TUYEN 10THPTCHUYEN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC. KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012. ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) ————————————. P( x)  1 Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức. 1 x. . 1 1 x. a) Rút gọn P ( x) . b) Tìm giá trị của x để P( x)  2 . 2 2 Câu 2 (3,0 điểm). Cho f ( x)  x  (2m  1) x  m  1 ( x là biến, m là tham số). a) Giải phương trình f ( x) 0 khi m 1 . 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức f ( x) (ax  b) đúng với mọi số thực x ; trong đó. a, b là các hằng số. x , x ( x  x2 ) c) Tìm tất cả các giá trị m   để phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệm 1 2 1 sao cho P biểu thức. x1 x2 x1  x2 có giá trị là số nguyên.. Câu 3 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP  R . Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại điểm M (điểm M khác điểm A). a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP tại điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON tại điểm I; đường thẳng PN và đường thẳng OM cắt nhau tại điểm J. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. abc . 9 4 . Chứng minh rằng:. Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  a b  c  b c  a  c a  b. Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên 2  p  1 2 x  2 2  p  1 2 y.  x; y . thỏa mãn hệ:. ------------Hết------------. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: .....................………………………………………........... Số báo danh: ………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————. KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Dành cho tất cả các thí sinh. I. HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa. - Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm. - Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó. - Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM: Câu 1 (2,0 điểm). a) 1,5 điểm Nội dung trình bày Điểm.  x 0  1  x 0  0  x 1 Điều kiện:  1  x 1  x 2 P( x)   P ( x)  (1  x )(1  x ) 1 x Khi đó:. 0,75. 0,75. b) 0,5 điểm Nội dung trình bày Theo phần a) có:. . P( x)  2 . Điểm. 2  2 1 x. 0,25. 1  1  1  x  1  x 2 (thỏa mãn điều kiện). Mỗi dấu  đúng cho 0,25 điểm. 1 x. 0,25. Câu 2 (3,0 điểm). a) 2,0 điểm Nội dung trình bày Thay m 1 vào PT f ( x ) 0 ta có: x  3x  2 0 (1). Điểm 0,50. PT(1) có: a  b  c 1  3  2 0. 1,00. Vậy PT có hai nghiệm là: x 1 ; x 2 . b) 0,5 điểm. 0,50. 2. Nội dung trình bày 2. 1 1   f ( x) x 2  2  m   x   m    m 2  1  2 2   Với mọi m ta có: 2 2  1  1    f ( x )  x 2   m     m 2  1   m   2  2      f ( x )  x 2   Suy ra: để. Điểm. 1  m  2 . 2. 0,25. 2. 1  3   m     m 2  4 . f ( x)  ax  b . 2. 3 3  m m 4 . Vậy tồn tại duy nhất giá trị 4 thỏa mãn yêu cầu.. 0,25. c) 0,5 điểm Nội dung trình bày. 3 2    2m  1  4( m 2  1)  0  4m  3  0  m  f ( x) 0 có 2 nghiệm phân biệt 4 2  x1  x2 2m  1 m  1 2m  1 5 5  P     4 P 2m  1  2 2 m  1 4 4(2 m  1) x x  m  1 2m  1 (*) Khi đó ta có:  1 2 HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012.. Điểm. 0,25. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 4 , nên 2m  1  1 , để P   phải có: (2m  1) là ước của 5  2m  1 5  m 2 Do 5 4 P 2.2  1  4  P 1 2.2  1 Với m 2 thay vào (*) có: . Vậy giá trị m cần tìm bằng 2. Câu 3 (3 điểm). m. 0,25. a) 1,5 điểm:. x N. P. J. I M. O. 0,75. 0    PAO  PMO 180  tứ giác APMO nội tiếp. 0,75. b) 1,5 điểm:. K. A. 0   Ta có: PAO  PMO 90. B. ABM  1 AOM 2 Ta có ; OP là phân giác của góc AOM  AOP  1 AOM 2    ABM  AOP (2 góc đồng vị)  MB // OP (1) Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau  OP = BN (2) Từ (1) và (2)  OBNP là hình bình hành. 0,25. 0,25.  PN // OB hay PJ // AB. Mà ON  AB  ON  PJ. Ta cũng có: PM  OJ  I là trực tâm tam giác POJ  IJ  PO (3). 0,25.   Ta lại có: AONP là hình chữ nhật  K là trung điểm của PO và APO  NOP. 0,25. . . Mà APO MPO   IPO cân tại I. IK là trung tuyến đồng thời là đường cao  IK  PO (4) Từ (3) và (4)  I, J, K thẳng hàng. 0,25 0,25. Câu 4 (1 điểm). Nội dung trình bày 2. 2. Điểm.  x  y   x  y  0 x, y  0 Suy ra:  a  b   a  b  0   a  ab  b  ab   a  b  0 Ta có:  a 3  b3 ab(a  b) (1), dấu ‘=’ xẩy ra  a b . 2. 2. 9 abc  3 3 3 3 3 a  b  c  ab ( a  b )  c  2 abc ( a  b )  3 c a  b 4) Từ (1) và BĐT AM – GM có: (do a b  3 a 3  b3  c 3 3c a  b , dấu ‘=’ xẩy ra ab(a  b) c (2) Vậy: b c  3 3 3 3 bc(b  c) a (3) Tương tự có: a  b  c 3a b  c , dấu ‘=’ xẩy ra c a  3 a 3  b3  c 3 3b c  a , dấu ‘=’ xẩy ra ca(c  a) b (4) 3 3 3 Từ (2), (3) và (4) có: a  b  c a b  c  b c  a  c a  b (5), dấu ‘=’ xẩy ra  a b c 0 9 abc  4 , hay ta có đpcm. vô lí, do. 0,25. 0,25. 0,25. 0,25. Câu 5 (1 điểm).. Nội dung trình bày Điểm 2 Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x 0, y 0 . Từ phương trình p  1 2 x suy ra p là số 0.25 lẻ. Dễ thấy 0  x  y  p  y  x không chia hết cho p (1) 2 y 2  2 x 2  p 2  p   y  x   y  x  0  mod p   y  x 0  mod p  Mặt khác, ta có (do (1)) HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012.. 0.25 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Do 0  x  y  p  0  y  x  2 p  x  y  p  y  p  x thay vào hệ đã cho ta được  p  1 2 x 2  p  1 2 x 2  p  1 2 x 2  p 4 x  1     2    2 2 2 2 x 4 x  p  1 2  p  x  1  p  4 px  p  1  p 4 x  1 Giải hệ này ta được p 7, x 2 thay vào hệ ban đầu ta suy ra y 5 . Vậy p 7.. 0.25 0.25. ---------------Hết---------------. HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012.. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>