Về tính ổn định bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên itô có trễ

Mở đầu

Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thống kü tht hƯ sinh th¸i hay hƯ thèng kinh
tÕ -x· hội... bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất.
Trong thực tế không có quá trình nào lại diễn ra một cách độc lập hoàn
toàn. Các kích động thờng tồn tại và gây nhiễu đến sự phát triển của quá trình làm
cho các quá trình diễn ra không còn đợc bình thờng. Từ đó nẩy sinh khái niệm tính
ổn định của các quá trình dới dạng định nghĩa mô tả sau đây.
Một quá trình bị nhiễu dới tác động của các kích động mà vÃn duy trì đợc sự
phát triển bình thờng nh không có nhiễu đợc gọi là quá trình ổn định.
Một quá trình bị kích động mà phát triển khác xa bình thờng đợc gọi là quá
trình không ổn định.
Trong quá trình tồn tại, phát triển và tiến hoá của các hệ thống sinh học hay
kinh tế xà hội thì vấn đề ổn định của hệ thống đó luôn luôn có ý nghĩa thực tiễn và
lý luận sâu sắc.
Khoá luận này nghiên cứu tính ổn định bình thờng trung bình theo nghĩa
Liapunov của hệ vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ .
Khoá luận gồm 2 chơng.
Chơng I: Trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định của hệ vi
phân tuyến tính theo nghĩa Liapunov.
Chơng II: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của hệ
vi phân ngẫu nhiên ITô tuyến tính có trễ
Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình của PGS -TS. Phan
Đức Thành. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy -Ngời đÃ
dành cho tôi sự hớng dẫn nhiệt tình trong suốt khoá học và nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích của
các thầy: PGS -TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Trần Xuân Sinh, TS. Nguyễn Trung
Hoà cùng các thầy cô ở tổ Điều khiển -khoa Toán-Trờng Đại học Vinh.
1

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đà tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để
tôi hoàn thành tốt khoá luận này.
Ngời thực hiện
Lê Công Phơng

2


Chơng I

Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Đ1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định
Trong quá trình tồn tại, phát triển và tiến hoá của các hệ thống sinh học hay
kinh tế xà hội thì vấn đề ổn định của hệ thống đó luôn luôn có ý nghĩa thực tiễn và
lý luận sâu sắc. Nh chúng ta đà biết hệ phơng trình vi phân là phơng tiện cơ bản để
mô tả hệ thống.
Xét hệ phơng trình vi phân thờng:
%
dY
%
%
= F (t , Y ) + ( t , Y )
dt

(j = 1, 2,..., yn)

(1. 1)

Díi dạng ma trận véc tơ ta có:

(1. 2)
Định nghĩa1.1.1. Nghiệm z = z(t) (a < t < ∞) cđa hƯ (1.2) đợc gọi là ổn định theo
Liapunov khi t ∞ , nÕu ∀ε > 0 vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho :
i) Tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ (1.2) thoả mÃn điều kiện:
||Y(t0) -z(t0)|| <

(1. 3)

xác định trong khoảng t0 < t < tức là Y(t) DY khi t [t0, ).
ii) Đối với nghiệm này bất dẳng thức sau đợc thoả mÃn:
||Y(t) -z(t)|| <

khi to t <

(1. 4)

Trờng hợp đặc biệt, khi F(t, 0) ≡ 0 nghiƯm tÇm thêng z(t) ≡ 0 (0 < t < ) ổn
định nếu > 0 vµ t0 ∈ (a, ∞) ∃ δ = δ(ε, t0) sao cho: ||Y(t0)|| < kéo theo đẳng
thức : ||Y(t)|| < khi t0 < t < .
Định nghĩa 1.1.2. NÕu sè δ > 0 cã thĨ chän kh«ng phụ thuộc trờng hợp ban đầu
t0 G, tức là = () thì ổn định đó gọi là ổn định đều trong miền G.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi là không ổn định theo
Liapunov, nếu > 0, t0 (a, ) nào đó và > 0 tồn tại nghiệm Y (t)và thời
điểm t1 = t1() > t0 sao cho:
3


|| Yδ (t0) -z(t0) || < δ vµ || Yδ (t1) -z(t1) || .
Ngợc lại, nếu z 0 không thoả mÃn định nghĩa 3 thì ta nói nghiệm tầm thờng z 0 không ổn định.
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) đợc gọi là ổn định tiệm cận

khi t nếu:
i) Nó ổn định theo Liapunov và
ii) t0 (a, ), ∃∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mäi nghiÖm Y(t) (t 0 t < ) thoả
mÃn điều kiện || Y(t0) -z(t0) || < sẽ có tính chất:
(1. 5)
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa kh«ng gian Ω = {t0 < t <
∞}x{||Y|| < ∞} nÕu nghiÖm z = z(t) (a < t < ∞) ổn định tiệm cận khi t và tất cả
các nghiệm Y = Y(t) (t0 t < , t0 > a) ®Ịu cã tÝnh chÊt (1. 5) tøc là = thì z(t)
đợc gọi là ổn định tiƯm cËn toµn cơc.
Cïng víi hƯ (1. 2) ta xÐt hệ có nhiễu sau:
(1.6)
Định nghĩa 1.1.6. Nghiệm z = z(t) (0 < t < ) của hệ (1. 2) đợc gọi là ổn định
dới tác động của nhiễu nếu > 0 vµ t0 ∈ (a, ∞), ∃δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho khi
tất cả các nghiệm của hệ (1. 6) thoả mÃn điều kiện sẽ xác định trong khoảng [t0,
) và với t0 t < .

4


Đ2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Xét hƯ vi ph©n tun tÝnh:
(j = 1, 2, …, n)

(2.1)

Díi dạng ma trận véctơ (2. 1) có thể viết:
(2. 2)
trong đó ma trận A(t) và véctơ F(t) liên tục trong khoảng (a, ).
Giả sử X(t) = [Xjk]

(detX(t) 0)

(2. 3)

là ma trận nghiệm cơ bản của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng:
(2. 4)
Định nghĩa 1.2.1. Hệ vi phân tuyến tính (2. 2) đợc gọi là ổn định (hoặc không
ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ tơng ứng ổn định (hoặc không ổn
định) theo Liapunov khi a .
Định nghĩa 1.2.2. Hệ vi phân tuyến tính (2. 2) đợc gọi là ổn định đều nếu tất
cả các nghiệm Y(t) của hệ ổn định ®Ịukhi t → ∞ ®èi víi thêi ®iĨm ban ®Çu khi t0
(a, ).
Định nghĩa 1.2.3. Hệ vi phân tuyến tính (2. 2) đợc gọi là ổn định tiệm cận
nếu tất cả các nghiệm của hệ ổn định tiệm cận khi t .
Định lý 1.2.4. Điều kiện cần và ®đ ®Ĩ hƯ vi ph©n tun tÝnh (2. 2) ỉn định với
số hạng tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tÇm thêng:

(t0 < t < ∞, t0 ∈ (a, ∞)) của hệ

thuần nhất tơng ứng (2. 4) ổn định.
Chứng minh. 1) Điều kiện cần: Giả sử z = z(t) (t0 < t < ) là một nghiệm ổn
định của hệ (2. 2), có nghĩa là > 0 tồn tại δ > 0 sao cho nghiÖm bÊt kú Y =
Y(t) cđa hƯ (2. 2)khi t ∈ (t0, ∞) ta cã:
|| Y(t) -z(t) || < ε

(2. 5)

khi || Y(t0) -z(t0) || <

(2. 6)

Nhng

(2. 7)

là một nghiệm của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (2. 4) và ngợc lại.
Nh vậy, (2. 5) (2. 6) tơng đơng với:
khi t0 t < ∞ nÕu
5


Từ đó suy ra nghiệm tầm thờng của hệ (2. 4) ổn đinh theo Liapunov khi t
.
2) Điều kiện đủ: Giả sử của hệ (2. 4) ổn định theo Liapunov. Khi đó, nếu
(t0 t < ) là một nghiệm bất kỳ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhÊt sao cho:
th× khi t0 ≤ t < ∞
Nh vËy, nếu z(t) là một nghiệm không thuần nhất (2. 2) và Y(t) là nghiệm
bất kỳ của hệ (2. 2) thì tõ || Y(t0) -z(t0) || < δ suy ra:
|| Y(t) -z(t) || < khi t [t0, )
Điều đó có nghĩa là nghiệm z(t) ổn định khi t . (Điều phải chứng minh )
Định lý 1.2.5. Hệ vi phân tuyến tính (2. 2) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm
tầm thờng của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2. 4) ồn định đều khi
t .
Định lý 1.2.6. Hệ vi phân tuyến tính (2. 2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
nghiệm tầm thờng của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2. 4) ổn định
tiệm cận khi t .
Hệ quả 1. Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn
định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định.
Hệ quả 2. Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng
ứng ổn định.

Hệ quả 3. Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2. 2) với số hạng tự
do F(t) bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2. 4)
ổn định.

Đ3 .Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
(3. 1)
trong đó A(t) liên tục trong khoảng (a, ).

6


Định lý 1.3.1. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3. 1) ổn định theo Liapunov
khi và chỉ khi mỗi nghiÖm Y = Y(t) (t 0 ≤ t < ∞) của hệ đó bị chặn trên nửa trục
t (t0, ).
Chứng minh. 1) Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của (3. 1) là giới nội trên
(t0, ) (a, ).
Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hoá X(t) = [Xjk(t)] trong đó X(t0) = E. Vì
ma trận X(t) bao gồm các hàm giới nội Xjk(t) nên nó giới néi, tøc lµ:
|| X(t) ||≤ M víi t ∈ [t0, )
trong đó M là một hằng số dơng.
Mặt khác mỗi nghiƯm Y = Y(t) cđa hƯ (3. 1) ®Ịu cã thể biểu diễn dới dạng:
Y(t) = X(t)Y(t0)
Từ đó ta có ||Y(t)|| ≤ ||X(t)|| ||Y(t0)|| ≤ M||Y(t0)|| < ε khi .
Nh vậy nghiệm tầm thờng Y0 0 và nghiệm bất kỳ của hệ (3. 1) ổn định
theo Liapunov khi t .
Nh vậy (3. 1) là ổn định.
2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (3. 1) có một nghiệm không giới nội trên

[t0,

) z(t), dĩ nhiên ở đây z(t0) 0 với > 0, > 0 cố định.
Xét nghiệm
Dễ thấy
Do tính không giới nội của z(t) đối với thời điểm t1 > t0, ta có:
.
Nh vậy, nghiệm tầm thêng Y0 ≡ 0 cđa hƯ (3. 1) kh«ng ỉn định theo
Liapunov.
Vậy hệ (3. 1) không ổn định.
Hệ quả 1.3.2. Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả
các nghiệm của hệ hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t +.

7


Định lý 1.3.3. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3. 1) ổn định tiệm cận khi và
chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) của hệ dần tới không khi t +, tức là:
(3. 2)
Chứng minh. 1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (3. 1) ổn định tiƯm cËn khi t → +∞.
Suy ra víi z(t) lµ nghiƯm bÊt kú cđa hƯ (3. 1) ta cã:
khi ||z(t0)|| < ∆ trong ®ã t0 ∈ (a, ∞) tuú ý.
XÐt Y(t) t ý víi Y(t0) = Y0 ≠ 0. Gi¶ sử
trong đó
Suy ra Y(t) thoả mÃn (3. 3). Do đó .
2) Điều kiện đủ: Giả sử điều kiện (3. 2) thoả mÃn. Khi đó với nghiệm Y(t)
bất kỳ (t [t0, ∞)) ta cã:
||Y(t)|| < 1 khi T < t < +.
Vì Y(t) bị chẵn trên đoạn [t0, T) nên suy ra hệ (3. 1) ổn định tiệm cận.
Hệ quả 1.3.4. Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận sẽ ổn định toàn cục.

Đ4 ổn định của hệ vi phân tuyến tính
với ma trận hằng
Xét hệ
(4.1)
trong đó A = [ajk] là ma trận hằng (n x n).
Định lý 1.4.1. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4. 1) với [A] n n ổn định khi
x

và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của A đều có phần thực không dơng, tc là Rej(A) 0

và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không

đều có ớc cơ bản đơn.
Định lý 1.4.2. Hệ vi phân tun tÝnh thn nhÊt (4. 1) víi ma trËn h»ng ổn
định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) thoả mÃn:

8


Rej(A) < 0
Chứng minh. 1) Điều kiện đủ: Giả sử 1, , m (m n) là tất cả các nghiệm
đặc trng của A và Rej(A) < 0 . Khi đó nghiệm của (4. 1) có dạng:
(4.2)
trong đó pj(t) là ma trận đa thức. Từ đó Rej < 0 nên ta có: .
Vậy theo định lý 2 Đ3 ta có điều phải chứng minh.
2) Điều kiện cần: Giả sử hệ (4. 1) ổn định tiệm cận. Khi đó hệ này ổn định
theo Liapunov khi t + nên ta có:
Rej 0

(4. 3)

Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trng s = i/us (1 s m)
Sao cho: Reλs = 0. Khi ®ã nghiƯm cđa hƯ (4. 1) có dạng:
trong đó C là véctơ cột khác không. Vì vậy: ||z|| = ||C|| 0
Tức là: z 0 khi t điều này mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận của
hệ (4. 1). Do đó: Rej < 0
Định lý hoàn toàn đợc chứng minh.
Đ5 Tiêu chuẩn Hurwitz.
5.1. Một số khái niệm.
Xét đa thức: f(z) = a0 + a1z + ... + anzn (n ≥ 1)

(5. 1)

Trong đó z = x + iy là số phức và a0, a1, .., an có thể là các hệ số thực hoặc phức.
a) Định nghĩa. Đa thức f(z) bậc n 1 đợc gọi là đa thức Hurwitz nếu tất
cả các nghiệm z1, z2, , zn của nó đều có phần thực âm:
Rezj < 0

(5. 2)

Khi đó (5. 1) đợc gọi là đa thức chuẩn bậc n.
b) Định lý. Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số
của nó đều dơng.
5.2. Tiêu chuẩn Hurwitz.

9


XÐt ®a thøc chuÈn: f(z) = a0 + a1z + … + anzn

(5. 3)

trong ®ã a0 > 0, an ≠ 0.
5.3. Định lý Hurwitz. Điều kiện cần và đủ để đa thức (5. 3) là đa thức
Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trân Hurwitz của nó đều dơng, tức là:
(5. 4)

Đ6 Phơng pháp thứ 2 Liapunov
Phơng pháp thứ 2 của Liapunov là phơng pháp nghiên cứu tính ổn định của
hệ bằng việc đánh giá gián tiếp thông qua hàm số V(t, x) đợc gọi là hàm
Liapunov.
I. Các hàm có dấu xác định.
Xét hàm số V = V(t, X) liên tuc theo t và theo x1, …, xn trong miÒn

z0

= {a < t < ∞, ||X|| < h}.
Định nghĩa1.6.1.1. Hàm thực hiện liên tục V(t, X) đợc gọi là có dấu
không đổi (dơng hoặc âm) trong z0 nÕu:
V(t, X) ≥ 0 (hc V(t, X) ≤ 0) với (t, X) z0
Định nghĩa1.6.1.2. Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm xác định dơng trong z0
nếu tồn tại hµm W(X) ∈ C(||X|| < h) sao cho:
V(t, X) ≥ W(X) > 0 với ||X|| 0

(6. 1)

Ngợc lại, hàm V(t, X) đợc gọi là xác định âm trong z0, nếu tồn tại hàm
C (||X|| < h) sao cho:
V(t, X) = W(X) < 0 víi ||X|| ≠ 0
10

W(X) ∈


Và

V(t, X) = W(0) = 0.

Hàm xác định dơng hoặc âm đợc gọi là hàm có dấu xác định.
Định nghĩa1.6.1.3. Hàm V(t, X) đợc gọi là hàm có giới hạn v« cïng bÐ
bËc cao khi X → 0 nÕu víi t0 > a nào đó ta có trên [t0, ) khi

X → 0, tøc lµ víi

mäi ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho: |V(t, X)| < ε Khi ||X|| < δ vµ t ∈ [t0, ∞).
Chó ý: Nếu hàm V(X) liên tục, không phục thuộc vào thời gian t và

V(0)

= 0 thì V(X) sẽ có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X 0

Đ7 Tính ổn định và ổn định tiệm cận nghiệm
Xét hệ qui đổi:
7.1. Định nghĩa. Hàm số

(7. 1)
(7. 2)

đợc gọi là đạo hµm theo t cđa hµm V(t, X) theo nghÜa cđa hƯ (7. 1).
NÕu X = X(t) lµ mét nghiƯm cđa hệ (7. 1) thì:

7.2. Định lý thứ nhất Liapunov. Nếu đối với hệ qui đổi (7. 1) tồn tại một
hàm xác định dơng
V(t, X) CtX(T0) (T0 T)
Có đạo hàm dấu không dơng V(t, X) theo t trong nghĩa của hệ thì nghiệm tầm thờng X 0 (a < t < ) của hệ đà cho ổn định theo Liapunov khi t +.
7.3. Hệ quả. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
(A(t) C[t0, ))
tồn tại hàm xác định dơng V(t, X) có đạo hàm trong nghĩa của hệ V(t, X) 0 thì tất
cả các nghiệm X(t) của hệ đó đợc xác định và bị chặn trên nửa trục [t0, ).
7.4. Định lý thứ hai Liapunov. Giả sử đối với hệ qui đổi (7. 1) tồn tại
một hàm xác định dơng có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X 0 và có đạo

11


hàm theo t xác định âm V(t, X) trong nghĩa của hệ đó. Khi đó nghiệm tầm thờng
X 0 của hệ ổn định tiệm cận khi t

+.

7.5. Hệ quả. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

tồn tại hàm xác

định dơng V(t, X) thoả mÃn các điều kiện trong định lý 2 thì mọi nghiệm của hệ
đó đều ổn định toàn cục.

12


Chơng II

Tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu
nhiên Itô có trễ
Chơng này trình bày một số điều kiện đủ để nghiệm tầm thờng x = 0 của hệ
phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có trễ ổn định bình phơng trung bình
theo nghĩa Liapunov.
Trớc hết ta cần đến một số kiến thức cơ bản về vi phân Itô đợc xây dựng
theo các qui tr×nh Wiener.

13


Đ1 Vi phân Itô của hàm Liapunov
I. Quá trình Wiener (chuyển động Brown).
. Định nghĩa 2.1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt, t 0) xác định trên không
gian xác suất (, , p) đợc gọi là quá trình Wiener nÕu:
i) W0 = 0.
ii) (Wt) cã gia sè ®éc lËp.
iii) Wt -Ws ∼ N(0, t - s).
Tõ tÝnh chÊt iii) ta suy ra EdWt = 0, E(dWt)2 = dt.
Định lý sau đợc gọi là qui tắc vi phân Itô.
Định lý2.1.1.2. Cho X = X(t) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô:
dx(t) = A(t, xt)dt + B(t, xt)dWt.
Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi
liên tục theo biến x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên y t = g(t, Xt) có vi phân Itô đợc
tính theo công thức:

Xét phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyÕn tÝnh:
dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t)dW(t)

0 ≤ t0 ≤ t ≤ ∞

x(t0) = x0, x ∈ Rn, A ∈ Rn, B Rn xn
Khi đó qui tắc vi phân Itô cđa V = xTx lµ:
dxTx = xTdx + dxTx + (Bx)TBxdt = (x, dx) + (dx, x) + (Bx, Bx)dt
II. Vi phân Itô của hàm Liapunov.
2.1.2.1. Xét hệ vi phân tuyÕn tÝnh dõng.
hay dx = Axdt
trong ®ã A ∈ Rn xn lµ ma trËn h»ng, x ∈ Rn.

14


Ta lấy hàm Liapunov là dạng toàn phơng:
V = xTHx = (x, Hx).
Trong đó: H là ma trận hằng xác định dơng.
Khi đó:
= (x, ATHx) + (x, HAx) = (x, (ATH + HA)x) = xT(ATH + HA)x
2.1.2.2. XÐt hÖ vi phân ngẫu nhiên.
dx = Axdt + BxdW(t) hay dx = [Adt + BdW(t)]x.

(2)

trong đó A, B Rnxn là các ma trËn h»ng.
Ta lÊy hµm Liapunov cđa hƯ (2) lµ dạng toàn phơng V = xTHx.
Theo công thức vi phân It« ta cã:
dV = d(xTHx) = dxTHx + xTHdx + (Bx)THBxdt
= xTH(xATdt + xBT dW) + xT(AHxdt + HBxdW) + (Bx)THBxdt
= xT(ATH + HA + BTHB)xdt + xT(BTH + HB)xdW.
Tõ ®ã suy ra: EdV = xT(ATH + HA + BTHB)xdt.
2.1.2.3. Xét hệ sai phân ngẫu nhiên.

x(k + 1) = [A + Bξ(k)]x(k).
trong ®ã ξ(k) = W(k + 1) -W(k).
∆V = V(W(k + 1)) -V(W(k)) = xT(k + 1)Hx(k + 1) -xT(k)Hx(k)
= xT(k)[ATHA -H + (BTHA + ATHB)ξ(k) + BTHBξ2(k)]x(k).
Chó ý r»ng Eξ(k) = 0, Eξ2(k) = 1
Tõ ®ã suy ra: EV = xT(k)(ATHA -H + BTHB)x(k).

Đ2 Tính ổn định của hƯ vi ph©n cã trƠ

15


I. Xét hệ phơng trình vi phân có trễ sau ®©y.
(2. 1)
trong ®ã: 0 ≤ t0 < t, x(θ) = x0 ≠ 0 víi θ = t0, x(θ) = 0, t0 - τ ≤ θ < t0.
τ = Const ≥ 0, t0 -τ ≤ θ ≤ t0, t0 lµ thêi điểm gốc.
Định nghĩa 2.2.1.1. Nghiệm x = 0 của hệ (2. 1) ổn định theo Liapunov nếu à
> 0 bé t ý, ∃δ > 0 sao cho tõ ®iỊu kiƯn: ||x0|| < suy ra ||x(t, t0, x0)|| < à.
Ngợc lại nếu không tồn tại thì ta nói x = 0 không ổn định.
Định nghĩa 2.2.1.2. Nghiệm x = 0 của hệ (2. 1) ổn định tiệm cận theo
Liapunov nếu nó ổn định theo Định nghĩa 1 và thoả mÃn:
.
. Định nghĩa 2.2.1.3. Nghiệm x = 0 của hệ (2. 1) ổn định mũ theo Liapunov với
số mũ > 0 nếu nó ổn định tiệm cận và thoả m·n:
||x(t, t0, x0)|| < k||x0||

(2.2)

trong ®ã k > 0, β > 0 là các hằng số không phụ thuộc t0, x0.
Định nghĩa2.2.1.4. Nghiệm x(t, t0, x0) của hệ (2. 1) bị chẵn tuyệt đối nếu C

> 0 sao cho

||x0|| < δ ⇒ ||x(t, t0, x0)|| < C.

II. Mét sè kÕt quả đà biết.
Gọi i(A)

là các giá trị riêng của ma trận A, E là ma trận đơn vị, O2n x 2n là

ma trận không cỡ 2nx2n.
Định nghĩa 2.2.2.1. Ma trận A đợc gọi là ổn định mũ nếu:
( = Const > 0)
Số đợc gọi là chỉ số ổn định mị cđa hƯ (2. 1) hay cđa ma trËn A.
MƯnh đề 2.2.2.2. (Liapunov). Nếu ma trận A ổn định thì tồn tại ma trận xác
định dơng đối xứng duy nhất H0 là nghiệm của phơng trình ma trận.
ATH0 + H0A = - G.

(2.3)

trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng, chọn tuỳ ý.

16


. MƯnh ®Ị 2.2.2.3. (Kalman - Bestram). Ma trËn A ổn định mũ khi và chỉ
khi tồn tại nghiệm xác định dơng H đối xứng của phơng trình ma trận:
(A + βE)TH + H(A + βE) = - G

(2. 4)

trong đó G > 0, đối xứng tuỳ ý chọn.
Định lý 2.2.2.4. (Liapunov - Krasovski). Mn nghiƯm x = 0 cđa phơng
trình vi phân có trễ (2. 1) ổn định tiệm cận điều kiện đủ là tồn tại phiếm hàm
toàn phơng xác định dơng Liapunov -Krasovski V(x(t)) sao cho đạo hàm toàn
phần lấy theo nghiệm của hệ .
Vì hệ (2. 1) tuyến tính và Ôtô nôm nên phiếm hàm V(x(t), ) τ ≤ θ ≤ 0 cã d¹ng:
V(x(t, θ)) = xT(t)H0x(t) +

(2. 5)

Trong đó: H0 là ma trận xác định dơng, đối xứng cha biết sẽ xác định và > 0 sÏ
t×m sau.
Ta cã: = [Ax(t) + A1x(t -τ)]TH0x(t) + xT(t)H0[Ax(t) + A1x(t -)]
+ [xT(t)H0x(t) -xT(t -)H0x(t -)]
=

(2. 6)

(2. 7)

Đạo hàm toàn phần (2. 7) trên các nghiệm x(t) có giá trị âm chỉ trong trờng hợp khi dạng toàn phơng ở vế phải trong (2. 7)xác định âm.
Hay ATH0 + H0A + γH0 < 0 vµ

≤ O2n x 2n

(2. 8)

17

Mặt khác ATH0 + H0A + H0 < 0 khi và chỉ khi H0 là nghiệm của phơng
trình ma trận ATH0 + H0A + γH0 = - G hc cđa phơng trình tơng đơng:
(2. 9)
trong đó: G là ma trận xác định dơng đối xứng cỡ n xn.
2.2.2.5. Định lý (tiêu chuẩn ổn định tuyệt đối). Nghiệm tầm thờng

x=0

của hệ (2. 1) ổn định tiệm cận theo Liapunov (với mọi 0) khi và chỉ khi thoả
mÃn 2 điều kiện sau:
i) Ma trận A ổn định mũ (với chỉ số mũ > 0 nào đó) và ma trận A + A 1
Hurwitz.
ii) Xảy ra bất đẳng thức ma trận:

02n 2n.
x

Trong đó: H0 là nghiệm xác định dơng của phơng trình (2. 9).
G ma trận xác định dơng ®èi xøng tuú ý chän.
G = GT > 0, γ > 0, 0 < γ < 2β,

γ → 2β.

18


Đ3 Tính ổn định bình phơng trung bình của hệ

vi

phân ngẫu nhiên Itô có trễ.
I. Xét hệ phơng trình vi phân Itô có trễ dạng.
dx(t) = [Ax(t) + A1x(t -)]dt + [B()x(t) + B1()x(t -)]dW(t)

(3. 1)

Với điều kiện ban đầu:
t0 ≤ t, x(θ) = x ≠ 0 víi θ = t
x(θ) = 0

víi t0 -τ ≤ θ < t0, t0 - t0

trong đó x, x là các véctơ n -chiều của các biến pha của các hệ không nhiễu và các
hệ có nhiễu tơng ứng với các giá trị ban đầu của chúng trùng nhau

x(t 0) = x

(t0) B(0) = B1(0) = 0.
Vì W(t) là quá trình Wiener vô hớng chuẩn nên ta có:
EdW(t) = 0, E(dW(t))2 = dt.
Đối với hệ tiên định, chuẩn của véctơ n -chiỊu x = (x 1, …, xn)T cã thĨ lÊy,
ch¼ng hạn:

Trong đó H là ma trận toàn phơng xác định dơng đợc gọi là ma trận trọng lợng.
Định nghĩa2.3.1.1. Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (1) đợc gọi là ổn định
bình phơng trung bình tuyệt đối nếu à > 0 tuú ý bÐ ∃δ > 0 sao cho tõ ||x0|| < δ.
Suy ra:

E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < } < à 0.

. Định nghĩa 2.3.1.2. NghiƯm tÇm thêng (xξ = 0) cđa hƯ (3. 1) đợc gọi là ổn
định bình phơng trung bình tuyệt đối nếu nó ổn định theo Định nghĩa 1 và:
19


§Þnh nghÜa 2.3.1.3. NghiƯm xξ (t, t0, x0) cđa hƯ (3. 1) bị chẵn bình phơng trung
bình tuyệt đối nếu ∃C > 0 sao cho tõ ||x0|| < δ suy ra:
E{||xξ (t, t0, x0) ||2/ ||x0|| < δ} < C 0.
II. Các điều kiện ổn định tiệm cận tuyệt đối.
Xét tính ổn định nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
có trễ dạng Côsi:
dx(t) = [Axξ(t) + A1xξ(t -τ)]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]dW(t)

(3. 3)

V× hệ trên tuyến tính dừng nên phiếm hàm Liapunov -Krosovski thiết lập
điều kiện cần và đủ của tính ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung bình đợc
tìm trong các phiếm hàm toàn phơng dạng:
(3. 4)
Trong đó: H là ma trận đối xứng xác định dơng cỡ n x n.
áp dụng công thức Itô ta có:

={[Ax(t) + A1(x(t -))T]dt + [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)(xξ(t -τ))T]dW(t)
+ (xξ(t))TH{[A xξ(t) + A1xξ(t -τ)]dt + B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]dW(t)}
+ [B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]TH[B(ξ)xξ(t) + B1(ξ)xξ(t -τ)]Tdt

20


+ γ(xξ(t))TH xξ(t)dt + γ(xξ(t -τ))TH xξ(t -τ)dt

Tõ ®ã ta cã kú väng:
= [Ax(t) + A1x(t -τ)]THx(t) + (x(t))TH[Ax(t) +
+ A1x(t) + γ(x(t))T -γ(x(t -τ)THx(t -τ)) +
+ [B(ξ)x(t) + B1(ξ)x(t -)]TH[B()x(t) + B1()x(t -)].

(3. 5)

Phơng trình (3. 5) tơng đơng với:

Từ đó < 0 khi và chỉ khi ATH + HA + γH + BTHB < 0
Vµ ma trËn sau thoả mÃn điều kiện:
O2n

x 2n

Mặt khác ma trận ATH + HA + γH + BTHB = - G

(3. 6)

Trong đó G là ma trận xác định dơng lấy tuỳ ý, đối xứng cỡ n x n.
Phơng trình (3. 6) có thể viết đợc:
(3.7)
Khi B = On x n thì phơng trình (3. 7) có nghiệm H > On x n khi và chỉ A là ổn
định mũ với chỉ sè mị β > 0 b»ng c¸ch.
Cho γ ∈ (0, 2β) sao cho γ → 2β. Tõ ®ã ta nhËn đợc định lý sau:
Định lý (tiêu chuẩn ổn định tiệm cận tuyệt đối, bình phơng
trung bình). Nghiệm tầm thờng (x = 0) của hệ (3. 1) ổn định tiệm cận theo

21

Liapunov bình phơng trung bình với > 0 khi và chỉ khi thoả mÃn các điều
kiện:
i) Ma trận A ổn định mũ (với chỉ số > 0) và ma trận A + A1 Hurwitz.
ii) Tồn tại nghiệm xác định dơng H của phơng trình ma trận:

trong đó G là ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý chän;

γ > 0, γ = Const, γ ∈ (0, 2β)
iii) Xẩy ra bất đẳng thức ma trận:

O2n

x 2n

22


Kết luận

Khoá luận đà thu đợc các kết quả sau đây.
1. Các vấn đề khoá luận đà trình bày.
Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định theo Liapunov: ổn định, ổn đinh
tiệm cận, ổn định đều...
Mối quan hệ giữa tính ổn định (ổn định tiệm cận và ổn định đều) của hệ vi
phân tuyến tính có số hạng tự do F(t) bất kỳ với tính ổn định (ổn định tiệm cận và
ổn định đều) của nghiệm tầm thờng của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng.
Tính ổn định (ổn định tiệm cận) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất và của
hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với ma trận hằng.
Phơng pháp thứ hai của Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân

tuyến tính.
Các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ của hệ vi phân có trễ
và giới thiệu một số kết quả đà biết của Liapunov, Liapumov Krasovski, ... để
tìm điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân có trễ..
2. Những đóng góp của khoá luận.
Nghiên cứu tính ổn định bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên
ITô có trễ.
Chứng minh đợc tiêu chuẩn ổn định tiệm cận tuyệt đối bình phơng trung
bình của nghiệm tầm thờng đói với hệ vi phân ngẫu nhiên ITô có trễ.

23


Tài liệu tham khảo

1. Hasminski R.Z. Stochastic Stability of Differenitial Equatios. Sijthoff
and Noordhoff. Alphen (1980).
2. Korenevskij. D.G. Coffcient criteria and Suffcient Couditions tor
anyniptotic dtability Stocchactic difereutial equantios. Soviet Math.
Dokl. Vol 34 (1987) N.2.
3. Korenev D.G. Stability criteria solutions of sytems of linear
Deterministic of Stochactic Delay Differenke E quatios with continnous.
Time Math. Notes Vol 70 N. 2 (2001).
4. NguyÔn Duy TiÕn. Các mô hình xác xuất và ứng dụng. Phần III. Giải
tích ngẫu nhiên. NXB ĐHQG Hanoi 2001.

24