
. Viết phương trình đường thẳng AB.
3. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB.
A(−5; − 1) B (−1; 4) C (3; 2)
( D1 )
∆ABC
Bài 33. Cho
có
;
;
. Qua A vẽ đường thẳng
song song
( D2 )
với BC, qua B vẽ đường thẳng
vng góc với BC. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường
( D1 )
( D2 )
và
1
y = x2
x A = −2 xB = 4
4
Bài 34. Cho (P):
và đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm A và B có
,

1. Vẽ (P).
2. Viết phương trình đường thẳng (D).
1
1
A ∈ ( D1 ) : y = − x +
4
2
3. Chứng minh rằng:
.
( D1 )
M ≠A
4. Tìm tọa độ giao điểm của M (
) của
và (P).
2
y = ax
Bài 35. Cho (P):
.
A(1; − 1)
1. Tìm a biết (P) đi qua
.
−2
2. Trên (P) lấy B có hồnh độ là
. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao
điểm của AB với trục tung.
3. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB.
Xác định tọa độ giao điểm của (D) và (P).
Bài 36.
1. Cho hai điểm A và B trong mặt phẳng tọa độ.

AB = ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2
Chứng minh độ dài của AB là

.
(Hướng dẫn: dùng định lý Pythagore).


2. Cho đường thẳng (D):

y = ax + b

. Chứng minh khoảng cách từ gốc O của mặt phẳng tọa
d=

độ đến (D) được tính theo cơng thức

b
1 + a2

(Hướng dẫn: Nếu a = 0 thì hiển nhiên. Xét

a≠0

( D' )
, viết phương trình đường thẳng

qua

(D' )
O và vng góc với (D). Tìm tọa độ giao điểm H của (D) và

. Tính độ dài d của OH).
Bài 37. [Nâng cao] Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến các đường thẳng sau đây là
lớn nhất hay nhỏ nhất (nếu có):
( Dm ) : y = mx + m 2 + 1
( Dm ) : y = mx + m 2 − 1
1.
.
2.
.
( Dm ) : y = mx − m 2 − 2
( Dm ) : y = mx + m 2 + 3
3.
.
4.
.
2
( Dm ) : y = m x − m
5.
.
3. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
y = ax 2
y = 2x − 2
Bài 38. Cho (P):
và (D):
.
A(2; 2)
1. Tìm a biết (P) đi qua
.
2. Chứng minh rằng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
( D' )

(D' )
3. Viết phương trình đường thẳng
biết
vng góc với (D) tại A.
( D' )
4. Tìm tọa độ giao điểm của
và (P).
1
y = − x2
y = x+m
4
Bài 39. Cho (P):
và đường thẳng (D):
. Biện luận theo m số giao điểm
của (D) và (P). Trong trường hợp chúng tiếp xúc hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
1
y = x2
y = −2 x + m
2
Bài 40. Cho (P):
và đường thẳng (D):
. Biện luận theo m số giao điểm
của (D) và (P).
y = ax 2
y = x+m
Bài 41. Cho (P):
và (D):
.
A( −2; 1)
1. Tìm a biết (P) đi qua

.
2. Biện luận theo m số giao điểm của (D) và (P). Trong trường hợp chúng tiếp xúc hãy tìm
tọa độ tiếp điểm.


y=

3
x + 2m
2

3
y = − x2
4

Bài 42. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (D):
cắt (P):
tại hai
điểm phân biệt. [TS Lớp 10 chuyên vòng 1, 2006 – 2007]
y = mx 2
y = −2mx + 2 − m2
Bài 43. Tìm m để (P):
tiếp xúc với đường thẳng (D):
.
[PTNK ban CD 2004 – 2005]
y = x2
y = mx + 1
Bài 44. Cho (P):
và đường thẳng (D):
. Chứng minh rằng đường thẳng (D)

luôn đi qua một điểm cố định và cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
y = − x2
y = 2 x − m 2 + 2m
Bài 45. Cho (P):
và đường thẳng (D):
. Tìm m để (D) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt.
1
y = − x2
A(−4; − 3)
4
Bài 46. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua
và tiếp xúc
với (P).
1
y = x2
A(3; 4)
2
Bài 47. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua
và tiếp xúc với
(P).
1
y = − x2
A(−1; 1)
2
Bài 48. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua
và tiếp xúc

với (P).
1
y = x2
A(1; 1)
4
Bài 49.Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua
và tiếp xúc với
(P).
A(2; 1)
y = x2
Bài 50. Cho (P):
. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua
và tiếp xúc với
(P).
y = x 2 − mx + 2
y = 2x − m
Bài 51. Cho (P):
. Tìm m để đường thẳng (D):
tiếp xúc với (P).
[PTNK ban CD 2001 – 2002]
2
y = x + 2mx − m + 2
y = x+m
Bài 52. Tìm m để (P):
tiếp xúc với đường thẳng (D):
. [PTNK
ban CD 2004 – 2005]
A(0; − 1) B (1; − m − 1)
Bài 53. Gọi (D) là đường thẳng đi qua hai điểm

,
.
2
y = mx + mx − 4
Tìm m để (P):
tiếp xúc với (D).
[PTNK ban CD 2005 – 2006]
2
A(1; 1)
y = ax
Bài 54.Cho (P):
và
.


A(1; 1) ∈ (P)
1. Tìm a để

.

2. Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ là m
Viết phương trình đường thẳng (D).
3. Tìm m để (D) và (P) chỉ có chung một điểm.
A(2; 4)
y = ax 2
Bài 55. Cho (P):
và
.
A(2; 4) ∈ (P)
1. Tìm a để

.
2. Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ là m
Viết phương trình đường thẳng (D).
3. Tìm m để (D) và (P) chỉ có chung một điểm.
A(−1; 1)
y = ax 2
Bài 56. Cho (P):
và
.
A(−1; 1) ∈ (P)
1. Tìm a để
.
2. Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hồnh độ là m
Viết phương trình đường thẳng (D).
3. Tìm m để (D) và (P) chỉ có chung một điểm.
y = x2
y = (2 − m) x + m 2 + 1
Bài 57. Cho (P):
và (D):
.
1. Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
x A 2 + xB 2 = 10
2. Định m sao cho
.
2
y=x
y = 2mx − m2 + m + 3
Bài 58. Cho (P):
và (D):
.

1. Định m để (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
x A 2 + xB 2 = 6
2. Định m để
.
2
y = 2x
y = 4(m + 2) x − 2m 2 − 1
Bài 59. Cho (P):
và (D):
.
1. Định m để (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
15
x A 2 + xB 2 =
2
2. Định m để
.
2
y = ax
Bài 60. Cho (P):
.
A(−1; 1)
1. Tìm a biết (P) đi qua
.

(m ≠ 1)

(m ≠ 2)

(m ≠ −1)

.

.

.


M (0; m)
2. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua

và song song với đường thẳng

( D' ) : y = 2 x
.
3. Biện luận theo m sự tương giao giữa (D) và (P). Khi (D) tiếp xúc với (P) hãy tìm tọa độ
tiếp điểm B và suy ra tọa độ của điểm M.
∆MAB
4. Chứng minh rằng
(M, A, B là các điểm ở câu trên) cân và tính chu vi của tam
giác này.
y = ax 2
Bài 61. Cho (P):
.
A(−2; − 1)
1. Tìm a biết
thuộc (P).
xM = m
2. M là điểm thuộc trục hồnh có
. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A và
M.

( D ) ⊥ (OA)

3. Tìm m để
.
4. Tìm m để (D) tiếp xúc với (P) và viết phương trình đường thẳng (D) trong trường hợp
này. Tìm tọa độ tiếp điểm B.
4. ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ THEO HÀM SỐ
Bài 62. Tìm điểm cố định của họ các đường thẳng sau:
( Dm ) : y = mx − 3
( Dm ) : y = 2mx + 1 − m
1.
.
2.
.
( Dm ) : y = ( m − 1) x + 6m − 1991
( Dm ) : y = mx − m + 2
3.
.
4.
.
( Dm ) : y = mx + 3m + 7
( Dm ) : (m + 2) x + (m− 3) y − m + 8 = 0
5.
.
6.
.
( Dm ) : (−5m + 4) x + (3m − 2) y + 3m − 4 = 0
( Dm ) : y = 2mx + 7
7.

.8.
.
( Dm ) : ( m − 1) x + ( −2 m + 4) y + 1 − 5m = 0
9.
.
( Dm ) : (6m − 7) x + (−3m + 4) y + 7 m = 0
10.
.
2
y = ax
y = − mx + 5m + 2
Bài 63. Cho (P):
và đường thẳng (D):
.
A(1; 1)
1. Tìm a biết (P) đi qua
.
2. Định m để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định không thuộc (P).
1
y = − x2
y = mx − 2m − 1
4
Bài 64. Cho (P):
và (D):
.
1. Định m để (D) tiếp xúc với (P).