Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 hình 2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
1. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Cho đường trịn tâm O bán kính bằng 13cm và đường trịn tâm O’ bán kính bằng
15 cm cắt nhau tại A và B . Đường thẳng OO’ cắt AB tại H . Giả sử AB  24cm .
1. Chứng minh OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB và tính độ dài AH , OH và
O’H .
2. Tính độ dài của OO’ trong hai trường hợp: H thuộc đoạn thẳng OO’ và H nằm
ngoài đoạn thẳng OO’ .
Bài 2. Cho đường trịn tâm O bán kính bằng 12cm và đường trịn tâm O’ bán kính bằng 5 cm
 13cm. 
. Giả sử OO�
1. Chứng minh hai đường tròn cắt nhau.
2. Gọi A và B là hai giao điểm của hai đường tròn. Chứng minh AO là tiếp tuyến của
 O�

3. Chứng minh OO�vng góc với AB tại trung điểm H của AB . Tính độ dài của
AH và AB .
Bài 3. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O . Gọi O’ là tâm của đường trịn đường kính OA .
1. Hãy cho biết vị trí tương đối của

 O

và

 O�
.

O
O

2. Giả sử   có dây AB cắt   tại C khác A . AO ' C có gì đặc biệt? Chứng minh
�
C // OB
ACO�
�
ABO   và O�
3. Chứng minh C là trung điểm của AB .
Bài 4. Cho đường trịn tâm O  bán kính R và đường trịn tâm O ' bán kính băng R�tiếp xúc

O�
ngồi tại A. Vẽ tiếp tuyến OM của   ( M  là tiếp điểm). OMO ' là tam giác gì? Tính OM
theo R và R’ .
Bài 5. Hai đường tròn

 O

và

 O’

O
tiếp xúc ngoài tại A . Đường thẳng qua A cắt   tại B

  O’
và cắt   tại C .

�
�
1. Chứng minh ABO    ACO�
C và tiếp tuyến Bx  của  O  song song với tiếp tuyến Cy của

2. Chứng minh OB // O�

  O’
2.LUYỆN TẬP
1


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 6. Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A . Vẽ đường tiếp tuyến chung

O
O’
ngoài với tiếp điểm B thuộc   và tiếp điểm C thuộc   . Tiếp tuyến chung trong tại A
cắt BC tại I .
1. AI là đường gì của VABC . Chứng minh VABC  vuông tại A .

1
1
�
AIO    �
AIB  ; �
AIO�
 �
AIC  
2
2
2. Chứng minh
và VOIO ' vuông tại I .
3. Chứng minh OO�tiếp xúc với đường tròn đường kính BC .

 O�
A. 
Bài 7. Cho điểm A thuộc đoạn thẳng OO’ . Đặt R  OA; R�

1. Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường trịn

 O; R 

và

; R�
 O�


O
O�
O
2. Đường thẳng qua A cắt   tại B và cắt   tại C . Vẽ đường kính BD của  
O’ .
và đường kính CE của   Chứng minh BD // CE.
AD R

3. Chứng minh OAD  đồng dạng với O’AE theo trường hợp c-g-c và AE R�
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ đường tròn tâm O1
qua A và tiếp xúc với BC tại B , đường tròn tâm O2 qua A và tiếpxúc với BC tại C .
1. Chứng minh MO1A   MO1B ; MO2 A  MO2C (trường hợp c-c-c).
2. Chứng minh ba diểm O1 , A, O2 thẳng hàng.
3. Xác định vị trí tương đối của

 O1 

và

 O2  . AM

là đường gì đối với

 O1  và  O2  ?

O
Bài 9. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B . Vẽ đường kính AC của   và
O'
đường kính AD của   .
'
1. Chứng minh C , B, D  thẳng hàng và CD  2OO .

O  
O’
2. Một cát tuyến quay quanh A cắt   tại M và cắt   tại N . Vẽ OI vng góc với
MN ở I , OH vng góc với MN ở H . Chứng minh MN   2IH   2OO'.
3. Xác định vị trí cát tuyến MN dài nhất.
Bài 10. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B . Gọi K là trung điểm của OO’ .

O
O’
Đường thẳng qua A và vng góc với AK cắt   tại M và cắt   tại N . Chứng minh A
là trung điểm của MN .
Hướng dẫn: Vẽ OI   vng góc với MN ở I , O'H vng góc với MN ở H .
2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 11. Cho hai dường tròn tâm O1 và O2 tiếp xúc ngoài tại E . Vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài

AB và CD với A và D là hai tiếp điểm thuộc  O1  ; B và C  là hai tiếp điểm thuộc O2 .
Chứng minh:
1. Tứ giác ABCD là hình thang cân (Gợi ý: CD và BA kéo dài cắt nhau ở F );
2. BC   AD    AB   CD (Gợi ý: vẽ tiếp tuyến chung trong tại E cắt AB và CD ở M và
N ).
CÁC BÀI TÍNH TỐN VÀ BÀI NÂNG CAO
Bài 12. Cho hai đường tròn

 O

 O’ cùng có bán kính bằng

và

R , cắt nhau tại A và B sao

O
O’
cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB . Đường thẳng qua A cắt   tại C và cắt  
tại D sao cho A nằm giữa C và D . Chứng minh BC    BD .
O
O'
Hướng dẫn: Vẽ hai đường kính AI của   và AK của   . Chứng minh B là trung điểm
của IK (phải chứng minh I,  B,  K thẳng hàng). Tứ giác CDKI là hình gì?
Bài 13. Cho đường trịn tâm O bán kính bính 12cm và đường trịn tâm O’ bán kính bằng

16cm cắt nhau tại A và B . OO�cắt AB tại I . Giả sử độ dài OO�là bội chung của 4 và 5 .
Tính độ dài AB và OI .  (Gợi ý: chứng minh OAO’ vng)
Bài 14. Cho hai đường trịn

 O; R 

và

 O’; R �
 tiếp xúc ngoài tại

A (R    R’) . Vẽ tiếp tuyến

O
O'
chung ngoài với tiếp điểm B thuộc   và tiếp điểm C thuộc   . Tiếp tuyến tại A cắt BC
tại I .
H vng góc với OB ở H và
1. Tính độ dài BC theo R và R’ (Hướng dẫn: vẽ O�
H ).
dùng định lý Pythagore trong OO�
2. Tính diện tích IOO�theo R  và R�
.
Bài 15. Cho hai đường tròn

 O1 , Ri 

và

 02 ; R 2  tiếp xúc ngoài tại

A (vẽ R 1   R 2 . Vẽ tiếp

O
O
tuyến chung ngoài BC với tiếp điểm B thuộc  1  và tiếp điểm C  thuộc  2  . Giả sử có
O  
O
đường trịn tâm I tiếp xúc ngồi với cả hai đường trịn  1  và  2  , đồng thời tiếp xúc với
đoạn thẳng BC tại H .
I
1. Tính bán kính X của đường tròn   theo R1 và R 2 .
Hướng dẫn: tính BC,  BH,  HC theo R1 ;  R 2 và x .

3


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9
0
�
2. Giả sử thêm BO1O2    60 . Tìm hệ thức giữa R1 và R 2 (Hướng dẫn: Vẽ O2 H  O1B
tại H , 2O1H  O1O 2 ).

Bài 16. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB .Điểm C  di động trên đoạn thẳng AB .Gọi
I và K lần lượt là tâm của đường trịn đường kính AC và đường kính CB .Tiếp tuyến chung

I
K
O
I

K
tại C  của   và   cắt   tại D . AD cắt   tại M và BD cắt   tại N .
1. Chứng minh MN    CD và tìm vị trí của C  để MN dài nhất.
2. Tìm vị trí của C  để diện tích tứ giác CMDN lớn nhất. Hướng dẫn:
SCMDN

‫ף‬CM MD


Bài 17. Hai đường tròn

CM 2  MD 2
2

 O1; R1 

và

 O2 ; R 2 

tiếp xúc ngoài tại T (giả sử R 1   R 2 . Tiếp tuyến

O
O
chung ngoài BC (tiếp điểm B thuộc  1  và tiếp điểm C thuộc  2  cắt đường thẳng O1O2 tại
0
�
A . Giả sử BC   1 0 3 cm và O1 AB    30 . Tính R1 và R 2 .
0
�

Hướng dẫn: Vẽ O 2 H vng góc với O1B ở H . Từ giả thiết O1 AB    30 ,

0
hãy chứng minh O1O2 và O1O2cos30  BC .

Bài 18. Cho hai đường trịn

 O; R 

và

 O’; R’

ngồi nhau. Hai tiếp tuyến chung ngồi AC và

BD cắt nhau tại I với A và B thuộc  O  , C   và D thuộc  O’ . Gọi M và N là trung điểm
của AC và BD . Hai tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K .
1. Tia IO   và tia IO�là gì đối với góc tạo bởi hai tiếp tuyến chung ngồi?
2. Tia KO và tia KO' là gì đối với góc tạo bởi hai tiếp tuyến chung trong? Có nhận xét
gì về bốn điểm I , O, K , O�
?
3. Chứng minh OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
4. Tính độ dài của AB,  CD và MN theo R, R�và d  OO�
.

IO R
IO
R



Hướng dẫn: AB cắt IO tai H . Chứng minh IO� R�
, suy ra IO  IO� R  R�
. Tính độ
dài IO, OH , AH  và AB . Tương tự cho CD .
Bài 19. Cho hai đường tròn

 O; R 

và

 O’; R 

ngoài nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB và

'
O , B
O’
tiếp tuyến chung trong CD với A và C  thuộc  
và D thuộc   . Đặt d   OO . Tính độ
dài của AB và CD theo R, R’ và d .

4


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

CI OI
R



R  R�
Hướng dẫn: CD cắt OO’ tai  I . Chứng minh CD d
. Sử dụng định lý
Pythagore để tính IC , suy ra độ dài của CD .
Bài 20. Hai đường tròn

 O1; R1   và  O2 ; R2 

tiếp xúc ngoài tại A . Vẽ tiếptuyến chung ngoài

BC với tiếp điểm B thuộc  O1  và tiếp điểm C  thuộc  O2  . Hãy tính độ dài của AB và AC
theo R1 và R2 .
Hướng dẫn: Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở I . Tính độ dài của BC và AI  theo R1 và
1
1
1

 2
2
2
AO1 AI
R2 . Gọi H là giao điểm của IO1 và AB . Ta có AH

Bài 21. Hai đường trịn

 O1; R1 

và

 O2 ;R 2 

tiêp xúc ngoài tại A . Vẽ tiếp tuyến chung

O
O .
ngoài BC với tiếp điểm B thuộc  1  và tiếp điểm C  thuộc  2  Giả sử AB   1 2cm và
AC   1 6cm . Hãy tính R1 và R 2 .
O ; R
O ;R
Bài 22. Cho điểm B thuộc đoạn thẳng AC .Gọi  1 1  và  2 2  là hai đường trịn
O
đường kính AB và BC tương ứng. Vẽ d1 là tiếp tuyến của  1  tại A và d 2 là tiếp tuyến
của

 O2 

thuộc

O
tại C . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài FG với tiếp điếm F thuộc  1  và tiếp điểm G

 O2  ; FG

cắt d1  tại D và cắt d 2 tại E . Tiếp tuyến chung trong tại B cắt FG tại I.

1. Tính độ dài của BI,  AD và CE theo R1 và R 2 .
Hướng dẫn: Chứng minh

BI 

FG
 R1 R2 ; VADO1
2
đồng dạng với VBO1I

2. Tính diện tích tứ giác ACED theo R1 và R 2 .

O
Bài 23. Cho điểm A cố định bên trong đường tròn tâm O và A khác O . Dây BC của  
quay quanh điểm A . Gọi O1 và O2 là tâm của hai đường tròn cung qua A và tiếp xúc với

 O

tại B và C tương ứng.
1. Chứng minh tứ giác OO1 AO2 là hình bình hành. Dây BC ở vị trí nào thì hình bình
hành trở thành hình thoi?
�
Hướng dẫn:chứng minh BAO1 và ….

5


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

O
O
2. Hai đường tròn  1  và  2  cắt nhau tại M khác A . Chứng minh OM // O1O2 và
M luôn di động trên một đường cố định khi dây BC quay quanh A .

�

Hướng dẫn: hãy xác định đường trung bình của VAMO . Có nhận xét gì về AMO ?
Bài 24. Cho ba đường trịn tâm O1; O2  và O3 tiếp xúc ngồi nhau từng đơi một, với A là tiếp
điểm của

 O2   và  O3  ; B là tiếp điểm của  O3 

và

 O1  ; C là tiếp điểm của  O1 

và

 O2  ;

AB và AC lần lượt cắt  O1  tại D và E . Chứng minh DE là đường kính của   O1  .
Hướng dẫn vẽ hình: vẽ đường trịn nhỏ (bán kính khoảng lcm ) và lấy ba điểm A,  B,  C tùy ý
trên đó. Vẽ ba tiếp tuyến tại A, B,  C cắt nhau tại các điểm O1 , O2 , O3 thích hợp với đề bài.
Sau đó vẽ ba đường trịn tâm O1;O 2 ,  O3 . Chứng minh O1D // AO3 và O1E // AO2 .
Bài 25. Hai đường trịn tâm O vá O�ngồi nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB với tiếp
điểm A thuộc

 O

O�
và tiếp điểm B thuộc   . Vẽ hai tiếp tuyến chung trong EH và FG với

E và F thuộc  O  ; G và H thuộc  O’ . EH cắt AB tại C , FG cắt AB tại D . Chứng
minh AC    BD .
Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của OO�và M là trung điểm của CD . Chứng minh:
1. OCO’ vuông ở C và VODO’  vuông ở D , tứ giác AOO’B là hình thang.

2. IM là đường trung trực đoạn thẳng CD và là đường trung bình của hình thang
AOO ' B, suy ra AC    BD
Ghi chú: bài tốn trên có nguồn gốc từ bài toán lớp 8 như sau: vẽ tam giác nhọn KOO' có hai
C . Vẽ OA vng góc với CD tại A' , O�
B vng góc với CD tại B .
đường cao OD và O�
Chứng minh AD    BC .

BÀI 6. GĨC Ở TÂM ĐƯỜNG TRỊN – GĨC NỘI TIẾP VÀ GĨC CĨ ĐỈNH
TRONG, NGỒI ĐƯỜNG TRỊN.
1. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GÓC Ở TÂM VÀ GÓC NỘI TIẾP.
Bài 1. Cho AB là dây cung không chứa tâm của đường tròn tâm O . Vẽ dây AC vng góc
�
�
với AB . Chứng minh BOC    2BAC và suy ra B, O, C  thẳng hàng.
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AC ,có bán kính OB vng góc với AC .Điểm
�
�
M thuộc cung AB . Tính BMC
và AMB .

6


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 3. Cho hai đường trịn tâm O và O’ cùng có bán kính bằng R , cắt nhau ở A và B sao

O
O’

cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB . Cát tuyến đi qua A cắt   và   lần lượt ở
C và D ( A nằm giữa C và D ).
1. Tứ giác AOBO�là hình gì? Chứng minh BC    BD .
Câu hỏi nâng cao:
2. Nếu A khơng nằm giữa C và D thì kết quả câu 1 cịn đúng khơng?
0
�
O
Bài 4. Cho BAC  30 nội tiếp đường tròn tâm O. ( B và C thuộc   ). Vẽ đường tròn tâm

I đi qua O sao cho hai điểm B và C nằm ởbên trong  I  . Hai tia OB và OC cắt  I  ở E và
�  
F . Tính EIF
.
Bài 5. Cho AB là đường kính của đường trịn tâm O , bán kính bằng R . Vẽ hai dây cung AD
và BC cắt nhau tại E . Vẽ EF vng góc với AB ở F . Chứng minh tam giác AFE dồng dạng
với tam giác ADB ; tam giác BFE đồng dạng với tam giác BCA .
Bài 6. Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau ở A và B . Vẽ AC và AD là hai đường kính
của

 O  và  O’ .Chứng minh C,  B,  D

thẳng hàng.

Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD . Đường trịn đường kính BC cắt AB và
AC lần lượt tại F và E . Chứng minh AD,  BE và CF đồng qui.
Bài 8. Cho AB và CD là hai dây song song của một đường tròn (tia AB và tia DC cùng
�
�
chiều). Chứng minh sđ AC     sđ DB . Tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 9. Cho AB là đường kính của đường trịn tâm O . CD là dây song songvới AB (tia CD
cùng chiều với tia AB ).

�
�
1. Chứng minh ADC  BCD .
�
�
.
2. Chứng minh ACD  ADC  90�
Bài 10. Cho tam giác ABC cân ở A và nội tiếp một đường tròn. Lấy D thuộc cung BC không
�
�
chứa A . Chứng minh ADC    ACB
Bài 11. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC và vẽ đường kính AD . AH là đường cao
của tam giác. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ACD .
Bài 12. Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính AB . Vẽ tiếp tuyến tại A của nửa
�
�
đường trịn. Vẽ MH  vng góc với tiếp tuyến đó tại H . So sánh MAH và MBH , chứng minh
MH �
AB  MA2 .
7


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 13. Cho AB là dây cung của đường tròn tâm O . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D . Bán

O

kính OC  vng góc với AB với C thuộc cung lớn AB . CD cắt   tại ...

�
�
1. Chứng minh CEA  CAB ;
2
CD .
2. Chứng minh CA  CE �

Bài 14. Lấy ba điểm A,  B,  C trên đường tròn tâm O . Gọi Ax là tia đối củatia AB , Ay là tia

�  CAx 
�  1 sđ BC
BAy
2
đối của tia AC .Chứng minh
với BC là cung chứa điểm A .
Bài 15. Cho tam giác ABC có AB  AC và nội tiếp trong đường tròn tâm O . Lấy I là điểm
chính giữa (trung điểm) của cung BC chứa A . Kéo dài BA ta có tia Ax . Nối đoạn thẳng BI .
Chứng minh:

�
1. IAx   với BI  là cung chứa điểm A .
�
2. AI là tia phân giác của CAx  .
Bài 16. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi OM là bán kính vng góc
với cạnh BC ( M thuộc cung BC không chứa A ). Chứng minh AM là tia phân giác của góc
�
BAC
.

Bài 17. Cho đường trịn tâm O có dây AB . Bán kính OM vng góc với dây AB ( M thuộc

O
cung nhỏ AB ). Tiếp tuyến của   tại A cắt tia OM ở C . Chứng minh AM là tia phân giác
của góc SAC (Hướng dẫn: sđAM  sđBM ).
Bài 18. Trên nửa đường trịn tâm O , đường kính AB , có điểm C di động. Tia phân giác của

�
O
BAC 
cắt   tại D .
1. Chứng minh OD vng góc với BC .
2. Tia AC cắt tia BD tại K . Tam giác ABK có gì đặc biệt? Chứng minh khi C  di động
thì K chạy trên một đường cố định.
Bài 19. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có hai đường cao

BE;  CF lần lượt cắt  O  ở I và K .
�
�
1. Chứng minh ABE   ACF .
2. Chứng minh OA vng góc với IK .

8


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 20. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O . Đường cao AD của tam giác cắt

 O

�
�
ở E . Vè đường kính AF của đường trịn. Chứng minh EF PBC và BAD  CAF .

Bài 21. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có đường cao AD . Gọi

H là trực tâm của tam giác. Tia AD cắt  O  ở E . Chứng minh
�
�
�
1. DBE  DAC  DBH .
2. Đ iểm H và E đối xứng nhau qua đường thằng BC .
Bài 22. Cho đường trịn tâm O có dây AB . Gọi M là trung điểm của dây AB . Vẽ dây CD bất
kỳ đi qua M ( CD không trùng với AB ). Chứng minh dây CD dài hơn dây AS .
Bài 23. Cho hai đường tròn đồng tâm O . Điểm I thuộc đường tròn lớn. Từ I kẻ tia Ix cát
đường tròn nhỏ và lớn theo thứ tự tại A, B,  E . Kẻ tia It cắt đường tròn nhỏ và lớn theo thứ tự
tại C , D,  F sao cho CD   AB . Vẽ OH vuông góc với AB ở H và OI vng góc với CD ở I
. Chứng minh IF  IE .
Bài 24. Cho điểm I bên trong đường tròn tâm O . Cho hai đây cung AC và BD cùng đi qua I
AIB . Vẽ OH vng góc với AC ở H , OK vng góc với BD
sao cho IO là tia phân giác của �
ởK .
1. Chứng minh AC    BD .

�
�
2. Chứng minh sđAD   sđBC và tứ giác ABCD là hình thang cân.
3. Chứng minh OI vng góc với AB .
BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GÓC CÓ ĐỈNH

BÊN TRONG VÀ NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
Bài 25. Gọi C là điểm chính giữa cung lớn AB của đường tròn tâm O .Trên cung nhỏ BC lấy
điểm M . Tia CM cắt tia AB ở D .

�
�
1. Chứng minh CBM  CDB .
2
CM .
2. Chứng minh CB   CD �

Bài 26. Gọi I   là điểm trên dây AB của đường tròn tâm O sao cho IA    IB . Gọi D là điểm

O
O
chính giữa của cung AB . DI cắt   tại C. Tiếp tuyến của   tại C cắt tia AB
tại E . Chứng minh EI    EC .

9


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 27. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB lớn của đường tròn tâm O . Trên cung nhỏ

BC lấy điểm M . Tiếp tuyến tại M của  O   và tia CM lần lượt cắt AB tại D và E . Chứng
�
�
minh DE    DM (Gợi ý: Kéo dài đoạn DM ta có tia Mx . Chứng minh CMx  MED ).
Bài 28. Cho AB và AC làdây cung của đường tròn tâm O . E và D lần lượtlà điểm chính

giữa (trung điểm) của cung AB khơng chứa C và cung AC không chứa B . ED cắt AB và
AC lần lượt tại H và K . Chứng minh tam giác AHK cân tại A .

�
�
Bài 29. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Hai tia phân giác của ABC và ACB  
O
cắt nhau tại I   và cắt   lần lượt tại D và E .

�
�
�
�
1. Chứng minh sđ AD  sđDC và sđ AE    sđEB .
2. Chứng minh tam giác DCI cân tại D ; tam giác EBI cân tại E .
Bài 30. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H ; I ; K  lần lượt là điểm
chính giữa của các cung BC khơng chứa A , CA không chứa B và AB không chứa C . AH cắt
IK ở E .

�
�
1. Chứng minh AEI     AEK .
2. Chứng minh AH vng góc với IK

�
�
Bài 31. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Hai tia phân giác của ABC và ACB  
O
O
cắt nhau tại I  và cắt   lần lượt tại D và E . DE cắt AB và AC ở H và K . Tia AI cắt  

tại M .

�
�
�
�
�
�
1. Chứng minh sđ EA  sđ EB; sđ DA  sd DC; sđ MB  sđ MC
2. Chứng minh tam giác DAI cân tại D , tam giác EAI  cân tại E .
3. Đường thẳng DE là gì đối với đoạn thẳng AI ? Chứng minh tứ giác AHIK là hình
thoi.

O
Bài 32. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn   cắt nhau tại C . Vẽ cát tuyến CDE của

 O

( D nằm giữa C và E ). Lấy điểm F trên dây DE sao cho CF    CA    CB . Hai tia AF

O
và BF lần lượt cắt   tại I và K . Chứng minh:

�
�
�
�
�
�
1. sđ  AI  sđ  AD   sđ  IE   và sđ  BK  sđ  BD  sđ  EK (qui ước các cung là cung nhỏ của

 O )
2. I và K là các điểm chính giữa của DE (lớn và nhỏ).
10


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

3. Hai bán kính OI và OK thẳng hàng.
3. LUYỆN TẬP CHUNG
Bài 33. Cho AB là đường kính của đường trịn tâm O bán kính R . Vẽ hai đây
cung AD và BC cắt nhau tại E . Vẽ EF vng góc với AB ở F . Chứng minh

AD    AF �
AB và phát biểu kết quả tương tự.
1. AE �
AD    BE �
BC     4R 2  
2. AE �

Bài 34. Cho tam giác ABC cân ở A và nội tiếp trong một đường trịn. Lấy D thuộc cung BC
2
AE .
khơng chứa A . AD cắt BC tại E . Chứng minh AS  AD �

Bài 35. Trên nửa đường tròn tâm O bán kính R , đường kính AB , lấy điểm M sao cho
AM    MO . Vẽ tiếp tuyến tại A . Vẻ MH vng góc với tiếp tuyến đó tại H .
2
AB .
1. Chứng minh AM  MH �

2. Tính MH và AH theo R .

O
Bài 36. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O . Trên tiếp tuyến của   tại A , lấy điểm B
O
khác A . Đoạn thẳng OB cắt   tại M . Vẽ AC vng góc với OB tại C .Chứng minh AM
O
là đường phân giác của tam giác ABC (Gợi ý: kéo dài AC cắt   tại D ).
Bài 37. Cho tam giác BCD tù tại đỉnh B và có đường cao BA . Tia CB cắt đường trịn
(ABD) tại I . Tia DB cắt đường tròn  ABC   tại K . Chứng minh:

�
�
1. CAK  DAI ;
�
2. AB là tia phân giác của IAK .
O
Bài 38. Từ điểm S thuộc tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O , kẻ cát tuyến cắt   lần
lượt tại B và C . Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC . ( D thuộc dây BC )

�
�
�
1. Chứng minh ADS  ACD  DAB.
2. Chứng minh tam giác SAD cân tại S .
Bài 39. Cho tam giác ABC có I là tâm dường trịn nội tiếp. Gọi O là tâm của đường tròn

�  ABC
�

�
�
 BIC  . Chứng minh IOC 
và IOB   ACB .
�
Bài 40. Cho tam giác AMB nội tiếp trong đường tròn tâm O . Tia phân giác của AMB cắt

AB ở C , cắt  O  ở D . Chứng minh MA.MB    MC.MD (Gợi ý: xét hai tam giác đồng
dạng).
11


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 41. Cho tam giác ABD có AB   AD . Đường trung trực của BD cắt tia phân giác của
� tại  C . Chứng minh điểm C thuộc đường tròn  ABD 
BAD

ABD 
(Hướng dẫn: tia phân giác của BAD cắt đường tròn 
tại C . Chứng minh C cách
đều hai điểm B và D ; C1 trùng với C ).

�
Bài 42. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Tia phân giác của BAC cắt

 O

tại M . Tia phân giác của ABC cắt AM tại I .

�
�
1. Chứng minh IAB  MBC .
�
2. MIB là góc ngồi của tam giác nào? Chứng minh tam giác MBI cân ở M .
Bài 43: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Trên cung BC khơng chứa A, lấy
điểm chính giữa M (trung điểm của cung). Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho MI = MB .
�
�
1. Chứng minh: IAB = MBC .
�
�
2. Chứng minh: IBA = IBC . Điểm I là gì của D ABC ?

Bài 44: Cho tam giác ABC đều và nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên cung nhỏ
BC. Lấy D trên dây AM sao cho MD = MB .
�
�
1. Tam giác MBD có gì đặc biệt? Chứng minh: MBC = DBA ; D BMC = D BDA .

2. Chứng minh MB + MC = MA . Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để MA + MB + MC
lớn nhất.
Bài 45: Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau ở A và B. Cát tuyến qua B cắt (O) ở C, cắt (O’)
ở D sao cho B nằm giữa C và D. Chứng minh hai tam giác AOO’ và ACD đồng dạng (Gợi ý:
1�
�
AOO ' = AOB
2
do D AOO ' = D BOO ' ).

Bài 46: Hai đường tròn tâm O1 và O2 cắt nhau ở A và B sao cho hai tâm nằm ở hai bên đường
O
thẳng AB. Giả sử hai đoạn thẳng CD và EF cùng đi qua A (C và E thuộc ( 1 ) ; D và F thuộc

�
( O2 ) sao cho AB là tia phân giác của CAF
. Chứng minh:

1. Tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEF.
�
�
� BC
�
2. sđ BC = sđ BE
(
không chứa A và BE
chứa A).

3. Chứng minh: CD = EF (Gợi ý: tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng 1).

12


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 47: Tam giác ABC nhọn có đường cao AH và nội tiếp trong đường trịn bán kính R. AD là
đường kính của đường tròn. Chứng minh:
1. 2 R. AH = AB. AC

2.

SDABC =

AB.BC .CA
4R

Bài 48: Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt nhau tại A. OA cắt BC ở H và
cung nhỏ BC ở I. Chứng minh:
�

� = IC
1. sđ IB
sđ
và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

2. IA.BC = 2 IH . AB (Gợi ý: hệ quả định lý Thales về tính chất đường phân giác trong
D ABH ).
Bài 49: Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy D và E thuộc cạnh BC sao cho BD = BA ,
CE = CA .
� =1C
�
� =1B
�
BAE
CAD
2
2
1. Chứng minh:
và
(Gợi ý: AB là tiếp tuyến của đường trịn tâm

C bán kính CA v.v..).
�
2. Tính DAE
.

Bài 50: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O) cố định. Gọi I là điểm chính giữa của
cung lớn BC. Vẽ đường trịn tâm I bán kính bằng IB = IC . Điểm A di động trên cung lớn BC
của (O). Tia BA cắt (I) tại D.
�
�
1. Chứng minh: AC = AD (Gợi ý: chứng minh BAC = 2 BDC ).
�
2. Tìm vị trí của A trên BC để chu vi tam giác ABC lớn nhất.

Bài 51: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, có bán kính OC vng góc với AB. Lấy
điểm M thuộc cung AC rồi vẽ tiếp tuyến tại M cắt tia OC tại D.
�
�
Chứng minh: MDO = 2MBO .

Bài 52: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, có bán kính OC vng góc với AB. Lấy
điểm M thuộc cung AC rồi vẽ tiếp tuyến tại M cắt tia OC tại D. BM cắt CO tại E. Chứng minh
tam giác OAM đồng dạng với tam giác DME theo trường hợp góc-góc.
Bài 53: Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy điểm D. Lấy điểm B thuộc đoạn AD. Một
đường thẳng qua H vng góc với AB tại F và cắt tia BD tại C. Tiếp tuyến tại D cắt CH tại I.
Chứng minh:
1.

� = FBC

� = IDH
� .
IHD

13


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

2. I là trung điểm của CH và

� = IDC
� .
ICD

Bài 54: Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy điểm D và E sao cho E thuộc cung AD. AD
cắt BE tại H. Tia AE cắt tia BD tại C. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại D và E và CH đồng
quy (Gợi ý: chứng minh mỗi tiếp tuyến đi qua trung điểm I của CH giống cách làm của bài
trên).
Bài 55: Cho tam giác ABC cân ở A và nội tiếp trong một đường tròn. Hai tia phân giác của
�
ABC và của �
ACB lần lượt cắt đường tròn ở D và E, đồng thời cắt nhau ở F.

�
� � �
1. Chứng minh các cung nhỏ BE , EA , AD và DC có số đo bằng nhau.
�
�
2. Tứ giác ADFE là hình gì? (Gợi ý: chứng minh AEC  EFB , suy ra EF // BF v.v…)

Bài 56: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Vẽ đường kính BD.
Chứng minh:

BC
 sin A
�
BD
1.
(ký hiệu sin A là sin BAC ).
BC
CA
AB


 2R
sin
A
sin
B
sin
C
(định lý hàm sin: trong tam giác nhọn, cạnh chia sin góc
2.
đối bằng đường kính đường trịn ngoại tiếp).
Bài 57: Cho tam giác ABC nhọn có điểm M di động trên cạnh BC. Vẽ MH vng góc với AB
ở H, MK vng góc với AC ở K.
1. Chứng minh AM là đường kính của đường tròn (AHK).

�
2. Sử dụng định lý hàm sin trong AHK , chứng minh HK  AM .sin BAC .

3. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để HK ngắn nhất.
Bài 58: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Điểm H di động trên cung
BC nhỏ. Vẽ MH vng góc với AB ở H, MK vng góc với AC ở K.
1. Chứng minh AM là đường kính của đường trịn ngoại tiếp AHK .

�
2. Chứng minh: HK  AM .sin BAC .

14


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

3. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để HK dài nhất.
Bài 59: Tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD, CE và nội tiếp trong đường trịn tâm O bán
kính bằng R.
1. Chứng minh ADE đồng dạng với ABC (trường hợp c-g-c) với tỉ số đồng dạng
�
bằng cos BAC .

�
R
BAC
, DE và bán kính 1 của đường tròn (ADE) (Gợi ý:
ABC
ADE )
dùng định lý hàm sin trong
và
.
2. Giả sử

BC  R 3

. Tính

Bài 60: Cho tam giác ABC đều có đường cao AD. Điểm M di động trên cạnh BC. Vẽ MH
vng góc với AB ở H và MK vng góc với AC ở K. Gọi I là trung điểm của AM.
1. Chứng minh các điểm A, H, M, D, K cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính AM.

�
�
�
2. Chứng minh: DIH  HAK  DIK (Gợi ý: góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một
cung).
3. Chứng minh: HK vng góc với ID (Gợi ý: tứ giác DHIK là hình gì?)

� �
Bài 61: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và C  D . Trên tia đối của tia BC
�
�
lấy điểm M sao cho MAB  C . Chứng minh AM là tiếp tuyến tại A của (O).
Hướng dẫn: Cách 1: Giả sử tiếp tuyến tại A cắt tia BM tại M’. Chứng minh hai điểm M và M’
trùng nhau.

�
�
�
�
Cách 2: Tam giác OAB cân và AOB  2C . Chứng minh MAB phụ với BAO .
Bài 62: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau ở M (nên vẽ (O) khá lớn, A và B

khá gần nhau thì hình rõ hơn). Vẽ đường trịn tâm M bán kính bằng MA  MB . Lấy điểm C
thuộc (M) sao cho C bên trong (O). Tia AC và tia BC cắt (O) lần lượt ở D và E. Kéo dài đoạn
thẳng MB ta có tia Bx. Chứng minh:

�
�
1. OBE  DBx (Gợi ý: tìm một góc trung gian).
2. Ba điểm D, O, E thẳng hàng (nghĩa là chứng minh DE là đường kính của (O)).

15


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Bài 63: Cho đường trịn tâm O tiếp xúc ngồi với đường tròn tâm O’ tại D. Tiếp tuyến của (O)
tại A cắt (O’) tại B và C (B nằm giữa A và C). Tia CD cắt (O) tại E. Chứng minh:





1 �
�
AD  BD
�
2
ADB
1.
có số đo bằng
.

�
�
2. DA là tia phân giác của BDE (Gợi ý: ADE là góc ngồi của tam giác nào).
Bài 64: Cho đường tròn tâm O tiếp xúc ngồi với đường trịn tâm O’ tại D. Tiếp tuyến của (O)
tại A cắt (O’) tại B và C (B nằm giữa A và C). Tia BD cắt (O) tại E. Chứng minh tam giác
DAC và tam giác DEA đồng dạng theo trường hợp góc góc (Gợi ý: vẽ đường thẳng xy là tiếp
�
�
chung tại D của hai đường tròn rồi chứng minh DCA  DAE ).
O
Bài 65. Hai đường tròn tâm O và tâm O ' tiếp xúc trong tại điểm D, ( ) là đường tròn lớn.
O
O'
Dây cung BC của ( ) tiếp xúc với ( ) tại A. Chứng minh rằng DA là đường phân giác của
�
tam giác BCD. ( Gợi ý: tiếp tuyến chung tại D cắt đường thẳng BC ở I . So sánh IAD
và

�
�
IDA
;( IAD
là góc ngồi của tam giác nào?).
�
Bài 66. Lấy hai điểm B và D lần lượt thuộc cung lớn và cung nhỏ AC của một đường tròn.
�
�
Lấy điểm M thuộc dây AC sao cho MBC = ABD . Chứng minh.

1. Hai tam giác BMC và BAD đồng dạng, suy ra MC.BD = AD.BC .

2. Hai tam giác BAM và tam giác BDC đồng dạng, suy ra AM .BD = AB.CD . Từ đó
chứng minh định lý Ptolêmê: AC.BD = AB.CD + AD.BC ( tích hai đường chéo của một tứ
giác nội tiếp bằng tổng của hai cặp cạnh đối ).
Bài 67. Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường trịn. Lấy điểm D tùy ý thuộc cung BC
�
�
khơng chứa A . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MDC = BDA .

1. Chứng minh rằng V DMC đồng dạng V DBA ; V DBM đồng dạng với V DAC .
2. Vẽ DH , DI , DK tương ứng vng góc với BC , CA, AB tại H , I và K chứng minh
MC
AB
BM
AC
BC
AB AC
=
=
=
+
DH DK và DH
DI . Suy ra DH DK DI .

( Gợi ý: tỉ số đồng dạng bằng tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác).
Bài 68. Cho đường tròn tâm O có hai dây AB và CD vng góc nhau tại I , I bên trong
O
đường tròn ( ) . Gọi M là trung điểm của AD, MI cắt BC ở H .
16

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

1. Chứng minh V ABC đồng dạng với VCIH theo trường hợp góc góc (Gợi ý: IM = MD
).
2. Gọi K là trung điểm của BC . Chứng minh IM P OK .
3. Chứng minh MK đi qua trung điểm của IO ( Gợi ý: Tứ giác IMOK là hình bình
hành).
Bài 69. Cho đường trịn tâm O có dây cung AB cố định. Điểm C di động trên cung lớn AB.
1. Hãy nếu cách dựng ( khơng cần giải thích) tâm O1 của đường tròn đi qua A và tiếp
xúc với BC tại C, tâm O2 của đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C.
O
O
2. Hai đường tròn ( 1 ) và ( 2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Kéo dài CD ta có tia

�
�
�
�
�
Dx. Chứng minh ADx = ACB = BDx ( Gợi ý: ADx và BDx là góc ngồi của những tam
giác nào?).
�
�
3. Chứng minh ADB = AOB .

Bài 70. Cho đường trịn tâm O có dây BC và đường kính BE. Gọi K là trung điểm của BC. Tia
EK cắt ( ) tại M. Lấy điểm D tùy ý thuộc ( ) ( nhưng khác điểm, B, E, C) rồi vẽ BH vng
góc với CD tại H. Gọi I là trung điểm của BH.
O

O

� = 1 tan CEB
�
� = 1 tan CDB
�
tan
CEM
tan
CDI
�
�
2
2
1. Chứng minh CEM = CDI . ( Gợi ý:
và
).

O
2. Chứng minh ba điểm D, I, M thẳng hàng. ( Gợi ý: tia DI cắt ( ) tại M’, chứng minh

� '
� = sd BM
sd BM
).
O
Bài 71. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( ) cắt nhau tại A. Gọi K là trung điểm của
O
BC. Vẽ đường kính BE, AE cắt ( ) tại M.
� = 1 tan BOA

�
� = 1 tan BEC
�
tan BEM
tan KEC
2
2
1. Chứng minh
và
.

�
�
2. Chứng minh BEM = KEC .
O
3. Lấy D tùy ý thuộc ( ) ( D khác B và C). Vẽ CH ^ BD tại H. Gọi I là trung điểm của
� = 1 tan BDC
�
tan BDI
�
�
2
CH. Chứng minh
và BDI = KEC .

4. Chứng minh D, I, M thẳng hàng.
17


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

O'
Bài 72. Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B và điểm O thuộc ( )
O'
O
O
O
. Điểm C thuộc ( ) và nằm ngoài ( ) . Tia CA cắt ( ) tại D, tia CB cắt ( ) tại E.

�
1. Chứng minh rằng CO là tia phân giác của ACB .

2. Chứng minh rằng hai dây AD và BE dài bằng nhau và tứ giác ADBE là hình thang
cân.
O
3. Tia CO cắt ( ) tại I và K ( I nằm giữa C và O). Chứng minh đường kính IK vng
góc với dây BD ( hoặc dây AE); I và K là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của

D ABC .
O'
Bài 73. Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B và điểm O thuộc ( )
O'
O
O
O
. Điểm C thuộc ( ) và nằm bên trong ( ) . Tia AC cắt ( ) tại D, tia BC cắt ( ) tại E.

�
�
1. Chứng minh rằng CO là tia phân giác của một trong hai góc ACE hoặc BCD .

2. Chứng minh hai dây AD và BE dài bằng nhau và tứ giác ABDE là hình thang cân.
O
3. CO cắt đường trịn ( ) tại I cà K. Chứng minh IK vng góc với BD và AE

4. Chứng minh I và K là tâm đường tròn bàng tiếp của D ABC .
I
Bài 74. Cho nửa đường trịn tâm I đường kính CD. Vẽ hai tiếp tuyến Cx và Dy của ( ) ở cùng
ADM )
phía với nửa đường trịn. Lấy điểm M thuộc CD và điểm A thuộc Dy. Đường tròn (
tâm
I
O cắt ( ) tại E khác D, DE cắt Cx tại K.
O
1. Vẽ đường kính DF của ( ) . Tứ giác AFMD là hình gì ?

2. Chứng minh C, F, E thằng hàng và D DCK đồng dạng với D FMC .
3. Chứng minh D MCK đồng dạng với D ADC theo trường hợp c-g-c rồi suy ra AC
vng góc với MK.
Bài 75. Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC với D, E, F là các tiếp điểm trên BC,
CA, AB. Vẽ DH vng góc với EF tại H. Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của DF và
DE. Chứng minh:
�
�
�
�
1. HED = IFB (đặt bằng x) và HFD = KEC (đặt bằng y)

2.HE = 2ECcosx.cosy và HF = 2FBcosx.cosy (gợi ý các tam giác BIF và CKE vuông ở
I và K).

18


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

3. Hai tam giác HEC và HFB đồng dạng theo trường hợp c.g.c, suy ra HD là tia phân
�
giác của BHC .
�

Bài 76. Cho xOy nhọn cố định và điểm A cố định thuộc tia Ox. Vẽ tia At vng góc với OX
tại A sao cho At cắt Oy. Điểm J di động trên At. Đường trịn tâm J bán kính JA cắt Oy ở B và
C (B và C di động theo J). Chứng minh tâm K của đường trọn nội tiếp tam giác ABC di động
�
trên đường tròn cố định. (Gợi ý: AK cắt Oy ở D thì ADO là góc ngồi của tam giác nào?
Chứng minh tam giác OAD cân ở O).

Bài 77. Tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O. Trên các cung BC khơng chứa A, cung CA
không chứa B, và cung AB không chứa C, lần lượt lấy các điểm A’, B’ và C’. Chứng minh
rằng:
1. Nếu AA’, BB” và CC’ là ba tia phân giác của ba góc trong tam giác ABC thì AA’ vng
�
�
góc với B’C’ (Hướng dẫn: gọi H là giao điểm của AA’ và B’C’. Chứng minh AHB ' = AHC '
).

2.Nếu AA’, BB’ và CC’ tương ứng vng góc với BC, CA, AB thì A’A là tia phân giác của
�
B
' A ' C ' (Hướng dẫn: chứng minh sđ �

AC ' ).
AB ' = sđ �

Bài 78: Cho tam giác ABC. Điểm D di động trên đường thẳng AB, điểm E di động trên đường
thẳng AC sao cho D và E ln ở cùng phía đối với đường thẳng BC và BD = CE. Gọi I là điểm
chính giữa cung BC chứa A của đường tròn (ABC)
1. Chứng minh V IBD =V ICE
�
�
BC �
�
�
�
� �
2.Chứng minh V IDE đồng dạng với V IBC và DE = ID �IB �.

3.Tìm vị trí của D sao cho DE ngắn nhất.
Ghi chú: nếu D và E di động nhưng ở hai bên BC và I là điểm chính giữa cung BC khơng
chứa A của đường trịn (ABC) thì kết quả bài tốn khơng đổi.
1. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TÍCH CỦA ĐƯỜNG TRỊN
Bài 79. Phương tích của điểm M đối với đường trịn: Cho đường trịn tâm O có bán kính R.
Cho điểm M cố định bên trong đường tròn (M khác O). Vẽ đường kính AB đi qua M. Cho dây
cung CD quay quanh điểm M.
2
2
1.Chứng minh MA.MB = R - OM .

2.Chứng minh tam giác MAD đồng dạnh với tam giác MCB.
2
2

3.Chứng minh rằng với vị trí bất kỳ của dây CD đi qua M thì MC.MD = R - OM .

19


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9
2
2
Ghi chú: giác trị của MC.MD = R - OM được gọi là phương tích của M đối với (O).

Bài 80. Phương tích của M đối với đường trịn: Cho đường trịn tâm O bán kính R. Cho điểm
M cố định nằm ngoài (O). Tia MO cắt (O) tại A và B (A nằm giữa M và B). Tia Mx di động cắt
(O) tại C và D (C nằm giữa M và D).
2
2
1.Chứng minh: MA.MB = OM - R .

2.Chứng minh tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB.
3.Có nhận xét gì về tích MC.MD khi Mx quay?
Ghi chú: giá trị của MC.MD được gọi là phương tích của M đối với (O).
Bài 81. Phương tích của điểm M đối với đường trịn: Cho đường trịn tâm O bán kính R. Cho
điểm M cố định nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến MT (T là tiếp điểm). Tia Mx di động cắt (O) tại
C và D (C nằm giữa M và D). Chứng minh tam giác MCT đồng dạng với tam giác MTD và
MT 2 = MC.MD .

Bài 82: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau ở A và B. Điểm M nằm ngồi hai
đường trịn và thuộc đường thẳng AB. Từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) và tiếp tuyến MD của
(O’) (C và D là hai tiếp điểm). Chứng minh MC = MD. Có nhận xét gì về phương tích của
điểm M đối với hai đường tròn?
Ghi chú: đừng thẳng AB được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Bài 83. Cho tam giác ABC có AB < AC và nội tiếp trong đượng trịn tâm O. Giả sử trên tia đối
2

của BC có điểm M sao cho MA = MB.MC . Vẽ tiếp tuyến MD của (O) (với D là tiếp điểm
thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh tam giác OMA bằng tam giác OMD và MA là
tiếp tuyến của (O).
Bài 84. Cho đường trịn (O) có dây BC song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn. Lấy
điểm E thuộc cung BC không chứa A. Tia EC cắt tiếp tuyến ở M. MB cắt (O) ở D. Tia ED cắt
đoạn thẳng AM ở I. Chứng minh:
2
�
�
1. IMD = IEM và IM = IE.ID .

2. I là trung điểm của đoạn thẳng AM (bằng cách sử dụng phương tích của điểm I đối với
(O)).
Bài 85. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MC của (O) (A và
C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung BC song song với AM. BM cắt (O) tại D. CD cắt AM tại I.
2
Chứng minh IM = IC.ID và I là trung điểm AM.

Bài 86. Cho điểm C nằm ngồi đường trịn tâm O. Vẽ hai tiếp tuyến CA và CB của (O) (A và
B là hai tiếp điểm). Vẽ đường tròn tâm T đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (T) cắt
(O) tại điểm thứ hai M. Tia AM cắt BC ở I. Chứng minh:
20


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

�

�
1. MCI =CAI (Gợi ý: tìm một góc trung gian)
2
2. IC = IM .IA.

3. IT vng góc với BC.
Bài 87. Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC (D thuộc BC). Chứng minh
AD 2 = AB. AC - DB.DC .

Hướng dẫn: tia AD cắt đường tròn (ABC) tại E. Chứng minh AB.AC = AD.AE.
Bài 88. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Giả sử đường
tròn (ADM) cắt hai đường thẳng AB và AC tại E và F.
BA.BE BD
=
1.Chứng minh CA.CF CD .

2.Chứng minh BE = CF (Hướng dẫn: dùng câu 1 và hệ quả định lý Thalè s về tính chất
đường phân giác.
Bài 89. Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB bằng 2R và điểm M di động trên đó.
Đường tròn tâm I tiếp xúc trong với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại H. Vẽ OQ là bán kính
vng góc với AB.
1.Chứng minh đường thẳng MH ln đi qua một điểm cố định K (Gợi ý: K thuộc đường
thẳng OQ và OK = OM).
2.Chứng minh V KOH đồng dạng với V KMQ .
2
2
2
3.Chứng minh IK - IM = 2 R (Phương tích của K đối với (I)).

3

4.Xác định vị trí của M để KM + xKH nhỏ nhất trong các trường hợp x = 1; 2 ; 2.
R
KH =
�
cos a .
Hướng dẫn: đặt a = HKO thì KM = 2Rcos a và

Bài 90. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. Gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp V ABC với bán kính r. Tia AI và BI lần lượt cắt (O) ở D và E.
�
�
1.Chứng minh BAI =CBD và V BID cân ở D.
2
2
2.Chứng minh IA.BD = R - OI (Gợi ý: Phương tích của I đối với (O)).

21


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

3.Vẽ đường kính DH của (O); vẽ IM vng góc với AB ở M. Chứng minh hệ thức Euler:
R 2 - OI 2 = 2 Rr , nghĩa là phương tích của I đối với (O) bằng hai lần tích hai bán kính của
(O) và (I) (Hướng dẫn: chứng minh V AMI đồng dạng với V HBD rồi dùng câu 2).

1. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 91. Cho nửa đường trịn đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm D và E sao cho
E thuộc cung AD. AD cắt BE tại H. Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn D và E cắt nhau ở I.
Chứng minh ID = IH = IE (Gợi ý: AE cắt BD tại C. Chứng minh I thuộc CH).
Bài 92. Cho đường tròn tâm o và dây BC cố định không qua tâm. Điểm D di động thuộc (O)

nhưng không trùng với B và C. VẼ BH vng góc với CD ở H. Gọi I là trung điểm của BH.
Chứng minh đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định khi D di động trên (O).
Bài 93. Cho nửa đường trịn tâm I đường kính CD. Vẽ hai tia tiếp tuyến Cx và Dy của (I) ở
cùng phía với nửa đường trịn. Lấy điểm M thuộc CD và điểm A thuộc Dy. Đường tròn (ADM)
tâm O cắt (I) tại E khác D. DE cắt Cx tại K. Chứng minh MK, AC và (O) cùng đi qua một
điểm.
Bài 94. Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. Lấy điểm D tùy ý thuộc cung BC
không chứa A. Vẽ DH, DI, DK tương ứng vuông góc với BC, CA, AB tại H, I và K. Chứng
BC CA AB
=
+
minh DH DI DK .

Bài 95. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, điểm O thuộc (O’). Lấy C thuộc
(O’) và nằm ngoài (O). Tia CO cắt (O) tại I và K (I nằm giữa O và C). Chứng minh I và K lần
lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của V ABC .
Bài 96. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác ở đỉnh A, B, C lần
lượt cắt (O) tại A1 , B1 , C1 . Chứng minh AA1 + BB1 +CC1 > AB + BC +CA
Gợi ý: Lấy B’ thuộc tia AB sao cho AB’ = AC. Chứng minh A1C = A1 B = A1 B ' . Gọi H là trung
1
A1 A > AH = ( AB + AC )
2
điểm BB’. Chứng minh
.

Viết các bất đẳng thức tương tự.

2. BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM
Bài 97. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau ở A và B. AB cắt OO’ tại H. Điểm M
nằm ngoài hai đường tròn và thuộc đường thẳng AB. Từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) và tiếp

tuyến MD của (O’) (C và D là hai tiếp điểm).
2
2
2
2
2
2
Chứng minh HO - HO ' = MO - MO ' = R - R ' và MC = MD.

22


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

Ghi chú: đường thẳng AB được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Bài 98. Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 ngồi nhau, có bán kính tương ứng bằng R1 và
R2

. Gọi A, B thuộc ( O1 ); C, D thuộc ( O2 ) là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài AC
và BD của hai đường tròn. Gọi I là trung điểm của AC, K là trung điểm của BD. Gọi H là giao
điểm của IK và O1 O2 .
1.Chứng minh O1O2 là đường trung trực của đoạn thẳng IK.
Hướng dẫn: Giả sử AC cắt BD tại Q, chứng minh QI = QK và tia Q O1 trùng tia Q
O2

.

2
2
2

2
2
2
2.Chứng minh: HO1 - HO2 = IO1 - IO2 = R1 - R1 .

3.Chứng minh H nằm ngồi hai đường trịn.
Hướng dẫn: Vì ( O1 ) và ( O2 ) ngồi nhau nên ta có ( HO1 - R1 ) +( HO2 - R2 ) >0 . Suy ra
HO12 - R12 HO2 2 - R2 2
+
>0
HO1 + R1
HO2 + R2
. Sử dụng thêm đẳng thức

HO12 - HO2 2 = R12 - R12 trong câu 3 để suy ra đpcm.

4.Chứng minh với mọi điểm M thuộc đường thẳng IK thì phương tích của điểm M đối
với hai đường tròn bằng nhau (đường thẳng IK được gọi là trục đẳng phương của hai
đường tròn).
Hướng dẫn: Gọi p1 và p2 lần lượt là phương tích của điểm M đối với ( O1 ) và ( O2 ). Khi
đó
p1 - p2 = ( MO12 - R12 ) - ( MO22 - R22 ) = ( MO12 - MO22 ) - ( R12 - R22 ) = (HO12 - HO22 ) - ( R12 - R22 ) = 0

5.Chứng minh đường thẳng IK đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trên
đường tiếp tuyến chung trong.
2

'

Bài 99. 1. Gọi I là tring điểm của đoạn thẳng OO , ta ln có

GO 2 - GO ' = 2GI .OO '

.

Hướng dẫn: sử dụng hằng đẳng thức và xét hai trường hợp; G thuộc hoặc không thuộc đoạn
'
thẳng OO .
'
'
'
2 Cho hai đường tròn (O, R) và ( O , R ) có trục đẳng phương cắt OO tại H. Chứng minh

HO 2 - HO '2 = R 2 - R '2 .
'
3 Giả sử M là điểm mà phương tích của M đối với hai đường trịn (O) và ( O ) bằng nhau.
Chứng minh M thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ấy.

23


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9
2
'2
2
'2
2
'2
'
Hướng dẫn: vẽ MK vng góc với OO tại K, ta có KO - KO = MO - MO = R - R (tại

2
'2
2
'2
'
'
sao?). Suy ra KO - KO = HO - HO . Sử dụng câu 1 ta có 2HI. OO = 2GI. OO , suy ra HI =
GI. Tự lý luận H trùng G.

Bài 100. Cho ba đường tròn từng đôi một không đồng tâm. Chứng minh rằng các trục đẳng
phương của từng cặp đường tròn đồng quy.
2)
Bài 101. Hai đường tròn ( 1 1 ) và ( 2 2 ) tiếp xúc (ngoài hoặc trong) tại A ( 1
. Lấy
điểm M thuộc tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MC và MD

O ,R

R �R

O ,R

O
O
với C thuộc ( 1 ) và D thuộc ( 2 ) . Hai đường thẳng CD và O1O2 cắt nhau tại Q. Hai đường

thẳng O1C và O2C cắt nhau tại O3 .
1.Chứng minh: O3C  O3 D.
QO1 R1
=

QO
R2 (Hướng dẫn: dùng định lý Ménélaus trong VO1O2O3 với cát tuyến
2
2.Chứng minh

QCD).
2

3.Chứng minh QC.QD =QA (Hướng dẫn: phương tích của Q đối với đường trịn tâm M
bán kính bằng MC).
Ghi chú: bài tốn có dạng phát biểu khác: Khi M di động, trên tiếp tuyến chung thì
đường thẳng CD luôn đi qua điểm cố định.
O ,R
O ,R
R �R2 )
O
Bài 102. Cho hai đường tròn ( 1 1 ) và ( 2 2 ) tiếp xúc tại A ( 1
. Một đường tròn ( 3 )
O và O
tiếp xúc (trong hoặc ngoài tùy ý) với ( 1 ) ( 2 ) lần lượt tại C và D. Gọi Q là giao điểm của

O1O2

O
với BC. Từ Q kẻ tiếp tuyến QT với ( 3 ) (T là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng QT

theo R1 và R2 trong hai trường hợp:
O
O
1. ( 1 ) tiếp xúc ngoài với ( 2 ) .

O
O
2. ( 1 ) tiếp xúc trong với ( 2 ) .

Hướng dẫn: Hai tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở M. Chứng minh MA cũng là tiếp tuyến.
Chứng minh

QT 2 =QC.QD . Sau đó áp dụng bài trên.

O ;R
O ; R R �R2 )
Bài 103. Cho hai đường tròn ( 1 1 ) và ( 2 2 ) ( 1
khơng đồng tâm và có vị trí tương

đối tùy ý. Gọi xy là trục đẳng phương của chúng. Trục xy cắt O1O2 ở H. Lấy điểm M tùy ý
thuộc xy sao cho M nằm ngoài hai đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với C thuộc

24


BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC 9

( O1 ) và D thuộc ( O2 ) . Hai đường thẳng CD và O1O2 cắt nhau tại Q. hai đường thẳng O1C và
O2 D

cắt nhau tại O.

1.Chứng minh rằng O3C = O3 D
QO1 R1
=

QO
R2 .
2
2. Chứng minh
2
2
2
2
2
2
3. Chứng minh rằng QC .QD = QH + R1 - O1H = QH + R2 - O2 H .

Hướng dẫn: QC.QD là phương tích của Q đối với đường trịn tâm M bán kính bằng MC.
2
2
Do đó QC.QD= QM - MC . Sử dụng định lý Pythagore trong D QMH và phương tích của

O
M đối với ( 1 ) .
O
O
Ghi chú: Từ điểm M có thế kẻ được bốn tiếp tuyến đến hai đường tròn ( 1 ) và ( 2 ) . Do đó

điểm Q có thể nằm ngồi hoặc thuộc đoạn thẳng O1O2 tùy theo cách vẽ tiếp tuyến.
Bài 104.

O ;R
O ; R R �R2 )
Cho hai đường tròn ( 1 1 ) và ( 2 2 ) ( 1
không đồng tâm và có vị trí

O
O
O
tương đối tùy ý. Xét đường tròn ( 3 ) tiếp xúc với ( 1 ) tại C và tiếp xúc với ( 2 ) tại D. Hai
O
đường thẳng CD và O1O2 cắt nhau tại Q. Kẻ tiếp tuyến QT của đường tròn ( 3 ) với T là tiếp

điểm. Tính độ dài của QT theo R1 , R2 và d = O1O2 trong các trường hợp sau:
O
O
O
1.Hai đườngtròn ( 1 ) và ( 2 ) cùng tiếp xúc ngoài, hoặc cùng tiếp xúc trong với ( 3 ) .
O
O
2.Hai đườngtròn ( 1 ) và ( 2 ) một đường trịn tiếp xúc ngồi, đường trịn còn lại tiếp xúc
O
trong với ( 3 ) .

BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Trong các câu sau, tứ gác ABCD có nội tiếp khơng?
1. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
2. Tứ giác ABCD là hình thang cân.
3. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

25