Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 3

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN
Bài 1.Giải các hệ bậc nhất ba ẩn sau đây theo phép thế hay cộng đại số bình thường

1.

�x  y  z  1
�
�x  2 y  4 z  8
�x  3 y  9 z  27
�

2.

�x  2 y  3 z  2
�
2 x  y  z  5
�
�
3x  4 y  5 z  4
�

�x  y  z  8
�
3x  2 y  z  1
�
�
4x  y  2z  9
�

3.

5x  y  2z  2
�
�
�x  y  3z  14
�
4 x  y  2 z  0
5. �

�x  y  z  11
�
2x  y  z  5
�
�
3 x  2 y  z  14
�

�x  y  z  6
�
2 x  2 y  3 z  8
�
�
3x  y  2 z  46
6. �

Bài 2.Giải các hệ phương trình sau đây bằng PHƯƠNG PHÁP THẾ
�xz  x  4
� 2
2 y  7 xz  3x  14

�
�2
x  z 2  35  y 2
1. �

 1
 2
 3

2
1
2
a) Thay x  xz  4 từ phương trình   vào   để chứng minh rằng y  2 xz  8.
2
3
x  z
b) Thay y  2 xz  8 vào phương trình   để tính 
.

2

c) Tìm x, y, z.
�xz  x  8
� 2
4 y  7 xz  3x  28
�
�2
x  4 z 2  140  4 y 2
2. �

 1
 2
 3

2
1
2
a) Thay x  xz  8 từ phương trình   vào   để chứng minh rằng y  2 xz  1.
2
3
x  2z 
b) Thay y  2 xz  1 vào phương trình   để tính 
.

2

c) Tìm x, y, z.
�xz  2 x  16
� 2
8 y  7 xz  6 x  56
�
�2
x  z 2  140  4 y 2
3. �

4.

 1
 2
 3

2
1
2
a) Thay 6 x  3xz  48 từ phương trình   vào   để chứng minh rằng 4 y  2 xz  4.
2
3
x  z
b) Thay 4 y  2 xz  4 vào phương trình   để tính 
.

2


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

c) Tìm x, y, z.

4.

�xz  x  4
�2
�y  14 xz  6 x  28
�
4 x 2  4 z 2  140  y 2
�

5.

2 xz  x  2

�
�2
�y  14 xz  3 x  7
�
4 x 2  4 z 2  35  y 2
�

Bài 3.Giải các hệ phương trình sau đây bằng cách tính hai ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng
PHƯƠNG PHÁP THẾ
�x  y  z  3  1
�
�x  2 y  z  2  2 
�
x  yz  zx  3  3
1. �
a) Từ phương trình

 1

và

 2

hãy tính x, y theo z .

3
b) Thay x, y theo z ở câu a vào phương trình   để tìm x, y, z .

2.

�x  y  z  3
�
�x  2 y  z  2
�x  yz  zx  3
�

a) Từ phương trình

 1

và

 2

hãy tính x, y theo z .

3
b) Thay x, y theo z ở câu a vào phương trình   để tìm x, y, z .

3.

�x  2 y  3z  4
�
2x  3y  2z  2
�
�x  xz  xy  3
�

4.

�x  y  3z  1
�
2 x  3 y  z  12
�
�z  2 xy  2 yz  12
�

5.

�x  y  3z  1
�
2 x  3 y  z  17
�
�
2 xy  2 x  2 y  3z  2 yz  14
�

�x  y  z  2
�
�
2x  3y  z  1
�
�2
2
2
x   y  z    z  1  35
�
6.

a) Từ hai phương trình đầu hãy tính x, y theo z .

b) Thay x, y theo z ở câu a vào phương trình cịn lại để tìm x, y, z .
�x  2  y  3z 
�
2
�x  4 y  6 z
�
xy  8  z  2 
7. �

 1
 2
 3


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

a) Từ phương trình

 1

và

 2

hãy tính x, y theo z .

3
b) Thay x, y theo z ở câu a vào phương trình   để tìm x, y, z .

�x  y  z 2

�
�x  2  y  z 
�
xy  2  z  1
8. �
[ PTNK BAN AB 00 – 01]

15.

�
�x  y  3 xy
�
1
�
�yz  xz  2 xy 
8
�
1
�
xyz 
�
8
10. �

�
2x  y  z 2
�
�x  y  z
�xy  z  1
�

a) Chia hai vế của phương trình

�
� 3z �
x

3
�y  �
�
� 5�
�
�
9z2
4
x

3
y

�
5
�
�xy  3  z  1
�
9. �

 1 cho

 1

 2
 3

xy , chia hai vế của phương trình  2  cho xyz , nghịch

1
1
1
X  ,Y  , Z 
3
x
y
z để đưa hệ về ẩn X , Y , Z .
đảo hai vế của phương trình   , sau đó đặt
b) Trong hệ phương trình theo ẩn mới hãy tính X , Y theo Z từ hai phương trình đầu rồi thay
vào phương trình cịn lại để tìm X , Y , Z .
c) Tìm x, y, z.
�
2 x  y  3xy
 1
�
2 yz  4 zx  8 xy  1  2 
�
�
2 xyz  1
 3
11. �
a) Chia hai vế của phương trình

 1 cho

xy , chia hai vế của phương trình  2  cho xyz , nghịch

1
1
1
X  ,Y  , Z 
3
x
y
z để đưa hệ về ẩn X , Y , Z .
đảo hai vế của phương trình   , sau đó đặt
b) Trong hệ phương trình theo ẩn mới hãy tính X , Y theo Z từ hai phương trình đầu rồi thay
vào phương trình cịn lại để tìm X , Y , Z .
c) Tìm x, y, z.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
�
2 y  3 z  11 yz
�
5
�
�xy  3 yz  3 xz 
7
�
1
�

xyz 
�
14
12. �

13.

5 z  3x  13xz
�
�
2 yz  xy  xz  5
�
�
6 xyz  1
�

�
�
2 y  z  7 yz
�
8
�
�xz  xy  3 yz 
9
�
1
�
xyz 
�
9

14. �

Bài 4.Giải các hệ phương trình sau đây bằng cách TRỪ VẾ theo vế rồi sử dụng PHƯƠNG
PHÁP THẾ
�x  y 2  yz  z  0
�
�
2
2
�x  y  y  z  0
�
x  y  y3  z  0
1. �

 1
 2
 3

a) Trừ vế theo vế phương trình

 1

và

 2

hãy chứng minh rằng:

z 1
�

�
yz
�

b) Thay các kết quả ở câu a vào hệ để tìm x, y, z.
�x  y 2  yz  z  0
�
�
2
2
�x  y  y  z  0
�
x  y  y3  z  0
�
2.

 1
 2
 3

a) Trừ vế theo vế vế phương trình

 1

và

 2

hãy chứng minh rằng:

b) Thay các kết quả ở câu a vào hệ để tìm x, y, z.
�x  y 2  yz  z  0
�
2
2
�x  y  y  z  0
�x  y  y 3  z  0
3. �

5.

�x  y 2  yz  z  0
�
2
2
�x  y  y  z  0
�x  y  y 3  z  0
4. �
�x  y 2  yz  y  z  0  1
�
�
2
2
�x  y  y  z  2 z  0  2 
�
x  y  y3  z  0
 3
�
6.

�x  y 2  yz  z  0
�
2
2
�x  y  y  z  0
�x  y  y 3  z  0
�

a) Trừ vế theo vế vế phương trình

 1

và

 2

hãy chứng minh rằng:

b) Thay các kết quả ở câu a vào hệ để tìm x, y, z.

z0
�
�
y  z 1
�


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

7.

�x  y 2  yz  y  z  0
�
2
2
�x  y  y  z  2 z  0
�x  y  y 3  z  0
�

�x  y 2  yz  y  z  0
�
2
2
�x  y  y  z  2 z  0
�x  y  y 3  z  0
�

8.

9.

�x  y 2  yz  y  z  0
�
2
2
�x  y  y  z  2 z  0
�x  y  y 3  z  0
�

�

4 x  y 2  2 yz  4 z  0
�
�
4x  2 y  y2  4z2  0
�
�
8x  4 y  y3  8z  0
10. �

 1
 2
 3

�x  2 y 2  yz  z  0
 1
�
�
2x  4 y  4 y 2  z 2  0  2
�
�
x  2 y  2 y 3  z  0  3
11. �

a) Nhân hai vế của phương trình
trừ phương trình 

2

 1

cho

 2

ta được phương trình

vế theo vế rồi chứng minh rằng:

z2
�
�
z  2y
�

 4  . Lấy phương trình  4 

.

b) Thay kết quả của câu a vào hệ để tìm x, y, z.
�x  2 y 2  yz  z  0
 1
�
�
2x  4 y  4 y2  z2  0  2
�
�
x  2 y  2 y 3  z  0  3
12. �

1

2
4
4
a) Nhân hai vế của phương trình   cho   ta được phương trình   . Lấy phương trình  
2
z  2  z  2 y   0
trừ phương trình   vế theo vế rồi chứng minh rằng: 
.
b) Thay kết quả của câu a vào hệ để tìm x, y, z.
�
3 x  6 y 2  2 yz  2 z  0
�
9 x  18 y  18 y 2  2 z 2  0
�
�
3x  6 y  6 y 3  2 z  0
13. �

�
2 x  4 y 2  yz  z  0
�
8 x  16 y  16 y 2  z 2  0
�
�
2 x  4 y  4 y3  z  0
14. �

�
3 x  6 y 2  2 yz  2 z  0
�

9 x  18 y  18 y 2  2 z 2  0
�
�
3x  6 y  6 y 3  2 z  0
�

�
2 x  4 y 2  yz  z  0
�
8 x  16 y  16 y 2  z 2  0
�
�
2x  4 y  y3  z  0
�

15.

16.

Bài 5.Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế tích của hai biến vào phương
trình chứa tích của ba biến


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�x  2 y  z  0
�
2
�xy  z
�

xyz  216
1. �

 1
 2
 3

a) Thay phương trình

 2

vào phương trình

 3

để tìm z .

b) Thay z tìm được ở câu a vào hệ phương trình đã cho để tìm x, y .

2.

�x  y  z  1
�
2
�xy  z
�xyz  8
�

3.

2x  y  z  0
�
�
2
�xy  z
�xyz  512
5. �

�2 x  y  z  2
�
2
�xz  y
�xyz  27
�

3x  2 y  z  10
�
�
2
�xy  z
�xyz  125
6. �

4.

�2 x  4 y  z  8
�
2
�yz  x
�xyz  64

�

2x  7 y  9z  0
�
�
2
�yz  x
�xyz  343
7. �

Bài 6.Giải các hệ phương trình sau bằng cách NHÂN VẾ theo vế rồi dùng PHƯƠNG PHÁP
THẾ
�xy  z
�
�yz  25 x
�
zx  4 y
1. �

 1
 2
 3

a) Nhân phương trình

 1 ,  2  ,  3

vế theo vế để chứng minh rằng

xyz  xyz  100   0

b) Tìm x, y , z .

2.

�xy  z
�
�yz  9 x
�zx  9 y
�

�xy  z
�
�yz  49 x
�
5. �zx  4 y

3.

�xy  z
�
�yz  16 x
�zx  9 y
�

4.

�xy  z
�
�yz  16 x

�zx  4 y
�

�xy  z
�
�yz  4 x
�
6. �zx  9 y [ PTNK BAN AB 05 – 06]

Bài 7.Giải các hệ phương trình sau bằng cách tìm TỔNG VÀ TÍCH CỦA HAI ẨN

1.

�x  y  z  7
�2
2
2
�x  y  z  21
�xz  y 2
�

.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

a) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng sau:
�x  z  7  y
 1
�

2
�
 x  z   y 2  2 xz  21  2 
�
�
2
 3
�xz  y
b) Thay phương trình

2.

 1

và

 3

vào phương trình

 2

để tìm y . Sau đó tìm x, y, z.

�x  y  z  15
�2
2
2
�x  y  z  75
�xy  z 2

�

a) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng sau:

�x  z  15  y
 1
�
2
�
 x  y   z 2  2 xy  75  2 
�
�
2
 3
�xy  z
b) Thay phương trình

3.

 1

và

 3

�x  y  z  9
�2
2
2
�x  y  z  27

�xz  y 2
�

vào phương trình

4.

 2

�x  y  z  14
�2
2
2
�x  y  z  84
�yz  x 2
�

để tìm y . Sau đó tìm x, y, z.

5.

�x  y  z  19
�2
2
2
�x  y  z  133
�xz  y 2
�

Bài 8.Giải các hệ phương trình sau bằng cách sử dụng ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO

�x  y  z  6  1
�
�x  y  z   5  2 
�
y  x  z   8  3
1. �
a) Từ phương trình

 1

và

 2

hãy tìm

x,  y  z  .

b) Tìm x, y, z.
�x  y  z  9
�
�x  y  z   14
�
y  x  z   18
2. �

�x  y  z  2
�
�x  y  z   3
�

y x  z 1
3. �


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�x  y  z  1
�
�x  y  z   6
�
y  x  z   2
4. �

�x  y  z  6
�
�x  y  z   9
�
y x  z  8
5. �

�y  z  x  6       1
�
�x  y  z   5     2 
�
y  z  x   8       3
6. �
a) Từ phương trình

 1

và

 3

hãy tìm

y,  z  x 

và

 3

hãy tìm

 x  z ,  y .

.

b) Tìm x, y, z.
�x  y  z  6  1
�
�x  y  z   5  2 
�
y  x  z   8  3 
7. �
a) Từ phương trình

 1

b) Tìm x, y, z.

�x  y  z  9
�
�x  y  z   14
�
y  x  z   18
8. �

�x  y  z  2
�
�x  z  y   3
�
y  x  z   1
9. �

�x  y  z  2
�
�x  y  z   3
�
y x  z 1
10. �

�x  y  z  6  1
�
�xy  yz   zx  7  2 
�2
x  y 2  z 2  14  3 
11. �

a) Từ phương trình

 1

và

 3

hãy tính

xy  yz  zx

b) Từ phương trình

 2

và

 4

hãy tìm

y  x  z

c) Từ phương trình

 1

và

 5

x  z
hãy tìm y và 
. Sau đó hãy tìm x, y, z.

�x  y  z  4  1
�
�xy  yz  zx  11  2 
�2
x  y 2  z 2  14  3
12. �

 4

 5


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

a) Từ phương trình

 1

và

 3

hãy tính

xy  yz  zx

b) Từ phương trình

 2

và

 4

hãy tìm

x y  z

c) Từ phương trình

 1

và

 5

y  z
hãy tìm y và 
. Sau đó hãy tìm x, y, z.

13.

�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  7
�x 2  y 2  z 2  14

�

16.

�x  y  z  3
�
�xy  yz  zx  2
�x 2  y 2  z 2  5
�

�x  y  z  6
�
�yz  zx  xy  7
�x 2  y 2  z 2  14
19. �

 4

 5

14.

�x  y  z  2
�
�yz  zx  xy  7
�x 2  y 2  z 2  14
�

17.

�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  1
�x 2  y 2  z 2  14
�

15.

�x  y  z  1
�
�xy  yz  zx  2
�x 2  y 2  z 2  29
�

18.

�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  7
�x 2  y 2  z 2  14
�

�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  1
�x 2  y 2  z 2  14
20. �

�
2  x  y   xy

 1
�
�xy  yz  zx  108  2 
�
xyz  180
 3
21. �

xy
�
x y 
�
�
2
�
�xy  xyz  108
1
2
2
a) Từ phương trình   và   hãy chứng minh rằng: �
b) Tìm x, y, z.
�
2  x  y   3xy  1
�
�xy  yz  zx  11  2 
�
xyz  6
 3
22. �

3 xy
�
x y 
�
�
2
�
�xy  3 xy  11
1
2
2
a) Từ phương trình   và   hãy chứng minh rằng: �
b) Tìm x, y, z.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�x  y  xy
�
�xy  yz  zx  27
�
2 xyz  45
�

�
15  y  z   8 yz
�
�xy  yz  zx  23
�xyz  15
24. �

�
3  x  z   2 xz
�
�xy  yz  zx  44
�xyz  48
25. �

�
2  y  z   yz
�
�xy  yz  zx  99
�xyz  162
26. �

23.

Bài 9.Giải các hệ phương trình BA ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I sau đây
�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  12
�
1. �xyz  8

4.

�x  y  z  1
�
�xy  yz  zx  3
�xyz  2

�

�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  12
�
2. �xyz  8

5.

�x  y  z  6
�
�xy  yz  zx  11
�
3. �xyz  6

�x  y  z  5
�
�xy  yz  zx  5
�xyz  3
�

�
�x  y  z  6
�
�
�xy  yz  zx  12
�2 2 2
�   3
x y z

6. �
(Từ phương trình thứ ba của hệ hãy tìm

xyz rồi đưa về dạng những bài ở trên)

�
�x  y  z  2
�
�
�xy  yz  zx  1
�2 2 2
�    1
7. �x y z

�
�x  y  z  7
�
�
�xy  yz  zx  14
�4 4 4
�    7
8. �x y z

�
�x  y  z  3
�
�
�xy  yz  zx  6
�4 4 4
�   3

9. �x y z

�
13
�x  y  z 
3
�
�
�xyz  1
�1 1 1 13
�  
10. �x y z 3
(Tìm xy  yz  zx từ phương trình thứ ba của hệ để đưa về dạng của những bài ở trên)


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
5
�x  y  z  4
�
1
�
�xyz 
2
�
�1 1 1 7
�x  y  z  2
11. �

�
1
�x  y  z  
2
�
�
�xyz  1
�1 1 1 5
�  
12. �x y z 2

�
7
�x  y  z  3
�
8
�
�xyz 
3
�
1
�1 1 1
�x  y  z   4
13. �

�
�x  y  z  13
�
�
�xyz  27

�3 3 3 13
�  
14. �x y z 3

�
1
�x  y  z   2
�
5
�
�xy  yz  zx 
2
�
1
1
1
�1
�x  1  y  1  z  1  2
15. �
(Từ phương trình thứ ba quy đồng mẫu cả hai vế để tìm xyz rồi
đưa về dạng những bài đã làm ở trên)

�
2
�x  y  z 
3
�
�
�xy  yz  zx  4
�1

1
1
1
�



16. �x  1 y  1 z  1 15

�
5
�x  y  z  2
�
�
�xy  yz  zx 
�
1
�1
�x  1  y  1 
17. �

�
3
�x  y  z 
4
�
�
�xy  yz  zx  9
�1
1

1
21
�



18. �x  1 y  1 z  1 32

�
�x  y  z  1
�
�
�xy  yz  zx  10
�2
2
2
1
�



19. �x  2 y  2 z  2 2

20.

�x  y  z  2
�2
2
2
�x  y  z  6

�x3  y 3  z 3  8
�

a) Tính xy  yz  zx

1
2
1
5

z 1 2


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9
3
3
3
b) Phân tích x  y  z  3xyz thành tích rồi từ đó tính xyz.

c) Tìm x, y, z.
�x  y  z  2
�2
2
2
�x  y  z  6
�x 3  y 3  z 3  8
21. �
a) Tính xy  yz  zx
3
3

3
b) Phân tích x  y  z  3xyz thành tích rồi từ đó tính xyz.

c) Tìm x, y, z.

22.

�x  y  z  1
�2
2
2
�x  y  z  1
�x 3  y 3  z 3  1
�

�x  y  z  4
�2
2
2
�x  y  z  18
�x 3  y 3  z 3  64
24. �

26.

23.

�x  y  z  1
�2
2

2
�x  y  z  1
�x 3  y 3  z 3  1
�

�x  y  z  3
�2
2
2
�x  y  z  17
�x 3  y 3  z 3  27
25. �

�x  y  z  3
�2
2
2
�x  y  z  12
�x 4  y 4  z 4  57
�

2 2
2 2
2 2
a) Tính xy  yz  zx, x y  y z  z x , xyz

b) Tìm x, y, z.
�x  y  z  3
�2
2

2
�x  y  z  7
�x 4  y 4  z 4  23
27. �
2 2
2 2
2 2
a) Tính xy  yz  zx, x y  y z  z x , xyz

b) Tìm x, y, z.

28.

�x  y  z  6
�2
2
2
�x  y  z  14
�x 4  y 4  z 4  98
�

29.

�x  y  z  1
�2
2
2
�x  y  z  21
�x 4  y 4  z 4  273
�

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�x  y  z  4
�2
2
2
�x  y  z  14
�x 4  y 4  z 4  98
30. �
a) Từ phương trình

 1

�1
�x

 x  y  z � 

31.
và

 2

�x  y  z  3  1
�
�1 1 1 1
�     2
�x y z 3

�
2x2  y  1
 3
�

chứng minh rằng:

1 1�
 � 1 �  x  y   y  z   z  x   0
y z�

b) Tìm x, y , z trong từng trường hợp của câu a.
�
�x  y  z  2  1
�
�1 1 1 1
�     2
�x y z 2
�1 2
3
 3
� y z
�
2
2
32.
a) Từ phương trình

 1

�1
�x

 x  y  z � 

và

 2

chứng minh rằng:

1 1�
 � 1 �  x  y   y  z   z  x   0
y z�

b) Tìm x, y , z trong từng trường hợp của câu a.

33.

�x  y  z  3
�
�1 1 1 1
�  
�x y z 3
�
2z2  y  1
�

1
�

�x  y  z  4
�
�1 1 1
�   4
�x y z
�
2 x2  5z  3
�
34. �

[PTNK BAN CD 1999 – 00]
1
�
�x  y  z  2
�
�1 1 1
�    2
�x y z
�x 2  2 y  1
�
35. �

Bài 10.Chứng minh các bất đẳng thức trong hệ phương trình ba ẩn đối xứng loại I


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�x  y  z  4
�
�2

11
x  y2  z2 
�
2 .
1. Cho hệ phương trình sau có nghiệm: �

a) Tính y  z, yz theo x .
5
1 �x, y, z �
3
b) Sử dụng định lý viet đảo để chứng minh rằng:

�x  y  z  3
�2
2
2
2. Cho hệ phương trình sau có nghiệm: �x  y  z  9
a) Tính y  z, yz theo x .
b) Sử dụng định lý viet đảo để chứng minh rằng: 1 �x, y, z �3

�x  y  z  5
7
�2
1 �x, y, z �
2
2
3
3. Cho hệ phương trình sau có nghiệm: �x  y  z  9 . Chứng minh rằng:
[PTNK BAN AB 1996 – 1997, VÒNG 2)
�x  y  z  1

�
�2
9
4
x  y2  z2 
�x, y, z �2
�
2 . Chứng minh rằng: 3
4. Cho hệ phương trình sau có nghiệm: �
.

�x  y  z  15
�2
2
2
x

y

z
 81 . Chứng minh rằng: 3 �x, y, z �7
�
5. Cho hệ phương trình sau có nghiệm:
Bài 11.Giải các hệ phương trình ba ẩn đối xứng loại II sau
Dạng 1. Sử dụng kĩ thuật CỘNG VẾ theo vế để TÌM TỔNG của ba nghiệm sau đó tìm
các nghiệm còn lại.

1.

�x  y  8

�
�y  z  9
�z  x  5
�

�x  y  0
�
�y  z  6
�
4. �z  x  12

2.

�x  y  4
�
�y  z  10
�z  x  8
�

�x  y  10
�
�y  z  14
�
5. �z  x  12

Dạng 2.Đặt ẩn phụ đưa về dạng 1

3.

�x  y  3

�
�y  z  9
�z  x  2
�

�x  y  15
�
�y  z  17
�
6. �z  x  16


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
5 xy  6  x  y   1
�
7 yz  12  y  z   2 
�
�
3 zx  4  x  z   3
1. �
a) Giả sử trong ba số x, y , z có một số bằng 0 thì hai số cịn lại sẽ như thế nào:.
b) Chia cả hai vế của phương trình

 1 cho

xy , phương trình  2  cho yz , phương trình  3

1

1
1
X  ;Y  ; z 
x
y
z để đưa hệ đã cho về ẩn X ,Y ,Z
cho zx sau đó đặt
c) Tìm x, y, z .
�
7 xy  12  x  y   1
�
9 yz  20  y  z   2 
�
�
8 zx  15  x  z   3
2. �
a) Giả sử trong ba số x, y , z có một số bằng 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào?
b) Chia cả hai vế của phương trình

 1 cho

xy , phương trình  2  cho yz , phương trình  3

1
1
1
X  ;Y  ; z 
x
y
z để đưa hệ đã cho về ẩn X ,Y ,Z

cho zx sau đó đặt
c) Tìm x, y, z .
�
5 xy  6  x  y 
�
�yz  2  y  z 
�
2 zx  3  x  z 
3. �

�
9 xy  14  x  y 
�
3 yz  14  y  z 
�
�
4 zx  7  x  z 
4. �

�
8 xy  15  x  y 
�
12 yz  35  y  z 
�
�
10 zx  21 x  z 
5. �

Dạng 3. Bổ sung hằng đẳng thức sau đó đặt ẩn phụ đưa về dạng 1
�x 2  y 2  2  x  y   0

�
�2
2
�y  z  2  y  z   0
�2
z  x2  2  z  x   0
1. �

a) Chứng minh rằng hệ đã cho được biến đổi về dạng:
2
2
�
 x  1   y  1  2
�
2
2
�
 y  1   z  1  2
�
�
2
2
 z  1   x  1  2
�
�


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

X   x  1 ; Y   y  1 ; Z   z  1

2

b) Đặt
x , y , z.

2

2

để đưa hệ đã cho về ẩn X , Y , Z . Sau đó tìm

�x 2  y 2  4  x  y   0
�
�2
2
�y  z  4  y  z   0
�2
z  x2  4  z  x   0
�
2.

a) Chứng minh rằng hệ đã cho được biến đổi về dạng:
2
2
�
 x  2   y  2  8
�
2
2
�

 y  2   z  2  8
�
�
2
2
z  2   x  2  8

�
�

X   x  2  ;Y   y  2 ; Z   z  2 
2

b) Đặt
x , y , z.

2

2

để đưa hệ đã cho về ẩn X , Y , Z . Sau đó tìm

�x 2  y 2  2  x  y   0
�
�2
2
�y  z  2  y  z   0
�2
z  x2  2  z  x   0
�

3.

�x 2  y 2  4  x  y   0
�
�2
2
�y  z  4  y  z   0
�2
z  x2  4  z  x   0
�
4.

�
x 2  y 2  6 x  y   0
�
�2
2
�y  z  6 y  z   0
�2
z  x 2  6 z  x   0
�
5.

�
x 2  y 2  8 x  y   0
�
�2
2
�y  z  8 y  z   0
�2

z  x 2  8 z  x   0
�
6.

�
x 2  y 2  6 x  y   0
�
�2
2
�y  z  6 y  z   0
�2
z  x 2  6 z  x   0
�
7.

Dạng 4. Sử dụng kĩ thuật NHÂN VẾ theo vế để TÌM TÍCH của ba nghiệm sau đó tìm các
nghiệm còn lại
�
xy  2
�
�yz  6
�
zx  3
1. �

�xy  6
�
�yz  12
�zx  8
2. �

�xy  3
�
�yz  15
�zx  5
3. �


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
xy  15
�
�yz  35
�
zx  21
4. �

7.

�xy  4
�
�yz  12
�zx  6
�

�
1
�xy  6
�

1
�
�yz 
12
�
1
�
�zx  8
5. �

8.

�
xy  1
�
�yz  3
�
zx  9
�

�
�xy  1
�
1
�
�yz 
6
�
1
�

zx 
�
3
6. �
�
 x  y   y  z   15
�
�
 y  z   z  x   20
�
�
 z  x   x  y   12
�
x, y , z  0
9. �
 x  y   y  z  z  x

a) Nhân vế theo vế các phương trình lại để tìm
b) Tìm x, y, z.
�
�
 x  y   y  z  3
 x  y   y  z   35
�
�
�
�
 y  z  z  x  6
 y  z   z  x   42
�

�
�
�
 z  x  x  y   2
 z  x   x  y   30
�
�
x, y ,z  0
x , y ,z  0
10. �
11. �
�
x  xy  y   x  1  y  1  1
�
�
�y  yz  z   y  1  z  1  1
�
z  zx  x   z  1  x  1  1
a) Chứng minh rằng: �
b) Tìm x, y, z.
�
�
x  xy  y  1
x  xy  y  1
�
�
�y  yz  z  5
�y  yz  z  13
�
�

z  zx  x  2
z  zx  x  6
�
13.
14. �
�
xy  x  y   x  1  y  1  1
�
�
�yz  y  z   y  1  z  1  1
�
zx  z  x   z  1  x  1  1
a) Chứng minh rằng: �
b) Tìm x, y, z.
�
xy  x  y  5
�
�yz  y  z  14
�
zx  x  z  9
�
16.

17.

12.

�
x  xy  y  1
�

�y  yz  z  4
�
z  zx  x  9
�

15.

�
xy  x  y  1
�
�yz  y  z  7
�
zx  z  x  3
�

�
xy  x  y  3
�
�yz  y  z  19
�
zx  x  z  4
�

�
2xy  x  y  1 (1)
�
2yz  y  z  1 (2)
�
�
2zx  z  x  1 (3)

18. �
a) Nhân mỗi vế của phương trình (1), (2), (3) cho 2 để đưa hệ phương trình đã cho về


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
 2x  1  2y  1  3
�
�
 2y  1  2z  1  3
�
�
 2z  1  2x  1  3
dạng: �
b) Tìm x, y, z.
�
�
�
2xy  x  y  1
2xy  x  y  2
2xy  x  y  2
�
�
�
2yz  y  z  1
2yz  y  z  2
2yz  y  z  2
�
�

�
�
�
�
2zx  z  x  1
2zx  z  x  2
2zx  z  x  2
19. �
20. �
21. �
Dạng 5. Sử dụng kết hợp kĩ thuật CỘNG VẾ theo vế và NHÂN VẾ theo vế.

1.

�
xy  yz  8
�
�yz  zx  9
�
zx  xy  5
�

a) Cộng vế theo vế ba phương trình của hệ để tìm: xy  yz  zx ,xy , yz ,zx,xyz.
b) Tìm x, y, z.

2.

�
xy  yz  12
�

�yz  zx  15
�
zx  xy  7
�

3.

�
xy  yz  18
�
�yz  zx  20
�
zx  xy  8
5. �

�
xy  yz  21
�
�yz  zx  25
�
zx  xy  16
�

�
xy  yz  32
�
�yz  zx  35
�
zx  xy  27
6. �

4.

�
xy  yz  16
�
�yz  zx  21
�
zx  xy  9
�







�
6x y 2  z 2  13yz
�
�
3y z 2  x 2  5zx
�
�
6z x 2  y 2  5xy
�
�
7.





(1)
(2)
(3)

a) Giả sử một trong ba số x, y, z bằng 0, tìm hai số cịn lại.
b) Chia hai vế của phương trình (1) cho yz, phương trình (2) cho zx, phương trình (3) cho

xy.Sau đó đặt

X 

yz
xz
xy
;Y  ; Z 
x
y
z để đưa hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

c) Tìm x, y, z.






�
12x y 2  z 2  37yz

�
�
12y z 2  x 2  17zx
�
�
3z x 2  y 2  13xy
�
�
8.







(1)
(2)
(3)

a) Giả sử một trong ba số x, y, z bằng 0, tìm hai số cịn lại.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

b) Chia hai vế của phương trình (1) cho yz, phương trình (2) cho zx, phương trình (3) cho

xy.Sau đó đặt

X 

yz
xz
xy
;Y  ; Z 
x
y
z để đưa hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

c) Tìm x, y, z.





�
5x y 2  z 2  29yz
�
�
20y z 2  x 2  17zx
�
�
20z x 2  y 2  101xy
�
�
9.











�
3x y 2  z 2  5yz
�
�
12y z 2  x 2  37zx
�
�
12z x 2  y 2  5xy
�
�
11.












�
9x y 2  z 2  13yz
�
�
4y z 2  x 2  13zx
�
�
36z x 2  y 2  97xy
�
�
10.











�
4x y 2  z 2  5yz
�
� 2
y z  x 2  5zx
�
�
4z x 2  y 2  17xy

�
�
12.









�
3
xyz  x  z
�
2
�
�
xyz  y  3x
�
�
xyz  z  4y
�
13. �

a) Nếu một trong ba số x, y, z = 0 thì hai số cịn lại sẽ như thế nào?

b) Chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz, sau đó đặt
hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
yz
zx
xy để đưa

c) Tìm X, Y, Z sau đó tìm x, y, z.
�
7
x (yz  1)  z
�
3
�
�
�y (xz  1)  8x
�
9
�
z (xy  1)  y
2
14. �

a) Nếu một trong ba số x, y, z = 0 thì hai số còn lại sẽ như thế nào?

b) Chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz, sau đó đặt

hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.
c) Tìm X, Y, Z sau đó tìm x, y, z.

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
yz
zx
xy để đưa


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
13
x (yz  1)  z
�
6
�
�
�y (xz  1)  14x
�
z (xy  1)  9y
�
15. �

17.

�y (xz  1)  8x
�
z (xy  1)  14y
�
�
x (zy  7)  2z
�

16.

�y (xz  1)  5x
�
z (xy  1)  8y
�
�
2x (yz  1)  3z
�

18.

�
x (yz  5)  11z
�
�y (xz  2)  55x
�
z (xy  1)  22y
�

Dạng 6.Đặt ẩn phụ đưa về dạng 4.

�xyz
24
�y  x  5 (1)
�
�xyz
24

(2)
�
y

z
7
�
�xyz
1

(3)
�
x

z
4
1. �
a) Nghịch đảo hai vế của phương trình (1) , phương trình (2), phương trình (3) sau đó

đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
yz
xz
xy để đưa hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

b) Tìm x, y, z.
�xyz
�y  x  2
�
�xyz
6

�
�y  z 5
�xyz 3

�
x

z
2
�
2.
a) Nghịch đảo hai vế của phương trình (1) , phương trình (2), phương trình (3) sau đó đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
yz
xz
xy để đưa hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

b) Tìm x, y, z.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�xyz
20
�y  x  9
�
�xyz
4
�
y

z
�
�xyz 10

�
x

z

3
�
3.

�xyz
�y  x  8
�
�xyz
24

�
�y  z 5
�xyz
6
�
x

z
�
4.

�xyz 12
�y  x  7
�
�xyz
3
�
�y  z
�xyz 12


�
x

z
5
�
6.

�xyz
3
�y  x  2
�
�xyz
4
�
�y  z
�xyz 12

�
x

z
7
�
7.

�xyz 105
�y  x  8
�
�xyz

35

�
�y  z 4
�xyz 21

�
x

z
2
�
5.

8.

�
x  y  z  xyz
�
�y  z  x  xyz
�
z  x  y  xyz
�

a) Giải hệ trong trường hợp xyz  0.
b) Trong trường hợp xyz �0 thì chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz. Sau đó đặt

X 

1

1
1
;Y  ; Z 
yz
xz
xy để đưa hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

c) Tìm x, y, z.

9.

�
x  y  z  4xyz
�
�y  z  x  4xyz
�
z  x  y  4xyz
�

a) Giải hệ trong trường hợp xyz  0.
b) Trong trường hợp xyz �0 thì chia cả hai vế của ba phương trình cho xyz. Sau

đó đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 

yz
xz
xy để đưa hệ đã cho về ẩn X, Y, Z.

c) Tìm x, y, z.

10.

�
x  y  z  3xyz
�
�y  z  x  3xyz
�
z  x  y  3xyz
�

11.

�
x  y  z  5xyz
�
�y  z  x  5xyz
�
z  x  y  5xyz
�

12.

�
x  y  z  6xyz

�
�y  z  x  6xyz
�
z  x  y  6xyz
�


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
�x  y   y  z   4xy 2z
�
 y  z   z  x   4xyz 2
�
�
 z  x   x  y   4x 2yz
13. �

a) Nếu một trong ba số x, y, z = 0 thì hai số cịn lại sẽ như thế nào?
2
b) Chia cả hai vế phương trình (1) cho xy z , chia cả hai vế phương trình (2) cho

2

2

xyz , chia cả hai vế phương trình (3) cho x yz . Sau đó đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
x
y
z

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.
c) Tìm x, y, z.
�
�x  y   y  z   xy 2z
�
 y  z   z  x   xyz 2
�
�
z  x   x  y   x 2yz

�
14.

�
9 x  y   y  z   4xy 2z
�
�
9 y  z   z  x   4xyz 2
�
�
9 z  x   x  y   4x 2yz
�

15.

�
4 x  y   y  z   xy 2z
�
�
4 y  z   z  x   xyz 2
�
�
4 z  x   x  y   x 2yz
16. �

�
25 x  y   y  z   4xy 2z
�
�
25 y  z   z  x   4xyz 2
�
�
25 z  x   x  y   4x 2yz
17. �

�
�x  y   y  z   16xy 2z
�
 y  z   z  x   16xyz 2
�
�
 z  x   x  y   16x 2yz
18. �

�
xz  xy  x 2  2
�
xy  yz  y 2  3
�
�
xz  yz  z 2  4
19. �

(1)
(2)
(3)

a) Chứng minh rẳng: x , y ,z �0.
2
b) Chia cả hai vế phương trình (1) cho x yz , chia cả hai vế phương trình (2) cho

2

2

xy z , chia cả hai vế phương trình (3) cho xyz . Sau đó đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 

yz
zx
xy

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.
c) Từ hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z hãy cộng vế theo vế để chứng minh rằng:

X Y  Z  2Y Z  3ZX  4XY . Từ đó chứng minh rằng ta có hệ phương trình mới:


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

�
4Y  3Z  2
�
�Z  2X  1
�
3X  2Y  2
�

d) Tìm x, y, z.

20.

�
xz  xy  x 2  3
�
xy  yz  y 2  4
�
�

xz  yz  z 2  5
�

(1)
(2)
(3)

a) Chứng minh rẳng: x , y ,z �0.
2
b) Chia cả hai vế phương trình (1) cho x yz , chia cả hai vế phương trình (2) cho

xy 2z , chia cả hai vế phương trình (3) cho xyz 2 . Sau đó đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
yz
zx
xy

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.
c) Từ hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z hãy cộng vế theo vế để chứng minh rằng:

X Y  Z  3Y Z  4ZX  5XY . Từ đó chứng minh rằng ta có hệ phương trình mới:
�
5Y  4Z  2
�

3Z  5X  2
�
�
4X  3Y  2
�

d) Tìm x, y, z.

21.

�
xz  xy  x 2  4
�
xy  yz  y 2  6
�
�
xz  yz  z 2  8
�

(1)
(2)
(3)

a) Chứng minh rẳng: x , y ,z �0.
2
b) Chia cả hai vế phương trình (1) cho x yz , chia cả hai vế phương trình (2) cho

2

2

xy z , chia cả hai vế phương trình (3) cho xyz . Sau đó đặt

X 

1
1
1
;Y  ; Z 
yz
zx
xy

để đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.
c) Từ hệ phương trình theo ẩn X, Y, Z hãy cộng vế theo vế để chứng minh rằng:


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

X Y  Z  4Y Z  6ZX  8XY . Từ đó chứng minh rằng ta có hệ phương trình mới:
�
4Y  3Z  1
�
2Z  4X  1
�
�
3X  2Y  1
�

d) Tìm x, y, z.

Dạng 7. Sử dụng kĩ thuật TRỪ VẾ theo vế

1.

�
x  yz  2
�
�y  zx  2
�
z  xy  2
�

(1)
(2)
(3)

a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh rằng:

 x  y   z  1  0.

b) Tìm x, y, z.

2.

�
x  yz  6
�
�y  zx  6
�
z  xy  6

�

5.

�
4x  4yz  1
�
4y  4zx  1
�
�
4z  4xy  1
�

3.

�
x  yz  0
�
�y  zx  0
�
z  xy  0
�

�
x  yz  12
�
�y  zx  12
�
z  xy  12
�

4.

6.

�
9x  9yz  2
�
9y  9zx  2
�
�
9z  9xy  2
�

�x 2  yz  y  z
�2
�y  zx  z  x
�z 2  zy  x  y
7. �

�
xy
�
z  x  y 1
a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh �
�
x 2  xz  x  z
�
�2
z  x 2  2x

x

y
b) Trong trường hợp
, hãy chứng minh rằng hệ đã cho có �

Lúc đó hãy trừ vế theo vế hai phương trình (4) và (5) để tìm x, y, z.
c) Trong trường hợp z  x  y  1 hãy chứng minh rằng hệ đã cho có dạng:
�x 2  y 2  xy - x - y -1 0
(6)
�
�2
2
�x  y  3xy  x  y  1 0 (7) .

Lúc đó hãy trừ vế theo vế hai phương trình (6) và (7) để tìm x, y, z.

(4)
(5) .


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

8.

�x 2  yz  2y  2z (1)
�2
�y  zx  2z  2x (2)
�z 2  xy  2x  2y (3)
�

�
xy
�
z  x y 2
a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh �
2
�
�x  xz  2x  2z
�2
2
x

y
b) Trong trường hợp
, hãy chứng minh rằng hệ đã cho có �z  x  4x

Lúc đó hãy trừ vế theo vế hai phương trình (4) và (5) để tìm x, y, z.
c) Trong trường hợp z  x  y  2 hãy chứng minh rằng hệ đã cho có dạng:
�
x 2  xy  y 2 -2x -2y - 4  0
(6)
�
�2
x  3xy  y 2  2x  2y  4  0 (7) .
�

Lúc đó hãy trừ vế theo vế hai phương trình (6) và (7) để tìm x, y, z.
�
x 2  yz  3 y  z 

�
�2
�y  zx  3 z  x 
�2
z  xy  3 x  y 
9. �

11.

�
3x 2  3yz  y  z
� 2
3y  3zx  z  x
�
�
3z 2  3xy  x  y
�

�
xyz  x  y  z
�
�yzt  y  z  t
�
ztx  z  t  x
�
�
txy  t  x  y
13. �

10.

�
2x 2  2yz  y  z
� 2
2y  2zx  z  x
�
�
2z 2  2xy  x  y
�

�
3(x 2  yz )  2 y  z 
�
� 2
3(y  zx )  2 z  x 
�
� 2
3(z  xy )  2 x  y 
12. �

(1)
(2)
(3)
(4)

�
x t
�
yz  1.
a) Trừ vế theo vế phương trình (1) và (2) hãy chứng minh rằng: �

b) Trong trường hợp x  t hãy chứng minh rằng hệ đã cho có dạng :

(4)
(5) .