Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 4

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

BÀI 7. CÁC LOẠI HỆ CĨ THAM SỐ

Bài 1: Cho phương trình:

ìï x 2 + y 2 + 4x + 4y = 44
ïí
ïï xy ( x + 4) ( y + 4) = 4m
ỵ

2

u = ( x + 2) ; v = ( y + 2 )

2

a) Đặt
hãy đưa hệ phương trình trên về hệ phương trình theo ẩn u và
v.
b) Tìm điều kiện của m đề hệ phương trình đã cho có nghiệm x,y.
ìï x 2 + y 2 - 2x - 2y = 11
ïí
ïï xy ( x - 2)( y - 2) = m
ỵ
Bài 2. Cho hệ phương trình:
2

u = ( x - 1) ; v = ( y - 1)

2

a) Đặt
hãy đưa hệ phương trình trên về hệ phương trình theo ẩn u và
v.
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x,y.
ìï x 2 + y 2 + 2x + 2y = 11
ïí
ïï xy ( x + 2) ( y + 2) = m
ỵ
Bài 3. Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 24.
b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
ïìï x + y = m
í 2
ïïỵ x + y 2 - xy = m
Bài 4. Cho hệ phương trình:
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã
x, y >0
cho có nghiệm
.
ïìï x + y = m
í 2
ïïỵ x + y 2 - xy = m
Bài 5. Cho hệ phương trình:
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã
x, y >0
cho có nghiệm
.
ìï 2x + 2y = m
ïí

ïïỵ 4x 2 + 4y 2 - 4xy = m
Bài 6. Cho hệ phương trình:
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình
x, y >0
đã cho có nghiệm
.
ìï xy ( x + 4) ( y + 4) = m
ï
í 2
ïï x + y 2 + 4( x + y) = 5
ỵ
Bài 7. Cho hệ phương trình:
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình
đã cho có nghiệm.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

ìï
ïï
ïï
ïï
ï
í
ïï
ïï
ïï
ïï
ỵ

xyz
= 2- m
x +y
xyz
=1
y +z
xyz
=2
z +x

Bài 8. Cho hệ phương trình:
m=2
a) Nếu
thì nghiệm của hệ phương trình đã cho như thế nào?

X=

1
2
1
, Y= , Z=
yz
xz
xy

b)Nghịch đảo cả hai vế của ba phương trình của hệ sau đó đặt
đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.
X +Y +Z
c) Tính
theo m rồi suy ra X, Y, Z theo m.

d) Định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
ìï xyz
ïï
= 3m - 2
ïï x + y
ïï
ï xyz = 1
í
ïï y + z
ïï
ïï xyz = 2
ïï z + x
ỵ
Bài 9. Cho hệ phương trình:
3
m=
2
a) Nếu
thì nghiệm của hệ phương trình đã cho như thế nào?

X=
b)Nghịch đảo cả hai vế của ba phương trình của hệ sau đó đặt
đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn X, Y, Z.
X +Y +Z
c) Tính
theo m rồi suy ra X, Y, Z theo m.
d) Định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
ìï xyz
ïï
= m +2

ïï x + y
ïï
ï xyz = 1
í
ïï y + z
ïï
ïï xyz = 2
ïï z + x
ỵ
Bài 10. Cho hệ phương trình:
2
m=
3
a) Nếu
thì nghiệm của hệ phương trình đã cho như thế nào?

để

1
2
1
, Y= , Z=
yz
xz
xy
để


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

X=

1
1
1
,Y = , Z =
yz
xz
xy

b) Nghịch đảo cả hai vế của ba phương trình của hệ sau đó đặt

để

X ,Y , Z.

đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình theo ba ẩn
X , Y, Z
m
m.
X +Y + Z
c) Tính
theo rồi suy ra
theo
m
d) Định để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 11. Cho hệ phương trình:

Bài 12. Cho hệ phương trình:

 xyz
x + y = m

 xyz
=1 .

y
+
z

 xyz
=2

z + x

Định

m

 x 2 + y 2 = 2 ( 1 + a )

2
( x + y ) = 4

a) Chứng minh rằng nếu

( x0 ; y0 )

để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

(1)
(2)

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( − x0 ; − y0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của a
để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị củaa tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 13: Cho hệ phương trình:

( x + y ) 4 + 13 = 6 x 2 y 2 + m (1)

2
2
(2)
 xy ( x + y ) = m

a) Chứng minh rằng nếu

( x0 ; y0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( − x0 ; − y0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m
để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 14: Cho hệ phương trình:

 x 2 + y 2 = 8 ( 1 + m )

2
( x + y ) = 16

( 1)
(2)
.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Tìm điều kiệm của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 15: Cho hệ phương trình:

( x + y ) 4 + 52 = 12 x 2 y 2 + m

2
2
 xy ( x + y ) = m

(1)

( 2)
.

Tìm điều kiệm của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 16: Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 xyz + z = a
 2
 xyz + z = b
 x2 + y 2 + z 2 = 4


( x0 ; y0 ; z0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( − x0 ; − y0 ; z0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của
a và b để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của a và b tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 17: Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 xyz + x = a
 2
 xyz + x = b
 x2 + y 2 + z 2 = 4


( x0 ; y0 ; z0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( x0 ; − y0 ; − z0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của
a và b để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của a và b tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 18: Cho hệ phương trình:
đã cho có nghiệm duy nhất.

 xyz + z = 2a
 2
 xyz + z = 2b
 x2 + y 2 + z 2 = 4


. Tìm điều kiệm của a và b để hệ phương trình

2 xyz + 2 z = a

2
4 xyz + 2 z = b
 x2 + y 2 + 4 z 2 = 4


Bài 19: Cho hệ phương trình:

trình đã cho có nghiệm duy nhất.

. Tìm điều kiệm của a và b để hệ phương


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

4 xyz + 4 z = a

2
4 xyz + 4 z = b
 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16


Bài 20: Cho hệ phương trình:
trình đã cho có nghiệm duy nhất.

 xyz + 4 z = 2a
 2
 xyz + 2 z = b
 x 2 + y 2 + 16 z 2 = 16


Bài 21: Cho hệ phương trình:
trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 22. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

x y

y + x =m

x + y = 8


. Tìm điều kiệm của a và b để hệ phương

. Tìm điều kiệm của a và b để hệ phương

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 23. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

x y
y + x =m

 x + y = 16


( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 24. Cho hệ phương trình:

x y
y + x =m

x + y = 4


( 1)
( 2)

Tìm điều kiệm của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 25. Cho hệ phương trình:

x y
y + x =m

x + y = 1


( 1)
( 2)

Tìm điều kiệm của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 26. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

1 1

 x + y + x + y = 2m − 4


 x2 + y 2 + 1 + 1 = m

x2 y2

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 27. Cho hệ phương trình:

1 1

 x + y + x + y = 4m − 4


 x 2 + y 2 + 1 + 1 = 2m

x2 y 2

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 28. Cho hệ phương trình:

4 4

x + y + x + y = m − 8


 x 2 + y 2 + 16 + 16 = m

x2 y2

( 1)

( 2)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 29. Cho hệ phương trình:

1
1

 x + y + 4 x + 4 y = 4m − 2


 x2 + y 2 + 1 + 1 = m

16 x 2 16 y 2

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 30. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 x 2 + xy + y 2 = m + 6

2 x + xy + 2 y = m

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 31. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 x 2 + xy + y 2 = m + 24 ( 1)

( 2)
 4 x + xy + 4 y = m

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 32. Cho hệ phương trình:

3x 2 + 3 xy + 3 y 2 = m + 2 ( 1)


( 2)
2 x + 3xy + 2 y = m

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 33. Cho hệ phương trình:

 x 2 + xy + y 2 = 7m + 6

2 x + xy + 2 y = 7 m

( 1)
( 2)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 34. Cho hệ phương trình:

 x 2 y + xy 2 = 2 ( m + 1)

 xy + x + y = 2(m + 2)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 35. Cho hệ phương trình:

2
2
 x y + xy = 4 ( m + 4 )


 xy + x + y = m + 8

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 36. Cho hệ phương trình:

4 x 2 y + 4 xy 2 = m + 1

4 xy + x + y = m + 2

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 37. Cho hệ phương trình:


 x + xy + y = 2m + 1

2

 xy ( x + y ) = m + m

S = x + y, P = xy ,

a) Đặt
sau đó sử dụng định lí Viet đảo để tính S và P theo m.
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 38. Cho hệ phương trình:

 x + xy + y = m + 1

2
 xy ( x + y ) = m + 2m

S = x + y, P = xy ,

a) Đặt
sau đó sử dụng định lí Viet đảo để tính S và P theo m.
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 39. Cho hệ phương trình:


2 x + xy + 2 y = 4m + 4

2

 xy ( x + y ) = 2m + 4m

S = x + y, P = xy ,

a) Đặt
sau đó sử dụng định lí Viet đảo để tính 2S và P theo m.
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 40. Cho hệ phương trình:

1

 x + 2 xy + y = m + 2

2
2 xy ( x + y ) = m + m

4
4

S = x + y, P = xy ,

a) Đặt
sau đó sử dụng định lí Viet đảo để tính S và 2P theo m.
b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 41. Cho hệ phương trình:


3x + 2 xy + 3 y = 6m + 9

2

 xy ( x + y ) = 3m + 9m

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 42. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

( 1)
( 2)

 x3 + y 3 = m
 7
7
4
4
 x + y = x + y

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
x 7 + y 7 = ( x 4 + y 4 ) ( x 3 + y 3 ) − x 3 y 3 ( x + y ) , ∀x, y
b) Chứng minh rằng:
và từ (2) ta có
x 7 + y 7 = ( x 7 + y 7 ) ( x3 + y 3 ) − x3 y 3 ( x + y )

.
c) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 43. Cho hệ phương trình:

a) Chứng minh rằng nếu

( 1)
( 2)

 x3 + y 3 = m
 5
5
2
2
 x + y = x + y

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
x5 + y 5 = ( x3 + y 3 ) ( x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 ( x + y ) , ∀x, y
b) Chứng minh rằng:
và từ (2) ta có
x5 + y 5 = ( x5 + y 5 ) ( x3 + y 3 ) − x 2 y 2 ( x + y )

.

c) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 44. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 x5 + y 5 = m
 9
9
4
4
 x + y = x + y

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
x 9 + y 9 = ( x 5 + y 5 ) ( x 4 + y 4 ) − x 4 y 4 ( x + y ) , ∀x, y
b) Chứng minh rằng:
và từ (2) ta có
x9 + y 9 = ( x 9 + y 9 ) ( x5 + y 5 ) − x 4 y 4 ( x + y )

.
c) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 45. Cho hệ phương trình:

 x5 + y5 = m

 11
11
6
6

x + y = x + y

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 46. Cho hệ phương trình:

7
7
 x + y = m
 13
13
6
6
 x + y = x + y

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 47. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 x + y = 1
 5

5
 x + y = 31 − 5m

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Chứng minh rằng:
x 5 + y 5 = ( x 3 + y 3 ) ( x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 ( x + y ) = ( S 3 − 3SP ) ( S 2 − 2P ) − P 2 S, ∀x, y
c) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 48. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 x + y = 2
 5
5
 x + y = 31 − 5m

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Chứng minh rằng:
x 5 + y 5 = ( x 3 + y 3 ) ( x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 ( x + y ) = ( S 3 − 3SP ) ( S 2 − 2P ) − P 2 S, ∀x, y
c) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 49. Cho hệ phương trình:

x + y = 4
 5
5
 x + y = 31 − 5m

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 50. Cho hệ phương trình:

 x + y = −2
 5
5
 x + y = 31 − 5m

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 51. Cho hệ phương trình:

 x + y = −4
 5
5
 x + y = 31 − 5m

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 52. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 xy + x 2 = m ( y − 1)

2
 xy + y = m ( x − 1)

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho và khi đó ta có phương trình bậc hai ẩn

x0 : 2 x0 2 − mx0 + m = 0.

Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ phương trình đã cho có

nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 53. Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

 xy + x 2 = 2m ( y − 1)

2
 xy + y = 2m ( x − 1)

( 1)
( 2)

( x0 ; y0 )

( y0 ; x0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho và khi đó ta có phương trình bậc hai ẩn

x0 : 2 x0 2 − 2mx0 + 2m = 0.

Từ đó tìm điều kiện cần của m để hệ phương trình đã cho có

nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 54. Cho hệ phương trình:

 xy + x 2 = 4m ( y − 1)

2
 xy + y = 4m ( x − 1)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 55. Cho hệ phương trình:

 xy + x 2 = 2m ( y − 2 )

2
 xy + y = 2m ( x − 2 )

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 56. Cho hệ phương trình:

4 xy + 4 x 2 = m ( 2 y − 1)

2
4 xy + 4 y = m ( 2 x − 1)

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 57. Cho hệ phương trình:

( x + 1) 2 = y + a

2
( y + 1) = x + a

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 58. Cho hệ phương trình:

4 ( x + 1) 2 = 4 y + a

2
4 ( y + 1) = 4 x + a

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 59. Cho hệ phương trình:

( x + 2 ) 2 = 2 y + a

2
( y + 2 ) = 2 x + a

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 60. Cho hệ phương trình:

( 2 x + 1) 2 = 2 y + a


2
( 2 y + 1) = 2 x + a

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 61. Cho hệ phương trình:

2
 x = my − 1
 2
 y = mx − 1

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 62. Cho hệ phương trình:

2
 x = 2my − 1
 2
 y = 2mx − 1

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 63. Cho hệ phương trình:

 x 2 = 2my − 4


 2

 y = 2mx − 4

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 64. Cho hệ phương trình:

2

2 x = 2my − 2
 2

2 y = 2mx − 2

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 65. Cho hệ phương trình:

 x 2 = 3my − 9
 2
 y = 3mx − 9

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 66. Cho hệ phương trình:

 y 2 = x 3 - 4 x 2 + ax

 2

3
2

 x = y - 4 y + ay

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 67. Cho hệ phương trình:

− y 2 = x3 + 4 x 2 + ax
 2
3
2
− x = y + 4 y + ay

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 68. Cho hệ phương trình:

2 y 2 = x 3 − 8 x 2 + ax
 2
3
2
2 x = y − 8 y + ay

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 69. Cho hệ phương trình:

2 y 2 = 4 x3 − 8 x 2 + ax

 2
3
2
2 x = 4 y − 8 y + ay


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 70. Cho hệ phương trình:

3
2
2
 y = x + 7 y - my
 3
2
2
 x = y + 7 x − mx

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

7 x + y −

7 y + x −


a
=0

x2
.
a
=0
y2

Bài 71. Cho hệ phương trình:
Chứng minh với mọi giá trị của a khác 0 thì
hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.

Bài 72. Cho hệ phương trình:


2 x + y −

2 y + x −


a
=0
x2
.
a
=0
y2

Chứng minh với mọi giá trị của a khác 0 thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.

Bài 73. Cho hệ phương trình:


7 x + y +

7 y + x +


a
=0
x2
.
a
=0
y2

Chứng minh với mọi giá trị của a khác 0 thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.

Bài 74. Cho hệ phương trình:


a3
7 x + y − x 2 = 0

.

3
a
7 y + x −
=0

y2

Chứng minh với mọi giá trị của a khác 0 thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.

Bài 75. Cho hệ phương trình:


a3
2 x + y − x 2 = 0

.

3
a
2 y + x −
=0

y2

Chứng minh với mọi giá trị của a khác 0 thì hệ phương trình đã cho ln có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 76. Cho hệ phương trình:
a) Khi

 x2 + 3 + y = a

 2
 y + 5 + x = x 2 + 5 + 3 − a

a= 3

hãy dùng phương pháp bất đẳng thức để tìm x, y.
( x0 ; y0 )
b) Chứng minh rằng nếu
là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( − x0 ; − y0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của a
để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
c) Thử lại giá trị của a tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 77. Cho hệ phương trình:

 x2 + 9 + y = a

 2
 y + 15 + x = x 2 + 15 + 3 − a

a) Chứng minh rằng nếu

( x0 ; y0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( − x0 ; − y0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của a

để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của a tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 78. Cho hệ phương trình:

 x2 + 9 + y = a

 2 5
5
 y + + x = x2 + + 1 − a
5
3


.

Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 79. Cho hệ phương trình:

 x2 + 2 + y = m

 2
 y + 2 + x = 2m − 2

.

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 80. Cho hệ phương trình:

 x2 + 4 + y = m

 2
 y + 4 + x = 2m − 2

.

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Bài 81. Cho hệ phương trình:

 x2 + 1 + y = m

 2
 y + 1 + x = 2m − 1

.

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 82. Cho hệ phương trình:

 x + y = m
 4
4
8

 x + y = m

.

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

( x0 ; y0 )

(Hướng dẫn: Nếu
là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì
nghiệm của phương trình đã cho)

Bài 83. Cho hệ phương trình:

 x + y = m 2
 4
4
8
 x + y = ( m 2)

( y0 ; x0 )

cũng là

.

Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Bài 84. Cho hệ phương trình:

 1 − x + y = m

 1 − y + x = m

a) Chứng minh rằng nếu

( x0 ; y0 )

.

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( 1 − x0 ;1 − y0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần của
m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 85. Cho hệ phương trình:








1
−x+ y =m
2

1
−y+ x =m
2
.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

a) Chứng minh rằng nếu

( x0 ; y0 )

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

1
1

 − x0 ; − y0 ÷
2
2


cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần
của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

Bài 86. Cho hệ phương trình:

 2 − x + y = m


 2 − y + x = m

a) Chứng minh rằng nếu

( x0 ; y0 )

.

là một nghiệm của hệ phương trình đã cho thì

( 2 − x0 ;2 − y0 )

cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó tìm điều kiện cần
của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Thử lại giá trị của m tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.

 4 − x + y = m

 4 − y + x = m

Bài 87. Cho hệ phương trình:
cho có nghiệm duy nhất.

Bài 88. Cho hệ phương trình:
cho có nghiệm duy nhất.

Bài 89. Cho hệ phương trình:
cho có nghiệm duy nhất.
4

Bài 90. Cho phương trình:

 8 − x + y = m

 8 − y + x = m

 16 − x + y = m

 16 − y + x = m

. Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã

. Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã

. Tìm điều kiện của m để hệ phương trình đã

x + 4 1− x + x + 1− x = m

a) Chứng minh rằng nếu

x0

( 1 − x0 )

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.

m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9
4

Bài 91. Cho phương trình:

2x + 4 4 − 2x + x + 2 − x = m

( 2 − x0 )

x0

a) Chứng minh rằng nếu

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
4

4 x + 4 16 − 4 x + x + 4 − x = m

Bài 92. Cho phương trình:
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
4

8 x + 4 64 − 8 x + x + 8 − x = m

Bài 93. Cho phương trình:
trình đã cho có nghiệm duy nhất.
3

( ax + b )

2

. Tìm điều kiện của

. Tìm điều kiện của

m

m

để

để phương

+ 3 ( ax − b ) + 3 a 2 x 2 − b 2 = 3 b
2

Bài 94. Cho phương trình:

.

a) Chứng minh rằng nếu

( − x0 )

x0

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
a, b
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
a b
b) Thử lại các giá trị của và tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
3

( 2ax + b )

+ 3 ( 2ax − b ) + 3 4a 2 x 2 − b 2 = 3 2b

2

2

Bài 95. Cho phương trình:

.

a) Chứng minh rằng nếu

( − x0 )

x0

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
a, b
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
a b
b) Thử lại các giá trị của và tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
3

( 3ax + b )

2

+ 3 ( 3ax − b ) + 3 9a 2 x 2 − b 2 = 3 3b

Bài 96. Cho phương trình:
a, b
để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

2

. Tìm điều kiện của


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

3

( ax + b )

2

+ 3 ( ax − b ) + 3 a 2 x 2 − b 2 = 3 −b
2

Bài 97. Cho phương trình:
a, b
để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Bài 98. Cho phương trình:

. Tìm điều kiện của

4− x + x+5 = m

a) Chứng minh rằng nếu

( −1 − x0 )

x0

là một nghiệm của phương trình thì

cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
Bài 99. Cho phương trình:

4+ x + 5− x = m

a) Chứng minh rằng nếu

( −1 − x0 )

x0

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
Bài 100. Cho phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

8 − x + x + 10 = m

( −2 − x0 )

x0

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
Bài 101. Cho phương trình:
cho có nghiệm duy nhất.
Bài 102. Cho phương trình:
cho có nghiệm duy nhất.
Bài 103. Cho phương trình:
cho có nghiệm duy nhất.

16 − x + x + 20 = m

32 − x + x + 40 = m

64 − x + x + 80 = m

. Tìm điều kiện của

. Tìm điều kiện của

. Tìm điều kiện của

m

m

m

để phương trình đã

để phương trình đã

để phương trình đã


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

3+ x + 6− x −

( 3 + x) ( 6 − x)

=m

Bài 104. Cho phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

( 3 − x0 )

x0

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.
m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.
3− x + 6+ x −

( 3 − x) ( 6 + x)

=m

Bài 104. Cho phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu

x0

( −3 − x0 )

là một nghiệm của phương trình thì
cũng là một
m
nghiệm của phương trình. Từ đó tìm điều kiện của
để phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất.

m
b) Thử lại các giá trị của
tìm được ở câu a để có kết luận cuối cùng.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

TRẮC NGHIỆM PHẦN ĐẠI SỐ
Chương I. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
Câu 1. Chọn câu trả lời đúng:
A. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một số x âm sao cho
B. Căn bậc hai số học của một số a là một số x không âm sao cho

x 2 = a.

x 2 = a.

C. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một số x không âm sao cho
D. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một số x âm sao cho

x 2 = a.

Câu 2.Chọn câu trả lời đúng:
Căn bậc hai số học của 0,81 là:
A. 0,9

B. 0,9 và -0,9

C. 0,09 và -0,09

D. 0,09

Câu 3: Chọn câu trả lời đúng:

Căn bậc hai số học của

A.

25
49

B.

25
49

là:

5
7

−

C.

25
49

−

D.

5
7

Câu 4. Chọn câu trả lời đúng:
1,7 là căn bậc hai số học của:
A. 2,89

B. -2,89

C. 3,4

D. -3,4

Câu 5. Chọn câu trả lời đúng:
Cho biểu thức
x>
A.

7
4

M = 7 − 4 x.

x≥

B.

Tìm x để M có nghĩa

7
4

x<

C.

7
4

Câu 6. Chọn câu trả lời đúng:
Cho biểu thức

M = 10 x − x 2 − 25.

Tìm x để M có nghĩa

x≤

D.

7
4

x 2 = a.


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

x=5

A.

B.

x≥5

C.

x>5

D.

x≤5

Câu 7. Chọn câu trả lời đúng:

5
.
x −3

M=
Cho biểu thức
x>3

A.

B.

Tìm x để M có nghĩa

x≥3

C.

x<3

D.

x≤3

Câu 8. Chọn câu trả lời đúng:

7−x +4
x−3 − 2

M=
Cho biểu thức
A.
C.

3≤ x ≤ 7

và

Tìm x để M có nghĩa

x≠5

B.

5≤ x<7

D.

5< x≤7
5≤ x≤7

Câu 9. Tìm câu trả lời sai:
A.
B.
C.
D.

ab = a . b

với mọi a, b
a, b ≥ 0
ab = a . b
với mọi
a, b ≤ 0
ab = − a . −b
với mọi
ab = a . b
a, b ≥ 0
với mọi

Câu 10. Chọn câu trả lời đúng:
16,9.250

Kết quả của phép tính
A. 0,45

là:

B. 4,5

C. 45

D. Một kết quả khác

C. 1050

D. 105

Câu 11. Chọn câu trả lời đúng:
4,9. 30. 75
Kết quả của phép tính
A. 1,05

B. 10,5

Câu 12. Chọn câu trả lời đúng:

là:


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

0,16a 2 =

Kết quả của phép tính
0,16 a

là:
0, 4 a

0,16a

B.

A.

0, 4a

C.

D.

Câu 13. Chọn câu trả lời đúng:
9a 4b6 =

Kết quả của phép tính

B.

là:

3a 2 b3

3a 2b3

B.

C.

3a 2 b3

9a 2b3

D.

Câu 14. Chọn câu trả lời sai:

a
a
=
b
b

A.

a
a
=
b
b

C.

với

với

a
=
b

a, b ≥ 0

B.

a
=
b

a ≥ 0, b > 0

D.

−a
−b

với

a, b < 0

a
b
với

a, b > 0

Câu 15. Chọn câu trả lời đúng:
4,9
3,6
Kết quả của phép tính

A.

là:

7
0,6

0,7
6

B.

C.

7
6

±

D.

7
6

Câu 17. Chọn câu trả lời đúng:

Với

A.

b≠0

3a 3
b

thì

2a 6
b2

bằng:

3a 2 .
B.

Câu 18. Chọn câu trả lời đúng:

a
b
C.

a2 3
b

3a 2 .

D.

a
b


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

Với
A.

a < 0; b > 0

a2

thì

1
9a 2
− ab3
3
b6

B.

bằng:

−a 2

C.

a 2b 2

D.

− a 2b 2

Câu 19. Chọn câu trả lời đúng:
112

Kết quả của phép tính
A.

2 7

B.

là:

−2 7

C.

4 7

D.

−4 7

Câu 20. Chọn câu trả lời đúng:
0, 2 30000

Kết quả của phép tính
A.

2 3

là:

B.

20 3

C.

200 3

D.

2000 3

Câu 21. Chọn câu trả lời đúng:
Kết quả của phép tính
A.

−6

−2 3 = ?

6

B.

C.

−12

D.

− 12

Câu 22. Chọn câu trả lời đúng:

Với
A.

x<0

x
thì

3x

−3
=
x

B.

− 3x

C.

−3x

D.

− −3x

Câu 23. Chọn câu trả lời đúng:

Với
A.

a>0

a −1

thì

a −1
1
: 2
=?
a a + a −a a + a

B.

a −1

Câu 24. Chọn câu trả lời đúng:

C. 1

D. -1


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9

A.

A
=
B

AB
B

A
=
B

AB
B

C.

với

với

AB ≥ 0

B.

AB ≥ 0

A
=
B

AB
B

A
=
B

AB
B

D.

với

với

AB > 0

AB > 0

Câu 25. Chọn câu trả lời đúng:

a<0

Với

thì

−3
2a3

3
2a

a
A.

bằng:

1 3
a 2a

B.

C.

1
a2

3
2a

D.

1
a2

3
2a

Câu 26. Chọn câu trả lời đúng:

y ≠ 0, x > 0

Với

x+ y x
y x
thì

bằng:

x
+1
y
A.

y +1

B.

x+y

C.

D.

y x +1

Câu 27. Chọn câu trả lời đúng:

Kết quả của phép tính
A. 2

(1+

)(

2 + 3 1− 2 + 3

3

B.

C.

)

là:

2+ 3

D.

2+2 3

Câu 28. Chọn câu trả lời đúng:
3

Kết quả của phép tính

A.

2 3

1 1
−
27 + 2 3
3 3
3+

B.

Câu 29. Chọn câu trả lời đúng:

1

3

là :

C.

2
3

3−

D.

1
3