Về tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên i tô

Chơng I
Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
1.1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định.
Các hÖ thèng kinh tÕ x· héi, hÖ thèng kü thuËt hay hệ thống sinh học bao giờ
cũng hoạt động ở trạng thái ổn định. Vì vậy ổn định là một trong những khái
niệm quan trọng để phân tích hệ thống.
Xét hệ phơng trình vi phân thờng:
dYi
dt

=fi (t, y1, y2, ., yn), (f=1, 2,.,n),

(1.1)

Trong đó t là biến độc lập (thời gian); y1,.yn là các hàm cần tìm, fi là các hàm
xác định trong một bán trụ.
T = I t+ x Dy ,

I t+ = to < t < +∞ .

Vµ DY miền mở thuộc Rn. ở đây to là một số hoặc ký hiệu - .
Ta xét hệ phơng trình vi phân dới dạng ma trận Véctơ:
dY
dt

= f (t, Y).

(1.2)

Trong đó t là biến độc lập (thời gian).

y

Y= .
 
 y n 

= (y1, …., yn)T lµ các hàm cần tìm

F (t, Y) = [f 1 (t, Y), ….., f n (t, Y) ]T
dY
dt

=(

dY1
dt

, ....,

dYn
dt

)T

Víi T lµ phÐp chun vÞ.
1


Để thỏa mÃn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệmcũng nh có thể kéo dài
nghiệm về bên phải, từ nay ta giả thiết rằng hàm véctơ F (t, Y) trong miền T liên

tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến y1, , yn liên tục.
Định nghià 1: (Về sự ổn định).
Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) cđa hƯ (1.2) đợc gọi là ổn định theo Liapunov
khi t (hay ngắn gọn là ổn định), nếu với mọi > o và to (a, ) tồn tại =
(, to) > o sao cho:
1)

Tất cả các nghiƯm Y = Y(t) cđa hƯ (1.2) (bao gåm c¶ nghiệm Z(t)) thỏa
mÃn điều kiện:
(to) Z(to) <

(1.3)

xác đinh trong khoảng to < t < , tức là:
Y(t) DY khi t [to, ).
2)

Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau đợc thỏa mÃn:
Y(t) Z(t)ǁ < ε

khi to ≤ t < ∞

(1.4)

Nãi c¸ch kh¸c, nghiệm Z(t) ổn định nếu các nghiệm Y(t) khá gần với nó ở
thời điểm ban đầu to bất kỳ sẽ nằm hoàn toàn trong ống nhỏ tùy ý đợc dựng
quanh nghiệm Z(t) (Hình 1)

y

t0

t
Hình 1

Từ các bất đẳng thức (1.3) và (1.4) về ý nghĩa ta luôn có thể chän δ < ε.

2


Trờng hợp đặc biệt, khi F (t, 0) 0 (còn gọi là trạng thái cân bằng)

Z(t)0

(a < t < ) ổn đinh nếu với mọi > 0 và t0 (a, ∞) tån t¹i δ = δ (ε, t0) sao
cho bất đẳng thức:
(Y(to) < .
Kéo theo bất đẳng thức: ǁ Y(t)ǁ < ε khi t0 < t < ∞
§inh nghĩa 2 ( về ổn định dều)
Nếu số > 0 có thể phải chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban dầu t 0 G,
tức là = () thì ổn định đợc gọi là ổn định đều trong miền G.
Định nghĩa 3 (về không ổn định )
Nghiệm Z =Z(t) ,

(a < t < ) đợc gọi không ổn định theo Liapunov nếu với

mọi > 0, t0 (a, ) nào đó mà với mọi > 0 tồn tại nghiệm Y (t) (ít nhất là
một) và tìm điểm t1 = t1() > t0 sao cho:
Y (to) – Z(to)ǁ < δ vµ ǁ Yδ (to) – Z(to)
Tơng tự, nghiệm tầm thờng Z 0 không ổn định (hình 1.2) nếu với > 0,

t0(a, ) nào đó mà với mọi > 0 tồn tại nghiệm Y(t) và thời điểm t1 > t0 sao
cho:
Y (to)ǁ < δ vµ ǁ Yδ (t)ǁ ≥ ε
y

Yδ (t)

0 t0

t1

t

Định nghĩa 4 (ổn định tiệm cận)
Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t +, nếu:
1)

Nó ổn định theo Liapunov vµ

3


2)

Víi mäi t0 ε(a, ∞) tån t¹i ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mäi nghiÖm Y(t)

(t0 ≤ t < ∞) tháa m·n ®iỊu kiƯn ǁ Y(to) – Z(to)ǁ < ∆ sÏ cã tÝnh chÊt:
Lim ǁ Y(t) – Z(t)ǁ = 0 (1.5)
t
Nh vậy, ổn định tiệm cận là ổn định có tải, tức là ổn định có kèm thêm điều

kiện. Đặc biệt, nghiệm tầm thờng Z(t) 0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
Lim Y(t) = 0 khi Y(to) <
t
Hình cầu Y < (t0) với t0 cố định là miền hút của trạng thái cân bằng 0.
Định nghĩa 5 (về ổn định tiệm cận toàn cực)
Giả sử hệ (1.1) xác định trong nửa không gian: Ω = to < t < +∞  x ǁ Y ǁ
<∞  nÕu nghiÖm Z = Z(t) (a < t < ) ổn định tiệm cận khi t và tất cả các
nghiệm Y = Y(t) (to t < ∞, t0 >a) ta ®Ịu cã tÝnh chÊt (1.5), tức là = , thì Z(t)
đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cực. Nói cách khác, ở đây miền hút tại thời điểm
ban đầu t0 bất kỳ là toàn bộ không gian Rn ( = ).
Cùng với hƯ (1.2) ta xÐt hƯ cã nhiƠu:
dY
dt

= F(t, ü ) + (t, ỹ ) (1.6)

Trong đó: (t, ỹ) là một hàm véctơ trong miền T, liên tục theo t và có các
đạo hàm riêng cấp một theo y1, . ,yn liên tục.
Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 6: (về ổn định dới tác động của nhiễu)
Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ) của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định dới sự tác động của
nhiễu (t, ỹ ) nÕu víi mäi ε > 0 vµ t0ε(a, ∞) tån t¹i δ = δ (ε, t0) > 0 sao cho
khi (t, ỹ ) < tất cả các nghiệm ü(t) cđa hƯ (1.6) tháa m·n ®iỊu kiƯn: ǁ ü
(t0)ǁ < sẽ xác đinh trong khoảng [to, )

4


vµ ǁ ü (t) – Z(t)ǁ < ε víi to < t <
1.2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

1.2.1. Các khái niệm cơ bản:
Xét hệ vi phân tuyến tính dạng véctơ:
dY
dt

= A(t)Y + F(t).

Trong đó ma trận A(t) và F(t) liên tục trong khoảng (a, ), ở đay a có thể là một
số hoặc -
Giả sử X(t) = [ xjk(t) ] (det x (t) ≠ 0) (2.2)
Là ma trận nghiệm cơ bản (tức là hệ nghiệm cơ bản đợc viết dới dạng (mxn)ma trận ) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng.
dY
dt

= A(t). ü .

(2.3)

tøc lµ ma trËn gåm n nghiƯm tun tÝnh cña (2.3)
X1(t) = [x11(t), … , xn1(t) ]T
……………

Xn(t) = [x1n(t), … , xnn(t) ]T
DƠ dµng kiĨm tra r»ng ma trËn X(t) thỏa mÃn phơng trình ma trận;
X(t) = A(t) . X(t)

(2.4)

Nh đà biết, nếu X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (2.3) thì mỗi nghiệm
của nó có thể đợc viết đới dạng:

ỹ(t) = X(t). C
Trong đó C = [C1, … , Cn ]T - lµ ma trËn h»ng số nào đó
Giả sử nghiệm ỹ = ỹ (t) thỏa mÃn điều kiện ban đầu ỹ(t0) = ỹ0. thay t = t0
vào (2.5) ta có:
ỹ(t0) = X(t0).C, từ đó suy ra : C = X-1(t0) .ü(t0)
Nh vËy: ü(t) = X(t). X-1(t0) .ü(t0)
5


Nếu đặt ma trận cauchy
K(t, t0) = X(t). X-1(t0) thì ta có;
ỹ(t) = K (t, t0) .ỹ(t0)
Đặc biệt, nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa khi t = t 0 tức là X(t0)=
E, trong đó E là ma trận đơn vị thì (2.6) có dạng: ỹ(t) = X(t) .ỹ(t0)
1.2.2. Các định nghĩa chính về sự ổn định cđa hƯ vi ph©n tun tÝnh.
XÐt hƯ vi ph©n tun tính (2.1) và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng
(2.3)
Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn
định). Nếu tất cả các nghiệm Y= Y(t) của nó tơng ứng ổn định hoặc không ổn
định theo Liapunov khi t .
Ta sẽ thấy rằng các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời ổn định
hoặc đồng thời không ổn định . Đối với các hệ vi phân phi tuyến tính thì khác,
một số nghiệm có thể ổn định còn một số nghiệm khác có thể lại không ổn định.
Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định đều nếu tất cả các
nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t + đối với thời điểm ban đầu t0 (a,
).
Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả
các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t
1.2.3. Các định lý tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính.
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định với số hạng

tự do bất kỳ F(t) là nghiệm tầm thờng
ỹ0 0 (t0 < t < ∞, t0 ε(a, ∞))
cđa hƯ thn nhất tơng ứng (2.3) ổn định
Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiƯm tÇm thêng ü0 ≡ 0 cđa hƯ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3) ổn định ®Òu khi
t→ ∞.
6


1.2.4. Các hệ quả
Hệ quả 1: Tính ổn định của nghiệm tầm thờng ỹ0 0 của hệ vi phân tuyến tính
thuần nhất (2.3) đợc suy ra từ từ tính ổn định của ít nhất một nghiệm của hệ (2.1)
với số hạng tự do F(t) nào đó (có thể F(t) = 0).
Hệ quả2:Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn định và
không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định.
Hệ quả 3: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân thuần nhất tơng ứng ổn định .
Hệ quả 4: Điều kiện cần và ®đ ®Ĩ hƯ vi ph©n tun tÝnh (2.1) víi sè hạng tự do
F(t)bất kỳ ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (2.3) ổn
định.
1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:
dY
dt

= A(t, Y)

(3.1)

Trong đó A liên tục trong khỏang (a, ). Định lý sẽ cho ta thấy rằng tính ổn
định của hệ (3.1) tơng đơng với tính giới nội của tất cả các nghiệm của nó.
Định lý 1: Hệ vi phân tuyến tính thuàn nhất (3.1) ổn định theo Liapunov khi và

chỉ khi mỗi nghiệm Y= Y(t), ((to t < ) của hệ đủ bị chặn trên nửa trục to t <

Hệ quả: Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì tất cả các
nghiệm của nó hoặc giới nội hoặc không giới nội khi t
Chú ý: §èi víi hƯ vi ph©n phi tun tÝnh tõ tÝnh giới nội của các nghiệm của nó
nói chung không suy ra tính ổn định của chúng.

7


Định lý 2: Hệ vi phân tuyến tính thuàn nhất (3.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
tất cả các nghiệm Y= Y(t) của nó dần tới không khi t → +∞, tøc lµ: lim Y (t ) = 0
t +
Hệ quả: Hệ vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận sẽ ổn định toàn cục.
Chú ý: Đối với hệ vi phân phi tuyến tính điều kiện tất cả các nghiệm dần tới
không nói chung không phải là điều kiện đủ để cho nghiệm tầm thờng của nó ổn
định tiệm cận.
1.4. ổn định của hệ vi phân tuyến tính víi ma trËn h»ng.
XÐt hƯ:
dY
dt

= AY (4.1)

Trong ®ã A = [ajk ] là ma trận hằng (n x n)
Định lý 1: Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định khi
và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của A đều có phần thực không
dơng, tức là:
Re j(A) 0

(j = 1, 2, .,n).

Và các nghiệm đặc trng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn.
Chú ý: Hệ thuần nhất tuyến tính với ma trận bằng A ổn định thì sẽ ổn định đều
đối với thời điểm ban đầu t0 (-, +).
Định lý 2: Nếu hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định
tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j(A) của A đều có phần
thực âm, tức là:
Re j(A) < 0 (j = 1,n)
1.5. ổn định theo xấp xỉ thứ nhất
Trong mục này ta nghiên cứu tính ổn định của một số hệ phơng trình vi phân
phi tuyến tính. Ta sẽ đa ra 2 định lý nhằm nghiên cứu một số hệ dạng đặc biệt.
Giả sử ta có hệ phơng trình vi phân:
dxi
dt

= fi (t, x1, x2, .…..,xn) (i = 1, n)

(5.1)

8


Trong đó fi là hàm khả vi trong lân cận gốc tọa độ, fi (t, 0, ...,0) 0.
Ta nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng x i ≡ 0, (i = 1, n) cđa hƯ (5.1).
Ta biĨu diễn hệ (5.1) trong lân cận gốc tọa độ dới d¹ng:
dxi
dt

n

=

∑a
j =1

ij

(t) xj + Ri (t, x1, x2, ….. xn)

Trong ®ã Ri cã bËc cao h¬n1 so víi

(i= 1, n) (5.2)
n

∑ x , tøc lµ vỊ thùc chÊt ta khai triển
i =1

2
i

các vế phải của (5.1) theo công thức Taylo theo x = (x1, x2, .. xn) tại lân cận gốc
tọa độ. Thay vì điểm cân bằng của hệ (5.1) ta nghiên cú tính ổn định cũng của
điểm cân bằng ®ã ®èi víi hƯ tun tÝnh:
dxi
dt

n

=

∑a
j =1

¹i

(t) xj (i = 1, n)

(5.3)

mà ta gọi là hệ phơng trình xấp xỉ thứ nhất đối với hệ ( 5.1).
Để đơn giản ta chỉ giới hạn trờng hợp khi các hệ số aij(t) trong (5.3) là hằng
số.
Định lý 1: Nếu:
1) Hệ (5.2) a dừng theo xấp xỉ thứ nhất.
2) Tất cả các số hạng Ri bị chặn theo t và khai triển đợc thành chuỗi lũy thừa

đối với x1, x2, .. xn trong một miền

n

x H và tất cả các khai triển
i =1

2
i

đều bắt đàu từ các số hạng không thấp hơn hai:
3) Tất cả nghiệm của phơng trình đặc trng:
a11

a12 ..a1n

a21

a22 -k..a2n

=0

(5.4)

.
An1

an2 ..ann-k

đều có phần thực âm;

9


thì nghiệm tầm thờng xi 0 (i = 1, n) của hệ (5.2) và hệ (5.3) là ổn định tiệm
cận, tức là trong trờng hợp này có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ
nhất.
Định lý 2: Nếu:
1) Hệ phơng trình (5.2) a dừng theo xấp xỉ thứ nhất;
2) Tát cả các hàm Ri thỏa mÃn điều kiện của định lý 1;

3) Có ít nhất một nghiệm của phơng trình đặc trng (5.4) có phần thực dơng;
Thì điểm c©n b»ng xi≡ 0 (i = 1, n) cđa hƯ (5.2) và (5.3) là không ổn định,

tức là trong trờng hợp này có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất.
Qua hai định lý trên ta thấy rằng, nếu các phần thực của tất cả các nghiệm đặc
trng (5.4) không dơng và phần thực của ít nhất một nghiệm bằng không thì việc
nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất nó chung là không thể đợc (vì trờng
hợp này còn có sự tác động của các số hạng phi tuyến Ri)
Ví dụ 1: Xét tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất của điểm cân b»ng x= 0, y = 0 cđa
hƯ:
x = - sinx + 3y + x3
1
4

y=

x 2y +

1
6

y3

(5.5)

Giải:
Trớc hết ta tìm hệ phơng trình xấp xỉ thứ nhất đối với (5.5) theo công thức:
1 3
x
3!

Sinx = x -

+ 0 (x3)

Thay vào (5.5) ta cã:

x= -x y=

1
4

x3
3!

+ 3y + x3

x– 2y +

1
6

y3

(5.6)

C¸c số hạng phi tuyến của (5.6) thỏa mÃn điều kiện của định lý 1 và 2. Ta có hệ
xấp xỉ thứ nhất đối với (5.5) là:

10


X= -x + 3y

Y=

1
4

x 2y

(5.7)

Phơng trình đặc trng là:

1

1
4

3
2− λ

=0

3
4

=0

⇔ (1+ λ) (2 + λ) 3
4

⇔ λ2 + 3λ +2 -

= 0 ⇒ λ12 =

−3 ± 2
2

<0

Nh vËy, theo định lý 1 điểm cân bằng (0, 0) của (5.5) và (5.7) ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2: Xét tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất của điểm cân bằng x = 0, y = 0 đối
với hệ:
X = 2 ex + 5y -2 + x4
Y= x + 6 cosy 6 y2

(5.8)

Giải:
Trớc hết tìm phơng trình xấp xỉ thứ nhất đói với (5.8) theo công thức Taylo:
ex = 1 + x + 0 (x)
cosy = 1 -

y2
2

+ 0 (y2)

Thay vµo (5.8) ta cã:
X = 2 (1+x) + 5y – 2 + x4 = 2x + 5y + x4
Y= x + 6 (1 -

y2
2

) – 6 – y2 = x + 0y 4y4

(5.9)

Các số hạng phi tuyến của (5.9) thỏa mÃn điều kiện của định lý 1 và 2. Ta có hệ
xấp xỉ thứ nhất đối với (5.8) là:
X= 2x + 5y
Y = x + 0y
Phơng trình đặc trng là:
11


2−
λ

5
0−λ

1

=0

⇔ λ (λ - 2) – 5 = 0
⇔ λ2 – 2λ -5 = 0 ⇒ λ12 = 1 ±

6

Theo định lý 2 hệ không ổn định.
1.6. Phơng pháp Liapunov
Phơng pháp dùng hàm Liapunov có vai trò khá quan trọng khi nghiên cứu bài
toán ổn định. Nhờ phơng pháp này ta không phải nghiên cứu trực tiếp nghiệm
riêng của phơng trình vi phân mà có thể nghiên cứu một cách gián tiếp thông qua
hàm số đợc gọi là hàm Liapunov.
1.6.1. Hệ quy đổi.
Giả sử cho một hệ vi phân phi tuyÕn thùc
dy
dt

= F (t, Y)

Trong ®ã:

dy
dt

(1.1)

=(

dy1
dt

,

dy 2
dt

,

dy 3
dt

)T

F(t, Y) = ( f1(t, y1,…., yn), f2(t, y1,…., yn), …., fn(t, y1,…., yn))T.
Thỏa mÃn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm Y(t) = (y 1(t), y2(t),…., yn(t)) cđa
(1.1) víi ®iỊu kiƯn ban đầu thuộc: = { a < t < < ∞, (y1,…., yn) ∈ R }
(a lµ mét sè hoặc , k là một tập hợp mở trong không gian Rn) ta sẽ chỉ giói hạn
xét các nghiệm thực cđa (1.1)
Gi¶ sư Z = Z(t) (t ≤ t < ∞, t0 > a) lµ nghiƯm cđa hƯ (1.1) mµ ta phải xét tính ổn
định của nó.
Và Y(t) là một nghiệm bất kỳ của (1.1).
Đặt X= Y Z(t)
ta có:

dx
dt

= F(t, X + Z(t))

12


dY
dt
dz
dt

⇒

dY
dt

=F (t, Y)
= F(t, Z)

-

dz
dt

=

d (Y − Z )
dt

= F (t, X+Z) – F (t, Z)

dx

⇒ dt = F (t, X + Z) – F (t, Z) = G (t, X)

(1.3)

cho X = 0, G(t, 0) = 0 ⇒ X ≡ 0 lµ nghiƯm cđa (1.3)
Nh vËy, hƯ (1.3) cã nghiệm tầm thờng X 0. Nghiệm này trong không gian R
tơng ứng với nghiệm Z = Z(t) đà cho. Hệ (1.3) đợc gọi là hệ quy đổi

n
y

(Liapunov gọi đólà hệ phơng trình chuyển động có nhiễu).
Nh vậy, việc nghiên cứu tính ổn định của một nghiệm Z = Z(t) trong kh«ng
gian R n (kh«ng gian n chiỊu cđa biÕn Y) có thể đa về nghiên cứu tính ổn định
y
của nghiệm tầm thờng (vị trí cân bằng) X 0 trong kh«ng gian R n (kh«ng gian
x
n chiỊu biÕn x)
1.6.2. Các hàm có dấu xác định:
Xét hàm số V = V(t, x)
Liên tục theo t và theo x1,.., xn trong miỊn Z0, trong ®ã:
Z0 = { a < t < < ∞, ║X ║ < H }
Ta sÏ ®a ra các định nghĩa cơ bản về các hàm có dấu xác định và có dấu không
đổi.
Định nghĩa 1: Hàm liên tục V (t, x) đợc gọi là có dấu không đổi (dấu âm hoặc
dấu dơng) trong Z0 nếu:
V(t, X) 0 ( hc V(t, X) ≤ 0)
Víi (t, X) ∈ Z0
Định nghĩa 2: Hàm V(t, X)đợc gọi là xác định dơng (xác định âm) trong Z0 nếu
tồn tại hàm (x) ∈ C (║X ║ < h) sao cho:
V(t, X) ≥ ω (x) > 0 víi ║X ║≠ 0
13


(V(t, x) < ω(x) < 0) vµ V(t, X) = (0) = 0.
Hàm xác đinh dơng hoặc xác định âm đợc gọi là hàm có dấu xác định. Đôi khi có
(x) = inf V(t, x)

thể lấy:

Định nghĩa 3: Hàm V(t, x) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cïng bÐ bËc cao khi X
→ 0 nÕu víi t0 > a nào đó ta có V(t, X) 0 trên [t0, ) khi X 0, tức là với mäi
ε > 0 tån t¹i δ = δ (ε) > 0 sao cho V(t, x) < ε khi ║X ║< và t [t0, ).
1.6.3. Các định lý ổn định của Liapunov
Trớc khi đa ra các kết quả cơ bản của phơng pháp th 2 Liapunov, ta đa ra một
định nghĩa quan trọng, đó là định nghĩa đạo hàm trong nghĩa của hệ.
Giả sử G(t, x) liên tục theo t và có các đọa hàm riêng liên tục theo x 1, x2, ….,
xntrong miÒn T (T= a < t < ∞, ǁ x ǁ < H ) vµ

dx
dt

= G (t, X) (2.1)

Là một hệ vi phân quy đổi, tức là G(t, O) = 0 và từ đó rõ ràng là hệ (2.1) có
nghiệm tầm thờng X 0
Giả sử V = v(t, X) khả vi liên tục theo các biến t, x 1, x2,….,xn trong T0 = a < t <
∞, ǁ x ǁ ≤ h < H  ⊂ T) vµ G(t, x) = [G1, (t, x1,…..,xn),……., Gn(t, x1,…., xn)]
Định nghĩa: Hàm số
.

V (t, X) =


V

t

n

+

V

x . Gj (t, x)
j=
1

(2.2)

j

đợc gọi là đạo hàm (toànphần) theo t của hàm V(t, x) trong nghÜa cđa hƯ (2.1).
nÕu X =X(t) lµ một nghiệm của hệ (2.1) thì V(t, x) chính là đạo hàm theo t của
hàm hợp V(t, X(t)), tức là:
V(t,x) =

d
dt

V(t, X(t).

Định lý thứ nhất Liapunov:

14

Nếu đối với hệ quy đổi (2.1) tồn tại một đạo hàm và xác định dơng V(t, x) có
đạo hàm có dấu không dơng V(t, ) theo t trong nghĩa của hệ thì nghiệm tàm thờng X 0 (a < t < ) của hệ đà cho ổn định theo Liapunov khi t +.
Hệ quả: Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
dx
dt

=A(t) X

tồn tại hàm xác định riêng V(t, X) có đạo hàm trong nghĩa của hệ V(t,X) 0 thì
tất cả các nghiệm X(t) của hệ đó xấc định và bị chặn trên nửa trục [t0, ).
Ví dụ: Xét tính ổn định của nghiệm tầm thêng cđa hƯ:
dx
dt

= -y – x3

dY
dt

= x – y3

Gi¶i: Chän hµm V(t, x, y) = x2 + y2 > 0, V(0,0) = 0.
Đạo hàm của hàm này theo t trong nghÜa cđa hƯ lµ:
dV
dt

=

∂
V

∂
x

= 2x .

.

dx
dt

dx
dt

+

∂
V
∂
y

+ 2y.

.

dY
dt

= - 2 (x4 + y4) < 0

dy

dt

= 2x (-y – x3) + 2y(x- y3)
((x, y) 0)

Ta thấy rằng tất cả các điều kiện của định lý đợc thỏa mÃn. Vì vậy, nghiệm tầm
thờng x =0, y = 0 của hệ đà cho là ổn định.
Chú ý: Trong định lý thứ nhất Liapunov có thể thay thế tính xác định dơng của
hàm V(t, x) bằng tinh xác định âm, nhng khi đó đòi hỏi V(t, Z) phải là hàm dấu
không âm.
Định lý thứ hai của Liapunov.
Giả sử đối với hệ quy đổi (2.1) tồn tại một hàm xác định dơng V(t, x) có giới hạn
vô cùng bé bậc cao khi x 0 và có đạo hàm theo t xác định âm trong nghĩa của
hệ. Khi đó, nghiệm tầm thờng x 0 của hệ ổn định tiệm cận khi t +
Hệ quả: Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhÊt
15


dx
dt

= A(t) x

tồn tại hàm xác định dơng V(t, x) thỏa mÃn các điều kiện trong định lý thứ hai
của Liapunov thì mọi nghiệm của nó đều ổn định toàn cục.
Chú ý: Trong định lý trên ta có thể thay điều kiện xác định dơng của hàm V9t, x)
bằng điều kiện xác định âm, nhng khi đó phải có điều kiện xác định dơng đối với
V(t, x).
Ví dụ:

16


Chơng II
Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của
hệ vi phân ngẫu nhiên ITÔ
2.1. Vi phân ITÔ của hàm Liapunov.
Trớc khi nghiên cứu tính ổn định ( theo nghĩa này hay nghĩa khác) của phơng
trình vi phân ngẫu nhiên ta cần đếm một số kiến thức về vi phân ITÔ đợc xây
dựng theo quá trình wiener.
2.1.1. Quá trình wiener (chuyển động Brown)
Định nghĩa: Quá trình w = (wt, t 0) xác định trên không gian xác suất ( e, f, R )
đợc gọi là quá trình wiener nếu:
i)

W0 = 0.

ii)

Wt là quá trình có gia số độc lập, tøc lµ víi mäi t1 < t2 < t3 < t4 các biến
ngẫu nhiên Wt4 - Wt3 và Wt2 - Wt1 là độc lập.
Biến ngẫu nhiên Wt Ws ( 0 ≤ s < t) cã ph©n phèi chn víi trung

iii)

bình 0 và phơng sai t s, tức là:
E (Wt – Ws) = 0

hay

E (Wt – Ws)2 =t - s hay

Ed W(t) = 0
E(d W(t))2 = dt

Víi hÇu hÕt các quỹ đạo của Wt() là hàm liên tục. Quá trình này

iv)

xem nh mô hình hóa của di động hỗn loạn của hạt trong môi trờng chất lỏng,
chất khí.
Cho (Wt) là quá trình wiener 1 chiều
X = (Xt) t 0 là một quá trình ngẫu nhiên đo đợc bất kỳ lấy giá trị trong (R,
B(R) )
Ta giả thiết rằng quá trình ngẫu nhiên này có vi phân ngẫu nhiªn:
dXt = A(t, Xt)dt + B(t, Xt)dwt, ta cã quy tắc vi phân Itô sau đây:
17


cho X = (Xt) là một quá trình ngÃu nhiên có vi phân Itô
giả sử y = g(t, xt) có vi phân Itô tính theo công thức sau:
dYt =


g

t

dt +

g

x


g

x

=


g

t

dt +

=

∂
g
∂
t

dt + (A ∂ +
x

. (A

dXt +

∂
g
∂
x

∂
g

1
2

1 ∂2 g
2 ∂x 2

B2 dt

+ Bx(t) dw(t)) +
B2

∂2 g
∂x 2

1 ∂2 g
2 ∂x 2

B2 dt

∂

g

) dt + B ∂ dw(t)
x

VÝ dô: g(t, x) = x2.
∂
g
∂
t

Ta cã

= 0,

∂
g
∂
x

= 2x,

∂2 g
∂x 2

=2

VËy, theo quy t¾c vi phân Itô ta có:
dXt2 = 2 Xtdt Xt+ B2 dt
Ta xét phơng trình vi phân ngẫu nhiên:

dx(t) = Ax(t) dt + Bx(t)dw(t) 0 ≤ t < ∞
x(t0) = x0, x Rn, A Rn, B Rnxn
khi đó quy tắc vi phân Itô của V = xTx là:
dxTx = xTdx + dxTx + (Bx)T (Bx) dt
2.1.2. Vi phân Itô của hàm Liapunov.
a) Xét hệ vi phân tuyến tính dừng:

dx
dt

= Ax hay dx = Ax dt (1)

trong ®ã A ∈ Rnxn là ma trận hằng, x Rn.
ta xây dựng hàm Liapunov cđa hƯ (1) díi d¹ng:
n

V = x Hx. =
T

∑x h

i, j =
1

i

ij

x j = (x, Hx)

(*)

Trong đó H (hịj) là ma trận xác định dơng, đối xứng

18


x=

 x1 
 
 xn 

, xT = (x1, ….., xn)

Khi n =1, x =

 x1 
 
 x2 

xT H= (x1, x2)

a



b


,H=

a



b


b

c


b
 = (a x1 + bx2, b x1 + ax2)
c


XT Hx = (a x1 + bx2, b x1 + ax2)

 x1 
 
 xn 

= (a x1 + bx2) x1 + (b x1 + ax2)x2

Hx =

a




b


b

c


 x1 
 
 x2 

=

 ax1 + bx2 
 
 bx1 + cx2 

(x, Hx) = x1 (a x1 + bx2) + x2 (b x1 + ax2)x2
⇒ (x, Hx) = xt Hx
t¬ng tù ta cã (*) ®óng víi mäi n
Ta cã:

dv
dt

=(

dx
dt

, Hx) + (x, H.

dx
dt

)

= (Ax, Hx) + (x, Hax)
19


= (x, ATHx) + (x, Hax)
= (x, (ATH + HA) x) = xT. (ATH + HA) x.
b) XÐt hÖ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính:
dx = Axdt + Bxdw(t)

(2)

hay dx = (Adt + bdW(t) x
Trong dã A vµ B ∈ Rnxn là các ma trận hằng.
Ta xây dựng hàm Liapunov có dạng toàn phơng:
V = xTHx
Theo công thức vi phân It« ta cã:
dV = d(xTHx) = dxT. Hx + xTHdx + (Bx)T. H B x dt.
= xH (xT AT dt + xTBT dw)
+ xT (H A x dt + H B x dw) + BTH B dt

= xT (ATH + HA + BT H B) x dt + xT (BT H + HB) x dw
Do W là quá trình winer nên E dw = 0.
Từ đó suy ra :
E dV = xT (AT H + H A + BT H B) x dt
c) Xét hệ vi phân tuyến tính không giải ra đợc đối với đạo hàm
dx

D dt = Ax hay D dx = Ax dt
trong ®ã A, D ∈ Rnxn là ma trận hằng, X Rn.
Ta xây dựng hàm Liapunov của hệ (2) dới dạng.
V = xT DT H Dx = (Dx, HDx) = (x, DT H Dx)
Trong đó, H là ma trận hằng, xác định dơng, đối xøng.
Khi ®ã ta cã:
dV
dt

= (D

dx
dt

, H Dx) + (Dx, H D

dx
dt

)

= (Ax, H Dx) + (Dx, H Ax)
= (x, AT H Dx) + (x, DT H Ax)

= (x, (AT H D + DT H A)x )
= xT (AT H A + DT H A)x
20


d) Xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính không đa đợc về dạng cauchy.
D

dx
dt

= Ax(t) dt + Bx(t) dw(t)

, ( x(t0) = I) (4)

Trong ®ã A, D ∈ Rnxn là các ma trận hằng, x Rn
Ta xây dựng hàm Liapunov của hệ (4) dới dạng:
V = xT DT H D C
Trong đó H là ma trận hằng, xác định dơng, đối xứng.
Khi đó:
dV
dt

dx

= (D dt , H Dx) + (Dx, H D

dx
dt

)

= (Ax + Bx dw, H Dx) + (D, H(Ax + Bx dw(t) + (Bx, Bx)
= (Ax, H Dx) + (Bx dw(t), H Dx) + (Dx, H Ax) + ( Dx H Bx dw(t))
= (x, AT H D) + (x, DT H A) + (x, BT H Dx dw(t)) + (x, DT H Bx dw(t))
= ( x, (AT H D + DT H A)x) + (x, (H D + DT H B)x dw(t).
= xT (AT H D + DT H A)x + xT (BTH D + DT H B) x dw(t)
Do w(t) là quá trình winer nên E dw(t) = 0.
Tõ ®ã ta cã:
E dV = xT (AT H D + DT H A) x
2.2. TÝnh æn định mũ bình phơng trung bình của hệ phơng trình vi phân
ngẫu nhiên Itô
2.2.1. Tính ổn định mũ của hệ phơng trình vi phân tất định.
Xét hệ phơng trình vi ph©n tuyÕn tÝnh:
(1)

dy
dt

= Ay(t)

0 ≤ t0 < t < ∞, y(t0) =

, y ∈ Rn.

A ∈ Rnxn lµ ma trËn hằng.
Định nghĩa 2.2.1:Nghiệm tầm thờng (trạng thái cân bằng) y = 0 của hệ (1) đợc
gọi là ổn định mũ víi sè mị β nÕu tån t¹i N > 0 và > 0 độc lập với t0 và y0 sao
cho mäi t > t0 vµ y0 ∈ Rn ta cã:
║y(t, t0, y0) ║ ≤ N. e- β(t – t0). ║ y0║

®óng víi mäi nghiƯm y(t, t0, y0) cđa hƯ ®ã.
21


Kalman và Bertram đà chứng minh đợc rằng: nghiệm y = 0 của hệ (1) là ổn định
tiệm cận với số mũ - ( > 0).
Điều đó có nghĩa là: hệ (1) ổn định tiệm cận theo định nghĩa Lia punov với số mũ
- .
Định nghĩa 2.2.2:
Ma trận A đợc gọi là ổn định mũ nếu phần thực các giá trị riêng của A bé hơn , tức là:
Max Re λi (A) < - β.
XÐt hƯ vi ph©n tun tính dừng;
dx
dt

= AX

, X(t0) =I (ma trận đơn vị)

Trong đó: A ∈ Rnxn lµ ma trËn h»ng.
Víi n = 1 ta cã:
dx
dt

⇔

= ax (a = const).
dx
dt

⇔ln

x
x0

x

= a Ht ⇔

dx
∫x
x0

t

∫adt

=

t0

t

=

∫adt = (t –t0)

t0

⇔ x = eA (t – to)

T¬ng tù,t a có nghiệm của hệ phơng trình trên có dạng ma trËn:
X(t) = eA (t – to)
Nhê phÐp ®ỉi biÕn X = TY, trong đó T ma trận hằng, không suy biÕn.
Ta cã:
⇒

dy
dt

dx
dt

=T

dy
dt

= Ax = A Ty

= (T -1 A T) Y, Y(t0) = T -1

Theo đại số tuyến tính, ta cã thÓ chän T sao cho:
T –1 A T =

0 
λ
 1


 λ2



0

λ
n

= diag (λ1,…, λn)



22


Tõ ®ã ⇒ A = T diag (λ1,…, λn). T-1
Trong đó ( 1, ., n) là các giá trị riêng cña ma trËn A.
⇒ X = eA (t – to) = T diag (eλ1 (t – to), ……, eλn (t – to)) . T-1
= T.

1
e λ ( t −t0 )

0


0
e

λn ( t −t 0 )

 -1
 T



Tõ ®ã, ta nhËn thÊy:
X(t) → 0 khi t→ ∞ khi vµ chØ khi Re i(A) < 0

(j =1, n).

Vậy ta có:
Định lý 2.2.1 : điều kiện cần và đủ đẻ nghiệm của phơng trình

dx
dt

= Ax x(t0)

= x0 , A ma trận hằng.
( không phụ thuộc vào x0) dần tới 0 khi t , là phần thực của các nghiệm đặc
trng của ma trân A có giá trị âm.
Hay nói cách khác điều kiện cần và đủ để nghiệm tầm thờng Y= 0 của phơng
trình thuần nhất ổn định tiệm cận là ma trận A Hurnit ( hay A ổn định )
Ta trở lại phơng trình:
dx
dt

= Ax

x(t0) = x0

và lấy hàm Liapunov là dạng toàn phơng.
V = (x, Hx)
Trong đó, H là ma trận hằng, xác định dơng, đối xứng sẽ xác định sau.
Khi ®ã:

dV
dt

= (x, (AT H + H A) x)

Ta chän H sao cho:
AT H + H A = - I
Khi ®ã:

dV
dt

= (x1 – x) = - (x, x)

Gäi λi (i = 1, n) là các nghiệm đặc trng của ma trận H.
Theo kết quả của đại số tuyến tính ta cã:
λmin (x, x) < ( x, Hx) < λmax (x, x).
Tõ ®ã:
23


dV
dt

= - (x, x) ≤ - λmin (x, Hx) = - λmin.. V

⇒ V(x) ≤ V(o) . e- λ min t
V(x) 0 (t )
Do H xác định dơng nên các thành phần của mọi tiến tới 0 khi t → ∞ ⇒ x(t) → 0
(t → ∞)
⇒ A ổn định .
Bây giờ ta thiết lập điều kiện cần và đủ để ma trận A ổn định.
Bổ đề 2.1. Nếu A ổn định thì phơng trình ma trận Sylvester AT H + H A = - G
Cã nghiÖm là:


H = e

AT t

.G.e At dt

0

Định lý 2.2.2: Cho phơng trình :

dx
dt

= Ax

giả sử H là nghiệm của phơng trình ma trËn:
AT H + H A = - I ( T ma trận đơn vị)
Khi đó, điều kiện cần và đủ để ma trận A ổn định là ma trận H xác định dơng.

Chứng minh: .Điều kiện cần: Giả sử A ổn định ta cần chứng minh X xác định dơng.
Thật vây, áp dụng bổ đề trên ta có:
Phơng trình:

AT H + H A = - I

Có nghiệm là:


H= ∫e

AT t

.I .e At dt

0

∞

⇒(x, Hx) = ∫( x, e

AT t

.I .e At )dt

0

∞

= ∫(e

0

A t

x, e A t x )dt

>0

Từ đó suy ra H xác định dơng.
Thật vậy, lấy hàm Liapunov làm dạng toàn phơng
V(x) = (x, Hx)
Ta có:
24


d
dt

V(x) = ( x, (AT H + H A)x ) = - (x, x).
t

t

0

0

⇒ ∫ ( x, x)dt = - ∫dV ( x) = - V(x)

t

∫ = V(x0) – V(xt)
0

t

⇒ V(xt) +

∫ ( x, x)dt

= V(x0)

0

t

Hay ( x(t), Hx(t)) + ∫ ( x, x)dt = (x(o), Hx(o)) (*)
0

Chó ý r»ng nếu A ổn định thì:


( x, x) = (x(o), Hx(o)).
0

Từ (*) cho t→ ∞ , ta cã: ( x(t), Hx(t) ) 0
Do H xác định dơng nên x(t) 0 khi t
Hay ma trân A ổn định.
Tơng tự nh định lý trên ta có:
Định lý 2.2.3 (Liapunov ).

Nếu ma trận A ổn định thì tồn tại ma trận xác định dơng, đối xứng duy nhất H0 là
nghiệm của phơng trình ma trận Liapunov
AT H0 + H0 A = - G
Trong đó, G là ma trận xác định dơng, đối xứng, chọn tùy ý.
2..2.2. Tính ổn định mũ bình phơng trung bình của hệ vi phân ngẫu nhiên đa đợc về dạng cauchy.
Xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tÝnh:
dx(t) = Ax(t) dt + Bx(t) dw(t),

x(t0) = x0

(2)

Trong ®ã x Rn ; A, B Rnxn là các ma trận hằng.
Định nghĩa 2.2..3.
Nghiệm tầm thờng của hệ (2)đợc gọi là ổn định mũ bình phơng trung bình với sè
mị β > 0 nÕu tån t¹i N > 0 vµ β > 0 sao cho mä t > t0 vµ x ∈ Rn ta cã:
E ║ x (t, t0, x0)║2  < N. e- β (t – to). ║x0 .
Định lý 2.2.4.
25