Tai lieu on tap Toan 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.73 MB, 57 trang )

(1)TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax  by  c , a  0 ( D)  a ' x  b ' y  c ', a ' 0 ( D ') Cho hệ phương trình:  a b   Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.  (D) cắt (D’)  a ' b ' a b c    Hệ phương trình vô nghiệm.  (D) // (D’)  a ' b ' c ' a b c    Hệ phương trình có vô số nghiệm.  (D)  (D’)  a ' b ' c ' II. BÀI TẬP VẬN DỤNG x  y  m  2 x  my  0 Bài tập 1: Cho hệ phương trình  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vô nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 4. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1. HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2. 1 1 m a b c     m 0. 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: a ' b ' c '  2. 1 1  2   m  1  m 0    2. m  2  m  0  m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm. m2 2m 3. Hệ (1) có nghiệm: x = m  2 ; y = m  2 . m2 2m 4. Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1  m  2 + m  2 = 1  m2 + m – 2 = 0   m 1(thoûa ÑK coùnghieäm)  m  2(khoâng thoûa ÑK coùnghieäm) . .. Vậy khi m = 1, hệ( 1 có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1. x  y  k  2  2 x  4 y 9  k Bài tập 2: Cho hệ phương trình  (1) 1. Giải hệ (1) khi k = 1. 2. Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7. 3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(2) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. HD:. 1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1. 2. Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 . 5k  1 5  3k 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 2 ; y = 2 .. x  y  3  2 x  my 1. Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vô nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2. 3m 1 5 3. Hệ (1) có nghiệm: x = m  2 ; y = m  2 .. mx  2 y  1  2x  3 y  1 Bài tập 4: Cho hệ phương trình  1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .. . (1). . HD:. 3 4.. 1 2 2 và y = 3 .. 2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 1 5  1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = 13 ; y = 13 . 1 2 2   2a) Hệ (1) có nghiệm x = 2 và y = 3 khi m = 3 . 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2. 1 m2 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 3m  4 ; y = 3m  4 .. x  y  4  2x  3 y m Bài tập 5 : Cho hệ phương trình  1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.. (1). x  0  y  0. HD:. 2. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa . 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9. 2. Tìm:  Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 . x  0 12  m  0 m  12    y  0  m  8  0  m  8    Theo đề bài: m < 8. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(3) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. 2 x  y 3m  1  3 x  2 y  2m  3. Bài tập 6: Cho hệ phương trình 1. Giải hệ phương trình khi m = – 1.. HD:. x  1  y  6 2. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa  . 1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4. 2. Tìm:  Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m . x  1 m   1   y  6  m   3    Theo đề bài: –3< m < –1..  2mx  y  5  Bài tập 7: Cho hệ phương trình :  mx  3 y 1. (1). 1. Giải hệ (1) khi m = 1. 2. Xác định giá trị của m để hệ (1): a) Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m. b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2. HD:. 1. Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1.. 2a) Khi m  0, hệ (1) có nghiệm: 2b) m =. . 2   x  m   y 1 . .. 2 3.. mx  2 y  m  Bài tập 8 : Cho hệ phương trình :  2 x  y  m  1 ( m là tham số) (I). a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.. b) Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đó theo m. 2 1 a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = 3 ; y = 3 .. HD:. b) . Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m 4. x.  Khi đó hệ(I) có nghiệm duy nhất:. 3m  2 m 2  3m y m 4 ; m 4. CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a  0) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a 0): NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(4) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Hàm số y = ax2(a 0) có những tính chất sau:  Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.  Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. ◦ Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0):  Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.  Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị. ◦ Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0):  Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).  Dựa và bảng giá trị  vẽ (P). 2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b:  Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau  đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.  Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu  > 0  pt có 2 nghiệm phân biệt  (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. + Nếu  = 0  pt có nghiệm kép  (D) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu  < 0  pt vô nghiệm  (D) và (P) không giao nhau. 3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (Dm) theo tham số m:  Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau  đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.  Lập  (hoặc  ' ) của pt hoành độ giao điểm.  Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi  > 0  giải bất pt  tìm m. + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm  = 0  giải pt  tìm m. + (Dm) và (P) không giao nhau khi  < 0  giải bất pt  tìm m. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG 2 x Bài tập 1: Cho hai hàm số y = 2 có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm). 1. Với m = 4, vẽ (P) và (D 4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1. b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8). 3 2a). m = 2 . 1  m  2. 2b)  ' = 1 + 2m > 0 1 1  2c) m = 2  tọa độ tiếp điểm (-1 ; 2 ). Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm). 1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: 1  a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 . NĂM HỌC : 2014 - 2015. 4.

(5) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 1 1 ; 2 ;) và (1 ; – 2). HD: 1. Tọa độ giao điểm: ( 2 2a). m = – 2. 9 2b) m < 8 . 9 3 9 ; 8 ). 2c) m = 8  tọa độ tiếp điểm ( 4 2 Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x có đồ thị (P). 1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc.. 2  ; 7 2. Gọi A( 3 ) và B(2; 1). a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P). 3. Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6. HD: 2a). Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5. 5 25   2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( 2 ; 2 ). 3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 6. 2. 2. Mặt khác: M(xM; yM)  (P)  yM = – 2 xM nên: xM + yM = – 6  xM + (– 2 xM ) = – 6  x1  2  y1  8    x2  3  y2  9 2  2 2 .  – 2 xM + x M + 6 = 0 3 9  ; Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2( 2 2 ). 3 1  Bài tập 4: Cho hàm số y = 2 x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + 2 có đồ thị (D). 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó bằng – 4. 1 1 3   HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( 3 ; 6 ) và (1 ; 2 ). 3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 4.. Mặt khác: M(xM; yM)  (P)  yM =. . 3 3  x2 2 x 2 M nên: xM + yM = – 4  xM +( 2 M ) = – 4 4 8  x1   y1    3 3 3   x2  x2  2  y2  6 .  2 M + xM + 4 = 0. 4 8 ; Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1( 3 3 ) và M2(2; – 6). . NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(6) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 2 5 2 Bài tập 5: Cho hàm số y = 3 x có đồ thị (P) và y = x + 3 có đồ thị (D). 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).  x A xB  11 y 8 yB 3. Gọi A là điểm  (P) và B là điểm  (D) sao cho  A . Xác định tọa độ của A và B. 2 5 25  1; ; 3 ) và ( 2 6 ). HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( 3. Đặt xA = xB = t. 2 2 2 x  A(xA; yA)  (P)  yA = 3 A = 3 t2. 5 5  B(xB; yB)  (D)  yB = xB + 3 = t + 3. . .  t1  2  2 5 22 2 40  t2  10 t  8 t   0 11 .   3 Theo đề bài: 11 y A  8 yB  11. 3 t2 = 8.( t + 3 )  3 8 8  x  2  y   A ( 2 ; ) A A  3 3    x 2  y 11  B( 2; 11) B  B 3 3 . Với t = 2. 10 200 10 200   x A  11  y A 363  A(  11 ; 363 )   10  x  10  y  25  B(  10 ; 25 )  B  B 11 33 11 33 .  Với t = 11 Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B. 2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2. a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho. b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d). 5 1   HD: 1. Phương trình đường thẳng AB: y = 3 x 3 . 1 1   2. Tọa độ giao điểm: (1; –2) và ( 6 ; 18 ). Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy. 1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k. a) Viết phương trình đường thẳng (D). b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1. HD: 2a).  Phương trình đường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b.  (D) có hệ số góc k  (D): y = kx + b.  (D) đi qua A(–2; –1)  –1 = k.( –2) + b  b = 2k – 1.  Phương trình đường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1. 2b)  Điểm B(xB; yB)  (P)  B(1; – 2). NĂM HỌC : 2014 - 2015. 6.

(7) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1  (D) đi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1  k = 3 . Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D). 1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B. 3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất. HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1). 2. Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4) 3.  I(xI, yI)  Oy  I(0: yI).  IA + IB nhỏ nhất khi ba điểm I, A, B thẳng hàng. . 3 34  Phương trình đường thẳng AB: y = 7 x + 7 . 3 34 34 34  I(xI, yI)  đường thẳng AB nên: yI = 7 .0 + 7 = 7  I(0; 7 ) Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D). a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số. b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 1. Xác định tọa độ của A và B. c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất. HD: a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1). b) Tọa độ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1). c)  yA = 1 > 0, yB = – 1 < 0  A, B nằm khác phía đối với trục Ox do đó MA + MB nhỏ nhất khi M, A, B thẳng hàng  M là giao điểm của AB với truc Ox.  Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b. Đường thẳng AB đi qua hai điểm A, B 1  a  2  1 3a  b 1 1 b  1   1  a  b 2  Đường thẳng AB: y = 2 x – 2 .     1 1  y  x  y  0 2 2    y  0 x  1 .   Tọa độ M là nghiệm của hệ pt:  Vậy: M(1; 0). Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2. 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B. 2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm). 3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông. HD: 1. Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4). 2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có: NĂM HỌC : 2014 - 2015. 7.

(8) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ.     . 1 1 1  OHA vuông tại H  SOHA = 2 OH.OA = 2 .1. 1 = 2 (cm2). 1 1  OKB vuông tại K  SOKB = 2 OK.KB = 2 .2. 4 = 4 (cm2). Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox  yI = 0  xI = 2  I(2; 0). 1 1  IKB vuông tại K  SIKB = 2 BK.KI = 2 .4. 4 = 8 (cm2). 1 SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = 8 – ( 2 + 4) = 3,5 (cm2).. 3.    . Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’). (D’) đi qua A(1; 1)  a = 1  (D’): y = x. (D) có a = – 1 và (D’) có a’ = 1  a. a’ = – 1  (D)  (D’) OA  AB   OAB vuông tại A. --------------------------------------------------------------------------------------------. CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) ¨Daïng toång quaùt ax2 + bx + c = 0.  b 2  4ac. 0 Voâ nghieäm. ¨Daïng thu goïn:.  0. 0 x1,2=. x =x2= -. b =2b’( b chaün) ax2 +2b’x + c = 0 (a 0). ' b' 2  ac.  ' 0.  ' 0 NĂM HỌC : 2014 - 2015. '  0 8.

(9) x1=x2= -. x,2=. TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Chuù yù: Neáu ac < 0 thì phöông trình luoân luoân coù hai nghieäm soá. b) Nhẩm nghiệm:  x1 1   x2  c a  a + b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:   x1  1   x2  c a. * a – b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:  2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng: b  S  x  x  1 2  a   P x x c 1 2 a a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì ta có:  . u  v  S   b) Định lý đảo: Nếu u.v P  u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P  0). * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 2 2  Tổng bình phương các nghiệm: x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P..  . 1 1 x x S   1 2  x1 x2 P. Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 1 1 x12  x22 S2  2P    2 2 2 x x ( x x ) P2 . 1 2 1 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:. 2 2 Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 = S2 – 4P. 3 3 3  Tổng lập phương các nghiệm: x1  x2  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1  2 2 2 3 3 x  x x x2 . 1 2 1 a) . b) c) ( x1  x2 ) d) x1  x2. . Giải: b  S x1  x2  a 12   P  x x  c  35 1 2 a Phương trình có  ' = 1 > 0  pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):  . 2 2 2 a) x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 9.

(10) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 1 x x S 12   1 2  x1 x2 P = 35 . b) x1 x2 2 2 2 c) ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 S -4P = 122 – 4.35 = 4. 3 3 3 d) x1  x2  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468. 3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải:  Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (  '  0 ;  0 hoặc a.c < 0). b  S x1  x2  a   P  x x c 1 2 a  Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình  .  Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P  Đó là hệ thức độc lập với tham số. Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải: 1. Phương trình (1) có  = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2  0,  m. Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 2. b  2m  1  S x1  x2  a  2  2S  2m 1 P x x  c  m  1  1 2 a 2  2 P  m  1  Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):  2S  2m 1    4 P  2m  2  2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm. 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó: * Phương pháp giải: u  v S   Nếu 2 số u và v c ó: u.v P  u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*).. . Giải pt (*):. u x1 u x2   v x2 v x1 + Nếu  ' > 0 (hoặc  > 0)  pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy  hoặc  . b' b'   + Nếu  ' = 0 (hoặc  = 0)  pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = a . Vậy u = v = a . + Nếu  ' < 0 (hoặc  < 0)  pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài. Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28. Giải: Theo đề bài  u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0  x2 – 11x + 28 = 0(*) NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(11) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ  x1 7  3   x2 4 .. Phương trình (*) có  = 9 > 0  u  7 u  4   v  4  Vậy: hay v  7 Ví dụ 2: Cho hai số a = Giải:  . 3 +1 và b = 3 –. 3 . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b.. a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4. a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 .. Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0  x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây là pt cần tìm. 5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải:  Lập biệt thức  ' (hoặc  ).  Biến đổi  ' đưa về dạng :  ' = (A  B)2 + c > 0,  m (với c là một số dương)  Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m. 6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải:  Lập biệt thức  ' (hoặc  ).  Biến đổi  ' đưa về dạng :  ' = (A  B)2  0,  m.  Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m. 7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải:  Lập biệt thức  ' (hoặc  ).  Biện luận: + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:  ' > 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. + Phương trình có nghiệm kép khi  ' = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận. + Phương trình vô nghiệm khi  ' < 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. + Phương trình có nghiệm khi  '  0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. 8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: * Phương pháp giải:  Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A  B)2 + c  P = (A  B)2 + c  c.  Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A  B = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận. 9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức: * Phương pháp giải:  Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A  B)2  Q = c – (A  B)2  c Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A  B = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x – (m – 3)x – 2m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 2. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(12) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0   x1  1  c 4  x2    4  a 1 Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4. 2.  = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, m . 3. Hệ thức: 2S + P = – 6  2(x1 + x2) + x1x2 = – 6. Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = 3. 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 không phụ thuộc vào m.  x1 1  c 3  x2   3 a 1 HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0   . Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 1, x2 = 3. 2.  = (m – 1)2 0, m . 3. m  1   ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0  |m – 1| > 0   m  1 .  Hệ thức: S – P = 1  x1 + x2 – x1x2 = 1. Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với m. 1  HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = 2 . 2.  = (2m – 3)2 0, m . 3. 3  m  2  m  3 2 2 .  ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3) > 0  |2m – 3| > 0    Hệ thức: 2S + 4P = 1  2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1. Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 5. 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 độc lập với m. 4. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. HD: 1. Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7. 2.  = (m – 2)2 0, m . 3. m  2   ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > 0  |m – 2| > 0   m  2 . NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(13) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. . Hệ thức: S – P = 1  x1 + x2 – x1x2 = 1.. . 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  ' > 0  1 – 2m > 0  m < 2 .. 3 4. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(2m – 3) < 0  m < 2 Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1). 1. Tìm m để: a) Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt. b) Pt (1) có một nghiệm là – 2. 2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0. HD: 1a.  Phương trình (1) có  ' = 1 – 2m..  m1 0  m  4 1b. Pt (1) có một nghiệm là – 2 khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = 0  m2 + 4m = 0   2 . Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) có một nghiệm là – 2. S x1  x2 2m  2  2 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):  P  x1 x2  m Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4 = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm). Bài tập 6 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –2. 2. CMR: m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = –2  x1 =  1  7 ; x2 =  1  7 . 2. 1  19  m    2 4 > 0, m . 2.  ' = m2 + m + 5 =  S x1  x2 2m  2  P  x1 x2  m  4 3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): . Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10. Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m. Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 3. Gọi x , x là hai nghiệm của (1). Tính A = x1  x2 theo m. 1. 2. 4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. 4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(14) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. HD:. 2 2 5. Tìm m để x1  x2 = 10. 1. Khi m = –1  x1 =  1  10 ; x2 =  1  10 . 2.  = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, m .. 7  3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(2m – 7) < 0 m< 2.  4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5. 2 2 5. x1  x2 = 10  m2 – 6m + 5 = 0  m = 1 hoặc m = 5.. Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 2. Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11. HD: 1. Khi m = –1  x1 = 1 ; x2 = –3 . 2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  = –4m > 0  m < 0. . 1 4.. 2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(4m + 1) < 0  m < 2 2 2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11  x1  x2 = 11  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 11 9   2 – 8m = 11  m = 8 . Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1). a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó. b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m. HD: a) m  3  a. Phương trình (1) có nghiệm kép   ' = 0  m2 – 9 = 0   m  3 . m  3 b'   m  3 b. Khi  pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = a = m + 1. c. Khi m = 3  x1 = x2 = 4. d. Khi m = – 3  x1 = x2 = – 2 .. b)  . m  3  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi  ' > 0  m2 – 9 > 0   m  3 . Hệ thức: S – P = – 8  x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8. ---------------------------------------------------------------------------------------CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bước giải: 1. Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):  Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;  Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(15) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ.  Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng 2. Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được. 3. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài. II. BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG Bài tập1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. HD:  Gọi x là chữ số hàng chục (x  N, 0 < x  9).  Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y  N, x  9)  Số cần tìm có dạng xy = 10x + y.  Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1)  Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: xyx =100x +10y + x = 101x +10y  Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682  91x + 9y = 682 (2). x  y  2  91x  9 y  682  Từ (1) và (2) ta có hệ pt:   x 7  y 5  Giải hệ pt ta được  (thỏa ĐK)  số cần tìm là 75. Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó. HD:  Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y  N)  x  y 59  x  y  59   2 x  7 3 y  2 x  3 y  7   Theo đề bài ta có hệ pt:  x 34  y  25  Giải hệ ta được:  (thỏa ĐK)  hai số cần tìm là 34 và 25. Bài tập 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho. HD:  Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x  N, 0 < x  9)  Chữ số hàng đơn vị: 10 – x  Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10  Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)  Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12  x2 – 2 = 0  Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)  Vậy số cần tìm là 28. Bài tập 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m 2. Tính các kích thước của hình chữ nhật. HD: 280  Nửa chu vi hình chữ nhật: 2 = 140 (m). NĂM HỌC : 2014 - 2015 1.

(16) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140). Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m). Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2). Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)  Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình: (x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144  5x = 430  x = 86 (thỏa ĐK)  Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m). Bài tập 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m 2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu. HD:  Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.  Diện tích khu vườn: 6 000 m2. Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nó. HD: 160  Nửa chu vi hình chữ nhật: 2 = 80 (m).  Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).  Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).  Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2).  Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500  x2 – 80x + 1500 = 0  Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).  Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m. Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường. HD:  Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)  Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340  x + y = 170 (1).  Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).  x  y 170  3 x  4 y  20  Từ (1) và (2) ta có hệ pt:   x 100  y  70  Giải hệ pt ta được  (thỏa ĐK). Bài tập 8: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm 2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác. HD:  Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5). 5 x  4 y  200  x  y  45  Theo đề bài ta có hệ pt:   x  20  y  25  Giải hệ pt ta được  (thỏa ĐK)..    . NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(17) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ.  Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm. Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm 2. Tìm độ dài các cạnh góc vuông. HD:  Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).  Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1). 1  Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: 2 xy = 6  xy = 12 (2)..  x 2  y 2  25 ( x  y ) 2  2 xy  25   x . y  12   x . y  12   Từ (1) và (2) ta có hệ pt: ( x  y ) 2  49 x  y  7     x . y  12   x . y  12 ( vì x, y > 0)  x 3  x 4   y 4 y 3   Giải hệ pt ta được hoặc  (thỏa ĐK).  Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm. Bài tập 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không 3 có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 4 bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể? HD:  Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4). 1  Trong 1h, vòi 1 chảy được: x (bể). 1  Trong 1h, vòi 2 chảy được: y (bể). 24  Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = 5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 1 5 1 5 24 bể, do đó ta có pt: x + y = 24 (1). 4 3 3 3  Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 4 bể nước nên ta có pt: x + y = 4. (2).. . Từ (1) và (2) ta có hệ pt:. 5 1 1   x y 24   3  4  3  x y 4. (I). 5   u  v  24  1 1 3u  4v  3 4 (II).   Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành:  NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(18) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. 1 1 1  u   x 12  12 1 1   x 12 1   v   y 8    y 8 (thỏa ĐK). 8      Giải hệ (II), ta được:  Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h. Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy 2 một mình trong 12 phút thì chỉ được 15 thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể? HD: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h. Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn 4 4 (không có nước) thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ 6 hai thì sau 5 giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể? HD: 6  Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > 5 ). 1  Trong 1h, vòi 1 chảy được: x (bể). 1  Trong 1h, vòi 2 chảy được: y (bể).. Vì hai vòi nước cùng chảy trong bể, 1 1 5 do đó ta có pt: x + y = 24 (1). . . 4. 4 24 5 5 giờ = 5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 24. 6 Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 5 giờ nữa mới bể nước 6 1 1  9    nên ta có pt: x + 5  x y  = 1 (2).. 1 5 1  x  y  24    9  6  1  1  1  x 5  x y   Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I) 5   u  v  24  1 1 9u  6  u  v   1 5    Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành:  NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5   u  v  24   51 u  6 v  1  5 5 (II). 1.

(19) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. 1 1 1  u   x 12  12 1 1   x 12 1   v   y 8    y 8 (thỏa ĐK). 8      Giải hệ (II), ta được:  Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h. Bài tập13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể? HD:  Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).  Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).  . 1 Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được x (bể). 1 Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được x  27 (bể).. 1  Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 18 bể, do đó nên ta có pt: 1 1 1   x x  27 18  x2 – 63x + 486 = 0.  Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).  Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h. Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe. HD:  Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).  Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đó ta có pt: x + y = 90 (1). 90  Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: x (h). 90  Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: y (h). 90 9 9 90  Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = 20 h nên ta có pt: x – y = 20 (2)  y = 90  x ( a)  x + y = 90   10 1 9  90 90 10   (b )   x 90  x 20 y 20   x   Từ (1) và (2) ta có hệ pt: .  Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại).  Thế x = 40 vào (a)  y = 50 (nhận). Vậy:  Xe I có vận tốc: 40 km/h.  Xe II có vận tốc: 50 km/h. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 1.

(20) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Bài tập 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe. HD:  Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0).  Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đó ta có pt: 2x +2y =110 (1). 110  Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: x (h). 110  Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: y (h). 110 11 11 110  Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = 15 h nên ta có pt: x – y = 15 (2) (a )  y = 55  x  2x + 2y = 110   110 11 110 110 11 110  x  y  15  x  55  x  15 (b)    Từ (1) và (2) ta có hệ pt:  .  Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại).  Thế x = 25 vào (a)  y = (nhận). Vậy:  Xe I có vận tốc: 40 km/h.  Xe II có vận tốc: 50 km/h.. CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu toán học Hệ quả   1. Góc ở tâm: Trong một (O,R) có: AOB ở tâm chắn AmB đường tròn, số đo của góc ở   tâm bằng số đo cung bị chắn.  AOB = sđ AmB. Hình vẽ. 2. Góc nội tiếp:   * Định lý: Trong một đường (O,R) có: BAC nội tiếp chắn BC tròn, số đo của góc nội tiếp 1 bằng nửa số đo của cung bị    BAC = 2 sđ BC . chắn. * Hệ quả: Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng a) (O,R) có: nhau.. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(21) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ BACn.tieápchaé b) Các góc nội tiếp cùng   chắn một cung hoặc chắn các EDFn.tieápchaé cung bằng nhau thì bằng BACEDF  nhau..  EF   BC. b) (O,R) có:    BAC n.tieáp chaén BC      BAC BDC BDC n.tieáp chaén BC   . (O,R) có: c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông..    BAC n.tieáp chaén BC     EDF n.tieáp chaén EF     BAC  EDF  EF   BC  . c) (O,R) có:   1 3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến BAC n.tieáp chaén BC   BAC   BOC     và dây cung: 2 BOC ở tâm chắn BC  * Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung d) (O,R) có: bằng nửa số đo của cung bị  BAC chắn. nội tiếp chắn nửa đường tròn  đường kính BC  BAC = 900.. * Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 4. Góc có đỉnh ở bên trong (O,R) có: đường tròn:  * Định lý: Góc có đỉnh ở bên BAx tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong đường tròn bằng nửa 1  tổng số đo hai cung bị chắn. AB  BAx chắn = 2 sđ AB . 5. Góc có đỉnh ở bên ngoài NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(22) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. đường tròn: (O,R) có: * Định lý: Góc có đỉnh ở bên BAx  tạo bởi tt & dc chắn AB     ngoài đường tròn bằng nửa   BAx  ACB ACB noäi tieáp chaén AB   hiệu số đo hai cung bị chắn. 6. Cung chứa góc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một (O,R) có:  góc  không đổi là hai cung BEC có đỉnh bên trong đường tròn  tròn chứa góc . 1    sñ AD  )  BEC = (sñ BC 2 (O,R) có: * Đặc biệt:  a) Các điểm D, E, F cùng BEC có đỉnh bên ngoài đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, 1    cùng nhìn đoạn AB dưới một  BEC = (sñ BC  sñ AD ) 2 góc không đổi  Các đểm A, B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông  Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB..    7. Tứ giác nội tiếp: a) ADB AEB AFB  cùng nhìn * Định nghĩa: Một tứ giác có đoạn AB  A, B, D, E, F cùng thuộc bốn đỉnh nằm trên một dường một đường tròn. tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn. * Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800. 0     * Định lý đảo: Nếu một tứ b) ACB  ADB AEB AFB 90 cùng giác có tổng số đo hai góc nhìn đoạn AB  A, B, C, D, E, F đối diện bằng 1800 thì tứ giác thuộc một đường tròn đường kính AB. đó nội tiếp được đường tròn.. 8. Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường tròn: NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(23) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. * Tứ giác ABCD có A, B, C, D  (O)  ABCD là tứ giác nội tiếp (O). * Độ dài cung tròn: * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) 9. Diện tích hình tròn, hình  180 0   A  C  quạt tròn:  0    * Diện tích hình tròn:  B  D 180 * Tứ giác ABCD có: A  C  1800  ABCD là tứ giác n.tiếp * Diện tích hình quạt tròn: Hoặc:  D  1800 B  ABCD là tứ giác n.tiếp * Diện tích hình viên phân: C = 2 R = d. * Diện tích hình vành khăn: HÌNH KHÔNG GIAN 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: * Diện tích toàn phần:. .  Rn 1800. S  R 2  . d2 4.  R 2 n .R S   360 2. * Thể tích: 2.Hình nón: * Diện tích xung quanh:. * Diện tích toàn phần:. Sviên phân = Squạt - SABC. S  ( R12  R22 ). S xq 2 Rh * Thể tích:. Stp = Sxq + 2.Sđáy. Stp 2 Rh  2 R 2 NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(24) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. V  S .h  R 2h S: diện tích đáy; h: chiều cao. S xq  R.l Stp = Sxq + Sđáy 2. Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh:. Stp  R   R 2. 1 Vnón = 3 Vtrụ. * Diện tích toàn phần:. 1 V   R 2h 3 * Thể tích:. S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh. 3. Hình cầu: * Diện tích mặt cầu:. l  h2  R2. S xq  ( R1  R2 )l Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ. * Thể tích:. Stp  ( R1  R2 )l   ( R12  R22 ) 1 2 2 V   h( R 2 1  R22  R1R2 ) S 34 R  d. 4 V   R3 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG  Bài 1: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.. Các phân giác của các góc ABC , ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F. 1. CMR: OF  AB và OE  AC. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(25) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. 2. Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác này. 3. Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID  MN.  4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC = 600. HD: 1. CMR: OF  AB và OE  AC: + (O,R) có: ACF n.tieáp chaén AF       BCF n.tieáp chaén BF   AF BF  OF  AB  ACF BCF  (CF laøphaân giaùc)  + (O,R) có:   ABE n.tieáp chaén AE      CAE n.tieáp chaén CE   AE CE  OE  AC    ABE CAE ( BE laø phaân giaùc)  2. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp:  OF  AB taïi M  OMA 90 0  0     OMA  ONA 180 0  OE  AC taïi N  ONA  90   Tứ AMON nội tiếp. * Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AMON: 2. 2. OA  R 2  OA  S  .    . 4  4  2  Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA  . 3. CMR: ID  MN: + I và D đối xứng nhau qua BC  ID  BC (1) + (O,R) có: 1  OF  AB taïi M  MA MB  AB   2  1 OE  AC taïi N  NA NC  AC    MN là đường trung bình của  ABC  MN // BC (2). 2 Từ (1) và (2)   ID  MN .  4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC = 600: + I và D đối xứng qua BC  BC là đường trung trực của ID, suy ra:     IBD cân tại B  CBD CBE ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao)..     ICD cân tại C  BCD  BCF ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao). + Khi D nằm trên (O,R) thì:    CBD n.tieáp chaén CD      CD  CE  CBE n.tieáp chaén CE     CBD CBE (cmt )    NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(26) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ.     AE (cmt ) CE       AE EC CD Mà:. AE  EC   CD   ACD    1 ACD   CD 3  Mặc khác: (1).  BCD   n.tieáp chaén BD       BD  BF   BCF n.tieáp chaén BF       AF FB BD   Mà:  BF  AF (cmt )   BCD BCF (cmt )   AF  FB   BD   ABD   1 ABD   BD 3  Mặc khác: (2).    BAC 1 sñ BC  1 (sñ BD   sñ CD  ) BAC n. tieáp chaén BC 2 2  (3). 1 1  1  1  1    BAC   sñ ABD  sñ ABD  sñ ABD  sñ ABD  .3600 60 0  2 3 3 6  6 + Từ (1), (2) và (3) . Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H. 1. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.. . HD:. . a 2. Khi BM = 4 . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a. 1. CMR: Tứ giác AHND và MHNC nội tiếp:.   +  ABM =  BCN (c.g.c)  BAM CBN 0 0     + CBN  ABH  ABC 90  AHB  90 (ĐL tổng 3 góc của  AHB)   AM  BN tại H  AHN  MHN 90 0 . 0   + Tứ giác AHND có:  AHN  ADN 180  AHND là tứ giác nội tiếp. 0   + Tứ giác MHNC có:  MHN  MCN 180  MHNC là tứ giác nội tiếp.. a 2. Khi BM = 4 . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: a a 3a + Khi BM = 4  CN = 4  DN = 4 . 2.  3a  5a  AN  AD 2  DN 2  a 2     4  = 4 . +  AND vuông tại D 2. S . + Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND: 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN theo a:. AN 2 25 a 2  5a     :4  4 64 .  4 . NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(27) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. + Đặt x = BM = CN  CM = a – x . 2. a  a2  x 2     2  2 2 2 2 2 2 2 2   +  MCN vuông tại C MN = CM + CN = (a – x) + x = 2x – 2ax + a = a a2 x 2 0  MN2 đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi 2 a2 a 2 a  x  MN đạt giá trị nhỏ nhất là 2 2 khi 2 a 2 a Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 2 khi BM = 2 . Bài 3: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt (O) tại E và. F. a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp. b) CMR: OA  EF và EF // HK. c) Khi  ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O). HD: a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp:  + BH  AC  BHC = 900 nhìn đoạn BC  H  đường tròn đường kính BC (1).  + CK  AB  BKC = 900 nhìn đoạn BC  K  đường tròn đường kính BC (2). + Từ (1) và (2)  B, H, C, K  đường tròn đường kính BC  Tứ giác BKHC nội tiếp đường tròn đường kính BC. b) CMR: OA  EF và EF // HK: + Đường tròn đường kính BC có:    KBH n. tieáp chaén HK       KBH KCH  ABE ACF    KCH n. tieáp chaén HK  + Đường tròn (O) có:  ABE n.tieáp chaén AE       AE CF   AE  AF CAE n.tieáp chaén AF     ABE CAF (cmt )   (1) + Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) và ( 2)  OA là đường trung trực của EF  OA  EF . + Đường tròn đường kính BC có:    BCK n. tieáp chaén BK       BCK BHK  BCF BHK BHK n. tieáp chaén BK    (3) + Đường tròn (O) có: NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(28) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ.    BCF n. tieáp chaén BF      BCF BEF    BEF n. tieáp chaén BF  (4)    BHK BEF   EF // HK   BHK vaø BEF đồ n g vò  Từ (3) và (4)  .. c) Khi  ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O: + Gọi R là bán kính của (O) và h là chiều cao của  ABC đều, ta có: a 3  h= 2. .  . 2 2 a 3 a 3 .  3 O là trọng tâm của  ABC  R = OA = 3 h = 3 2 2.  a 3   a2     3 3 2  S(O) =  R =  (đvdt) 2 1 1 a 3 a 3 a  4 (đvdt) SABC = 2 a.h = 2 2. a 2 (4  3 3 ) 1 1  a2 a2 3 36  Svp = 3 ( S(O) – SABC ) = 3 ( 3 - 4 )= (đvdt). Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F. a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn. b) CMR: DE.HE = BE.CE. c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.  d) CMR: HC là tia phân giác của DHF . HD: a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng thuộc một đường tròn:  + BAD = 900 nhìn đoạn BD  A  đường tròn đường kính BD (1)  + BHD = 900 nhìn đoạn BD  H đường tròn đường kính BD (2)  + BCD = 900 nhìn đoạn BD  C  đường tròn đường kính BD (3) Từ (1), (2) và (3)  A, B, H, C, D  đường tròn đường kính BD. b) CMR: DE.HE = BE.CE: +  DEC và  BEH có:.   DEC  BEH ( đối đỉnh)     DCE  BHE  900    DEC  BEH (g.g) DE EC   BE EH  DE.HE = BE.CE. c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC:. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(29) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. BC a  EB  EC   2 2.  Khi E là trung điểm của BC . 2 2  DEC vuông tại C  DE  EC  CD 2. a 5  a 2  2  a  2  DE =   . BE.CE  EH  DE  Từ: DE.HE = BE.CE (cmt)  a a a 5 a 5  EH  .  :  10 . 2 2 2 a 5 a 5 3a 5  DH = DE + EH = 2 + 10 = 5 .  d) CMR: HC là tia phân giác của DEF : + Đường tròn đường kính BD có:.      CHD n.tieáp chaén CD     CHD CBD 1CBDA045    CBD n.tieáp chaén CD  2   CHD  450 (1) Mà: 0    + Mặc khác: CHD  CHF  DHF  90 (2) 1   CHD CHF  DHF   HC là tia phân giác của DHF 2 + Từ (1) và (2)  . Bài 5: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H. 1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 . 2) CMR: MD.MH = MA.MC. 3)  MDC và  MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C . HD: 1. CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: 0  + ABCD là hình vuông  BD  AC  BOH 90 (1) 0   + (O) có: BMD nội tiếp chắn đường tròn  BMD 90 (2) 0 0 0   + Từ (1) và (2)  BOH  BMD 90  90 180  MBOH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BH. * CMR: DH.DM = 2R2: DOH và DMB có:. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2.

(30) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ   DOH DMB 900    BDM : chung    DOH  DMB (g.g) DO DH    DO. DB DH . DM  R.2R DH . DM  DH .DM 2R 2 DM DB (đpcm). 2. CMR: MD.MH = MA.MC:.    MDC n. tieáp chaén MC        MDC MAC  MDC MAH    MAC n. tieáp chaén MC  . . . + (O,R) có:.   CD = AD (ABCD là hình vuông)  CD  AD .    CMD n. tieáp chaén CD  AMD n. tieáp chaén AD    CMD   AMD  CMD AMH     AD  CD . +  MDC và  MAH có:   MDC MAH (cmt )  MD MC     MD. MH  MA. MC  CMD AMH (cmt )    MDC  MAH (g.g) MA MH . 3. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C: + Khi MDC = MAH  MD = MA + (O,R) có:        MD = MA  MCD MBA  MC  CD MB  BA (1)    Do:CD = BA  CD  BA (2)    Từ (1) và (2)  MC  MB  M là điểm chính giữa BC  Hay M’là điểm chính giữa BC . + Do MDC = MAH  M’DC = M’AH’  M’C = M’H’  M’H’C cân tại M (3)    + Do M’I AC M’I H’C (4)  Từ (3) và (4) M’I là đường là đường trung tuyến của M’H’C  IH’ = IC Hay I là trung điểm của H’C (đpcm). Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(31) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. b) Tính độ dài đoạn OO’. c) Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF. HD: a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng:  + (O) có ABC nội tiếp chắn nửa đường tròn  đường kính AC  ABC = 900 (1) + (O’) có ABD nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD  ABD = 900 (2)   + Từ (1) và (2)  CBD = ABC + ABD = 1800  Ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Tính độ dài đoạn OO’: + (O) và (O’) cắt nhau tại A và B  OO’ là đường trung trực của AB. 1 + Gọi H là giao điểm của OO’ và AB  OO’  AB tại H; HA = HB = 2 AB = 12 (cm). 2 2 2 2 +  AHO vuông tại H  OH  OA  HA = 20  12 16 (cm). 2 2 2 2 +  AHO’ vuông tại H  O ' H  O ' A  HA = 15  12  9 (cm). Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + 9 = 25 (cm). c) CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF: + Gọi K là giao điểm của AB và EF. 2 2 2 +  OEK vuông tại E  KE  OK  OE (1). 2 2 2 +  OHK vuông tại H  OK  OH  HK (2) 2 2 2 2 2  + Từ (1) và (2) KE = (OH + HK ) – OE = 16 + HK2 – 202 = HK2 – 144 (*). 2 2 2 +  O’FK vuông tại F  KF  O ' K  O ' F (3) 2 2 2 +  O’HK vuông tại H  O ' K  O ' H  HK (2) 2 2 2 2 2  + Từ (3) và (4) KF = (O’H + HK ) – O’F = 9 + HK2 – 152 = HK2 – 144 (**).    K laø trung ñieåm cuûa EF 2 2 KE  KF  EF  +Từ (*) và (**)  KE = KF  KE = KF. Mà:  AB đi qua trung điểm của EF (đpcm). Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D. 1. CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp.  b) CD = CA + DB và COD = 900. c) AC. BD = R2.  2. Khi BAM = 600. Chứng tỏ  BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R. HD: 1a) CMR: Tứ giác AOMC nội tiếp: NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(32) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ   OAC = 900 (1)  + CD là tiếp tuyến tại M  OMC = 900 (2)   Từ (1) và (2)  OAC + OMC = 1800  AOMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OC.  1b) CMR: CD = CA + DB và COD = 900: + Hai tiếp tuyến CA và CM cắt nhau tại C  CA = CM và OC là  tia phân giác của AOM (1) + Hai tiếp tuyến DB và DM cắt nhau tại D  DB = DM và OD là  tia phân giác của MOB (2) Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB. + Ax là tiếp tuyến tại A. AOM  MOB  1800 (keà bu)ø    OC laø phaân giaùc cuûa AOM     OD laø phaân giaùc cuûa MOB . + (O,R)có:  COD = 900.. 1c) CMR: AC. BD = R2:. COD vuoâng taïi O   2 2   OM  MC.MD   AC.BD  R với OM = R,MC  AC, MD  BD  OM  CD   2. Khi BAM = 600. Chứng tỏ  BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R: + Nửa (O, R) có:    BAM noäi tieáp chaén BM 0     DBM BAM  60    DBM tạo bởi t.tuyến và dây cungchắn BM  (1)  BDM  BDM  có DB = DM  cân tại D (2). Từ (1) và (2)   BDM đều. + Nửa (O, R) có:    BAM noäi tieáp chaén BM  0 0     BOM  2.BAM 2 . 60 120 BOM ở tâm chắn BM     R 2 n  R 2 60  R 2   360 3 (đvdt).  Squạt = 360 Bài 8: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) CMR: MA2 = MC. MD. b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(33) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra  AB là phân giác của CHD . d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng. HD: a) CMR:MA2 = MC. MD: +  MAC và  MDA có:   MDA:chung     MAC MDA (cuøng chaén AC)    MAC  MDA (g.g) MA MC    MA 2  MC.MD MD MA (đpcm)). b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn: + (O) có: 0   I là trung điểm của dây CD  OI  CD  OIM  90 nhìn đoạn OM (1) 0   MA  OA (T/c tiếp tuyến)  OAM  90 nhìn đoạn OM (2) 0   MB  OB (T/c tiếp tuyến)  OBM  90 nhìn đoạn OM (3) Từ (1), (2) và (3)  5 điểm M, A, I, O, B  đường tròn đường kính OM.   MA2 MC. MD (cmt )  c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác CHD của :  OAM + vuông tại A  MA2 = MO. MH Mà: MH MC    MO. MH = MC. MD MD MO + và  MDO có:.  DOM : chung   MH MC     MDO (c.g.c) MD MO    MHC       MHC  MDO  MHC CDO      Maø: MHC CHO 1800 (keà bu)ø   CDO  CHO 1800 Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn (đpcm)  * CMR: AB là phân giác của CHD : +  COD có OC = OD = R   COD cân tại O      CDO  DCO  MDO  DCO.      của đường tròn nội tiếp tứ giác CHOD)  Maø: OHD  DCO (cuøng chaén OD . NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(34) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ.     MDO OHD     OHD  MHC   Maø: MDO  MHC (cmt)  (1)    AHC  900  MHC  AHD  900  OHD   + Mặc khác: (2)    AHC  AHD     Maø: AHC  AHD CHD . Từ (1) và (2) .   Suy ra: HA là tia phân giác của CHD  AB là tia phân giác của CHD (đpcm). d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng: + Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại C và D của (O) 0  + CK  OC (T/c tiếp tuyến)  OCK  90 nhìn đoạn OK. (1) 0  + DK  OD (T/c tiếp tuyến)  ODK  90 nhìn đoạn OK (2) Từ (1), (2)  Tứ giác OCK nội tiếp đường tròn đường kính OK     OKC ODC (cuøng chaén OC)        OKC  MDO OKC MHC    0     Maø: MHC  OHC 180 (keà bu)ø  Maø: MHC  MDO (cmt)   0    OKC  OHC 180  Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OK    OHK  OCK = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  HK  MO    HK  AB Maø: AB  MO (cmt)   3 điểm A, B, K thẳng hàng (đpcm).. Bài 9: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh: KM  DB. 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB. 4. Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (S ABM + SDCM ) không đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. HD: 1. CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp:  + BHD = 900 nhìn đoạn BD  H đường tròn đường kính BD (1)  + BCD = 900 nhìn đoạn BD  C  đường tròn đường kính BD (2) Từ (1) và (2)  B, H, C, D  đường tròn đường kính BD. 2. Chứng minh: KM  DB: NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(35) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. +  BDK có : DH  BK.   BC  DK  DH caét DK taïi M  M là trực tâm của  BDK  KM là đường cao thứ ba  KM  DB 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB:   KCB  KHD  900    BKD : chung   KCB  KHD (g.g) +  KCB và  KHD có: KC KH  KB KD  KC . KD = KH . KB (đpcm). 4. CMR: (SABM + SDCM ) không đổi: 1 1 AB.BM a.BM +  ABM vuông tại B  SABM = 2 = 2 (1) 1 1 CD.CM a.CM +  DCM vuông tại C  SDCM = 2 = 2 (2) 1 1 a.BM a.CM Từ (1) và (2)  SABM + SDCM = 2 +2 1 1 1 1 a.(BM  CM)  a.BC  a.a  a 2 2 2 2 = 2 1  a2 2 không đổi  (SABM + SDCM ) không đổi. + Vì a là không đổi * Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a: + Đặt x = BM  CM = a – x 2 2 2 2 1  1  1  1  2 2 SABM  SDCM  a.BM    a.CM   2 a.x    2 a.(a  x)  2 2        + Ta có: =  . 1 2 2 a  x  (a  x)2  = 4 1 2 a  2 x 2  2ax  a 2  = 4 1 2 1  a  2(x 2  ax  a2 )  2  = 4  1 2 1 1  a  (x  a)2  a 2 )  2 4  = 2 . 1 2 1 2 1 4 a4 a .(x  a)  a  8 2 8 = 2 a4 1 1 x a x a 2 2 2 =0 2 + Giá trị nhỏ nhất của S ABM  SDCM là 8 khi : NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(36) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. a4 2 2 Vậy khi M là trung điểm của BC thì S ABM  SDCM đạt giá trị nhỏ nhất là 8 . Bài 10: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F). a) CMR:  AEC và  ACF đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF. b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn. c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang. d) Giả sử cho OA = R 2 . Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài hình tròn (O) HD: a) CMR:  AEC và  ACF đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF: +  AEC và  ACF có: ACE CFE    (cuøng chaén CE   CAF : chung   KCB  KHD (g.g) AC AE   AF AC  AC2 = AE. AF (đpcm). b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn: + (O) có:  I là trung điểm của dây EF  OI  EF   900  OIA nhìn đoạn OA (1) AB  OB  (T/c tiếp tuyến).   OBA  90 0 nhìn đoạn OA (2)  AC  OC (T/c tiếp tuyến 0  )  OCA  90 nhìn đoạn OA (3)  Từ (1), (2) và (3) 5 điểm , A,B, O, I, C  đường tròn đường kính OA. c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang: +. MỘT SỐ ĐỀ THI CÁC NĂM PHÒNG GD – ĐT KRÔNG NÔ ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN 9 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI. Bài 1 (2 điểm) NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(37) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 1  a 1  1 P   : a  1  a  2 a 1  a a Cho biểu thức. (Với a  0 và a 1 ). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi a = 3  2 2 Bài 2 (1,5 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x – m a) Vẽ Parabol (P) b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm. Bài 3 (1,5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 3 x  4 y 3  a) x2 – 6x + 5 = 0 b)  x  2 y 1 Bài 4: (1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ Krông Nô đi TX Gia Nghĩa. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h, do đó nó đến TX Gia Nghĩa trước xe khách 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết khoảng cách giữa Krông Nô và TX Gia Nghĩa là 120 km. Bài 5 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng : a) Tứ giác CEHD nội tiếp trong một đường tròn. b) Bốn điểm A, C, D, F cùng nằm trên một đường tròn c) AE . AC = AH . AD d) Tính thể tích của hình tạo bởi khi quay nửa hình tròn đi qua bốn điểm A, C, D, F quanh cạnh AC cố định. Biết AE = 4cm, AH = 5cm, AD = 8cm. Bài 6:( 0,5đ) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) eeeeee Hết ffffff ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài Bài 1 (2 điểm). Nội dung  1  a 1 1  1 P     : a  1  a  2 a 1  a a  1 a  a a  a). . a 1. . a. . . a1 . b) Ta có : a =. . . 32 2 . . 2 1. . Bài 2.  .. . a1.  : a1  . a. .  . . a 1. . a1. 2. 0,5đ. 2. 0,25đ. a 1. 0,5đ. a1 a. 0,25đ. 2. 2. 2 1  1. . . Điểm. . 2 1 thay vào biểu thức P a) Vẽ đúng đồ thị Parabol (P). 2. . 2 1  1 2  2  2 1 2 1. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 2. 0,5đ. 0,75đ 3.

(38) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. (1,5 điểm). y 4. 1 2 m  x2– 2xx+ m = 0 b) Ta có phương trình hoành độ giao -2 -1điểm x12 = 2x– Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm thì phương trình có hai nghiệm Suy ra   0  4  4m  0  m  1. Bài 3 (1,5 điểm). Bài 4 (1,5 điểm). a) Ta có a + b + c = 1 + (- 6) + 5 = 0 c 5 Nên phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = a 3x  4 y 3 3x  4 y 3 5 x 5     x  2 y  1 2 x  4 y  2 x  2 y  1    b). 0,5đ 0,25đ 0,5đ.  x 1   y 0. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;0) Bài 4 Gọi vận tốc xe khách là x(km/h), x>0 Vận tốc xe du lịch là x + 20 (km/h) 120 Thời gian đi của xe khách từ Krông Nô đến TX Gia Nghĩa là x (giờ) 120 Thời gian đi của xe du lịch từ Krông Nô đến TX Gia Nghĩa là x  20 (giờ). 5 (25 phút = giờ ) 12. Theo bài ra ta có pt: 120 120 1 x - x  20 = 2. Bài 5 (3,0 điểm). 0,25đ. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ. Giải pt: x(x+20) = 4800 hay x2 + 20x – 4800 = 0 Δ ' = 100 + 4800 = 4900, √ Δ' = 70 x 1=60 ; x2 =−80 Vì x > 0 nên x 2 = - 80 loại Vận tốc xe khách là: 60 km/h Vận tốc xe du lịch là: 80km/h Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận đúng. 0,25đ 0,25đ 0,5đ. A E F H B. D. O C. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(39) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ 0 0 0   a) Tứ giác CEHD có CEH  CDH 90  90 180 Suy ra tứ giác CEHD nội tiếp trong một đường tròn 0   b) Tứ giác ACDF có AFC ADC 90 ; điểm D và F cùng nhìn đoạn AC dưới một góc 900 nên tứ giác ACDF nội tiếp được trong đường tròn đường kính AC Vậy : Bốn điểm A, C, D, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính AC.    c) Xét AEH và ADC có AEH ADC 90 , DAC chung AE AH   AD AC  AE . AC = AH . AD suy ra AEH ADC 0. 1 d) Thể tích của hình cần tính là hình cầu có bán kính bằng 2 AC AH.AD 5.8  AC   10 AE 4 Theo trên : AE . AC = AH . AD cm 4 4  R 3   .53 523, 6 3 3 Khi đó thể tích hình cầu là : V = (cm3). Bài 6 Từ 1003x + 2y = 2008 suy ra x chẵn và 1003x < 2008 (0,5 suy ra x = 2, y = 1 điểm) Lưu ý : Học sinh giải cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa PHÒNG GD – ĐT KRÔNG NÔ. 0,25đ 0,25đ. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ. ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN : TOÁN 9 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề). ĐỀ DỰ BỊ. ĐỀ BÀI : Bài 1 (2 điểm) 1  a 1  1 P   : a  1  a  2 a 1  a a Cho biểu thức. (Với a  0 và a 1 ). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi a = 3  2 2 Bài 2. (1,5 điểm). 2 x  y 5  3x  y 5 . a) Giải hệ phương trình . 3 3  2 x  4 x  4 b) Giải phương trình . 2. Bài 3. (1,5 điểm) Cho hàm số y 4x có đồ thị (P). a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = – x + m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 4 (1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3.

(40) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 26 và tích bằng 160 ? Bài 5. (3,5 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD của đường tròn (O). 1 OE  AO 3 vuông góc với nhau. Trên AO lấy điểm E sao cho , tia CE cắt đường tròn (O) tại M. a) Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp một đường tròn. b) Tính CE theo R. c) Gọi I là giao điểm của CM và AD. Chứng minh OI  AD . d) Tính diện tích hình tạo bởi dây AD và cung nhỏ AD của đường tròn (O). -----------------Hết------------------. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 (ĐỀ DỰ BỊ) Bài. 1 (2,0điểm). Nội dung  1  a 1 1  1  P   :    a  1  a  2 a 1  a a  1 a  a a . . b) Ta có : a =. . . 32 2 . . 2 1. . a. . . a1. . a1. .  . . a1. 2. 0,5đ. 2. 0,25đ. a 1. 0,5đ 0,25đ. 2. . 2 1. 2. . 2 1  1 2  2  2 1 2 1. 5 x 10   3 x  y 5.  x 2    y 5  3 x. 2.  x 2   y  1 .. b) Điều kiện x 4 Biến đổi. a 1. 2. . 2 x  y 5   3 x  y  5  a) Biến đổi.  ..  : a1  . a. a1 a. 2 1  1. . thay vào biểu thức P. . a 1. . . 2 (1,5điểm). Điểm. 3 3  2  3(x  4)  3(x  4) 2(x  4)(x  4) x 4 x4  2x 2 56  x 2 7 (thỏa mãn đk). Vậy nghiệm của phương trình x1 2 7; x 2  2 7. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 0,5đ. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. 4.

(41) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. a) Lập bảng giá trị đúng 3 (1,5điểm). 0,25đ. Vẽ đồ thị đúng. 0,5đ. b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = - x + m và đồ thị (P) là 4x2 = - x + m <=> 4x2 + x – m = 0 Lí luận được để đường thẳng cắt (P) tại hai đỉểm thì: 1  1  16m  0  m   16 Bài 4 Gọi một số là x (ĐK: x  N), suy ra số còn lại là 26 – x (1,5điểm) Tích hai số bằng 60, nên ta có phương trình x(26 – x) = 160 Giải phương trình tìm được x = 10 (nhận) và x = 16 (nhận) Vậy hai số cần tìm là 10 và 16 C. A. E. Hình vẽ đúng. O. B. I. 4 (3,5điểm). 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. a) Lí luận được  EOD 900 (gt)  EMD 900 (góc nt chắn ½ đt) 0   Suy ra EOD  EMD 180 KL: MEOD tứ giác nội tiếp. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ. M D. b) Áp dung định lí Pitago trong tam giác OEC, ta có CE2 = OC2 + OE2 (*). 1 1 R 10 OE  AO  R CE  3 3 vào (*) tính được 3 Thế OC = R, c) Lí luận được: AO là trung tuyến của  ACD. 0,25đ 0,25đ. 0,25đ. 1 OE  AO 3 Và ta có. Nên E là trọng tâm của tam giác ACD Do đó CI là trung tuyến của tam giác ACD => I là trung điểm của AD. Từ đó suy ra OI  AD. 0,25đ 0,25đ 0,25đ. d) Tính được diện tích hình quạt OAD. S quatOAD. R2  4 (đvdt). Diện tích tam giác vuông OAD: Diện tích cần tìm:. S S quatOAD  S OAD. S OAD. 0,25đ. R2  2. 0,25đ (đvdt). R 2 R 2 R 2 (  2)    4 2 4 (đvdt). NĂM HỌC : 2014 - 2015. 0,25đ. 4.

(42) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. PHÒNG GD & ĐT KRÔNG NÔ. ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2012 - 2103. TRƯỜNG THCS ĐẮK DRÔ. MÔN TOÁN 9 THỜI GIAN : 120 PHÚT. ĐỀ RA: Câu 1 (1,5 đ). a) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (1 - 2m)x - 5 đồng biến trên R. 3x  y 5  b) Giải hệ phương trình:  x  2y 4 c) Giải phương trình: x2 + 5x – 6 = 0 Câu 2 (2 đ). 1  a 1  1 P   : a  a a  1   2 a Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < -1..  a  0;a 1. Câu 3 (2 đ). Anh Nam và chị Thuỷ đi xe đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của anh Nam lớn hơn vận tốc xe của chị Thuỷ là 3 km/h nên anh Nam đến tỉnh trước chị Thuỷ nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người. Bài 4: (1,5 đ). a) Viết công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ? b) Áp dụng : Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, chiều cao 9cm. Hãy tính : * Diện tích xung quanh của hình trụ. * Thể tích của hình trụ. Câu 5 (3 đ). Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DCFE nội tiếp được   b) CDE CFE c) Tia CA là tia phân giác của góc BCF Hết: PHÒNG GD&ĐT. Câu Câu 1 a. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II HỌC KỲ II MÔN THI: TOÁN 9 Nội Dung Điểm Hàm số y = (1 - 2m)x - 5 đồng biến trên R khi và chỉ khi NĂM HỌC : 2014 - 2015. 0,25đ 4.

(43) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. 1 - 2m > 0  -2m > -1  1 m 2 m. b. c. Câu 2 a. 1 2 thì hàm số y = (1 -. Với 2m)x - 5 đồng biến trên R. 3x  y 5 6x  2y 10    x  2y 4  x  2y 4 3x  y 5  y 1   7x 14  x 2 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất : (x; y) = (2; 1) 2 x + 5x – 6 = 0 Có : a + b + c = 1 + 5 + ( -6) =0 Suy ra x1 = 1; c 6 x2    6 a 1. 0,25đ 0,25đ. 0,25đ 0,25đ. a) Với a> 0, a 1 , ta có: 1  a 1  1 P   : a  1 2 a a a. 0,25đ.   1 1  a 1 P   :  a a1 a  1 2 a     1 a  2 a P   a a1 a a  1  a 1  . 0,25đ. . . . P P. b. 0,25đ. . . . 1 a a. . 2 a  a 1 a1. 0,25đ. . 2 a1. Vậy P = b) P < -1. 0,25đ. 0,25đ 2 a  1 với a> 0, a 1 .. 0,25đ. 0,25đ. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 4.

(44) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ . 2   1 a1. . 2 a  1 0 a1. . a  1 0. 2 1  0 a1.  Do. 0,25đ. a 1 0 a1 a 1  0. .  a 1  a 1 Vậy 0 < a < 1 thì P < -1. Câu 3. Gọi x (km/h) là vận tốc xe của chị Thuỷ (x > 0) Thì vận tốc xe của anh Nam là x + 3 ( km/h) Thời gian chị Thuỷ đi hết 30 quãng đường 30 km là: x (giờ) Thời gian anh Nam đi hết 30 quãng đường 30 km là: x  3 (giờ) Do anh Nam đến tỉnh trước chị 1 Thuỷ nửa giờ = 2 (giờ) , Nên ta có phương trình: 30 1 30   x 2 x 3 Giải phương trình ta được x = 12 Vậy vận tốc xe của chị Thuỷ là : 12 km/h vận tốc xe của anh Nam là 12 + 3 = 15 km/h. 0,5đ 0,5đ. 0,5đ 0,5đ. Câu 4 a. a). S xq 2 rh V  r 2 h. b. b) Diện tích xung quanh của hình trụ là :. 0,25đ 0,25đ. S 2 rh 2.3,14.6.9 339,12(cm 2 ) Thể tích hình trụ là :. 0,5đ. 2. 0,5đ. 2. V  r h 3,14.6 .9 1017,36 NĂM HỌC : 2014 - 2015. 4.

(45) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Câu 5 0,5đ. C 2 1 B E. A. a. F. 0  a)Ta có: ACD = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ) 0  Hay ECD = 90 Xét tứ giác DCEF có:  ECD = 900 ( cm trên )  EFD = 900 ( vì EF.  AD (gt) ). 1 D. 0,5đ 0,5đ.    ECD + EFD = 900  900 1800   , mà ECD , EFD là 2 góc ở vị. b. c. trí đối diện. => Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( đpcm ) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )   => CDE = CFE ( góc  nội tiếp cùng chắn CE ) ( đpcm ) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )  =D  C 1 ( góc => 1 EF nội tiếp cùng chắn ) (4) Xét đường tròn đường kính AD, ta có:  =D  C 2 1 ( góc  nội tiếp cùng chắn AB ) (5)  =C  C 2 hay CA (4) và (5) => 1 NĂM HỌC : 2014 - 2015. 0,5đ. 0,5đ. 0,5đ. 4.

(46) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ  là tia phân giác của BCF . ( đpcm ). MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO TỰ GIẢI ĐỀ 1 Bài 1 (1,5 điểm) a/ Nêu hệ thức Vi ét và ứng dụng của nó. b/ Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng R. Độ dài đường cao bằng h. Tính diện tích toàn phần của hình trụ. Bài 2: (1.5 điểm) Cho hàm số y = f(x) = x2 có đồ thị là (P) và đường thẳng (d): y= -x +2 a. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ b. Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) bằng đồ thị và phép tính. Bài 3 (2 điểm) Cho phương trình ( ẩn số x ):. x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (1). a/ Giải pt (1) khi m=1 b,Tìm giá trị của m để pt ( 1) có nghiệm c,Tìm giá trị của m để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm cùng dương d/Tìm giá trị của m để pt có nghiệm và giá trị biểu thức :P = x 12 + x22 – x1x2 đạt GTNN Bài 4 (2 điểm ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn ( Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc mỗi xe, giả thiết quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km Bài 5 (3 điểm ) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC, A là điểm nằm trên đường tròn sao cho AB = R. a. Tìm các góc của tam giác ABC. b. Vẽ tiếp tuyến x’Bx với đường tròn (O), kẻ Ax // x’x. Chứng minh rằng AD.AC = AB.DB. c. Tính theo R diện tích tam giác ABD phần nằm ngoài đường tròn (O). ĐỀ 2:.  2x  y 3  x  2my 1 Bài 1 : (2 điểm) Cho hệ phương trình  (*) với m là tham số: 1 a) Giải hệ phương trình với m = - 2 b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất ? Bài 2 : (2 điểm) Xét phương trình ẩn x : (m + 1) x2 – 2x + m = 0 (**) với m  1 a) Giải phương trình với m = -2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = m Bài 3 : (1.5 điểm) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu giảm chiều dài 2m và gấp đôi chiều rộng thì được hình chữ nhật mới có diện tích lớn hơn diện tích hình chữ nhật ban đầu là 240m 2. Tính kích thước ban đầu của hình chữ nhật ? NĂM HỌC : 2014 - 2015. 4.

(47) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Bài 4 : (2.5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn, dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). Gọi K là giao điểm của CF và ED ? a) Chứng minh rằng tứ giác EBFK nội tiếp một đường tròn. b) Tam giác BKC là tam giác gì ? vì sao ? Bài 5 : (2 điểm) Một hình trụ có bán kính đáy là 14cm, diện tích xung quanh bằng 880cm 2. Tính chiều cao hình trụ, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.. . 22 7 ). (Lấy ĐỀ 3: C©u1: (2 ®iÓm). a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: 1 1 + A= √ 5+2 √5 −2 b) Rót gän biÓu thøc sau ®©y: 2|x − 7| A= 2 x −6 x − 7 C©u 2: (2 ®iÓm). Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã tæng cña chiÒu dµi vµ chiÒu réng lµ 28m. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn gÊp đôi và chiều rộng lên gấp 3 thì diện tích mới của thửa ruộng là 1152m 2. Tìm diện tích của thửa ruộng đã cho ban ®Çu. C©u 3: (3 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: (m-4)x2 -2mx + m + 2 = 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m= 5. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. c) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O bán kính R. Một đờng thẳng d cắt đờng tròn tại 2 điểm A và B. Từ một điểm M trên d (M nằm ngoài hình tròn) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ tới đờng tròn (O). a) Chứng minh rằng: QMO = QPO và khi M di động trên d (M nằm ngoài hình tròn), thì các đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua một điểm cố định b) Xác định vị trí của điểm M để tam giác MPQ là tam giác đều. c) Với mỗi vị trí của điểm M đã cho, hãy tìm tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ ĐỀ 4 C©u1: (2 ®iÓm). 1)Tìm tập xác định của hàm số sau đây :. 2x  1 a) y= 3 10 b) y= x  3 c) y= 3  x 2) Cho hàm số y = ax+b. Tìm a biết b =3 và đồ thị đi qua điểm (2 ;1) C©u 2: (3 ®iÓm)..   (a  b)y  2  (b  a)x  ay  3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  a) Tìm a, b để hệ có nghiệm x =2; y=1 b) Gi¶i hÖ víi a =2; y=1. c) Cho b # 0. Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: y-x >0 C©u 3: (2 ®iÓm) NĂM HỌC : 2014 - 2015. 4.

(48) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Rót gän. x 4  11x 2  18 A (x  2)(x  3) víi x  2; x  3 a) b) B= x  2 x  1  x  2 x  1 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Trªn AC lÊy D. Dùng CE  BD a) Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiÕp b) Chøng minh AD.CD=ED.BD c) Từ D kẻ DK  BC. Chứng minh AB, DK, EC đồng qui tại một điểm và góc DKE = góc ABE ĐỀ 5: C©u1: (2,5 ®iÓm). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) (x2+1)(3x2-5x+2)=0 b) 2  x 4 C©u 2: (2 ®iÓm).. a 2 a 2 a 1  ). a1 a Rót gän : A= a  2 a  1 (. C©u 3: (2,5 ®iÓm) Cho hµm sè: y = (2m- 1)x + n - 2 = 0 a) Vẽ đồ thị với m= 1, n=2 b) Tìm m, n để đồ thị hàm số cắt oy tại điểm có tung độ bằng ( . 2 ) và cắt ox tại điểm có hoành độ. b»ng ( 3 ) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một đờng thẳng d  (ABCD) tại A. Trên d lấy S. Nối SB, SC, SD a) BiÕt SA=h. TÝnh V cña h×nh chopS.ABCD b) Chøng minh rSBC, rSCD lµ c¸c rvu«ng c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña BD vµ AC. Chøng minh BD SO. --------------------------------------------------------ĐỀ 6: C©u 1: XÐt biÓu thøc: A =. x √ x+2 x +2 √ x +1 x √ x +3 x +3 √ x +1. a) Rót gän A. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. C©u 2:. Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (a-1)x – a2 + a -2 =0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a = -1 b) Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. C©u 3: Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu tăng chiều cao lên 3 dm và giảm cạnh đáy đi 2 dm, thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. C©u 4: Cho 2 đờng tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờn tròn (O) . Gọi giao điểm thứ 2 của đờng thẳng MB với đờng tròn (O’) là N và giao điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P a) Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? b) Chứng minh rằng ACDN nội tiếp đợc đờng tròn. c) Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O’) là Q, chứng minh rằng BQ//CP. NĂM HỌC : 2014 - 2015 4.

(49) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. -----------------------------------------------------------------------ĐỀ 7 : C©u 1: Cho M =. ( √2a − 2 1√ a ) .( √√a−a+11 − √√aa+−11 ). a) Rót gän M. b) Tìm a để M = -2. C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – (m+1)x +m - 4 =0 (1) a) Chøng minh r»ng víi mäi m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu. c) Chøng minh biÓu thøc M= x1 (1-x2) + x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m. (ë ®©y x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)). C©u 3: Một đội xe tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải trở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu. C©u 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F. C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng: a) Gãc CID b»ng gãc CKD. b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một đờng tròn. c) IK//AB. -----------------------------------------------------------------------ĐỀ 8: C©u1: (3 ®iÓm). a) Tìm các giá trị của M để hàm số : y= (2-m)x + 19 1. NghÞch biÕn. 2. §ång biÕn. 2 2 1 + ¿: 2 b) Rót gän : P =( x √ x + x + √ x x+ √ x +1 x − √ x c) Vẽ đồ thị hàm số: y =x-1 (1) và y =x+1 (2) trên cùng một hệ trục toạ độ. Cho nhận xét về hai đồ thị trên. C©u 2: (2 ®iÓm). Cho hÖ ph¬ng tr×nh x2-y-2 = 0 (m lµ tham sè) x+y+m = 0 a) Gi¶i hÖ víi m= - 4 b) Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1; y1), (x2; y2) thoả mãn: x1.x2+y1.y2>0 C©u 3: (2 ®iÓm) Ba « t« trë 100 tÊn hµng tæng céng hÕt 40 chuyÕn. Sè chuyÕn xe thø nhÊt chë gÊp rìi sè chuyÕn xe thø hai. Mçi chuyÕn xe thø nhÊt chë 2 tÊn, xe thø 2 trë 2,5 tÊn, xe thø 3 trë 3 tÊn. TÝnh xem mçi « t« trë bao nhiªu chuyÕn. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định trên OA (C không trùng với O,A), điểm M di động trên đờng tròn, tại M vẽ đờng thẳng vuông góc với MC cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lợt tại D và E. a) CM: Tam gi¸c DCE vu«ng. b) CM: Tích AD.BE là không đổi. c) T×m vÞ trÝ M sao cho diÖn tÝch tø gi¸c ABDE nhá nhÊt. --------------------------------------------------------ĐỀ 9: C©u1: (3 ®iÓm). a) Tìm tập xác định của hàm số sau: y= √ 2 x −1 ; y= NĂM HỌC : 2014 - 2015. 3 x −2 4 x +5 4.

(50) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. b) Rót gän B=. 2√x−9 x +3 2 √ x+ 1 −√ − x −5 √ x+6 √ x −2 3 − √ x. c) Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp đồ thị:. y = 1-x y = 1+x. C©u 2: (2 ®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2-2(m+1)x +n + 2 =0 a) Tìm giá trị của m và n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là 3 và -2 b) Cho m = 0, tìm các giá trị nguyên của n để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: x 1 x2 lµ mét sè nguyªn. = x 2 x1 C©u 3: (2 ®iÓm) Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 l. Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi lấy lợng nớc đó đổ vào hai bình kia thì: hoặc bình thứ ba đầy nớc, còn bình thứ hai chỉ đợc một nửa bình, hoặc bình thứ hai đầy nớc, còn bình thứ ba chỉ đợc một phần ba bình (coi nh trong quá trình đổ nớc từ bình này sang bình kia lợng níc hao phÝ b»ng kh«ng) Hãy xác định thể tích của mỗi bình? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại K. a) Chøng minh: c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh: IK // BC c) Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành? --------------------------------------------------------ĐỀ 10: C©u1: (3 ®iÓm). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ 3 5 2x 2x ¿ a 4 x + =2 ¿ b ¿ − >2¿ c ¿ ¿ 5 x −3 y +1=0 ¿ −2 y − 3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ { 3 2 3 3 3 C©u 2: (2 ®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh: x2 -3x -2 = 0 a) H·y gi¶i ph¬ng tr×nh. b) Gäi 2 nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ x1, x2. TÝnh x14 + x24 C©u 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A tíi B, cïng mét lóc ngêi kh¸c còng ®i tõ B tíi A víi vËn tèc b»ng 4/5 vËn tèc của ngời thứ nhất. Sau 2 giờ 2 ngời gặp nhau. Hỏi mỗi ngời đi cả quãng đờng AB hết bao lâu? C©u 4: (2 ®iÓm) Trên đờng tròn (O ; R), đờng kính AB, lấy điểm M sao cho MA>MB. Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và B cắt nhau tại một điểm P, các đờng thẳng AB, MP cắt nhau tại điểm Q, các đờng thẳng AM, OM cắt đờng thẳng BP lật lợt tại các điểm R, S a) Chøng minh tø gi¸c AMPO lµ h×nh thang. b) Chøng minh MB// SQ. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a2 + b2 +c2 = 1 Chøng minh r»ng: a + b + c + ab + bc + ca 1+ √ 3 --------------------------------------------------------ĐỀ 11: C©u1: (3 ®iÓm). 1 2 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − 2 ¿ =x −3 x +1 ¿ 2a 3a b) Tìm a để biểu thức sau có căn bậc hai: A= − −1 3 2. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(51) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ ¿ 3 x+2 y −4=0 c) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 x − 3 y +5=0 ¿{ ¿ C©u 2: (2 ®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh: x2-2x-1=0 a) H·y gi¶i ph¬ng tr×nh: b) Gäi 2 nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ x1, x2. TÝnh (x1 - x2 )4 C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô du lịch đi từ A tới C, cùng một lúc từ địa điểm B trên đoạn đờng AC có một ô tô tải cùng đi đến C. Sau 6 giờ ô tô du lịch và ô tô tải cùng tới C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu biết 5 r»ng vËn tèc « t« t¶i b»ng vËn tèc « t« du lÞch. 6 C©u 4: (2 ®iÓm) Trên đờng tròn (O ; R), lấy 2 điểm A, B, sao cho AB<2R. Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A và B là P, qua A, B kẻ các dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC lµ Q. a) Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp đợc. b) Chøng minh PQ// AC. C©u 5: (1 ®iÓm) 2 BiÕt r»ng: y2+yz+z2=1- 3 x 2 Chøng minh r»ng : − √ 2 ≤ x + y + z ≤ √ 2 --------------------------------------------------------ĐỀ 12: C©u1: (3 ®iÓm). 1) Tìm tập xác định của biểu thức : 1 a) b) √ x+2 2 x −25 ¿ 2 3 + =5 x y 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3 2 − =1 x y ¿{ ¿ C©u 2: (3 ®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x: x2 + 2mx-2m-3=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m=-1 b) CMR ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c) Tìm nghiệm của phơng trình (1) khi tổng các bình phơng của 2 nghiệm đó nhận giá trị nhỏ nhất. C©u 3: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng ABC (gãc A =900) trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm D (D kh«ng trïng víi c¸c ®iÓm A, C)§êng trßn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai E, đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F ( F không trïng víi D) Chøng minh: a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b) Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn c) AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF C©u 4: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (y2+4)(x2+y2)=8xy2 --------------------------------------------------------ĐỀ 13 : C©u1: (2,5 ®iÓm). Cho hµm sè bËc nhÊt : y =2x+b (1) NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(52) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến?giải thích? b) Biết rằng đồ thị hàm số (1) đi qua A (1 ;3). Tìm b và vẽ đồ thị của hàm số (1) C©u 2: (2,5 ®iÓm).. 1  a1. 1 1 a 1. Cho A= a) T×m TX§ vµ rót gän A b) Tìm các số nguyên tố a để A nguyên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho một thửa ruông hình chữ nhật có diện tích 100m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết nếu t¨ng chiÒu réng cña thöa ruéng lªn 2m vµ gi¶m chiÒu dµi cña thöa ruéng 5m th× diÖn tÝch cña thöa ruéng t¨ng thªm 5m2. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm (O). Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn, kẻ hai tiếp tuyến PA, PC với (O). a) Chøng minh tø gi¸c PAOC néi tiÕp b) Tia AO c¾t (O) t¹i B. §êng th¼ng qua P//AB c¾t BC t¹i D. Tø gi¸c AODP lµ h×nh g×? c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña OC vµ PD J lµ giao ®iÓm cña PC vµ DO K lµ trung ®iÓm cña AD Chøng minh I, J, K th¼ng hµng --------------------------------------------------------ĐỀ 14 : C©u1: (3 ®iÓm). Cho hµm sè bËc mét : y = (m2+1)x -1 a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao? b) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua 1 điểm cố định (x0; y0) với mọi m C©u 2: (2,5 ®iÓm).. 2  1   2  x 1  y m   3  5  2 2  x 1 y 3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a) Gi¶i hÖ khi m=1 b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ v« nghiÖm? C©u 3: (2 ®iÓm). T×m 2 sè biÕt r»ng tæng cña 2 sè b»ng 17. NÕu sè thø nhÊt t¨ng 3, sè thø hai t¨ng 2 th× tÝch cña chóng b»ng 105 C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho r ABC cân (AB =AC, góc B >450), một đờng tròn tiếp xúc với AB, AC lần lợt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy M (M không trùng với B, C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH MK xuống các cạnh BC, CA, AB a) ChØ ra c¸ch dùng (O) b)Chøng minh tø gi¸c BIMK néi tiÕp c) Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB vµ IQ K lµ giao ®iÓm cña MC vµ IH Chøng minh PQ  MI --------------------------------------------------------ĐỀ 15: C©u1: (3 ®iÓm). Cho c¸c biÓu thøc : 25 25 a= ; b= P= x √ y − y √ x víi x>0, y>0 5+ 2 √ 6 5 − 2√ 6 √ xy 1) TÝnh a+b 2) Rót gän biÓu thøc P NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(53) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. 3) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi thay x b»ng biÓu thøc a vµ thay y b»ng biÓu thøc b C©u 2: (2,5 ®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x x2+(2m+1)x+m2+3m=0 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=0 2) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm 3) Xác định m để phơng trình có nghiệm bằng 2 và tổng các bình phơng các nghiệm lớn nhất. C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Một ca nô ngợc dòng từ A đến B với vận tốc là 20km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian ca nô ngợc dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian canô xuôi dòng từ B về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B. BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 5km/h, vËn tèc riªng cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng lµ b»ng nhau. C©u 4: (2,5 diÓm) Cho tứ giác ABCD (AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn tâm (O). TIếp tuyến A và tiếp tuyến D của đờng trßn t©m (O) c¾t nhau t¹i E/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Chøng minh: 1) Gãc CAB = 1/2 gãc AOD 2) Tø gi¸c AEDO néi tiÕp 3) EI//AB --------------------------------------------------------ĐỀ 16: C©u1: (2 ®iÓm).. a)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= -. √ 2− 1¿2 ¿ 2+ √ √¿. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2+x-2=0 C©u 2: (2,5 ®iÓm). Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn x, y, tham sè m: ¿ 2 x+ y =2 x+ 2 y =m 2+3 m+1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m=0 b) Xác định các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (xo; yo ) thoả mãn x0=y0 c) Xác định các giá trị nguyên của tham số m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm (a;b), với a và b là c¸c sè nguyªn. C©u 3: (1,75 ®iÓm) : Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Ngời ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây ấy trớc 3 ngày. Hỏi dự kiến ban đầu mỗi ngày trång bao nhiªu c©y? (Gi¶ sö sè c©y dù kiÕn trång mçi ngµy lµ b»ng nhau) Câu 4: (3 điểm) Cho đờng tròn (O) bán kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB( A không trùng với O và B) vẽ đờng tròn (O’) đờng kính AC. Đờng thằng đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O’). K là giao điểm thứ hai vủa CE với đờng tròn (O’). CM: a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi b) AF// BD c) Ba ®iÓm E, A, F th¼ng hµng d) Bốn điểm M, F, C, E cùng thuộc một đờng tròn. e) Ba đờng thẳng CM, DK và EF đồng quy. Câu 5: (0,75 điểm): Cho a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện a+b=2ab. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu a+1 b+1 thøc B= + 2 a −1 2b − 1 --------------------------------------------------------ĐỀ 17 : C©u1: (2 ®iÓm). a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :. 1 1 − 2 25 2. √ √. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(54) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ ¿ x +2 y=3 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 x − y =1 ¿{ ¿ C©u 2: (2,5 ®iÓm). Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x, tham sè m x2+4mx+3m2+2m-1=0 a) gi¶i ph¬ng tr×nh víi m=0 b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. c) Xác định các giá trị của m để phơng trình nhận x=2 là một nghiệm. C©u 3: (1,75 ®iÓm): Gi¶i bµi tãan b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt, chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng lµ 5 m, diÖn tÝch b»ng 300m 2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña khu vên. C©u 4: (3 ®iÓm) Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua P cắt đờng tròn (O) tại 2 điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gäi H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF. CMR a) Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b) Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn c) Tam gi¸c PQO c©n d) PM2=PE.PF e) Gãc PHM = gãc PHN C©u 5 (0,75 ®iÓm): Gi¶ sö ( √ a2 +1 −a )( √ b2 +1− b ) =1 H·y tÝnh tæng cña a+b ---------------------------------------------------------. ĐỀ 18: Câu1: a) Tìm tập xác định của các biểu thức sau :. 1 x4. 2. a1) a2) 1  x b) Cho hµm sè bËc nhÊt Èn x: y= (a+1)x +1 b1) Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm có toạ độ (1 ;1) b2) Xác định các giá trị của a để hàm số đồng biến C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: 2x2-5x+2=0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1). 1 3 b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ a. ;. 1 b3 trong đó a và b là 2 nghiệm của phơng trình (1). C©u 3:. 1 1 1 1 2  ):(  ) 2  x 2  x 2  x víi x Cho biÓu thøc: A= 2  x 2  x (.  -2, x  0, x  2. a) Rót gän biÓu thøc A. 3A b) Xác định các giá trị nguyên của x để 4 là một số nguyên tố. Câu 4: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ t¨ng thªm 13cm2. NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 2cm, chiÒu réng ®i 1cm th× diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt sÏ gi¶m 15cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho Câu 5: Cho đờng tròn tâm (O) có tâm là O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A lấy điểm M (M kh«ng trïng víi A). Tõ M kÎ tiÕp tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt t¹i E vµ F. Chøng minh: a) Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn. b) gãc IAB = gãc AMO c) O lµ trung ®iÓm cña FE NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(55) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. ĐỀ 19: C©u1: a) Trôc c¨n thøc ë mÉu cña mçi ph©n thøc −9 2 a1) a2) √3 √3 − √2 1 1 + b) Rót gän biÓu thøc : √2 −1 √ 2+1 c) Từ một điểm M nằm ngoài đờng tròn (O) có tâm là O kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ với đờng tròn (O) (P,Q lµ tiÕp ®iÓm). BiÕt sè ®o gãc POQ =1400. TÝnh sè ®o gãc MPQ C©u 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ ¿ 5 x+3 y =8 5 x+3 y =8 xy a) 3 x+ 2 y =5 b) 3 x+2 y =5 xy ¿{ ¿{ ¿ ¿ C©u 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x tham sè k: x2 -2(k-3)x +k2 -6k =0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi k=0 b) Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1,, x2. Xác định các gía trị nguyên của tham số k sao cho x1 + x2 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn 2 C©u 4: Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 90km, ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 1,2 giê (xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A, xe thø hai khëi hµnh tõ B)T×m vËn tèc cña mçi xe. BiÕt r»ng thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đờng AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đờng AB là 1 giờ. C©u 5) : Cho tam gi¸c vu«ng ABC (gãc A=900, AB>AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n th¼ng AC ( M trïng với A và C) Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đờng tròn đờng kính MC, gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng kính MC, T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a) Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc đờng tròn b) CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCS TA TC c) = TD TB --------------------------------------------------------ĐỀ 20: C©u1: a) Rót gän : A= √ 4 x 2 − 12 x +9+2 x − 1 víix< √2 7 x +4 x 2 +15 x b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: − = 2 x +1 2 −2 x x −1 Câu 2: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian qui định với vận tốc xác định. Nếu ngời đó tăng vận tốc (3km/h) thì sẽ đến B sớm hơn 1(h). Nếu ngời đó giảm vận tốc đi (2km/h) thì sẽ đến B muộn hơn 1(h). Tính quãng đờng AB, vận tốc và thời gian của ngời đó. C©u 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, 1 điểm D nằm giữa A, B. Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E. Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tâm O tại các điểm thứ hai F,G. Chứng minh a) BE.BC =BD.BA b) Gãc AED = gãc ABF c) Tø gi¸c AFGC lµ h×nh thang d) AC, BF, DE đồng qui. C©u 4 Chøng minh r»ng: Cã duy nhÊt mét cÆp sè (x,y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh 2 9 x − 12 √ x − 2 √ 7 . y+ y +11=0 --------------------------------------------------------ĐỀ 21: 2. 2. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(56) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. √2 x − 1 x+ √ 1 − √ 2 x+ √ x 1+ ¿ C©u1: Cho M= ( √ 2 x+1 √ x+ 1 + √2 x + √ x − 1¿ :¿ √2 x+1 √2 x −1 a) Rót gän M x √ b) TÝnh gi¸ trÞ cña M khi x = 3+2 ¿ 1 ¿ 2 C©u 2: Hai vßi cïng ch¶y vµo ®Çy mét bÓ hÕt 4h 48’. NÕu ch¶y riªng th× vßi 1 ch¶y nhanh h¬n vßi 2 lµ 4h. Hái nÕu ch¶y riªng mét m×nh th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u? C©u 3. Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Tiếp tuyến chung Ax, 1 đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) và (O2) lần lợt tại B và C và cắt Ax tại M. Kẻ đờng kính BO1 D, CO2E. Chứng minh rằng: a)M lµ trung ®iÓm cña BC b) Tam gi¸c O1MO2 vu«ng c) B, A, E vµ C, A, D th¼ng hµng d) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc d Câu 4 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm ¿ 2 x −(2 m−3) x+ 6=0 2 2 x + x+(m− 5)=0 ¿{ ¿ --------------------------------------------------------ĐỀ 22: C©u1:(2,5 ®iÓm) a+1 ab+a a+1 ab +a Cho biÓu thøc: A= ( + −1):( + +1) ab+1 ab −1 ab+1 ab − 1 a) Rót gän M b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt : a= √ 4 − 2 √ 3 vµ b= √ 4+ 2 √ 3 c) BiÕt a, b lµ 2 sè d¬ng tho¶ m·n a+b =4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u 2: (1,5 ®iÓm) Hai địa điểm A và B cách nhau 650km. Hai ô tô đi ngợc chiều nhau, nếu chúng cùng khởi hành thì sau 10h sÏ gÆp nhau. Nhng nÕu xe thø 2 khëi hµnh sím h¬n xe thø nhÊt 4h 20’ th× chóng cïng gÆp nhau sau 8giê tÝnh tõ lóc xe thø nhÊt khëi hµnh. TÝnh vËn tèc mçi xe. C©u 3. (3 ®iÓm) Cho một đờng tròn (O,r), lấy trên đờng tròn đó hai điểm A và B sao cho AB< 2r. Gọi P là giao điểm của 2 tiếp tuyến với đờng tròn tại A và B 1) Chøng minh tø gi¸c AOBP néi tiÕp. 2) Qua A, B kÎ 2 d©y cung AC, BD song song víi nhau. Gäi Q lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC (sao cho Q và B khác phía đối với AP). Chøng minh tø gi¸c AQPB néi tiÕp. 3) Chøng minh PQ//AC C©u 4 (2 ®iÓm) ¿ ax − 2 y =a Cho hÖ ph¬ng tr×nh: y − 2 x =a+1 ¿{ ¿ 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a=-1 2) Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thảo mãn điều kiện y-x=1 C©u 5 ( 1 ®iÓm) NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(57) TÀI LIỆU ÔN TẬP TOAN 9 HKII – LƯU HÀNH NỘI BỘ. Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 √ x − √ 2 y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 4x+4y --------------------------------------------------------ĐỀ 23: C©u 1 (2 ®iÓm).  x 1 x x 2 x     x 1 x1 x 1 Cho biÓu thøc: A= . 1  1   . x   x . a) Tìm tập xác định của A. b) Rót gän A. c) So s¸nh A víi 1. C©u 2 (2 ®iÓm) Cho hµm sè : y = a x + 2 (d1) a)Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số (d1) đi qua điểm M(1;3). Vẽ đồ thị của hàm số (d1) với hệ số a vừa tìm đợc. b) Tìm m để đồ thị của hàm (d1)cắt Parabol (P) :y = mx2tại hai điểm phân biệt A, B. c) Tìm m để hai điểm A và B ở bên trái trục tung. C©u 3 (2®iÓm) Hai xe ôtô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 315 km . Xe thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn xe thứ hai 3 km, nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai nửa giờ . Tính vận tốc mçi xe ? C©u 4 (1®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) 2x2+ 5x + 7 = 0 ; b) x  4 = 2- x . C©u 5 (3 ®iÓm) Cho điểm P cố định nằm ngoài đờng tròn (O;R). Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA,PB tới đờng tròn (O;R) (A,B là các tiếp điểm)và một cát tuyến PMN (M,N thuộc đờng tròn (O;R),M nằm giữa Pvà N).Gọi K là trung điểm đoạn MN, BK cắt đơng tròn (O;R) tại F. a)Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp một đờng tròn. Xác định bán kính đờng tròn đó. b)Chøng minh PB2 = PM.PN. c)Chøng minh AF// MN. d)Chứng minh rằng khi đờng tròn (O;R) thay đổi và đi qua điểm M,N cố định thì hai điểm A,B thuộc một đờng tròn cố định. HÕt.. NĂM HỌC : 2014 - 2015. 5.

(58)

Tai lieu on tap Toan 9

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về