Hình học lớp 8 toán lớp 8 ( tứ giác và hình thang )( có đáp án và lời giải chi tiết)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

HH8-C1-CD1.TỨ GIÁC
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào
cũng không nằm trên một đường thẳng.
* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào
của tứ giác.
* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.
WORD=>ZALO_0946 513 000

a) Tứ giác lồi

a) Tứ giác không lồi

b) Tứ giác không lồi

b) Không phải tứ giác

* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.
* Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học về
tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu... để tính ra số đo các góc.

� � � �
Bài 1. Cho tứ giác ABCD biết A : B : C : D =4 : 3 : 2 : 1 .

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

a) Tính các góc của tứ giác ABCD.
�
�
b) Các tia phân giác của C và D cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngồi tại các đỉnh C và D
�
�
cắt nhau tại F. Tính CED và CFD.
�
�
�
�
�
�
Bài 2. Tính số đo các góc C và D của tứ giác ABCD biết A = 120°, B = 90° và C  2 D.
Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác
Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:

WORD=>ZALO_0946 513 000

a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;
b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:
a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD;
1
b) MA + MB + MC + MD ≥ 2 (AB + BC + CD + DA).

Dạng 3.Tổng hợp

Bài 5.Cho tứ giác ABCDcó AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có
hình cánh diêu).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

� �
�
�
b) Tính B, D biết A = 100°, C = 60°.
� �
0
� �
�
Bài 6. Tứ giác ABCD có A  B  50 . Các tia phân giác của C , D cắt nhau tại I và CID = 1150. Tính
� �
các góc A, B .
Bài 7.
a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vng góc, tổng bình phương của hai cạnh đối này
bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.
b) Tứ giác ABCD có AC vng góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài CD.


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

� �
Bài 8. Cho tứ giác ABCD có A  B và BC = AD. Chứng minh:
a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC;

�
�
b) ADC  BCD;

c) AB // CD.

�
�
Bài 9. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của E và F cắt nhau tại
I. Chứng minh
�
�
�  ABC  ADC ;
EIF
2
a)
0
0
�
�
b) Nếu BAD  130 và BCD  50 thì IE  IF .

HƯỚNG DẪN
Bài 1. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

�
�  1080 , C
�  720 , D
�  360
A  1440 , B
b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được
�  1260
CED
.

Chú ý hai phân giác trong và ngồi tại mỗi góc
của một tam giác thì vng góc nhau, cùng với
tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được
�  540
CFD
Bài 2. HS tự chứng minh:

�  500 , C
�  1000
D
Bài 3.
a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một tam
giác thì lớn hơn cạnh cịn lại cho các tam giác
OAB, OBC,OCD và ODA.
b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa
chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).
Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu
vi tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong
một tam giác thì lớn hơn cạnh cịn lại cho các

WORD=>ZALO_0946 513 000


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

tam giác ABC, ADC, ABD và CBD.
Bài 4.
a) HS tự chứng minh
b) Tương tự 2A a)
Bài 5.

a) HS tự chứng minh
b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý

�D
�
B
� �
Bài 6. Tính tổng C  D
WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 7
a) Sử dụng Pytago
b) Áp dụng a)
Bài 8.
a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh
c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác
Bài 9.
a) Gọi

IF �CD   N 

Theo định lý về góc ngồi của tam giác
�
�  FNE
� E
FIE
VNIE có
2 ;

�
� D
� E
FNE
VDNF có
2 ;
� �
� D
�  E  F (1)
FIF
2
Vậy
.

ADE có
�  1800  ( D
� �
E
A1 );
�  1800  ( D
�C
�);
VDFC có F
1
�F
�  3600  (2 D
� �
�)
�E
A1  C

1
�C
� D
�  (2 D
� �
�)  B
� D
�;
�
A1  B
A1  C
1
1
1
1
� � � �
� D
�  B1  D  D  B1
EIF
2
2
Thay vào (1) được


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

(ĐPCM)
b) Áp dụng a).
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Dạng 1.Tính số đo góc

Bài 1.

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngồi tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong

tại hai đỉnh cịn lại.
Bài 2.

� �
Cho tứ giác ABCD có A + B = 220�. Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K.

Tính số đo của góc CKD.
Bài 3.

WORD=>ZALO_0946 513 000

� �
Tứ giác ABCD có A = C . Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song

song với nhau hoặc trùng nhau.
Bài 4.

�
�
Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB ; C = 130�; D = 110�. Tính số đo góc A, góc B.

Dạng 2.So sánh các độ dài
Bài 5.

Có hay khơng một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?

Bài 6.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6. Tính độ dài

AD.
Bài 7.

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn

chu vi của tứ giác.
Bài 8.

Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào

cũng có khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
Bài 9.

Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng

S = a + b+ c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác
bằng nhau.
Dạng 3. Bài tốn giải bằng phương trình tơ màu
Bài 10.

Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng

tồn tại một nhóm bốn người đơi một quen nhau.


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

HƯỚNG DẪN
Bài 1. �Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau (h.1.5)
� �
� �
Gọi C1 , D1 là số đo hai góc trong; D2 , D2 là số đo hai góc ngồi tại hai
đỉnh kề nhau là C và D. Ta có:



 





� D
�  180� C
�  180� D
�  360� C
� D
�
C
2
2
1
1
1
1

Xét tứ giác ABCD có:



�
�  360� C
� D
�
A B
1
1

 . (1)

 . (2)
WORD=>ZALO_0946 513 000

� � � �
Từ (1) và (2) suy ra: C2  D2  A  B .
�Trường hợp hai góc ngồi tại hai đỉnh đối nhau (h.1.6)

� � � �
Chứng minh tương tự, ta được A2  C2  B  D
Bài 2.

(h.1.7)

�
�
� �

Ta có: CDx  DCy  A  B  220�. (bài 1.1).
�

�  CDy
�
CDx
 110�
.
� �
2
Do đó D2  C2  110�.

Xét CKD có:
Bài 3.





�  180� D
� C
�  180� 110� 70�
CKD
2
2

(h.1.8)

Xét tứ giác ABCD có:





�D
�  360� �
�  360� 2C
�
B
AC

.

� � � �
� �
�
� � �
Vì B1  B2 , D1  D2 nên B1  D1  180� C � B1  D1  C  180�. (1)
� � �
Xét BCM có B1  M 1  C  180�. (2)
� �
Từ (1) và (2) suy ra D1  M 1 . Do đó DN // BM .
Bài 4.

(h.1.9)

�
�
Vẽ đường phân giác của các góc C và D chúng cắt nhau tại E.

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

�  180� 110� 130� 60�
CED
2
Xét ECD có
.

�  60�
ADE  CDE (c.g.c) � �
AED  CED
.
�  DEC
�  60�
BCE  DCE (c.g.c) � BEC
.
�
Suy ra AEB  180�do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng
�
�
� �
ABC  360�  65� 110� 130�
  55�.
Vậy BAD  EAD  ECD  65�. Do đó

Bài 5.

(h.1.10)

WORD=>ZALO_0946 513 000

Giả sử tứ giác ABCD có CD là cạnh dài nhất.
Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh cịn lại (1).
Thật vậy, xét ABC ta có: AC  AB  BC .
Xét ADC có: CD  AD  AC . Do đó CD  AD  AB  BC .
Ta thấy nếu các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thì khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác nào mà
các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10.
Bài 6. (h.1.11)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Xét AOB , COD vng tại O, ta có:
AB 2  CD 2  OA2  OB 2  OC 2  OD 2 .

Chứng minh tương tự, ta được:
BC 2  AD 2  OB 2  OC 2  OD 2  OA2 .
2
2
2
2
Do đó: AB  CD  BC  AD .

2
2
2
2
2
Suy ra: 3  6  6,6  AD � AD  9  36  43,56  1, 44 � AD  1, 2 .

Bài 7. (h1.12)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được:
OA  OB  a; OC  OD  c .

Do đó

 OA  OC    OB  OD   a  c

hay AC  BD  a  c . (1)

Chứng minh tương tự, ta được: AC  BD  d  b . (2)
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
2  AC  BD   a  b  c  d � AC  BD 

a bc d
2
WORD=>ZALO_0946 513 000

Xét các ABC và ADC ta có: AC  a  b; AC  c  d

� 2AC  a  b  c  d . (3)
Tương tự có: 2BD  a  b  c  d . (4)
Cộng từng vế của (3) và (4) được:

2  AC  BD   2  a  b  c  d 

� AC  BD  a  b  c  d .

Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.
Bài 8.

�Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

2
2
2
�
Cho ABC , A �90�. Chứng minh rằng BC �AB  AC .

Giải (h.1.13).
�
Vẽ BH  AC . Vì A �90�nên H nằm trên tia đối của tia AC.
Xét HBC và HBA vng tại H, ta có:

BC 2  HB 2  HC 2   AB 2  HA2    HA  AC 

2

 AB 2  HA2  HA2  AC 2  2 HA. AC  AB 2  AC 2  2 HA. AC .
2
2
2
Vì HA. AC �0 nên BC �AB  AC ( dấu “=” xảy ra khi H �A tức là

khi ABC vuông).
�Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi(h.1.14)
� � � �
Ta có: A  B  C  D  360�.
�
Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90�, giả sử A �90�.
WORD=>ZALO_0946 513 000

2
2
2
2
2
Xét ABD ta có BD �AB  AD  10  10  200 suy ra BD  200 , do đó BD  14 .

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)
�
�
�
Nối CA, Ta có: ACD  ACB  BCD  360�.
Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120�.
�
�
Giả sử ACB �120�, do đó ACB là góc tù
2
2
2
2
2

Xét ACB có AB �AC  BC  10  10  200 .

Suy ra AB  200 � AC  14 .
Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
Bài 9. (h.1.16)
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử khơng có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.
Ta có thể giả sử a < b < c < d .
Ta có: a + b+ c > BD + c > d .
Do đó a + b+ c + d > 2d . Ta đặt a + b+ c + d = S thì S > 2d . (*)
Ta có:

SMa � S = ma ( m�N)

(1)


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

SMb � S = nb ( n �N)

(2)

SMc � S = pc ( p �N)

(3)

SMd � S = qd ( q �N )

(4)

Từ (4) và (*) � qd > 2d do đó q> 2.
Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra m> n> p> q> 2 .
Do đó q �3; p �4; n �5; m�6 .

WORD=>ZALO_0946 513 000

1 a 1 b 1 c 1 d
= ; = ; = ; =
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra m S n S p S q S .
1 1 1 1 1 1 1 1 a + b+ c + d
+ + + � + + + =
=1
S
Ta có: 6 5 4 3 m n p q
.
19
�1
Từ đó: 20
, vơ lí.
Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
Bài 10.

Coi mỗi người như một điểm, ta có chín điểm A, B, C,…

Nối hai điểm với nhau ta được một đoạn thẳng. Ta tô màu xanh nếu hai người không quen nhau, ta tô
màu đỏ nếu hai người quen nhau. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường chéo cùng
tơ màu đỏ.
�Trường hợp có một điểm là đầu mút của bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt

(h.1.17)

Xét D ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ vì bất kì tam giác nào cũng
có một đoạn thẳng màu đỏ. Tương tự các đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE cũng có màu đỏ (vẽ nét liền)


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

(h.1.18). Do đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo được tô đỏ nghĩa là tồn tại một nhóm bốn
người đơi một quen nhau.
�Trường hợp mọi điểm đều là đầu mút của nhiều nhất là ba đoạn thẳng màu xanh. Không thể mọi điểm

9.3
�N
đều là đầu mút của ba đoạn thẳng màu xanh vì khi đó số đoạn thẳng màu xanh là 2
.

Như vậy tồn tại một điểm là đầu mút của nhiều nhất là hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn đó là điểm
A, do đó A là đầu mút của ít nhất là sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử đó là AB, AC, AD, AE, AF, AG
(h.1.19)
WORD=>ZALO_0946 513 000

Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn tại ba điểm là đỉnh của một tam giác có ba cạnh cùng màu (đây là
bài tốn cơ bản về phương pháp tơ màu) chẳng hạn đó là D BCD (h.1.20).

Trong D BCD có một cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh của D BCD cùng màu đỏ. Khi đó tứ giác
ABCD là tứ giác có các cạnh và đường chéo được tơ đỏ, nghĩa là tồn tại một nhóm bốn người đôi một
quen nhau.
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1: a) Có tứ giác nào có 4 góc nhọn khơng?

b) Một tứ giác có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn, bao nhiêu góc tù, bao nhiêu góc vng?
�
0 �
0 �
0
�
Bài 2: a) Cho tứ giác ABCD có A = 55 ;B = 110 ;D = 75 . Tính số đo góc C

�
0 �
0 �
0
b) Cho tứ giác ABCD có A = 55 ;B = 107 ;C = 72 . Tính số đo góc ngồi tại đỉnh D
0 ˆ
0 ˆ ˆ
ˆ
Bài 3: Tứ giác ABCD có C  100 ,D  60 ,A : B  3:2 . Tính các góc A và B.

� �
� �
� �
0
0
0
Bài 4: Cho tứ giác ABCD biết B + C = 200 , B + D = 180 ; C + D = 120
a) Tính số đo các góc của tứ giác.
� �
� = C +D
AIB
�

�
2
b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của A và B của tứ giác. Chứng minh:
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm các tia phân giác của các góc C và D .


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

0 �
0
�
�
a) Tính COD biết A  120 , B  90 .
�
�
�
b) Tính COD theo A và B .
c) Các tia phân giác của góc A và B cắt nhau ở I và cắt các tia phân giác các góc C và D thứ tự ở E

và F . Chứng minh rằng tứ giác OEIF có các góc đối bù nhau.
0
� �
Bài 6: Cho tứ giác ABCD, A  B  50 . Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết

�  1150.
COD
Chứng minh rằng AB ^ BC .

� �
0

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có B + D = 180 ,CB = CD . Chứng minh AC là tia phân giác của
�
BAD
.

WORD=>ZALO_0946 513 000

2
2
2
2
0
ˆ ˆ
Bài 8: Tứ giác ABCD có C  D  90 . Chứng minh rằng A C  BD  A B  CD

Bài 9: Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để

MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
� �
Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A  C tia phân giác góc B cắt đường thẳng AD ở M; tia phân giác của
góc D cắt đường thẳng BC ở N. Chứng minh rằng: BM / / CN
HƯỚNG DẪN
Bài 1:a) Khơng có tứ giác nào có 4 góc nhọn.
Tổng các góc của 1 tứ giác bằng 3600. Do đó, một tứ giác có nhiều nhất ba góc nhọn, có nhiều nhất ba
góc tù, nhiều nhất 4 góc vng.

� � � �
�
0
0

Bài 2: a) A + B + C + D = 360 � C = 120

�
0
0
b) Tương tự tính được D = 126 . Vậy góc ngồi đỉnh D có số đo là 54

(

)

� B
� A
� +B
� 3600 - 1000 + 600
A
= =
=
= 400
0 �
0
�
2
5
5
Bài 3: 3
. Từ đó tính được A  120 . B  80 .

�
�

�
� � �
Bài 4:a) Từ giả thiết ta có: 2B  2C  2D  200� 180� 120�� B  C  D  250�

� � � �
�
Vì A + B + C + D = 360�� A = 110�.
� = 250�- (C
� + D)
� = 250�- 120�= 130�
B
� = 200�- B
� = 200�- 130�= 70�
C
.

�  1200  C
�  1200  700  50 0
D
.


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

�
�
) C�+ D
� B = 180�- A�+ B�= 360 - (A�+ B�
AI
=

2
2
2 .
b) Trong tam giác ABI:

0
0
0
0
� � � �
� �
Bài 5: a) Tứ giác ABCD có A  B  C  D  360 � 120  90  C  D  360

�D
�  (C
�D
�) : 2  1500 : 2  750
�D
�  150 0 � C
�C
1
1
0
� �
COD có C1  D1  75 nên

�  1800  (C
�D
� )  1800  750  1050
COD

1
1
.
� �
�  A B
COD
2 .
b) Giải tương tự như câu a. Đáp số:

WORD=>ZALO_0946 513 000

� �
�  CD
EIF
2 .
c) Chứng minh tương tự như câu b, ta được
0
� � � �
�  EIF
�  A  B  C  D  360  1800
COD
0
0
0
�
�
2
2
Do đó:
.Suy ra: OEI  OFI  360  180  180 .

� �
�  1800  C
� D
�  1800  C  D
COD
2
2
2
Bài 6:Xét D COD có





� � � �
(vì C1  C2 ; D1  D2 ).
Xét tứ giác ABCD có
�  1800 
COD





�D
�  3600  A
�B
� ,
C



�B
�
3600  A
2

  180

0

 1800 

do đó
�B
�
A
.
2

� �
�  A  B.
COD
0
0
�
� �
2
Vậy

Theo đề bài COD  115 nên A  B  230 .





�  2300  500 : 2  900.
B
0
� �
Mặt khác, A  B  50 nên
Do đó AB ^ BC .
Bài 7:Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD.
�
�
�
Ta có ADC  IBC (cùng bù với ABC
AD = IB, DC = BC . Từ đó ta có ADC  IBC .

�
�
Suy ra: DAC  BIC và AC = I C .
�
�
�
Tam giác ACI cân tại C nên BAC  BIC  DAC .

�
Vậy AC là phân giác trong BAD

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Bài 8:Gọi O là giao điểm AD và BC.
0
0
� �
�
Ta có C  D  90 nên O  90

Áp dụng định lí Py – ta – go,
2
2
2
Ta có AC  OA  OC .

BD 2  OB2  OD 2
Nên



 



AC 2  BD 2  OA 2  OB2  OC 2  OD 2  AB2  CD 2

WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 9: Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

MA + MC �AC, MB + MD �BD .

Từ đó suy ra MA + MB + MC + MD �AC + BD

MA + MB + MC + MD = AC + BD khi M trùng với I.
Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì

MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
Bài 10:
Xét tứ giác ABCD có:





�D
�  360o  A
�C
�  360o  2C.
�
B

o
� � �
�
� �
�
Vì B1  B2 ; D1  D2 nên B1  D1  180  C

�D

� C
�  180o. (1)
�B
1
1
o
� � �
Xét BCM có B1  M1  C  180 . (2)

� �
Từ (1) và (2) suy ra D1  M1. Do đó BM / / CN


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

HH8-C1-CD2. HÌNH THANG
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
* Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AB: đáy nhỏ
CD: đáy lớn
AD, BC: cạnh bên.
* Nhận xét:

WORD=>ZALO_0946 513 000

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau.
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB // CD):
AD//BC  AD = BC; AB = CD

AB = CD  AD // BC; AD = BC.

* Hình thang vng là hình thang có một góc vng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc của một tứ giác. Kết hợp các
kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu … để tính ra số đo các góc.
0
�
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có D  60 .


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

a) Tính chất

� 4
B
 .
�
�
�
b) Biết D 5 Tính B và C.
0 �
� �
�
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có A  D  20 , B  2C. Tính các góc của hình thang.

Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng.

�
Bài 3. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác D . Chứng minh rằng ABCD là hình thang và chỉ rõ
WORD=>ZALO_0946 513 000

cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.
Bài 4. Cho tam giác ABC vng cân tại A. Vẽ về phái ngồi tam giác ACD vng cân tại D. Tứ giácABCD là
hình gì ? Vì sao?
Dạng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang, hình thang vng
�
�
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F.
a) Tìm các hình thang.
b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F.
c) Chứng minh EF = BE + CF.
0
� �
Bài 6. Cho hình thang vng ABCD có A  D  90 , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và BH vuông góc với CD tại

H.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB.
b) Chứng minh tam giác BHC vng cân tại H.
c) Tính diện tích hình thang ABCD.

HƯỚNG DẪN
Bài 1.
a) HS tự làm> Tìm được  = 1200

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

0
0
�
�
b) HS tự làm. Tìm được B  48 và C  132

0
0
0
0
� �
� �
�
�
�
�
Bài 2. Chú ý A , D và B , C là các cặp góc trong cùng phía. A  100 , D  80 , B  120 , C  60

�
�
Bài 3. Chú ý tam giác CBD cân tại C. Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng minh được ADB  CBD .
Bài 4.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vng.
Bài 5.
a) HS tự tìm
WORD=>ZALO_0946 513 000

b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia phân giác.
c) Suy ra từ b)

Bài 6. HS tự chứng minh.
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho ABC . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD  AB . Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE  AC .
Chứng minh tứ giác BECD là hình thang
Bài 2. Cho ABC vuông cân tại A . Ở phía ngồi ABC vẽ BCD vng cân tại B . Chứng minh tứ giác ABDC
là hình thang.

�
A1  3x  9�.
,�A  8x  9�và góc ngồi tại đỉnh A là �
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có D  2x  9�
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
0
�
� �
b) Phân giác của �B và C cắt nhau ở I . Cho biết B  C  32 . Tính các góc của BIC .

Bài 4. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD , biết AB  4cm , CD  8cm , BC  5cm , AD  3cm . Chứng
minh: ABCD là hình thang vuông.


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

AB P CD 
Bài 5. Cho hình thang ABCD 
. Biết AB  CD, AD  BC . Chứng minh :

a) AD  BC  CD  AB .
b) BC  AD  CD  AB .
�
AB P CD 
Bài 6. Cho hình thang ABCD 
có M là trung điểm của BC và AMD  90�. Chứng minh: DM là
�
phân giác của ADC .
AB P CD 
Bài 7. Cho hình thang ABCD 
WORD=>ZALO_0946 513 000

D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC . Chứng minh: AD  AB  CD .
a) Phân giác của �A và �
D cắt nhau tại điểm I trên cạnh BC .
b) Cho AD  AB  CD . Chứng minh: phân giác của �A và �

HƯỚNG DẪN
Bài 1.
AB  AD � ABD cân tại A

180��
BAC
�
ABD 
�
2

 1

AE  AC � AEC cân tại A
180��
BAC
�
ACE  �
AEC 
�
2

Từ

 1 ,  2 

AEC  �
ABD
��

� BD P EC

� BDCE là hình thang

Bài 2.

 2


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

ABC vng cân tại

�
�
BAC  90�
�
�
�
A � �ABC  45�

BCD vuông cân tại B � �
BCD  45�
�
�

� ABC  BCD   45�
� AB P CD
� ABDC là hình thang

�
Mà BAC  90�
� ABDC là hình thang vng

WORD=>ZALO_0946 513 000

Bài 3.
� �
a) Ta có A  A1  180�

 3x  9� 180�
� 8x  9�
� x  18�

�
�
D  45�
�
�
�
�A  135�
�
�
A  45�
�1
��
� �
� D  A1
� AB P CD
� ABCD là hình thang

b) ABCD là hình thang
B �
C  180�
��
� �
mà B  C  32�
C  32� �
C  180�
��
C  74�
��
B  106�

��

�
ABC
�
�
ABI

IBC

�
ABI  �
IBC  53�
2 ��
BI là tia phân giác của ABC �


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

�
DCB
�
�
DCI

ICB

�
CI là tia phân giác của DCB �
DCI  �

ICB  37�
2 ��





�
BIC  1800  �
IBC  �
ICB  180�  530  37 0   90�
�
�
�
BIC
BIC

IBC

ICB

180
�
�
Xét
có:
Bài 4.
E �DC 
Qua B , kẻ BE P AD 

Hình thang ABCD có đáy AB và CD
� AB P CD
WORD=>ZALO_0946 513 000

� AB P DE
� ABED là hình thang

Mà BE P AD
� AD  BE , AB  DE (theo tính chất hình

thang có hai cạnh bên song song)
Mà AD  3cm , AB  4cm
� BE  3cm , DE  4cm

Có DC  DE  EC , DC  8cm , DE  4cm
� EC  4cm

�
BE 2  CE 2  32  4 2  25 �
2
2
2
�� BC  BE  CE
2
2
BC  5  25
�
� BEC vuông tại E (theo định lý Pytago đảo)
Có

BEC  90�
��
Mà

�
ADC  �
BEC  BE P AD 

ADC  90�
��
Mà ABCD là hình thang
� ABCD là hình thang vuông

Bài 5:


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

E �DC 
Qua B kẻ BE P AD 

Hình thang ABCD có đáy AB và CD
� AB P CD
� AB P DE

� ABED là hình thang

Mà BE P AD
� AD  BE , AB  DE (theo tính chất hình thang

có hai cạnh bên song song)
DC  DE  EC � DC  DE  EC � DC  AB  EC  DE  AB 
Có
(1)
WORD=>ZALO_0946 513 000

AD  BC  EC  BE  AD 
a) Xét BEC có BE  BC  EC (bất đẳng thức tam giác) �
(2)

Từ (1) và (2) � AD  BC  DC  AB
BC  AD  EC  BE  AD 
b) Xét BEC có BC  BE  EC (bất đẳng thức tam giác) �
(3)

Từ (1) và (3) � BC  AD  DC  AB
Bài 6. Gọi E là giao điểm của AB và DM
Có AB P CD

�
�
AEM
�
�
�
EBM
��

�
MDC

�
DCM

Xét BEM và CDM có:
�
BME  �
CMD (2 góc đối đỉnh)

BM  CM (M là trung điểm BC )
�
EBM  �
DCM (so le trong)
� BEM  DCM  g.c.g 
� EM  MD
� M là trung điểm của ED
Xét AED có:

AM

AM  DE do �
AMD  90�


là đường cao

AM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của ED )


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

� AED cân tại A
��
AED  �
ADM

�
�
Mà AEM  MDC
�



�
ADM  �
CDM  �
AEM



ADC .
� DM là phân giác của �
Bài 7.
WORD=>ZALO_0946 513 000

AIE  �
AIB
a) Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho �

�
BAD

�
BAI  �
DAI 
�
2 (1)
AI là tia phân giác của BAD �
�
ADC
�
�
ADI

CDI

�
2 (2)
DI là tia phân giác của ADC �
�
�
AB P CD 
mà BAD  ADC  180�
(3)

�
BAD �
ADC
�
DAI  �
ADI 


 90�
2
2
Từ (1), (2) và (3) �
�
�
�
Mà AID : DAI  AID  AID  180�
AID  90�
��
�
�
�
Mà BIA  AID  DIC  180�
BIA  �
DIC  90�
��
Mà





�
AIE  �
EID  90��
AID  90�

DIE  �
DIC

��
Xét AIE và AIB có:
�
EAI  �
BAI
AI chung
�
AIE  �AIB

AIE  �AIB
và �


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

� AEI  BAI  g.c.g 
� AE  BD (4)

Chứng minh tương tự có

DEI  DCI  g.c.g  � DE  DC
(5)

Mà AD  AE  DE (6)
Từ (4), (5) và (6) � AD  AB  DC
b) Gọi I là trung điểm của BC � BI  CI
Gọi H là giao điểm của DI và AB
Xét BIH và CID có:
�
BIH  �

CID (2 góc đối đỉnh)

BI  CI
�
IBH  �
ICD  AB P CD 
� BIH  CID  g.c.g 

� BH  CD
� AB  BH  AB  CD

� AH  AD
� AHD cân tại A

�
�
��
ADI  �
AHD Mà AHD  IDC  AB P CD 

ADI  �
IDC
��
ADC
� DI là tia phân giác của �
BIH  CID 
Có ID  IC 
� I là trung điểm của DH

� AI là đường trung tuyến của ADH

Mà AHD cân tại A
� AI là tia phân giác của �
DAB

WORD=>ZALO_0946 513 000


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

WORD=>ZALO_0946 513 000