BỒI DƯỠNG NĂNG lực tự học về PHÂN THỨC đại số

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®


CÁC PHÉP TÍNH

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. Cho hai biểu thức : P =

(

4

x−3

)

và Q = x − x + 3
.
x +1

4x 2 + 4x + 1
(x + 3)(4 − x)
(x 3 − 2x 2 + 2x − 1)(x + 1)
x 9 + x 7 − 3x 2 − 3

+1−

2(x + 6)
x2 + 1

a.  Tìm điều kiện của x để giá trị của các biểu thức P và Q cùng được xác định.
b.  Tính P. Q.
Xem lời giải tại:
/>2. Cho x, y, z ≠ − 1. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào
giá trị của biến:

xy + 2x + 1
yz + 2y + 1
zx + 2z + 1
A=
+
+
.
xy + x + y + 1 yz + y + z + 1 zx + z + x + 1
 
Xem lời giải tại:
/>3. Chứng minh rằng : 

1

1

1

.
n(n + 1) n n + 1
Áp dụng tính chất trên, chứng minh rằng giá trị biểu thức A dưới đây nhỏ hơn 1
với mọi số nguyên dương n :
1
1
1
1
A=
+
+
+... +

1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
=

−

 
Xem lời giải tại:
/>4. Thực hiện phép tính:


1
1−x

+

1
1+x

+

2
1 + x2

4

+

1 + x4

+

8
1 + x8

+

16
1 + x 16

 
Xem lời giải tại:
/>5. Tìm các hằng số a và b sao cho phân thức 

x−6
x 2 − 2x

 viết được thành : 

a
x

−

b
x−2

 
Xem lời giải tại:
/>6. Thực hiện phép tính:

1
1
1
A=
−
+
(x − y)(z 2 + yz − x 2 − xy) (y − z)(x 2 + xz − y 2 + yz) (z − x)(y 2 + xy − z 2 − xz)
 
Xem lời giải tại:
/>7. Chứng minh rằng nếu (a 2 − bc)(b − abc) = (b 2 − ac)(a − abc) và các số 
1 1 1
a, b, c, a − b khác 0 thì  + + = a + b + c.
a b c
 
Xem lời giải tại:
/>8. Chứng minh rằng nếu: 
1
x 1205

+

1
y 1205

+

1
z 1205

=

1
x

+

x 1205

1
y
+

+

1
z
1

=

y 1205

1
x+y+z
+

z 1205

 
Xem lời giải tại:

/>9. Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 1 thì:

.

 thì:


x
1 − x2

y

+

1 − y2

+

z
1 − z2

=

4xyz
(1 − x 2)(1 − y 2)(1 − z 2)

 
Xem lời giải tại:
/>10. Cho abc = 1, tính giá trị biểu thức: P =

a
ab + a + 1

+

b
bc + b + 1

+

 
Xem lời giải tại:
/>
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
11. Rút gọn các biểu thức sau:
x2 − 1

x2 − 1 1 − x
a. 
.
+
.
x + 10 x + 2 x + 10 x + 2
x

x 2 + y 2 (x − y) 2
y 2 (x − y) 2
b. 
.
−

.
2
x+y
x
+
y
x
x2
Xem lời giải tại:
/>12. Tìm x biết
a. 
b. 
c. 

a 2 − 2ab
a 2b
c+d
c−d

.x =

.x =

a−b
a3 + b3

a 2b − 4b 3
3ab 2

c 2 + cd

2c 2 − 2d 2

.x =

a 2 − 2ab + b 2
a 2 − ab + b 2

Xem lời giải tại:
/>13. Thực hiện phép tính

c
ca + c + 1

.


a. 

b. 

3 − 3x
(1 + x)

2

(a + b) 2
ab −

b2

6x 2 − 6

:

x+1

[

:

ab + b 2

−

(a − b) 2

]

a4 − b4 a2 + b2
c. 
:
3
3
a − b a2 − b2
d. 

x3 + 8
x2

− 2x + 1

:

x 2 + 3x + 2
1 − x2

Xem lời giải tại:
/>14. Thực hiện các phép tính
a. 
b. 
c. 

a2 − b2
a2
3x − 3y

.

a4
(a + b) 2

.

8x + 8y

2x + 2y 15x − 15y
ax 2 − ay 2
2

x + 2xy + y

2

.

6x 3 + 6y 3
x 2 − 2xy + y 2

2x 2 − 4xy + 2y 2 15x 2 − 15y 2
d. 
.
5x − 5y
4x 3 + 4y 3
Xem lời giải tại:
/>15. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a. 

b. 

( )
( )(
x2 + y2

x−y
−
1
.
 với x = 14 và y = − 15
2y
x2 − y2

x2
y

−

y2
x

.

x+y

x 2 + xy + y 2

+

1
x−y

)

 với x = 15 và y = 5

Xem lời giải tại:
/>

a 4 − a 2 + 2a + 2

16. Cho A =

4

3

a +a +a+1

. Rút gọn rồi so sánh A và 0

 
Xem lời giải tại:
/>17. Cho P = x 6 + 27 và Q = x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 9x + 9
P
P
Tìm y = , rồi tìm x để y =  đạt giá trị nhỏ nhất.
Q
Q
 
Xem lời giải tại:
/>
(

)

18. Tính giá trị của biểu thức :  x 2 − y 2 − z 2 + 2yz :
và z = 1, 4
 
Xem lời giải tại:
/>19. Rút gọn các phân thức sau:
a. 

b. 

a 2. b 2
a 2 − 9b 2
3a 2

:

.

a + 3b

6b 2

2ab
:

9ab

2b 2c 2 7c 6 14c 2

216x 6 18x 8 7x 3
c. 
:
.
343y 3 49y 4 4y 2
Xem lời giải tại:
/>20. Thực hiện hợp lí phép tính sau:
x 2 − 1 3x + 2 2x + 1 x 2 − 1
a.  A =

.
−
.
x
x+1
x+1
x

x+y−z
x+y+z

 với x = 8, 6 ; y = 2


x7 + x5 + 1 x − 1 x2 + x + 1
b.  B =
.
.
3
x
+
2
x −1
x7 + x5 + 1
x−y x−y x−1
c.  C =
:
.
y−1 x−1 y−1
Xem lời giải tại:

/>

BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỶ
BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỶ
21. Cho phân thức đại số : 

x2 − 1
2

x + 2x + 1

.

a.  Tìm các giá trị của x để phân thức xác định.
b.  Tìm các giá trị của x để phân thức trên bằng 0.
Xem lời giải tại:
/>
(

22. Cho biểu thức  −

− 2x + 10
x

+

5x + 50
x 2 + 5x

+

x2
5x + 25

)

:

3x + 15
7

.

a.  Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b.  Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ
thuộc vào giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
/>23. Cho biểu thức:
A=

(

x+2

x−2

)

2x 2 + x

− 2
: 3
.
2
x + 2x + 1 x − 1 x + x − x − 1
2

a.  Rút gọn biểu thức A và tìm điều kiện của x để giá trị của A được xác định.
1
1
b.  Tính giá trị của biểu thức A tại x = − 3; x = ; x = − .
4
2
c.  Tìm giá trị của x để giá trị của A bằng 3.
2

d.  Tìm giá của x để giá trị của A bằng  .
3
Xem lời giải tại:
/>24. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:


A=

a2
2

2

a −b −c

2

+

b2
2

2

b −c −a

2

+

c2
2

2

c −a −b

2

.

 
Xem lời giải tại:
/>a 2(c − b)

25. Rút gọn biểu thức: A =

bc
a(c − b)
bc

+
+

b 2(a − c)
ac
b(a − c)
ac

+
+

c 2(b − a)
ab
c(b − a)

.

ab

 
Xem lời giải tại:
/>26. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị của các biểu thức 
a2 + b2 + c2
N=

(a + b + c) 2
 
Xem lời giải tại:
/>27. Cho a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện : 
a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.
Tính 

(

b−c
a

+

c−a
b

+

a−b
c

)(

a
b−c

+

b

c−a

+

c
a−b

)

 
Xem lời giải tại:
/>28. Cho a, b, c, d là các số nguyên đôi một khác nhau thỏa mãn:
a
b
c
d
+
+
+
=2
a+b b+c c+d d+a
Chứng minh rằng abcd là một số chính phương.
 


Xem lời giải tại:
/>29. Cho (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 và a, b, c khác 0.
1
1
1

3
Chứng minh rằng :  +
+
=
.
a 3 b 3 c 3 abc
 
Xem lời giải tại:
/>
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
30. Cho phân thức A =

x3 + 1
x

.

(

1
x+1

+

x−1
x2 − x + 1

)

a.  Rút gọn

b.  Tính A khi x = 3
c.  Tính x khi A = 6
Xem lời giải tại:
/>31. Tính giá trị các biểu thức sau
a.  A =

x 2 + y 2 − (1 + 2xy)
2

2

x − y + 1 + 2x
x 2 − xy + y 2

b.  B =

x−y

−

y−x+

 với x = 99 và y = 50

x 2 + xy + y 2
x+y
x

2

 với x = 999 và y = 1000

x+y

Xem lời giải tại:
/>32. Tính giá trị các biểu thức sau :
5a − b 3b − 2a
7
7
a.  P =
−
 biết a ≠ − ; b ≠ ; 2a − b = 7
3a + 7
2b − 7
3
2


b.  Q =

16x 2 − 40xy
8x 2 − 24xy

 biết x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ 3y và 

x
y

=

10
3

Xem lời giải tại:
/>33. Chứng minh các đẳng thức sau :
a. 

2

2x

x

x+2

 với x ≠ 1; x ≠ 3
x−3
x 2 − 4x + 3 1 − x
x+2
x−2
+
x 2 + 2x + 1 1 − x 2
b. 
= 2 với(x ≠ 0; x ≠ ± 1)
x
x−3

+

−

=

x3 + x2 − x − 1
Xem lời giải tại:
/>
34. Cho B =

(

2+a
2−a

4a 2

2−a

)

a 2 − 2a

− 2
−
. 2
2
+
a
a −4
2a − a

a.  Rút gọn B
b.  Tính B biết  | a– 5 | = 3
c.  Tìm các giá trị nguyên của a để B có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
/>
35. Cho biểu thức: Q = 1 +

(

x+1
3

x +1

−

1
2

x−x −1

−

a.  Rút gọn Q.

| |

b.  Tính giá trị của Q biết  x −

3

4

=

5
4

c.  Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
/>
2
x+1

)

:

x 3 − 2x 2
x3 − x2 + x


36. Cho biểu thức: P =

(

x−2
x2 − 1

)( )

x+2

1 − x2 2

− 2
.
x + 2x + 1

2

a.  Rút gọn P
b.  Tìm giá trị của x để 

P−4
5

=x

Xem lời giải tại:
/>x+2

2x 2 + 4

2

37. Cho biểu thức: N = 2
−
−
x
−

1
x +x+1
1 − x3
a.  Rút gọn N
b.  So sánh N và 

1
3

Xem lời giải tại:
/>38. Cho biểu thức: N =

2x − 10
x 2 − 7x + 10

−

2x
x2 − 4

+

1
2−x

a.  Tìm giá trị của x để N có giá trị xác định.
b.  Rút gọn N
c.  Tìm giá trị của x để N nguyên.
Xem lời giải tại:
/>x2 + x

39. Cho biểu thức P = 2
:
x − 2x + 1

(

x+1
x

a.  Rút gọn P
b.  Tìm x để P < 1
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Xem lời giải tại:
/>
−

1
1−x

2 − x2

+ 2
x −x

)


3

x
− 2
 luôn dương với mọi giá trị của x
2 x +x+1

40. Chứng minh biểu thức A =
 

Xem lời giải tại:
/>
41. Cho biểu thức: P =

(

x−1

+

x+3

2
x−3

+

x2 + 3
9 − x2

)(
:

2x − 1
2x + 1

−1

)

a.  Rút gọn và tìm điều kiện xác định P
b.  Tính giá trị của P biết |x + 1| =
c.  Tìm x để P =

1
2

x
2

d.  Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
/>
42. Cho biểu thức : Q =

(

1

+

x+1

3(2x + 1)
x3 + 1

)

2
− 2
: (x + 2)
x +1−x

a.  Rút gọn Q.

| |

b.  Tính giá trị của Q biết  x +
c.  Tìm x để Q =

5
3

=

1
3

1
3

d.  Tìm giá trị lớn nhất của Q.

Xem lời giải tại:
/>
43. Cho biểu thức : A =
a.  Rút gọn

(

3+x
3−x

−

3−x
x+3

4x 2

)(

+ 2
. 2+x+
x −9

x2 + x − 1
2−x

)


b.  Tính giá trị của biểu thức A biết |2x − 1| = 3

c.  Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
Xem lời giải tại:
/>