Giáo án đại số 11Tiết 12_PTLG-THUONG-GAP_Tiet-12

PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022
ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 1
§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Tên tệp: D11_C1_B2_PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP_Tiết 12
Facebook GV soạn bài: Quang Thanh Đặng
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
* VD MỞ ĐẦU:
1. Nhắc lại cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
Khẳng định nào sau đây sai?
x    k 2
�
sin x  sin  � �
, k ��
x





k
2

�
A.
.

B. tan x  tan  � x    k , k ��.

  k , k ��.
C. cos x  cos  � x  �

D. cot x  cot  � x    k , k ��.
Lời giải

Đáp án C
cos x  cos  � x  �
  k 2 , k ��
2. Giải bài toán sau:
Một chiếc guồng nước có dạng hình trịn bán kính 2,5m, trục của nó đặt cách mặt nước 2m. Khi guồng quay đều,
khoảng cách h ( mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo cơng thức

h y

,

� � 1�
�
y  2  2,5sin �
2 �
t �
�
� � 4�
�với t là thời gian quay của guồng ( t �0 ) tính bằng phút; ta quy ước rằng
trong đó:
y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước. Hỏi:
a) Khi nào gầu nước ở vị trí cao nhất?
b) Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào?

Lời giải
a) Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi

� � 1�
�
� 1� 
1
sin �
2 �
t �
t  �  k2 � t   k  k ��
� 1 � 2 �
2
� 4� 2
� � 4�
�
Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút; 2,5 phút;…
Trang 1/7


PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022
b) Chiếc gầu cách mặt nước 2m khi
� � 1�
�
� � 1�
�
1 k
� 1�
2  2,5sin �
2 �
t �
 2 � sin �
2 �

t �
 0 � 2 �
t  � k � t    k ��
�
�
4 2
� 4�
� � 4�
�
� � 4�
�
Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên tại thời điểm 0, 25 phút.
Ở bài tốn này ta đã giải các phương trình:
� � 1�
�
sin �
2 �
t �
� 1
� � 4�
�
(a)
� � 1�
�
2  2,5sin �
2 �
t �
� 2
� � 4�
�

(b)

� 1�
x  2 �
t �
� 4 �thì các phương trình trên có dạng sin x  1 và 2  2,5sin x  2 .
Nếu đặt
Phương trình (a) có dạng phương trình lượng giác cơ bản, phương trình (b) khơng phải phương trình lượng giác cơ
bản. Thực tế có nhiều bài tốn dẫn đến việc giải phương trình khơng phải các phương trình lượng giác cơ bản.
Trước hết ta xét các phương trình lượng giác thường gặp dạng đơn giản:
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x .
- Sản phẩm: Học sinh biết dạng và cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác; giải được một
số phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at  b  0, (1)
trong đó a, b là các hằng số ( a �0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ 1.
a) 2sin x  3  0 là phương trình bậc nhất đối với sin x .
b) 3 tan x  1  0 là phương trình bậc nhất đối với tan x .
2. Cách giải
Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a , ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác
cơ bản.
Ta có
at  b  0 � t  

b

a

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) 2sin x  3  0 .

b)

3 tan x  1  0 .

c)

2 cos x  1  0 .
Lời giải

a)

2sin x  3  0 � sin x 

3
2.

3
1
Vì 2
nên phương trình đã cho vơ nghiệm.
Trang 2/7

d) 3cot x  3  0 .

PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022

b)
c)

3 tan x  1  0 � tan x  

1


� tan x  tan
� x    k , k ��
6
6
3
.

2 cos x  1  0 � cos x  

1

� x  �  k 2 , k ��
4
2
.

3cot x  3  0 � cot x 

3


� x   k , k ��
3
3
.

d)
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a) 5sin x  2sin 2 x  0 .

b) 8sin x cos x cos 2 x   2 .
Lời giải

sin x  0
�
5sin x  2sin 2 x  0 � 5sin x  4sin x cos x  0 � sin x  5  4cos x   0 � �
5  4 cos x  0.
�
a) Ta có
+ sin x  0 � x  k , k ��.
5
5
  1
4 , vì 4
+
nên phương trình này vơ nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x  k , k ��.
5  4 cos x  0 � cos x  

b) Ta có

8sin x cos x cos 2 x   2 � 4sin 2 x cos 2 x   2 � 2 sin 4 x   2




�
�
x k
4 x    k 2
�
�
2
16
2
4
� sin 4 x  
��
��
 k ��
5
5

2
�
�
4x 
 k 2
x
k
�

�
4
2
� 16
.
B. LUYỆN TẬP
PHIẾU HỌC TẬP 1
Câu 1. Nghiệm của phương trình 2 cos x  1  0 là


�
x    k 2
�
6
, k ��
�
7
�
x
 k 2
�
B. � 6
.
� 
x   k 2
�
3
, k ��
�
2

�
x
 k 2
�
D. � 3
.

2
x  �  k 2 , k ��
3
A.
.


x  �  k 2 , k ��
6
C.
.

Lời giải
Đáp án A
2 cos x  1  0 � cos x  

1
2
� x  �  k 2 , k ��
2
3
.

2
Câu 2. Nghiệm của phương trình sin x  sin x  0 là

Trang 3/7


PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022

x  k
�
�
, k ��

�
x    k 2
2
B. �
.


 k , k ��
2
A.
.

x  k , k ��
2
C.
.
x

D. x  k 2 , k ��.

Lời giải
Đáp án B

x  k
�
sin x  0
�
�
sin x  sin x  0 � sin x  sin x  1  0 � �
�
, k ��

sin x  1 �
x    k 2
�
�
2
.
2

2
Câu 3. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình cos x  cos x  0 trên đường tròn lượng giác là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Đáp án D
cos x  0
�
cos 2 x  cos x  0 � cos x  cos x  1  0 � �
cos x  1
�

 1
 2

Trên đường tròn lượng giác, các nghiệm của phương trình
của phương trình

 2

 1

được biểu diễn bởi 2 điểm, các nghiệm

được biểu diễn bởi 1 điểm. Các điểm biểu diễn nói trên khơng trùng nhau nên số

điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là 3.
�
�
2sin �  x � 1  0

�3
�
Câu 4. Nghiệm của phương trình
là


�
x    k 2
�
6
, k ��
�
7
�
x
 k 2
�
A. � 6
.

�
x    k
�
3
, k ��
�
4
�
x
 k

�
C. � 3
.

� 
x   k 2
�
2
, k ��
�
5
�
x
 k 2
6
B. �
.
x  k 2
�
, k ��
�
x    k 2
D. �
.

Lời giải
Đáp án B




�
� 
 x    k 2
x   k 2
�
�
�
�
�
� 1
3
6
2
2sin �  x � 1  0 � sin �  x �  � �
��
, k ��
5

7
�3
�
�3
� 2
�
�
x
 k 2
x
 k 2
�3

�
6
6
�
.

Trang 4/7


PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022

Câu 5. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
lượng giác là
A. 2.

B. 4.

cos3 x sin x  cos x sin 3 x  

C. 6.

1
4 trên đường tròn

D. 8.

Lời giải
Đáp án B
1
1

� cos x sin x  cos 2 x  sin 2 x   
4
4
1
1
1
1
sin 2 x cos 2 x   � sin 4 x   � sin 4 x  1
2
4
4
4


2
� 4 x    k 2 � x    k
, k ��
2
8
4
.
Vậy số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là 4.
cos3 x sin x  cos x sin 3 x  

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT)
PHIẾU HỌC TẬP 2
Câu 1. Phương trình
A.
C.

3  3 tan x  0 có nghiệm là

x


 k , k ��
3
.

x


 k , k ��
6
.

B.
D.

x


 k 2 , k ��
3
.

x


 k 2 , k ��

6
.

Lời giải
Đáp án C
3  3 tan x  0 � tan x  

3

� x    k , k ��
3
6
.

Câu 2. Tất cả các nghiệm của phương trình 2sin x  2 sin 2 x  0 là
3

�
�
x  �  k 2
x  �  k 2
�
�
, k ��
, k ��
4
4
�
�
x  �  k 2

x  k
A. �
.
B. �
.
C. x  k 2 , k ��.

D.

x


 k 2 , k ��
2
.

Lời giải
Đáp án B
2sin x  2 sin 2 x  0 � 2sin x  2.2sin x cos x  0 � 2sin x 1  2 cos x  0



sin x  0
�
x  k
�
�
�
�
, k ��

1 �

�
�
cos x 
x  �  k 2
�
2
4
�
.

Trang 5/7




PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m cos x  m  1  0 có nghiệm thuộc đoạn
� �
0; �
�
� 2 �.
A. m �0 .

B.

0m

1

2.

1
�m �1
C. 2
.

D. m �1 .

Lời giải
Đáp án C
Xét phương trình m cos x  m  1  0 .
Nếu m  0 thì phương trình trở thành 1  0 , vơ nghiệm.
1 m
m cos x  m  1  0 � cos x 
m .
Nếu m �0 thì
� �
1 m
0; �
0 ���
�
 1
�
m
Phương trình có nghiệm thuộc đoạn � 2 �khi và chỉ khi

1
2

m 1

Câu 4. Tất cả các nghiệm của phương trình sin 2 x  2sin x  cos x  1  0 là
� 4
� 
x
 k
x   k 2
�
�
3
3
�
�
x    k 2 , k ��
x    k 2 , k ��
�
�
�
� 2

x    k
x
 k 2
�
�
3
A. �
.
B. � 3

.
� 5
x
 k
�
6
�
x    k 2 , k ��
�
� 
x   k
�
C. � 6
.

� 7
x
 k 2
�
6
�
x  k 2
, k ��
�
�

x    k 2
�
6
D. �

.

Lời giải
Đáp án D
sin 2 x  2sin x  cos x  1  0 � 2sin x cos x  2sin x  cos x  1  0
� 2sin x  cos x  1   cos x  1  0 �  cos x  1  2sin x  1  0
�
�
x  k 2
cos x  1
�
�

��
��
x    k 2 , k ��
1
�
�
6
sin x  
2
�
� 7
�
x
 k 2
� 6
.
� �

0; �
�
2 �của phương trình sin x  cos x  3 tan x  2   0 là
�
Câu 5. Số nghiệm thuộc đoạn

A. 0.

B. 1.

C. 2.

Lời giải
Đáp án B
Trang 6/7

D. 3.

.


PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022
Điều kiện cos x �0 .
Khi đó, chia hai vế của phương trình cho cos x ta được
tan x   3 tan x  2   0 � tan x  1
.

� �
0; �
�

2 �của phương trình đã cho là 1.
�
Dựa vào đường tròn lượng giác, ta có số nghiệm thuộc đoạn

D. HƯỚNG DẪN CHUẨN BỊ BÀI MỚI
PHIẾU HỌC TẬP 3
1. Ơn tập các cơng thức lượng giác: Hệ thức cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến
đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
2. Tìm hiểu cách giải các phương trình:
2
a) 3cos x  5cos x  2  0 ;

2
b) 3 tan x  2 3 tan x  3  0 ;

2
d) 3cos 2 x  8sin x cos x  4  0 ;

e) tan x  2cot x  1  0 ;

2
c) sin x  2 cos x  2  0 ;

3. Cho a, b, c ��. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
2
2
a) Phương trình a sin x  b sin x  c  0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình at  bt  c  0 có
nghiệm.
2
2

b) Phương trình a cos x  b cos x  c  0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình at  bt  c  0 có
nghiệm.
2
2
c) Phương trình a tan x  b tan x  c  0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình at  bt  c  0 có
nghiệm.
2
2
d) Phương trình a cot x  b cot x  c  0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình at  bt  c  0 có
nghiệm.

sin 2 x   m  2  sin x  2m  0
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm.

Trang 7/7