Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7 chương III hình học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.59 KB, 25 trang )

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 8 : QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC

�
� và C
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm. So sánh B
.
�
A và C
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. So sánh �
.
�.
A và B
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 12cm. So sánh �
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm; BC = 5cm. So sánh các góc
của tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm; BC = 7cm. So sánh các góc
của tam giác ABC
0
0
�
�
Bài 6: Cho tam giác ABC có B  60 ; C  40 . So sánh các cạnh của tam giác
ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 12cm, BC =13cm
1) Tam giác ABC là tam giác gì?
2) So sánh các góc của tam giác ABC

Bài 8: Cho tam giác ABC vng tác ở A có AB = 6cm; BC = 10cm
1) Tính AC
2) So sánh các góc của tam giác ABC.
0
�
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A có B  50 . So sánh các cạnh của tam giác
ABC
0
�
Bài 10: Cho tam giác ABC cân ở A có A  50 . So sánh các cạnh của tam giác
ABC

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 10cm; AC = 24cm. So sánh các góc
của tam giác ABC
0
�
Bài 12: Cho tam giác ABC cân ở A có B  70 . So sánh các cạnh của tam giác
ABC
0
�
Bài 13: Cho tam giác ABC cân ở A có B  40 . So sánh các cạnh của tam giác
ABC
0
�
Bài 14: Cho tam giác ABC cân ở A có góc ngồi đỉnh A  100 . So sánh các cạnh
của tam giác ABC
0 �
0
�
Bài 15: Cho tam giác ABC có A  60 ; B  80 và có phân giác AD

ADB
1) Tính �

2) So sánh các cạnh của tam giác ABD
Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

1

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

3) So sánh các cạnh của tam giác ADC
0 �
0
�
Bài 16: Cho tam gác ABC có góc ngồi đỉnh A  120 ; B  70 . Kẻ phân giác BE
AEB
1) Tính �

2) So sánh các cạnh của tam giác ABE
3) So sánh các cạnh của tam giác BEC
0
�
Bài 17: Cho tam giác ABC vng tại A có B  60 . Kẻ phân giác BD

�
ADB và BDC
1) Tính �

2) So sánh các cạnh của tam giác ABD
3) So sánh các cạnh của tam giác BDC
0
�
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có C  40 và phân giác CE

�
�
1) Tính AEC và BEC
2) So sánh các cạnh của tam giác AEC
3) So sánh các cạnh của tam giác BEC
0
�
Bài 19: Cho tam giác ABC vng tại A có B  45
0
�
1) Chứng minh C  45

2) So sánh các cạnh của tam giác AEC
3) So sánh các cạnh của tam giác BEC
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông ở B. Kéo dài trung tuyến AM lấy MD = MA
1) So sánh CD với AB, CD với AC

�
�
2) So sánh BAM
với MAC
Bài 21: Cho tam giác ABC có AB < AC < BC
1) So sánh các góc cua tam giác ABC
0

�
2) Chứng minh C  60
0
�
Bài 22: Cho tam giác ABC cân ở A có B  60
0
�
1) Chứng minh A  60

2) So sánh các cạnh của tam giác ABC
0
�
Bài 23: Cho tam giác ABC vng tại A có B  45

�
� và C
1) So sánh B

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

2

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

2) So sánh các cạnh của tam giác ABC
0
�

Bài 24: Cho tam giác ABC vng tại A có C  45

�
� và C
1) So sánh B
2) So sánh các cạnh của tam giác ABC
0
�
Bài 25: Cho tam giác ABC vng tại A có A  60
0
�
1) Chứng minh B  60

2) Chứng minh AB > BC và AC > BC
Bài 26: Cho tam giác ABC đều. Lấy điểm D bất kì trên cạnh BC
0
�
1) Chứng minh ADB  60

2) Chứng minh: AB > AD
3) So sánh các cạnh của tam giác ABD
Bài 27: Cho tam giác ABC đều. Lấy điểm I bất kì trên cạnh BC
0
�
1) Chứng minh AIC  60

2) Chứng minh AC > AI
3) So sánh các cạnh của tam giác AIC
Bài 28: Cho tam giác ABC có phân giác AD

1�
�
ADC  �
ABC  BAC
2
1) Chứng minh:
2) So sánh AC và DC
Bài 29: Cho tam giác ABC có phân giác AD

1�
�
ADB  �
ACB  BAC
2
1) Chứng minh:
2) So sánh AB và BD
Bải 30: Cho tam giác ABC có phân giác BD

1
�
�  BAC
� 1�
ADC  �
ABC  �
ABC
BDC
ABC
2
2
1) Chứng minh

và
2) So sánh BC và DC
3) So sánh AB và AD

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

3

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

Lớp 7

4

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 9: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH

CHIẾU
ĐƯỜNG XIÊN VÀ ĐƯỜNG VNG GĨC
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH  BC tại H
1) Chứng minh: AC > AH
2) Chứng minh: AB > AH
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A

1) Chứng minh AB < BC
2) Chứng minh: AC < BC
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC là cạnh lớn
nhất
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH  BC tại H.
1) Chứng minh AH < AB và AH < AC
1
AH  (AB AC)
2
2) Chứng minh
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD  AC tại D, CE  AB tại E.
1) Chứng minh AB > BD
2) Chứng minh AC > CE
3) Chứng minh AB + AC > BD + CE
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD  AC tại D, CE  AB tại E.
1) Chứng minh BC > BD
2) Chứng minh: BC > CE
BD  CE
BC 
2
3) Chứng minh:
Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD  AC tại D, CE  AB tại E.
1) Chứng minh: AB + AC > BD + CE
BD  CE
BC 
2
2) Chứng minh:
Bài 8: Cho tam giác ABC vng tại A có AH là đường cao.
1) Chứng minh: AC > AH và AC < BC
2) Chứng minh AH < BC

Bài 9: Cho tam giác ABC, D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi
E và F là chân đường vng góc hạ từ A và C đến đường thẳng BD.
1) Chứng minh AE < AD
2) Chứng minh: AE + CF < AC
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường phân giác BD. Kẻ DH  BC ở H.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

5

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

1) So sánh tam giác ABD và tam giác HBD.
2) Chứng minh DA < DC
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH  BC tại H. Trên BC lấy K sao cho
BK = BA, trên AC lấy I sao cho AI = AH
1) Chứng minh tam giác ABK cân
�
�
2) Chứng minh: BAH  ACB
�  KAI
�
3) Chứng minh: HAK
4) Chứng minh: AC  KI
5) Chứng minh: BC – AB > AC – AH
6) Chứng minh: AH + BC > AB + AC
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là

chân vng góc vẽ từ A và C đến đường thẳng BM.
1) Chứng minh: ME = MF
3) Chứng minh: AB < BM
BE  BF
 AB
2
2) Chứng minh: BE + BF = 2MB
4) Chứng minh:
Bài 13: Cho tam giác DEF, I là trung điểm của EF. Từ E và F kẻ EH  DI tại H; FK
 DI tại K
1) Chứng minh: IH = IK
2) Chứng minh: DE + DF > DH + DK
3) Chứng minh: DH + DK = 2DI
4) Chứng minh: DE + DF > 2DI
Bài 14: Cho tam giác ABC cân ở A. Lấy D bất kì �AB và E � tia đối của tia CA
sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK cùng vng góc đường thẳng BC ở H và K
1) So sánh tam giác BHD và tam giác CKE
2) Chứng minh BC = HK
3) Chứng minh BC < DE
Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AE. Tia phân giác của
góc B cắt AE ở H. Kẻ HF  AB ở F
1) So sánh HF và HE
2) Chứng minh HC > HF
0
�
Bài 16: Cho xOy  60 và tia phân giác Oz. Lấy M �Ox và N � Oy. Kẻ MH và
NK  Oz ở H và K.
1) Chứng minh OM + ON = 2(MH + NK)
2) So sánh OM + ON với 2MN
Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC. Kẻ đường cao BD và CE. Lấy F

thuộc AB với AF = AC
1) So sánh FI và CE
2) Kẻ FH  BD ở H. Chứng minh FI = HD
Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

6

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

3) Chứng minh AB – AC > BD - CE
Bài 18: Cho tam giác ABC đều, trên BC lấy D, trên AC lấy E sao cho BD  CE .
�
Kẻ Cx là phân giac của C và từ D, E kẻ DH  Cx tại H; kẻ EK  Cx tại K.
1)
Chứng minh: tam giác DHC, tam giác EKC là nửa tam giác đều.
2)
Chứng minh: CD  2 DH ; CE  2 EK .
BC
DE �
2 .
Chứng minh:
Xác định vị trí của D, E để độ dài DE đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ AH  BC tại H, biết rằng HC  HB
. Chứng minh AC  AB .
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB  AC . Kẻ AH  BC tại H, trên
AH lấy điểm D. Chứng minh BH  CH , BD  CD .

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AC  AB . Kẻ AH  BC tại H, trên
AH lấy điểm D.
1) Chứng minh BH  CH .
2) Chứng minh BD  CD .
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia AC lấy D sao cho
AD  AC .
1) Tìm hình chiếu của BC và BD lên đoạn thẳng AC.
2) So sánh BC và BD.
�
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB  AC . Kẻ AE  BC tại E, tia phân giác của B
cắt AE tại H. Kẻ HF  AB ở F. Chứng minh HC  HF .
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, M nằm giữa H và B.
1) Chứng minh AH  BC .
2) Chứng minh AH  AC .
3) Chứng minh AM  AM .
4) Chứng minh AH  AM  AC .
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy D �AB và E �AC ( D �A và B,
E �A và C)
1) Tìm hình chiếu của DE, DC lên AC; của CD, CB lên AB.
2) So sánh: DE và DC; DE và BC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm D trong tam giác và AD  AB . Tia BD cắt đoạn
AC ở I. H là trung điểm của BD.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

7

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn, gọi B lớn hơn góc C. AH đường cao thuộc cạnh
BC, M là điểm thuộc đoạn HB, N là điểm nằm trên tia đối của tia BC. Chứng
minh:
1) HB  HC
2) AM  AB  AN .
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm của BC.
AHB .
1) Tính số đo góc �
2) Lấy điểm M trên đoạn thẳng HB và điểm N trên đoạn thẳng HC sao cho
HM  HN . So sánh các đoạn AB, AM và AN.
� �
Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn có B  C . H là hình chiếu của điểm A lên đường
thẳng BC.
1) So sánh HB và HC.
2) Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và điểm N trên đoạn thẳng HC. So sánh AM
và AN.
Bài 12: Tam giác ABC vng ở A có đường phân giác BD. Lấy điểm E trên tia đối
của tia AC sao cho AE  AC .
1) Tam giác BCE là tam giác gì?
2) So sánh BE với BD.
3) So sánh DA với DC.
Bài 13: Tam giác ABC vng ở A có đường phân giác BD. Kẻ DH  BC ở H.
1) So sánh DA với DH.
2) Chứng minh DA  DC .
3) Lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE  AD . So sánh BE với BC.
� �
Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn có B  C và điểm H là hình chiếu của điểm A lên
đường thẳng BC. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD  HA .

1) Tam giác BAD và tam giác CAD là tam giác gì?
2) So sánh BH với CH và DC với DB.
Bài 15: Tam giác ABC cân ở A có H là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn
HB và E trên đoạn HC sao cho BD  CE .
1) Chứng minh HD  HE .
ADE với �
AED .
2) So sánh �
Bài 16: Tam giác ABC vng ở A. Lấy điểm D bất kì trên đoạn thẳng AC và điểm
E trên tia đối của tia AC sao cho AE  AC .
1) So sánh AE với AD.
�  BED
� .
2) Chứng minh BDE

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

8

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có điểm H là hình chiếu của điểm A lên đường
� �
thẳng BC và B  C .
1) Chứng minh HB  HC .
�
�

2) Lấy điểm D bất kì trên tia đối của tia HA. So sánh DBC với DCB .
� �
Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có B  C . Gọi M là trung điểm của BC và H là
hình chiếu của điểm A lên BC.
1) So sánh BH với HC.
2) Chứng minh điểm H nằm giữa hai điểm B và M.
� �
Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có B  C . Gọi M là trung điểm của BC và H là
hình chiếu của điểm A lên BC.
1) So sánh BH với HC.
2) Chứng minh điểm H nằm giữa hai điểm C và M.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

9

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 10: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

Bài 1: Dựa vào bất đăngt hức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba
đoạn thẳng có độ dài cho sau đây khơng thể là ba cạnh của một tam giác. Trong
những trường hợp còn lại hãy dựng tam giác có độ dài 3 cạnh như thế
1) 2cm; 3cm; 4cm.
2) 2cm; 4cm; 6cm.
3) 3cm; 4cm; 6cm.
Bài 2: Cho các bộ ba đoạn thẳng có đọ dài như sau:

1) 2cm; 3cm; 4cm.
2) 1cm; 2cm; 3,5cm.
3) 2,2cm; 2cm; 4cm.
Hãy vẽ tam giác có đọ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ
được). Trong trường hợp không vẽ được, hãy giải thích vì sao?
Bài 3: Có thể có tam giác nào có ba cạnh như sau khơng?
1) 6cm; 10cm; 8cm.
2) 6cm; 16cm; 8cm.
3) 6cm; 14cm; 8cm.
4) 5cm; 10cm; 12cm.
5) 1m; 2m; 3,3m.
6) 1,2m; 1m; 2,2m.
BC

1
cm
,
AC
 7cm . Hãy tìm đọ dài AB, biết rằng
Bài 4: Cho tam giác ABC có
độ dài này là một số nguyên. Tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 5: Cho tam giác ABC cân có AB  3,9cm ; BC  7,9cm .
1) Tính AC.
2) Tam giác cân tại đỉnh nào?
3) Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 6: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết:
1) AB  5cm; AC  12cm .
2) AB  7cm; AC  13cm .
Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Chứng minh 2AH  BC  AB  AC .
Bài 8: Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A. Chứng

minh AB  AC .
Bài 9: Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia OC, lấy điểm A. . Chứng minh
AB  AC .
Bài 10: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối cuartia MA lấy
MD  MA .
1) Chứng minh AMB  DMC .
2) Chứng minh AB  AC  2 AM .

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

10

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 11: Cho tam giác ABC có AB  AC .trên AC lấy F sao cho AC  AF . Gọi
AD là đường phân giác của tam giác ABC. Trên AD lấy điểm E tùy ý.
1) Chứng minh AEC  AEF .
2) Chứng minh AB  AC  BF .
3) Chứng minh BE  EC  BF .
Bài 12: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC.
AB  AC
 AM
2
Chứng minh
�
Bài 13: Cho tam giác ABC có M thuộc tia phân giác ngoài của C . Trên tia đối của
tia CA lấy CI  CB .

1) So sánh MI với MB.
2) Chứng minh MA  MA  AC  BC .
�
Bài 14: Cho tam giác ABC có x là tia đối của tia CB. Gọi Cy là phân giác ACx .
x lấy N sao cho CN  CA .
Bài 15: Cho tam giác ABC cân ở A có D �AB . Kẻ DE / / BC ( E �AC ) .

Lấy M bất kỳ trên Cy. Trên

1) Tam giác ADElaf tam giác gì?
2) So sánh BC và CD.
3) BE cắt CD ở O. Chứng minh OB  OC  OCD  OE  DE  BC .
4) Chứng minh 2BE  BD  EC .
Bài 16: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên
tia đối của tia DA lấy I sao cho D là trung điểm của AI.
1) So sánh AB và CI.
2) Chứng minh AB  AC  2 AD .
3) Chứng minh AB  AC  BC  AD  BE  CF .
Bài 17: Cho tam giác ABC có AM là phân giác và AB  AC . Lấy I �AB sao cho
AI  AC .
1) So sánh MC với MI.
2) Chứng minh MB  MC  AB  AC
�  90o
�
xOy
Bài 18: Cho
và tia phân giác Oz. Lấy điểm M trong xOz . Kẻ
MH  Ox ở H, MK  Oy ở K. MK cắt tia Oz ở A. Từ A kẻ AI  Ox ở I.

MH  Ox ở H, MK  Oy ở K. MK cắt tia Oz ở A. Từ A kẻ AI  Ox ở I.

1) So sánh AI và AK.
2) So sánh MH với MI; MI với MK.
3) Chứng minh MH  MK .
Bài 19: Cho tam giác ABC có điểm M nằm trong tam giác. BM cắt AC ở D.
Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

11

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

1) Chứng minh MB  MC  DB  DC .
2) So sánh DB  DC với AB  AC .
3) Chứng minh MB  MC  AB  AC .
4) So sánh MA  MA  MC với AB  BC  CA .
Bài 20: Cho B, C thuộc đoạn AD sao cho AB  CD . Lấy điểm M nằm ngoài
đường thẳng AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên tia đối của tia IM
lấy IJ  IM
1) Chứng minh MA // D J và MC // BJ .
2) MB kéo dài cắt AJ ở H. So sánh MA  AH  HJ với MB  BJ .
3) Chứng minh MA  MD  MB  MC

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

12

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 11. BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Chứng minh
G là trọng tâm của ABC . (Gợi ý: trọng tâm là điểm chung của ba đường trung
tuyến nên trọng tâm là điểm chung của ...)
Bài 2: Cho ABC cân tại A có đường phân giác AD.
1) Chứng minh ADB  ADC . Điểm D là gì?
2) Chứng minh đường phân giác AD và hai đường trung tuyến BE, CF của ABC
đồng qui tại một điểm.
Bài 3: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G. D là trung
điểm của BC. Đường AD là đường gì và điểm G là điểm gì của ABC ? Chứng
minh A, G, D thẳng hàng.
Bài 4: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau ở G. AG kéo dài
cắt BC ở M. Chứng minh MB  MC .
Bài 5: Cho ABC cân ở A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Kéo
dài AG cắt BC ở H.
1) So sánh AHB và AHC .
2) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh AK, BD, CI đồng
qui.
Bài 6: Cho ABC có đường trung tuyến AD và trọng tâm G. Đã biết

GA 

2
AD
3
,

hãy chứng minh GA  2GD , AD  3GD (tính chất này sẽ được phép sử dụng
trong các bài tập sau).
Bài 7: Cho ABC có hai đường trung tuyến AD đi qua BE cắt nhau ở G. Kéo dài
GD thêm một đoạn DI  DG . Chứng minh G là trung điểm của AI.
Bài 8: Cho ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm
một đoạn DI  DG . Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M
là trọng tâm của ABI .

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

13

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 9: Cho ABC có M là trung điểm của BC. Kéo dài từ B đến A thêm một đoạn

AD  AB . AC cắt DM ở G. BG kéo dài cắt CD ở I.
1) Chứng minh GC  2GA .
2) Đoạn BI là gì của BCD ?
Bài 10: Cho ABC có AB  AC  5 cm và BC  6 cm . D là trung điểm của BC.
1) ABD là tam giác gì? Tính AD.
2) Trung tuyến BE cắt AD tại G. Tính AG.
Bài 11: Cho ABC vng ở A có AB  8 cm , BC  10 cm . Trung tuyến AD cắt
trung tuyến BE ở G.
1) Tính AC và AE.
2) Tính BE và BG.
3) Kéo dài CG cắt AB tại K. Tính CK.

Bài 12: Cho ABC có đường tuyến AO. Kéo dài từ A đến O thêm một đoạn

OD  OA . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BD và CD. AH và AK lần lượt
cắt BC ở E và F.
1) Trong ABD và ACD , điểm E và F được gọi là gì?

1
EF  BC
3
2) So sánh EO với BO, OF với OC. Chứng minh
.
Bài 13: Cho ABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau ở K. Gọi I là
trung điểm của AK. CI cắt KE tại G.
1) Điểm G là gì của ACK . So sánh EG và EK.

EK
EG
2) So sánh EK với EB và so sánh EG với EB (tính EB và EB ).
Bài 14: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của ABC có độ dài bằng nhau
và cắt nhau ở G.
1) BGC là tam giác gì?
2) So sánh BCD và CBE .
3) ABC là tam giác gì?

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

14

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 15: Cho ABC có hai đường trung tuyến BI và CK cắt nhau ở G. Kéo dài AG
thêm một đoạn GD  GA và AD cắt BC tại M.
1) Chứng minh MBD  MCG

BD
2) Hãy so sánh BD với CK (tính CK ).
Bài 16: Cho ABC có đường trung tuyến AD. Lấy điểm G trên đoạn AD sao cho

AG  2GD . Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh

AG 

2
AD
3
và B, G, E

thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC . Vẽ hai đoạn thẳng BI và CK dài bằng nhau và cùng vng
góc với BC sao cho I và K ở hai bên đường thẳng BC. IK cắt BC ở D.
1) Chứng minh D là trung điểm của BC.
2) Lấy điểm G trên AD sao cho

AG 

2
AD

3
. Điểm G là gì của ABC và của

AIK ?
Bài 18: Trên đường trung tuyến AD của ABC , lấy hai điểm I và G sao cho

AI  IG  GD . Gọi E là trung điểm của AC.
1) Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE với GE.
2) CI cắt GE ở O. Điểm O là gì của ACG ? Chứng minh BE  9OE .
Bài 19: Cho ABC . Trên BC có điểm T sao cho BT  2TC . Kéo dài từ A đến C
thêm một đoạn CD  CA .
1) Điểm T là gì của ABD ?
2) DT cắt AB ở E. Chứng minh E là trung điểm của AB.
Bài 20: Cho ABC có M và G lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kéo dài MG
thêm một đoạn GD  2GM .
1) Điểm G là gì của ABD ?
2) BD cắt AC tại O. Chứng minh O là trung điểm của BD và của GC.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

15

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 21: Cho ABC có G là trung điểm của BC và I là trung điểm của BG. Kéo dài
từ A đến I thêm một đoạn . DG cắt AC tại M. Chứng minh M là trung điểm của
AC.

Bài 22: Cho ABC vuông ở A có AC  8 cm , BC  10 cm . Lấy điểm M trên cạnh
AB sao cho BM  4 cm . Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của CD.
1) Tính AB.
2 Điểm M là gì của BCD .
3) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.
Bài 23: Cho ABC có BC  2 BA . M là trung điểm của BC và BD là đường phân
giác của ABC . Hai tia BA và MD cắt nhau tại E.
1) Chứng minh BDA  BDM .
2) Chứng minh BAC  BME .
3) Điểm D là gì của BCE ? So sánh DC và DA.
Bài 24: Giả sử ABC có hai đường trung tuyến BD và CE có độ dài bằng nhau.
Chứng minh ABC cân ở A.
Bài 25: Cho ABC . Vẽ hai đoạn thẳng BI và CK dài bằng nhau và cùng vng
góc với BC sao cho I và K ở hai phía của đường thẳng BC. Chứng minh ABC và

AIK có cùng một trọng tâm.
Bài 26: Cho ABC có G thuộc cạnh AC sao cho AG  2GC . D là trung điểm của
AB. Kéo dài DG và BC cắt nhau tại E. Chứng minh BC  CE .
Bài 27: Cho ABC có BC  2 BA . BD là đường phân giác của ABC . Chứng
minh DC  2 DA .

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

16

Bời dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 12. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC. TÍNH CHẤT BA
ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
�
Bài 1: Cho điểm M nằm trên tia phân giác At của xAy nhọn. Kẻ MH  Ax ở H và

MK  Ay ở K.
1) So sánh MH và MK.
2) Chứng minh tam giác AMH bằng tam giác AKM.
Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM cũng là đường phân giác. Kẻ

MH  AB ở H và MK  AC ở K.
1) So sánh MH và MK.
2) Chứng minh tam giác BHM bằng tam giác CKM.
3) Tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 3: Tam giác ABC cân ở A có hai đường phân giác BD và CE cắt nhau ở H.
Đường thẳng AH cắt BC ở M.
1) Đường thẳng AM là đường đặc biệt gì của tam giác ABC.
2) So sánh tam giác ABM và tam giác ACM.

�
3) Tính số đo AMB
Bài 4: Tam giác ABC cân ở A có AM là đường trung tuyến.

�
�
1) So sánh BAM
với CAM .
2) Lấy điểm D trên AM. Kẻ DH  AB ở H và DK  AC ở K. Chứng minh tam
giác DHK cân

�
Bài 5: Cho tam giác ABC cân ở A có A  80�và trung tuyến AM.
1) Tính số đo góc B và góc C.

�
2) Tia phân giác của góc B cắt AM ở I. Tính số đo ACI .
Bài 6: Tam giác ABC cân ở A. Hai tia phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau
ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
Bài 7: Tam giác ABC có I là giao điểm của hai phân giác trong đỉnh B và C, E là
giao điểm hai phân giác ngoài đỉnh B và C. Chứng A, I, E thẳng hàng.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

17

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 8: Tam giác ABC cân ở A có AB  5 cm ; BC  8 cm . Đường phân giác AD cắt
đường trung tuyến BM ở I.

�
1) Chứng minh ADB  90�và tính BD.
2) Tính độ dài AD, ID.
Bài 9: Tam giác ABC cân ở A có đường phân giác AD cắt đường trung tuyến BM ở
I.

�

1) Tính số đo ADB

2) Tam giác IBC là tam giác gì?

ID
3) Tính tỉ số AD .
Bài 10: Tam giác ABC đều cạnh 10 cm có phân giác AD.
1) Tính độ dài BD và AD.
2) Đường trung tuyến CE của tam giác ABC cắt AD ở I. Tính DI.
3) Kéo dài BI cắt AC ở F. Tính AF, EC.
Bài 11: Tam giác ABC vng ở A. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I.

�
�
1) Tính số đo BAI và CAI .
2) Kẻ ID  AB ở D; IE  AC ở E; IF  BC ở F. Chứng minh điểm I cách đều ba
cạnh của tam giác ABC.
Bài 12: Tam giác ABC có phân giác của hai góc ngồi đỉnh B và đỉnh C cắt nhau ở
I. Kẻ ID  AB ở D; IE  BC ở E; IF  AC ở F.
1) Chứng minh ID  IE  IF .

�
2) AI là gì của BAC .

�
Bài 13: Tam giác ABC nhọn có A  60�. Hai đường phân giác BD và CE của tam
giác ABC cắt nhau ở I.

�
�

1) Tính số đo BAI và CAI .
�
�
�
2) Tính IBC  ICB rồi suy ra số đo của BIC .
�
�
3) Tính số đo BIE và CID .

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

18

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 14: Tam giác ABC vng ở A có hai tia phân giác trong của góc B và góc C
cắt nhau ở I. Kẻ ID  AB ở D; IE  AC ở E; IF  BC ở F. Chứng minh

AD  AE ; BD  BF ; CE  CF .
Bài 15: Tam giác ABC cân ở A có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở I.
1) Chứng minh tam giác AMN cân.
2) So sánh tam giác AMI và tam giác ANI.
3) Kéo dài AI cắt BC ở P. Biết AB  10 cm ; BC  16 cm . Tính độ dài của BP; AI;
BI; CN.

�
Bài 16: Tam giác ABC có A  60�và đường phân giác BD. Tia phân giác của góc

A cắt BD ở I.

�
1) Tia CI là gì của ACB ?
�
2) Tính số đo của BIC .
�
� và CID
3) Kéo dài CI cắt AB ở E. Tính số đo BIE
.
�
4) Tia phân giác của BIC cắt BC ở F. Chứng minh IE  IF  ID .

1
�
ADB  �
ABC
3
D
�
AC
E
�
AB
Bài 17: Tam giác ABC vuông ở A. Lấy
,
sao cho
;
1
�

ACE  �
ACB
3
. BD cắt CE ở I.
�
�
�
� với IBC
1) So sánh EBI
; DCI với ICB .
�
�
�
2) Tính số đo của BIC ; EIB ; DIC .
�
�
3) Hai tia phần giác của IBC và ICB cắt nhau ở F. So sánh tam giác EIB với tam
giác FBI; tam giác DCI với tam giác FCI.
4) Tam giác DIE là tam giác gì?

�
Bài 18: Tam giác ABC có B  60�. Hai đường phân giác BD và CE của tam giác
ABC cắt nhau tại I.

�
1) AI là gì của BAC ?

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

19

Bời dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

�
� .
2) Tính số đo của AIC và EIA
�
F �AC 
�
�
3) IF là tia phân giác của AIC 
. So sánh EIA và FIA
4) Chứng minh tam giác AEF cân.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

20

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 13. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
Bài 1: Cho hai điểm C , D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB . Chứng
�

�
minh rằng DCA  DCB .
Bài 2: Cho tam giác ABC vng tại A có AB  AC và đường cao AH . Kéo dài
AH thêm một đoạn HD  HA . Chứng minh rằng BCD vuông tại D.
Bài 3: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Đường trung trực của AB và AC
cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OB  OC .
Bài 4: Vẽ ABC cân tại A và DBC cân tại D. M là trung điểm của đoạn thẳng
BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M , D thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Hai
đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
1) DB  DC
2) Ba điểm A, M , D thẳng hàng.
�
�
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai tia phân giác của ABC và ACB cắt nhau
tại điểm I.
1) Chứng minh rằng BIC cân tại I .
2) Chứng minh rằng AI là đường trung trực của BC.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia Bx vuông góc với BA, tia Cy vng
góc với CA. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ADB  ADC và
AD vng góc với BC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB  AC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt
�
tia phân giác của BAC tại điểm M . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc với
điểm M lên hai cạnh AB, AC . So sánh MBH và MCK .
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB  AC. Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho
CD  AB. Đường trung trực của BD cắt đường trung trực của AC tại điểm M .
1) So sánh MAB và MCD.
�
2) MAC là tam giác gì? Chứng minh rằng AM là tia phân giác của BAC.

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB  AC. Hãy chỉ rõ cách tìm điểm D trên cạnh
AC sao cho DA  DB  AC.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

21

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao. Vẽ HD, HE lần lượt vng
góc với AB, AC tại D và E . Kéo dài HD thêm đoạn DI  DH . Kéo dài HE
thêm EK  EH .
1) AB là gì của IH ? AC là gì của HK ? Chứng minh rằng AIK cân tại A .
AB, AC lần lượt tại G và M . Chứng minh rằng
2) IK cắt

AGH  AGI ; AMH  AMK .
�
3) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của GHM .
Bài 12: Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AC. Lấy điểm B sao cho A, B
nằm về cùng một phía với đường thẳng d . BC cắt d tại điểm I . Điểm M di
động trên d .
1) So sánh MA  MB với BC.
2) Tìm vị trí của điểm M trên BC sao cho MA  MB nhỏ nhất.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC.
Bài 13: Cho ABC nhọn có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Chứng minh
rằng CH vng góc với AB.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HE
vng góc với BC tại E. Tia HE cắt CA tại điểm D. Điểm H là gì của BCD.
Chứng minh rằng CH vng góc với BD.
Bài 15: Cho tam giác ABC vng tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ tia Bx
vuông góc với CH và cắt tia CA tại điểm D . Chứng minh rằng DH vng góc
với BC.
Bài 16: Cho tam giác ABC vng tại A có AB  AC và D là trung điểm của đoạn
thẳng BC. Vẽ tia Bx vng góc với AD tại E và cắt CA tại điểm H . Vẽ tia Dy
song song với AB và cắt AC , Bx lần lượt tại I và K . Điểm H là gì của ADK ?
Chứng minh rằng DH vng góc với AK .
Bài 17: Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AD. Lấy điểm H trên đoạn
thẳng AD và điểm E trên đoạn thẳng CD sao cho HE song song với AC. Chứng
minh rằng BH vng góc với AE.
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm H trên cạnh AC. Kéo dài
AB thêm một đoạn AD  AH . Kéo dài DH cắt BC tại I . Chứng minh rằng BH
vng góc với CD.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

22

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE , CF đồng quy tại trực
tâm H .
1) BF và CE là đường gì và điểm A là điểm gì của BHC ?
2) Hãy chỉ ra trực tâm của HCA và HBA . ( khơng cần giải thích )

Bài 20: Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH . AD là đường phân giác
của ABH ; CI là đường phân giác của ACH . CI cắt AD tại điểm K .
�
�
�
�
1) Chứng minh rằng HCA  HAB và KCA  KAB .
2) Chứng minh rằng AKC vuông tại K . Điểm I là gì của ACD.
3) Chứng minh rằng DI / / AB.
�
Bài 21: Cho BHC có BHC là góc tù và đường cao HD. Vẽ BF vng góc với
CH tại F ; CE vng góc với BH tại E. Chứng minh rằng ba đường thẳng
BF , CE , DH đồng quy.
Bài 22: Cho tam giác ABC vng tại A và có đường cao AH . AD là đường phân
giác của ABH ; CE là đường phân giác của ACH . Chứng minh DE / / AB.
ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC CÂN
Bài 23: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng
�
minh rằng AH là tia phân giác của BAC.
Bài 24: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao CD cắt tia phân giác của góc
�
BAC
tại I . Chứng minh BI vng góc với AC.
Bài 25: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BD, CE cắt nhau tại
I . AI cắt BC tại H . Chứng minh rằng AH vng góc với BC.
Bài 26: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao BD, CE cắt nhau tại H. M là
trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh A, H , M thẳng hàng.

Bài 27: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H ;
hai đường trung tuyến BM và CQ cắt nhau tại G.

1) Điểm G là gì của tam giác ABC? Chứng minh rằng G thuộc đường cao AI của
tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng A, G , H thẳng hàng.
0
�
Bài 28: Cho xAy  90 . Lấy điểm B thuộc Ax, C thuộc Ay sao cho AB  AC , I
và K lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và AC . Đường trung trực của AB
và AC cắt nhau tại O.

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

23

Bời dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

�
1) Tính IOK .
�
�
�
�
2) Chứng minh rằng AOB  2AOI và AOC  2 AOK .
3) Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Bài 29: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của
đoạn thẳng BD . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BC và CD .
Chứng minh rằng :
�  1 CAB

� ; CAF
�  1 CAD
� .
CAE
� .
2
2
1)
Tính FAE
2) Chứng minh AF / / BC và CD vng góc với BC.
Bài 30: Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và đường phân giác AD . Trên cạnh
AC lấy điểm E sao cho AE  AB . Vẽ DH vng góc với AC tại H . BE cắt AD
và DH lần lượt tại I và K . Chứng minh rằng AK vng góc với DE .
Bài 31: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác BD
cắt nhau tại K . Lấy điểm E thuộc BC sao cho BE  BA. Chứng minh rằng EK
song song với AC .

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

24

Bồi dưỡng năng lực tự học Toán

Lớp 7

Mục lục
Bài 8 : QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC
...............................................................................................................................1
Bài 9: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH

CHIẾU...................................................................................................................4
ĐƯỜNG XIÊN VÀ ĐƯỜNG VNG GĨC....................................................4
ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU........................................................................6
Bài 10: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC..............................................................9
Bài 11. BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC...........................12
Bài 12. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC. TÍNH CHẤT BA
ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC..........................................................16
Bài 13. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC.........19
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG.............19
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC.........................20
ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC CÂN.............................................21

Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học

25

Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7 chương III hình học

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về