Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 hình 1

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

PHẦN B. HÌNH HỌC
Bài 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG
1. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Cho tam giác
BH , CH , AH , AC

ABC

vng tại

A

có đường cao

AH .

Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn

nếu biết:
AB = 6cm; BC = 10cm.

AB = 20cm; BC = 25cm.

1.

2.
AB = 3cm; BC = 2cm.

AB = 12cm; BC = 13cm.

3.

4.

AB = 5cm; BC = 1dm.

AB = 2 2cm; BC = 4cm.

5.

6.

Bài 2. Cho tam giác
BC , AH , BH , CH

ABC

vng tại

A

có đường cao

AH .

Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn

nếu biết:
AB = 3cm; AC = 4cm.

AB = 12cm; AC = 9cm.

1.

2.
AB = 2cm; AC = 2cm.

AB = 12cm; AC = 5cm.

3.

4.
AB = 3cm; AC = 1cm.

5.
AB = 3a; AC = 4a

6.

(với

Bài 3. Cho tam giác
AH , BC , AB, AC

ABC

a

là độ dài cho trước,

vng tại

A

a>0

có đường cao

).

AH .

Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn

nếu biết:
BH = 2cm; CH = 2cm.

BH = 9cm; CH = 16cm.

1.

2.
BH = 1cm; CH = 3cm.

BH = 25cm; CH = 144cm.

3.

4.

BH = 16a; CH = 9a

5.

(với

a

là độ dài cho trước,
1

a>0

).


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

BH = 144a, CH = 25a

6.

(với

Bài 4. Cho tam giác

DEF

a

vuông tại

là độ dài cho trước,

D

có

DI

a>0

).

là đường cao. Tính độ dài

DE = 15cm, DF = 20cm.

DI

nếu biết:

DE = 1cm, DF = 1cm.

1.

2.
DE = 7cm, DF = 24cm.

DE = 12cm, EF = 15cm.

3.

4.
DF = 3cm, EF = 2cm.

EI = 9cm, EF = 25cm.

5.

6.
2. LUYỆN TẬP

ABC

AH .

A

Bài 5. Cho tam giác
vng tại
có đường cao
Hãy điền các số thích hợp vào ơ
trống. (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

AB

AC

3

4

5
7

12
24

9

40
20

29

60

61

84

85

Bài 6. Giả sử tam giác
nếu biết:

ABC

BC

AH

BH

CH

9

16

3,2
1,96

1,8
23,04

không có góc tù. Chứng minh tam giác

AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.

ABC

là tam giác vuông

AH = 30cm, BH = 36cm, CH = 25cm.

1.

4.

AB = 15cm, AC = 20cm, AH = 12cm.

AB = 2cm, BH = 1cm, BC = 4cm.

2.

5.
AH = 12cm, BH = 16cm, CH = 9cm.

AC = 24cm, BH = 1,96cm, BC = 25cm.

3.

6.

2


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

ABC
AH .
N
M
H
Bài 7. Cho tam giác
nhọn có đường cao
Gọi
và
là hình chiếu của

lên
AC.
AB. AM = AC. AN .
AB
và
Chứng minh rằng:
Bài 8. Cho tam giác

ABC

AH .

nhọn có đường cao

Chứng minh rằng:

AB 2 − AC 2 = BH 2 − CH 2 .

Bài 9. Cho tứ giác lồi

1.
2.

ABCD

có

AC ⊥ BD

tại

O.

Chứng minh rằng:

AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = 2 ( OA2 + OB 2 + OC 2 + OD 2 ) .
AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 .

ABC
A.
AC
D
DE
Bài 10. Cho tam giác
vuông tại
Từ trung điểm
của cạnh
kẻ
vuông góc
BC
E.
với
tại
Chứng minh rằng:
1.

BE 2 − CE 2 = BD 2 − CD 2 .

2.

AB 2 = BE 2 − CE 2

.

ABC
O
Bài 11. Cho tam giác
có các góc đều nhọn. Lấy
là một điểm tùy ý ở miền trong của
OH , OK , OL
AB, BC , CA
H , K , L.
tam giác. Kẻ
lần lượt vng góc với
tại
Chứng minh
rằng:
1.
2.

AH 2 + BK 2 + CL2 = OA2 + OC 2 − OH 2 − OK 2 − OL2
AH 2 + BK 2 + CL2 = AL2 + BH 2 + CK 2 .

Bài 12. Cho tam giác

ABC

A,
vuông tại

đường cao

AH .

Chứng minh rằng:

BC 2 = 2 AH 2 + BH 2 + CH 2 .

Bài 13. Cho tam giác

ABC

A,
cân tại

đường cao

CD.

Chứng minh rằng

AB 2 + BC 2 + AC 2 = BD 2 + 2 AD 2 + 3CD 2 .

3


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

ABC

Bài 14. Cho tam giác
vuông tại
BC , CA, AB.
Chứng minh:

S ABC =
1.

a , b, c

A.

Gọi

1
( a + b + c) ( b + c − a) .
4

Bài 15. Cho tam giác

lần lượt là chiều dài các cạnh

S ABC =
2.

ABC

A

1

( a + c − b) ( a + b − c) .
4

M

vuông cân tại
và điểm
thuộc cạnh
AB, AC
F.
E
lượt vng góc với
tại
và
Chứng minh rằng:
1.

BM 2 = 2 ME 2

và

CM 2 = 2 MF 2 .

2.

BC.

ME , MF

Kẻ

lần

BM 2 + CM 2 = 2 AM 2 .

ABCD
BC.
DC
N.
M
AM
Bài 16. Cho hình vng
và điểm
thuộc cạnh
Kéo dài
cắt tia
tại
CB
E.
A
AM
Qua kẻ đường thẳng vng góc với
cắt tia
tại
Chứng minh rằng:

1.

AE = AN .

2.

ABC

A,

1
1
1
=
+
.
2
2
AB
AM
AN 2

AH

BK .

Bài 17. Cho tam giác
cân tại
có các đường cao
và
Qua
BC
AC
D.

vng góc với
cắt tia đối của tia
tại
Chứng minh rằng:

1.

BD = 2 AH .

2.

B

kẻ đường thẳng

1
1
1
=
+
.
BK 2 BC 2 4 AH 2

3. BÀI TẬP NÂNG CAO

AM .
A
AH
vng tại có đường cao
và đường trung tuyến

Hãy
AM , HM , BH , CH , AB, AC
tính lần lượt độ dài các đoạn
nếu biết:

Bài 18. Cho tam giác

ABC

AH = 4,8cm, BC = 10cm.

AH = 12cm, BC = 25cm.

1.

2.
AH = 3cm, BC = 4cm.

AH = 6cm, BC = 13cm.

3.

4.

4


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

x,

BH = x.
A
AH
vng tại có đường cao
. Đặt
Hãy tính
rồi suy
AB, AC
ra độ dài các đoạn
nếu biết:

Bài 19. Cho tam giác

ABC

AH = 2, 4cm; BC = 5cm.

AH = 1cm; BC = 2cm.

1.

2.
AH = 2cm; BC = 5cm.

AH = 6,72cm; BC = 25cm.

2.

4.

Bài 20. Cho tam giác

ABC

A

vng tại có đường cao
AH , AC
ra độ dài các đoạn
nếu biết:

AH .

Đặt

BH = x.

x,
Hãy tính

rồi suy

AB = 6cm; CH = 3 2cm.

AB = 3cm; CH = 3, 2cm.

1.

2.
AB = 60cm; CH = 27cm.

AB = 1cm; CH = 1,5cm.

3.

4.

BC

a>0

2a

A
Bài 21. Cho đoạn
cố định có độ dài
với
và một điểm
di động sao cho
·
BC
H.
BAC
= 90°.
AH
HE
HF
Kẻ
vng góc với
tại

Gọi
và
lần lượt là đường cao của
ACH .
ABH
tam giác
và tam giác
1. Chứng minh rằng:

BC 2 = 3 AH 2 + BE 2 + CF 2 .

2. Tìm điều kiện của tam giác

ABC

để tổng

BE 2 + CF 2

đạt giá trị nhỏ nhất.

BC
2a
a>0
A
Bài 22. Cho đoạn
cố định có độ dài
với
và một điểm
di động sao cho

·
BC
H.
BAC
= 90°.
AH
HE
HF
Kẻ
vng góc với
tại
Gọi
và
lần lượt là đường cao của
ACH .
AH = x.
ABH
tam giác
và tam giác
Đặt
1. Chứng minh rằng:
2. Tính
3. Tìm

S∆AEF
x

theo

a

AH 3 = BC.BE.CF − BC .HE.HF .

và

x.

S∆AEF
để

đạt giá trị nhỏ nhất.
5


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 23. Cho tam giác

ABC

AH .

A

E, F

vng tại có đường cao
Gọi
AB, AC .
BC = 2a

a > 0.
H
vng góc của
trên các cạnh
Đặt
với

lần lượt là hình chiếu

BH 3
CH 3
2
BE =
; CF =
.
BC
BC
2

1. Chứng minh rằng:
3

2. Tính giá trị

BE 2 + 3 CF 2

Bài 24. Cho tam giác
1. Chứng minh:
2. Gọi

S

ABC

theo

a.

có trực tâm

H.

AB 2 + HC 2 = AC 2 + HB 2 = BC 2 + HA2

là diện tích tam giác

ABC.

.

Chứng minh:

AB.HC + BC.HA + CA.HB = 4S .

ABC

Bài 25. Cho tam giác

vng tại

A

có các đường trung tuyến

AM

và

BN .

Biết rằng:

AM = 6cm; BN = 61cm.

ABC

Bài 26. Cho tam giác
vuông tại
AM = 2,5cm; CN = 4cm.

A

có các đường trung tuyến

AM

và

BN .

Biết rằng:

ABC
BN
A
AM
Bài 27. Cho tam giác
vng tại có các đường trung tuyến
và
vng góc với
AB = x
x > 0.
AC
BC
x.
nhau. Biết rằng:
với
Tính
và
theo
Bài 28. Cho tam giác

ABC

vng tại

A

có các đường trung tuyến

BM = 73cm, CN = 2 13cm.

AM

và

BN

. Biết rằng:

AB, AC.

Tính độ dài các cạnh

BC
2a
a>0
A
Bài 29. Cho đoạn
cố định có độ dài
với
và một điểm
di động sao cho
·
BAC
= 90°.
CN
ABC.
BM
Gọi

và
là các đường trung tuyến của tam giác
1. Chứng minh rằng:

BM 2 + CN 2 = 5a 2 .
6


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

2. Tìm điều kiện của tam giác

ABC

BM + CN

để tổng

đạt giá trị lớn nhất.

ABC
A
BD
Bài 30. Cho tam giác
vng tại
có
là dường phân giác. Biết rằng
AD = 4 x, CD = 5 x
x > 0.
ABC

x.
với
Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác
theo
ABC
A
AD
Bài 31. Cho tam giác
vng tại
có
là đường phân giác. Biết rằng
BD = 15 x, CD = 20 x
x > 0.
ABC
x.
với
Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác
theo
Bài 32. Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

có

BD

AM ⊥ BD, BD = 2 3x

tuyến. Biết rằng
ABC
.

với

là đường phân giác và

x > 0.

AM

là đường trung

Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác

ABC

A

AD.

BD = x, CD = y

ABC

A

AD.

AD = a, CD = y

Bài 33. Cho tam giác
vng tại
có đường phân giác
Đặt
x, y > 0.
y.
ABC
x
Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác
theo và

với

Bài 34. Cho tam giác
vng tại
có đường phân giác
Đặt
y.
y > x > 0.
ABC
x
Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác
theo và

với

AD = t. AB ( t > 0 ) .

ABCD

BC
M
Bài 35. Cho hình chữ nhật
với
Lấy điểm
trên cạnh
. Đường
CD
P.
AM
EF
AM
AB
E
thẳng
cắt đường thẳng
tại
Đường thẳng
vng góc với
cắt
tại
·
CD
F.
CD
K.

DAM
và cắt
tại
Đường phân giác của
cắt
tại
Chứng minh rằng:

1.

EF = tBM + DK .

Bài 36. Co hình thoi

BC

ABCD

2.
với

M,
tại

cắt đường thẳng

·
BAD
= 120°.

CD

tại

N.

Tia

1
1
t2
=
+
.
AB 2 AM 2 AP 2

Ax

tạo với tia

Chứng minh rằng:

7

AB

một góc

15°

và cắt cạnh

1
1
4
+
=
.
2
2
AM
AN
3 AB 2


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 37. Cho tam giác

ABC

A,
cân tại

đường cao

AH

BK .

và

Chứng minh:

1
1
1
=
+
.
2
2
BK
BC
4 AH 2

Bài 38. Cho tam giác nhọn

AB = c, p =

1.

a+b+c
.
2

ABC

có đường cao

AH .

BH = x, BC = a, AC = b,
Đặt

Chứng minh rằng:

a 2 − b2 − c2
x=
.
2a

S ∆ABC =
2.

S∆ABC =

1
2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) .
4
p ( p − a) ( p − b) ( p − c) .

3.
Bài 39. Cho tam giác

ABC

nhọn có đường cao

BH = x, BC = a, AC = b, AB = c,

Đặt
1. Tính

x

p=

AM , BN , CP.

và các đường trung tuyến

a+b+c
,
AM = ma , BN = mb , CP = mc .
2

a, b, c.
theo

3. Tính

2b 2 + 2c 2 − a 2
m =
.
4

ma2 + mb2 + mc2

a , b, c

2
a

2.

AH

4. Tính

8

theo

a, b, c.
theo

ma , mb , mc .


Bài 40. Cho tam giác
a.
b.

·AMB

ABC ( AC > AB ) ,

·AMC

là góc nhọn,

AM ,
trung tuyến

c.

là góc tù.

BC 2
+ 2 AM 2 ;
2
AC 2 − AB 2 = 2 BC .MH .

Bài 41. Cho tam giác

ABC

Bài 42. Cho tam giác

ABC.

b+c

.

Trên các nửa đường thẳng thuộc đường trng trực của các cạnh

BC , AC , AB

ở miền ngoài tam giác lấy các điểm

Gọi

3.
4.

Đặt

a+b+c
.
2

2 bcp ( p − a )

2. Chứng minh rằng:

D,
tại

O

và đường phân giác

AD.

theo

l0 =

B1C1

AH

a, b, c.

x, BD, CD

1. Tính

nhọn có đường cao

AB = c, p =

BH = x, BC = a, AC = b,

2.

Chứng minh rằng:

BH 2 = BM 2 − 2 BM .MH + MH 2 ; CH 2 = CM 2 − 2CM .MH + MH 2 .

AB 2 + AC 2 =

1.

đường cao

AH .

từ

B

By
kẻ

vng góc với
By

là giao điểm

và

Cz.

Kẻ

OH

A1C1

A1 , B1 , C1.

E,
tại

từ

C

vng góc với

OC12 − OA12 = BC12 − BA12 ( = EC12 − EA12 )
OB12 − OA12 = CB12 − CA12 ( = FB12 − FA12 )

.

.

OC12 − OB12 = BC12 − CB12 ( = AC12 − AB12 )

.

DC12 − DB12 = OC12 − OB12 ; HC12 − HB12 = AC12 − AB12 .

kẻ

B1C1.

Từ

Cz

A

kẻ

Ax

vng góc với

vng góc với

Chứng minh rằng:

A1B1

tại

F.


Ax, By, Cz

O,

Bài 43.
kính

địng quy tại một điểm. Cho đường trịn tâm

AB.

M

Lấy điểm

các vị trí của

M

trên

( O) .

tùy thuộc

( O)

MH

Vẽ

sao cho tổng độ dài

vng góc với

OH + MH

R,
bán kính bằng

AB

tại

H.

đường

Hãy xác định

lớn nhất.

BÀI 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VNG
1. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Cho tam giác
1.
3.

ABC

vng tại

A.

·ABC = x

Đặt

sin x = cos ( 90° − x ) .

2.

tan x = cot ( 90° − x ) .

Bài 2. Cho tam giác đều

ABC

BH , AH

1. Tính

4.

theo

có cạnh bằng

1. Tính

AB

và

ABC

AC

0° < x < 90°.

Chứng minh rằng:

cos x = sin ( 90° − x ) .
cot x = tan ( 90° − x ) .

với

a>0

và đường cao

AH .

a.

2. Tính tỉ số lượng giác của góc
Bài 3. Cho tam giác

2a

với

30°

và góc

vng cân tại

theo

A

có

60°.

BC = 2a

với

a > 0.

a.

2. Tính tỉ số lượng giác của góc

45°.
2. LUYỆN TẬP

Bài 4. Cho tam giác
biết:

ABC

vng tại

A.

Hãy tính tỉ số lượng giác của góc

AB = 3cm, AC = 4cm.

1.

AB = 6cm, BC = 10cm.

2.

AB = 5cm, BC = 1dm.

AC = 5cm, BC = 12cm.

3.

4.

B

và góc

C

nếu


AC = 2cm, BC = 2cm.

AB = 3 3cm, AC = 3cm.

5.

6.

Bài 5. Tính các tỉ số lượng giác của các góc sau (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm trịn các kết
quả đến chữ số hàng phần nghìn)

sin1°, sin 23°, sin 45°, sin 67°, sin 89°.
1.

cos1°, cos 23°, cos 45°, cos 67°, cos89°.

2.
tan1°, tan 23°, tan 45°, tan 67°, tan 89°.

3.
cot1°, cot 23°, cot 45°, cot 67°, cot 89°.

4.

ABC
A.
Bài 6. Cho tam giác
vng tại
Hãy điền các số thích hợp vào ơ trống (Sử dụng máy
tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm và đổi kết quả đo góc sang
độ, phút, giây)

AB

AC

3
5

4
12

BC

Góc

B

30°

3

40°

20

15°

1

18°

5
30

54°

100

22°30′
7°30′

2

1.

C

2

2

Bài 7. Cho tam giác

Góc

ABC

sin 2 x + cos 2 x = 1.

vuông tại

A.

Đặt

·ABC = x

với

0° < x < 90°.

Chứng minh rằng:

tan x =
2.

3.

sin x
cos x
; cot x =
;
cos x
sin x tan x.cot x = 1.

1
1
= 1 + tan 2 x;
= 1 + cot 2 x.
2
2
cos x
sin x

Bài 8. Tính giá trị các biểu thức sau:
1.
3.

A = sin 23° − cos 67°.

C = tan18° − cot 72°.

2.
4.

B = cos34° − sin 56°.

D = cot 36° − tan 54°.

Bài 9. Tính giá trị các biểu thức sau:
1.
2.

A = sin10° + sin 40° − cos50° − cos80°.
B = cos15° + cos35° − sin 55° − sin 75°.

C=
3.

tan 27°.tan 63°
.
cot 63°.cot 27°

D=
4.

cot 20° cot 45° cot 70°
tan 20° tan 45° tan 70°

Bài 10. TÍnh giá trị các biểu thức sau:
1.
3.

5.

A = sin 2 22° + cos 2 22°
C = cos 2 20° + cos 2 70°.

E = tan18°.tan 72°.

2.
4.
6.

Bài 11. Tính giá trị các biểu thức sau:
1.
2.
3.
4.

A = sin 2 15° + sin 2 35° + sin 2 55° + sin 2 75°.
B = cos 2 15° + cos 2 35° + cos 2 55° + cos 2 75°.

C = tan15°.tan 35°.tan 55°.tan 75°.
D = cot15°.cot 35°.cot 55°.cot 75°.

B = sin 2 40° + sin 2 50°.

D = tan15°.cot15°.

F = cot16°.cot 74°.

.

Bài 12. Cho tam giác

ABC

vng tại

A

có đường cao

AH .

sin B, cos B, tan B,cot B
Hãy tính

sin C , cos C , tan C , cot C
rồi suy ra

nếu biết:

AB = 30cm, AH = 24cm.

AB = 9cm, AH = 7, 2cm.

1.

2.
BH = 2cm, AH = 2 3cm.

AH = 6cm, CH = 2 3cm.

3.

4.
BH = 25cm, CH = 9cm.

BH = 9cm, CH = 16cm.

5.

6.

Bài 13. Cho tam giác

1.

ABC

vng tại

A.

Tính độ dài các cạnh

3
AB = 12cm, tan B = .
4

và

2.
AB = cm, sin B =

3.

4.

Bài 14. Cho tam giác

ABC

vng tại

A.

Tính độ dài các cạnh

3
BC = 15cm, sin B = .
5

3.

4.
x

là góc nhọn.

cos x, tan x, cot x
1. Tính

nếu biết

nếu biết

sin x,cos x, cot x
3. Tính

3
sin x = .
5

cos x =

sin x, tan x, cot x
2. Tính

AB

và

nếu biết

12
.
13

tan x = 3.

nếu biết:

5
.
13

3
.
2

AC

nếu biết:

BC = 13cm, cos B =

5
.
13

BC = 41cm, cot B =

9
.
40

2.

BC = 2cm, tan B = 3.

Bài 15. Cho

BC

AB = 15cm, cos B =

AB = 2 3cm, cot B = 3.

1.

AB


sin x,cos x, tan x
4. Tính

nếu biết

Bài 16. Cho tam giác
sin x < tan x.

ABC

cot x = 1.

vuông tại

A.

Đặt

·ABC = x ( 0 < x < 90° ) .

H.
ABH
BH
Bài 17. Cho tam giác
vuông tại
Trên cạnh
·ABH = x, ·ACH = y ( 0 < x, y < 90° ) .

1. So sánh

x

y, AB

và

và

2. Chứng minh rằng
3. Chứng minh rằng

1. So sánh

lấy điểm

tan x < tan y

và

cot x > cot y.

lấy điểm

và

cos x < cos y.

Bài 19. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

sin15°, sin 30°, sin 45°, sin 60°, sin 75°.
1.
cos15°,cos30°, cos 45°, cos 60°,cos 75°.

2.
tan15°, tan 30°, tan 45°, tan 60°, tan 75°.

3.
cot15°, cot 30°, cot 45°, cot 60°, cot 75°.

4.
Bài 20. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

sin11°, sin 33°,cos 55°,cos 77°.
1.

Đặt

sin x < sin y.

y.

2. Chứng minh rằng

C.

AC.

H.
ABH
BH
Bài 18. Cho tam giác
vuông tại
Trên cạnh
·
·
BAH
= x, CAH
= y ( 0 < x, y < 90° ) .
x

Chứng minh rằng

tan 22°, tan 44°, cot 66°, cot 88°.

2.

C.

Đặt


sin15°, cos80°, tan 25°, cot 75°.
3.

4.

ABC

Bài 21. Cho tam giác

ABC

Bài 22. Cho tam giác
1.

sin10°, cos10°, tan 45°, cot 33°.

BH = AB.cos B

nhọn có đường cao
nhọn có đường cao

.

AH .
AH .

2.

Chứng minh rằng
Chứng minh rằng:

BC = AB.cos B + AC.cos C.

BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 23. Cho
1.
2.
3.

4.

5.

6.

2.

3.

. Chứng minh các đẳng thức sau:

sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x.

sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x.
sin 4 x − cos 4 x = 1 − 2cos 2 x.

1 − cos x
sin x
=
.
sin x
1 + cos x
sin x
1 + cos x
2
+
=
.
1 + cos x
sin x
sin x

sin x + cos x − 1
2cos x
=
.
1 − cos x
sin x − cos x + 1

Bài 24. Cho
1.

0° < x < 90°

0° < x < 90°

. Chứng minh các đẳng thức sau:

tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x.
cot 2 x − cos 2 = cot 2 x.cos 2 x.

1
1
+
= 1.
tan x + 1 cot x + 1

AB.sin B = AC .sin C .


4.

cos x
sin x
1 + cot 2 x
+
=
.
sin x − cos x sin x + cos x 1 − cot 2 x
2

5.

 1 + sin x
1 − sin x 

2
−

÷ = 4 tan x.
1 + sin x 
 1 − sin x
2

6.

 1 + cos x
1 − cos x 
2
−

÷ = 4cot x.
1 + cos x 
 1 − cos x

Bài 25. Cho
1.
2.

3.
4.
5.

0° < x < 90°

. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

A = cos 4 x + sin 2 x cos 2 x + sin 2 x.
B = cos 4 x − sin 4 x + 2cos 2 x.

C = 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) − 3 ( sin 4 x + cos 4 x ) .
D = sin 6 x + cos 6 x − 2sin 4 x − cos 4 x + sin 2 x.
E = sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x + cos4 x + 5sin 2 x cos 2 x.

F = 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x ) − ( sin 8 x + cos8 x ) .
2

6.

Bài 26. Cho

0° < x < 90°

A = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x ) .
2

1.

. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
2

2

2.

3.

 1 − tan 2 x 
2
2
B=
÷ − ( 1 + tan x ) ( 1 + cot x ) .
 tan x 

C = ( sin 4 x + cos 4 x − 1) ( tan 2 x + cot 2 x + 2 ) .


4.

5.

tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x
D=
+
.
sin 2 x
cot x
cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x
E=
+
.
cot 2 x
cot x

Bài 27. Tính giá trị các biểu thức sau:
1.

A = ( sin1° + sin 2° + sin 3° + ... + sin 88° + sin 89° )

− ( cos1° + cos 2° + cos3° + ... + 88° + cos89° )

2.
3.
4.
5.

B = tan1°.tan 2°.tan 3°....tan 87°.tan 88°.tan 89°.

C = cot1°.cot 2°.cot 3°....cot 87°.cot 88°.cot 89°.
D = sin 2 1° + sin 2 2° + sin 2 3° + ... + sin 2 87° + sin 2 88° + sin 2 89°

E = cos 2 1° + cos 2 2° + cos 2 3° + ... + cos 2 87° + cos 2 88° + cos 2 89°

Bài 28. Cho tam giác

1. Nếu

2.Nếu

·
BAC
< 90°

·
BAC
> 90°

Bài 29. Cho tam giác
1. Nếu

2.Nếu

·
BAC
< 90°
·
BAC
> 90°

ABC

có đường cao

1
·
AB. AC.sin BAC
.
2

S∆ABC =

1
·
AB. AC.sin 180° − BAC
.
2

thì

ABC

có đường cao

(

BH .

)

Chứng minh rằng:

·
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos BAC
.

(

)

·
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC.cos 180° − BAC
.

thì
ABC ,

Bài 30. Cho tam giác

Chứng minh rằng:

S ∆ABC =
thì

thì

BH .

hãy tính cạnh

BC

nếu biết:


·
AB = 1cm, AC = 2cm, BAC
= 120°.

1.
·
AB = 1dm, AC = 5cm, BAC
= 60°.

2.
·
AB = 2cm, AC = 3cm, BAC

= 30°.

3.
·
AB = 2cm, AC = 2cm, BAC
= 45°.

4.
AB = 3cm, AC = 3cm, ·ABC = 60°.

5.
AB = 2cm, AC = 2 3cm, ·ACB = 30°.

6.
AB = 2 2cm, AC =
7.
8.
9.

(

)

·
6 − 2 cm, BAC
= 45°.

AB = 3cm, AC = 4cm, S ∆ABC = 3 3cm 2 .

AB = 2 2cm, AC = 3cm, S∆ABC = 3cm 2 .

10.

AB = 2cm, AC = 4cm, S ∆ABC = 2 3cm 2 .

Bài 31. Cho tam giác

ABC

tan
Chứng minh rằng:

vuông tại

A.

B
AC
=
.
2 AB + BC
A ( AB < AC )

ABC

Bài 32. Cho tam giác
vuông tại
có đường cao
·ACB = x ( 0° < x < 90° ) .
BC = a, AC = b, AB = c.

AM .
Đặt
Đặt
1. Tính độ dài các cạnh của tam giác
2. Tính tỉ số lượng giác của góc

x

AHM

và góc

a, b, c.
theo

2x

a, b, c.
theo

AH

và đường trung tuyến


3. Chứng minh:
sin 2 x = 2sin x cos x

i)

cos 2 x = 2cos 2 x − 1 = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2sin 2 x

ii)

tan 2 x =
iii)

2 tan x
1 − tan 2 x

Bài 33: Cho tam giác

ABC

nhọn có đường phân giác trong

BC = a, AC = b, AB = c,

p=

Đặt
·
sin BAC
= 2sin
1.

S∆ABC =
2.

3.

4.

·
·
BAC
BAC
cos
2
2

1
·
AB. AC.sin BAC
2

34.

2bc cos

S ∆ABD =

và

·
1
BAC
AB. AD.sin
.
2

2

b+c

Cho

A
2

tam

giác

BC = a, AC = b, AB = c,

2 AD.c.cos
1.
2 AD.b.cos

2.

Chứng minh rằng:

S ∆ABD BD
c
=
=
.
S ∆ABC BC b + c

AD =

Bài

a+b+c
.
2

AD.

p=

ABC

nhọn

a+b+c
.
2

·BAC
= c 2 + AD 2 − BD 2
2
·BAC
= b 2 + AD 2 − CD 2
2

.

.

có

đường

Chứng minh rằng:

phân

giác

trong

AD.

Đặt


AD =
3.

AD =

2 p ( p − a)
.
·
BAC
( b + c ) cos
2

2 bcp ( p − a )

4.

b+c
·
AB = 2, BAC
= 60°, ·ACB = 45°.

ABC

Bài 35. Cho tam giác
ABC.
BK
của tam giác

có

AH

Kẻ các đường cao

và

AK , BK , CK , BC , AH .

1. Tính
2. Tính tỉ số lượng giác của góc
Bài 36. Cho tam giác
AC

M.
tại
1. Chứng minh:

15°

và góc

A, AB = c, ·ACB = 15°.

ABC

vng tại

Đường trung trực của

2. Tính độ dài các cạnh

theo

3. Tính tỉ số lượng giác của góc
Bài 37. Cho tam giác

CD = AC.

Kẻ

1. Chứng minh:
2. Từ đó tính

x

BC

cắt

MC = 2c.
AC , BC

cho

75°.

ABC

và

cân tại

AH ⊥ BC

∆ABC

AH

15°

tại

A

c.

và góc
có

H.

75°.

·
BAC
= 36°.

Trên tia đối của tia
AB = AC = x, BC = 2 y.

Đặt

đồng dạng với

∆DBA

và

y.
theo

3. Tính tỉ số lượng giác của góc

18°

và góc

72°.

x2 = 2 y ( x + 2 y ) .

CB

lấy điểm

D

sao


Bài 38. Cho tam giác

AB

lấy điểm

D

sao cho

3) Từ đó tính

x

cân tại có
·ACD = 72°.

AH .

Trên tia đối của tia

AB = AC = x, BC = 2 y.

Đặt

và

y.

AH

theo

Bài 39. Cho tam giác nhọn

2.

Kẻ đường cao

4 y2 = x ( x + 2 y ) .

4) Tính tỉ số lượng giác của góc

1.

·
BAC
= 108°.

A

AD = CD = 2 y.

1) Chứng minh:
2) Chứng minh:

ABC

ABC

36°

và góc

54°.
AH , BK , CL.

có các đường cao

Chứng minh rằng:

S ∆AKL AL. AK
=

= cos 2 A.
S ∆ABC AB. AC

S ∆HKL
= 1 − ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C )
S ∆ABC

suy ra

cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C < 1.

ABC
CN
BM
Bài 40. Cho tam giác
có các đường trung tuyến
và
vng góc với nhau. Đặt
BC = a, AC = b, AB = c.

1. Tính

a

theo

b

và

c.

2. Chứng minh rằng:
Bài 41. Cho
1.
3.

3
cot B + cot C ≥ .
2

0° < x < 90°.

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

A = sin 4 x + cos 4 x.

2.

C = tan x + cot x.

Bài 42. Cho tam giác

4.

ABC

vuông tại

A.

B = sin 6 x + cos 6 x.
D = tan 2 x + cot 2 x.

Chứng minh rằng:


sin 2007 B + cos B <
1.

5
4

2.

sin 2007 B + cos 2008 B < 1.

BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN
1. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Giải thích tại sao tam giác
∆ABC ?
trịn ngoại tiếp
Bài 2: Cho

ABC

vng tại

AC

là đường kính của đường trịn tâm
B , O, D
Chứng minh rằng ba điểm
thẳng hàng.

Hướng dẫn: tứ giác

ABCD

Bài 3: Vẽ đường tròn tâm
minh độ dài

BC

A

O.

nếu cạnh

BC

Vẽ hai dây

là đường kính của đường

AB

và

CD

song song nhau.

là hình gì?

O

R,
, bán kính bằng

nhỏ hơn đường kính

có dây

BC

khơng phải là đường kính. Chứng

( BC < 2 R ) .

Hướng dẫn:Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác.
Bài 4: Cho tứ giác

ABCD

B

D

90°.

O

có hai góc đối ở đỉnh
và
cùng bằng
Gọi
là trung
A, B, C , D
AC.
AC.
điểm của
Chứng minh bốn điểm
cùng thuộc đường trịn đường kính

ABC
AC.
I
K
AB
Bài 5: Cho tam giác
đều có và
là trung điểm của
và
Chứng minh bốn
B, I , K , C
BC.
điểm
cùng thuộc một đường tròn đường kính

ABC
CE.
O
BD
I
Bài 6: Cho tam giác
nhọn có hai đường cao
và
Gọi
và lần lượt là trung
BC
DE.
điểm của
và
B, C , D, E

1. Chứng minh bốn điểm
2. Chứng minh

OI

vng góc với

cùng thuộc một đường tròn.

DE.


Bài 7: Cho đường trịn tâm
giữa

A

và

D

trên

O

( O)

, đường kính
OI , AH

AB

và dây

CD

BK

). Vẽ
và
cùng vng góc với
CH = DK .
I
HK

minh là trung điểm của
và

O

Bài 8: Cho đường trịn tâm
có hai dây cung
O
CD
AB
đến dây
và
tương ứng.
1. Chứng minh rằng nếu
2. Chứng minh rằng nếu

AB = CD

thì

OH = OK

AB

AH = CK

thì

và

và

CD.

C

khơng cắt nhau (điểm

CD

I,H

ở

và

K.

nằm

Chứng

OH , OK

Gọi

là khoảng cách từ

OH = OK .

AB = CD.

3. Rút ra nhận xét gì?

O
CD
AB
AB
Bài 9: Cho đường trịn tâm
và hai dây
và
dài bằng nhau. Hai đường thẳng
và
CD
I.
CD
H
K
AB
cắt nhau ở
Gọi
và
là trung điểm của
và
tương ứng. Chứng minh
OH = OK
IH = IK .
và

( O; R )

A, I , B, K , C

Bài 10: Trên đường tròn
, dựng các điểm
theo thứ tự chiều kim đồng hồ
AI = IB = IK = KC = R.
ABC
sao cho
Chứng minh tam giác
đều.
Hướng dẫn: Chứng minh

·AOB = BOC
·
= 120°.

( O; R )

AI .
OI .
H
Bài 11: Cho đường trịn
có đường kính
Gọi
là trung điểm của
Vẽ dây cung
BC
OI
H.

ABC
vng góc với
tại
Chứng minh tam giác
đều.
∆OBI , ∆OIC

Hướng dẫn:

là các tam giác gì đặc biệt? Tính

O

BC.

A

·
sin IAB

và

( O)

· .
sin IAC

A

Bài 12: Cho đường trịn tâm

đường kính
Lấy thuộc
và khác
BC
H.
O
B.
AD.
H
vng góc với
tại
Giả sử
nằm giữa
và
Vẽ đường kính
1. Chứng minh

AB. AC = AD. AH

(Hướng dẫn:

∆ABC

vuông ở

A

)

B, C .

Vẽ

AH


2. Chứng minh

·
·
CAH
= BAD
ABC

Bài 13: Cho tam giác
AK .
kính

Hướng dẫn:
2. Kẻ

OM

và

nhọn có trực tâm

BHCK

1. Chứng minh tứ giác

CH

BK

H

)

và nội tiếp đường trịn tâm

O.

Vẽ đường

là hình bình hành.

cùng vng góc với một đường thẳng nào?

BC

vng góc với

3. Chứng minh:

(Hướng dẫn: cùng bằng với

·ABC

ở

M.

H,M , K

Chứng minh

thẳng hàng.

AH = 2OM .
2. CÁC BÀI TÍNH TỐN VÀ NÂNG CAO

Bài 14. Cho điểm

O

M

bên ngồi đường trịn

M

giữa
và
). Lấy
MA < MC < MB.

C

bất kì thuộc

Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức trong

( O; R ) .

( O)

Tia

MO

cắt

( O)

và khác hai điểm

A

tại
và

A
B.

và

B

(

A

nằm

Chứng minh:

∆OCM .

O,
AB,
C
D C
A
Bài 15. Trên nửa đường trịn tâm
đường kính
lấy điểm
và
( nằm giữa và
BD
D).
AC
M.
MH
Tia
cắt tia
tại
Chứng minh đường kính
của đường trịn ngoại tiếp
MCD

AB.
tam giác
vng góc với
Hướng dẫn:

H

là giao điểm của

Bài 16: Cho tam giác

ABC

Hãy định dạng tam giác

và

BC

là trực tâm của

BC = a, CA = b, AB = c
có

R=
tiếp thỏa mãn hệ thức

AD

a bc

.
b+c

ABC.

và có

∆MAB.

R

là bán kính đường trịn ngoại


Bài 17: Cho đường trịn tâm

O

có hai dây

AB

và

IA = 1cm, IB = 7cm.

Giả sử:

Tính bán kính của

Hướng dẫn: Vẽ

OH

vng góc với

AB

ở

H

CD

dài bằng nhau và vng góc nhau ở

I.

( O) .
và

OK

vng góc với

CD

ở

K.

AB = 8
O
A
cân tại
có
cm và nội tiếp đường trịn tâm
có bán
BC H .
BC.
AD
BH
kính bằng 5 cm. Vẽ đường kính
cắt
ở
Tính
và

Bài 18: Cho tam giác

Hướng dẫn: Tính

ABC

BD

trước. Chứng minh
BH , BC.
ABD
trong tam giác

để tính
Bài 19: Cho tam giác
tâm

O.

ABC

Tính bán kính của

minh
theo

a

vng góc với

có

AD

BC.

rổi tính bán kính của

cắt

2. Tứ giác

cm,

BC = 48

ở

H.

Đặt

a =8

AB = 5a, BC = 6a.

cm thì

AB

sao cho

·AOB = 120°.

rồi dùng tỉ số lượng giác, hãy tính

Bài 21: Cho tam giác

ABD

Chứng
BD, AD
để tính

( O) .

AI , AB, OI

ACBO

Dùng hệ thức lượng

cm và nội tiếp đường tròn

Dùng hệ thức lượng trong tam giác

Bài 20: Cho đường tròn
và dây
OI
C.
AB
và kéo dài
cắt đường trịn tại
1. Tính

AB = 40

BC

( O; R )

·AOI

BC.

vng góc với

( O) .

Hướng dẫn: Vẽ đường kính

OH

A

cân tại

AD

theo

Gọi

I

là trung điểm của

R.

là hình gì đặc biệt? Tính diện tích của nó.

ABC

đều nội tiếp trong đường tròn tâm
R.
dài cạnh tam giác và đường cao theo

Hướng dẫn: Vẽ đường kính

AI

Dùng tỉ số lượng giác trong

cắt
∆ABI

BC
và

O

bán kính bằng

R.

Tính chiều

H.
BC
H.
AI
tại
Chứng minh

vng góc với
tại
∆ABH .