DE THI CAO HOC TOAN QUY NHON

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.VNMATH.com ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề.. BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC Câu 1.. a) Tính giới hạn lim ( x 2 + y 2 ). x2 y 2. x →0 y →0. .. b) Chứng minh rằng hàm số f xác ñịnh trên ℝ 2 cho dưới ñây liên tục nhưng không khả. vi tại ( 0, 0 ) :.  xy  2 2 f ( x, y ) =  x + y 0  Câu 2.. khi ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) khi ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ). a) Cho dãy số {an } và hàm số f : [ 0,1] → ℝ xác ñịnh bởi 1 1  <x≤ an khi f ( x) =  n +1 n 0 khi x = 0 a  Chứng minh rằng nếu tồn tại α ∈ ( 0,1) sao cho  αn  hội tụ thì f khả tích Lebesgue trên n  [ 0,1] . Từ ñó xét tính khả tích Lebesgue của f trên [ 0,1] trong trường hợp an = n .. 1 trên [ 0,1) . 1− x là một dãy các ánh xạ co từ không gian mê-tric ñầy ñủ X vào chính nó. b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) của f ( x) = Câu 3.. a) Giả sử. { fn }. hội tụ ñều về ánh xạ f trên X , và các hệ số co α n của f n thỏa mãn sup n α n < 1 . Chứng minh rằng f cũng là ánh xạ co.. b) Cho f : X → X là một ánh xạ liên tục từ không gian mê-tric compact ( X , d ) vào chính nó thỏa mãn ñiều kiện d ( f ( x), f ( y ) ) < max {d ( x, y ) , d ( x, f ( x) ) , d ( y, f ( y ) )} , ∀x, y ∈ X , x ≠ y. Chứng minh rằng f có duy nhất ñiểm bất ñộng.. Câu 4.. Cho không gian vec-tơ C 1 [ −1,1] các hàm số có ñạo hàm liên tục trên [ −1,1] . Xét ánh xạ. . : C1 [ −1,1] → ℝ cho bởi. x =: x ( 0 ) + max x ' ( t ) , ∀x ∈ C1 [ −1,1]. t∈[ −1,1]. a) Chứng minh rằng ( C [ −1,1] , . 1. ) là một không gian Banach.. b) Xét các ánh xạ fε , f 0 : C 1 [ −1,1] → ℝ , với 0 < ε < 1 , cho bởi 1  x ( ε ) − x ( −ε )  ; f 0 ( x ) = x ' ( 0 ) . 2ε  i) Chứng minh rằng fε , f 0 là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C 1 [ −1,1] và tính fε ( x ) =. fε ,. f0 .. ii) Chứng minh fε hội tụ ñơn giản nhưng không hội tụ theo chuẩn về f 0 khi ε → 0. ---------- HẾT ---------Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span>