chuyen de tinh chia het tren tap hop so tu nhien

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN Đ Ề :. TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN. A. LÝ THUYẾT. b). 1. Định nghĩa . Với mọi a, bN (b0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho a = bq + r (0  r < b) a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư - Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a . hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a). - Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b 2. Tính chất chia hết của tổng , của hiệu , của tích *Tích chất - số a chia hết cho mọi số a ≠ 0 - Số 0 chia hết cho mọi số b ≠ 0 - Nếu a  b và b  c thì a  c - Nếu a  b và b  a (a ≠0,b ≠ 0) thì a = b - Nếu a  b, a  m và (b,m) = 1 thì a  bm - Nếu ab  m và (b,m) = 1 thì a  m - Nếu a  m và bm thì a b m ( a ≥ b ) - Nếu a  b thì ka  b ,(k  N , b ≠0) - Nếu a  b và b là ước của c thì a  c - Nếu a  m và b  m thì a b  m ( a ≥ b ) - Nếu a b m và am thì b  m,(m ≠0) - Nếu am và bn thì ab mn - Nếu ab thì an  bn * Nâng cao - Nếu a  b, a  m Thì k1 a + k2 a  m - Nếu a  m và b  m ; a +b + c  m Thì c  m - Nếu a  m và b  m ; a +b + c  m Thì c  m 3.Các dấu hiệu chia hết của số tự nhiên a. Biểu diễn số tự nhiên trong hệ thập phân.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> N = a n a n 1...a 0 = 10n an+ 10n-1an-1 +…+ 10a1+a0 b. Các dấu hiệu chia hết của số tự nhiên - Dấu hiệu chia hết cho 2 : Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số ấy có chữ số tận cùng là số chẵn ( 0; 2; 4; 6; 8) 0; 2; 4;6;8.  N  2  ao 2  a0   - Dấu hiệu chia hết cho 5 : Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 0;5. N  5  ao 5  a0    - Dấu hiệu chia hết cho 10 : Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0 N  10  ao =0 - Dấu hiệu chia hết cho 3 : Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 N  3  a0 + a1 +…+an  3 - Dấu hiệu chia hết cho 9 : Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9 N  9  a0 + a1 +…+an  9 - Dấu hiệu chia hết cho 4 : Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 4 N  4  a1a 0  4 - Dấu hiệu chia hết cho 25 : Một số chia hết cho 25 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 25 N  25  a1a 0  25 - Dấu hiệu chia hết cho 8 : Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 8 N  8  a 2a1a 0  8 - Dấu hiệu chia hết cho 125 : Một số chia hết cho 125 khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó lập thành một số chia hết cho 125.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> N  125  a 2a1a 0  125 -Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí chẵn và tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ(kể từ trái qua phải) chia hết cho 11 N  11 .  a 0  a 2 . –  a1  a 3   11. 4. Những tính chất khác đáng chú ý : - Nguyên tắc Dirichlet : Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên + Tổng quát: Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ k +1 vật trở lên. - Trong n số tự nhiên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết n , n ≥ 1  Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n. 5. Các phương pháp giải các bài toán về chia hết Phương pháp 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho một m, ta phân tích m ra thừa số. Giả sử m = p.q. Nếu p và q là số nguyên tố, hay p và q là nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q ( từ đó suy ra A(n)  p.q = m ) Ví dụ 1: Chứng minh tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 Giải: Ta có A(n) = (n – 1)n(n + 1) và 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố), ta tìm cách chứng minh A(n) 2 và A(n) 3 Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 vậy A(n) 2 Trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3 vậy A(n) 3 Có A(n) 2 và A(n) 3 vậy A(n) 2.3 = 6 * Nếu q và p không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số, chẳng hạn A(n) = B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q ( suy ra A(n) = B(n).C(n) p.q = m) Ví dụ 2: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 Giải: Gọi số chẵn đầu tiên là 2n, số chẵn tiếp theo là 2n+2, tích của chúng sẽ là A(n) = 2n(2n+2) ta có 8 = 4.2 và A(n) = 2n(2n+2) = 4.n(n+1) đây là.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> tích của 2 thừa số một thừa số là 4 chia hết cho 4 và thừa số kia là n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 Vì vậy A(n) = 2n(2n+2) = 4.n(n+1) 2.4 = 8 Phương pháp 2: Để chứng minh A(n)  m, có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều số hạng và chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m. Ví dụ 3: Chứng minh rằng n3 – 13n  6 với mọi n thuộc Z Giải: Ta phải chứng minh A(n) = n3 – 13n  6 Chú ý rằng 13n = 12n+n mà 12n  6, ta biến dổi A(n) thành A(n) = (n3 – n) – 12n = n(n2 – 1) – 12n = (n – 1)n(n + 1) – 12n Mà (n – 1)n(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên (n – 1)n(n + 1)  6 ( Ví dụ 1) Và 12n  6 Vì vậy (n – 1)n(n + 1) – 12n  6 hay A(n) = n3 – 13n  6 Phương pháp 3: Để chứng minh tổng không chia hết cho m, có thể chứng minh một số hạng của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 +n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 Giải: Ta có n2 +n + 1 = n( n+ 1 ) + 1 Vì n( n+ 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2  n( n+ 1 ) + 1 là một số lẻ nên không chi hết cho 4 n( n+ 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9  n( n+ 1 ) + 1không có tận cùng là 0 hoặc 5 do đó không chi hết cho 5 Phương pháp 4: Phương pháp phản chứng Ví dụ 5: Chứng minh rằng a2 – 8 không chia hết cho 5 với a  N Giải: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử A(n) = a2 – 8  5, nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, suy ra a2 (là một số chính phương) phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 3;8 – Vô lý ( vì một số chính phương bao giờ cũng có các chữ số tận cùng là 0 ; 1; 4; 6; 9).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy a2 – 8 không chia hết cho 5 Phương pháp 5: Phương pháp qui nạp. Ví dụ 6: Chứng minh rằng 16n – 15n – 1 225 (1) Giải: Với n = 1 thì 16n – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 225 Giả sử (1) đúng với n = k tức là 16k – 15k – 1 225 Cần chứng minh (1) đúng với n = k+1 Ta chứng minh 16k+1 – 15(k+1) – 1 225 Thực vậy: 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 = (16k – 15k – 1) + 15.16k – 15 Theo giả thiết qui nạp 16k – 15k – 1 225 Còn 15.16k – 15 = 15(16k – 1) 15.15 = 225 Vậy 16n – 15n – 1 225 Phương pháp 6: Nguyên lý Diricle - Nguyên lý Dirichlet : Nếu đem n+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên + Tổng quát: Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ k +1 vật trở lên. - Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết n, n ≥ 1  Tích n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n. Ví dụ 7 : Cho 7 số tự nhiên bất kì . Chứng minh rằng bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 6 Giải: Khi chia một số cho 6 thì số dư r chỉ ó thể lấy một trong 6 giá trị là 0; 1; 2; 3; 4; 5 . Vì có 7 số tự nhiên chia cho 6 mà chỉ có 6 só dư nên theo nguyên lý Điricle thì ít nhất có 2 số chia cho 6 có cùng số dư , nên hiệu của hai số này chia hết cho 6 Phương pháp 7 : Sử dụng chữ số tận cùng * Chú ý : - Phương pháp này được áp dụng khi chứng minh một lũy thừa hay biểu thức chứa các lũy thừa chia hết cho 2; 4; 5; 8; 10; 125 ; ….

<span class='text_page_counter'>(6)</span> - Bản chất của phương pháp là làm đơn giản hóa biểu thức chứa lũy thừa; đưa việc chứng minh biểu thức chứa lũy thừa về các số cụ thể có chứa các dấu hiệu chia hết thể hiện qua các chữ số tận cùng. - Thực chất của việc tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa là tìm số dư của lũy thừa đó cho 10; tìm hai chữ số tận cùng là tìm số dư của lũy thừa đó cho 100; tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của lũy thừa đó cho 1000… * Để tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa cần chú ý rằng:  Các số tự nhiên có tận cùng là 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa (khác 0) nào cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6  Các số tự nhiên có tận cùng là 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n ( n # 0 ) đều có tận cùng là 6  Các số tự nhiên có tận cùng là 3; 7 ; 9 nâng lên lũy thừa 4n đêu có tận cùng là 1 ( Riêng đối với Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó , nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt 6 và 1; ) *Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8 Ví dụ 8 : Chứng minh rẳng với mọi số tự nhiên n thì 34n + 1 + 2 Chia hết cho 5 Ta có 34n + 1 + 2 = ( 34 ) n . 3 + 2 = 81n . 3 + 2 = ( … 1 ) . 3 + 2 có tận cùng bằng 5 . N ên chia hết cho 5 Vậy 34n + 1 + 2 Chia hết cho 5. B. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1 : CHỨNG MINH CHIA HẾT 1.1.Chứng minh dựa vào các dấu hiệu chia hết(định nghĩa) - Nắm vững các dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên - Biến đổi điều cần chứng minh thành các yếu tố có chứa những dấu hiệu chia hết cần có. Ví dụ 1. Chứng minh rằng : a) ab  ba chia hết cho 11 b) ab  ba chia hết cho 9 với a > b Giải: a) Ta có ab  ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Vậy ab  ba  11 b) Ta có: ab  ba = (10a + b) - (10b + a) = 9a – 9b = 9(a – b) 9 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : a) A= 3n+2 – 2 n+2 + 3n – 2 n chia hết cho 10 b) B = 10 n – 18 n – 1 chia hết cho 27 Bài làm : a) A = 3n+2 – 2 n+2 + 3n – 2 n = 3n (32 + 1) – 2 n (22 +1) = 10 . 3n – 5 .2n = 10 . (3n –2n-1)  10 Vậy A chia hết cho 10. b) B = 10 n – 18 n – 1 = 10n – 1 – 9n +27n. 99...9 . =. n. - 9n + 27 n. 11...1 . =9(. n. - n) + 27 n. 11...1 . Vì n là tổng của các chữ số. 11...1 . 9 ( n - n) chia hết cho 27. Mà 27n chia hết cho 27.. 11...1 . n. 11...1  nên. n. - n chia hết cho 3.Do đó. (1) (2). Từ (1),(2) suy ra : 9 ( n - n) + 27 n chia hết cho 27. Vậy B chia hết cho 27 (điều phải chứng minh) Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu ab  cd  eg chia hết cho 11 thì abc deg chia hết cho 11. Giải: Ta có abc deg 10000.ab  100.cd  eg 9999.ab  99.cd  (ab  cd  eg ) 11 1.2.Chứng minh dựa vào những tính chất chia hết * Phương pháp - Nắm vững các dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> - Biến đổi điều cần chứng minh thành các yếu tố có chứa những dấu hiệu chia hết cần có Ví dụ 1. Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia hết cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1. Giải: a  N Giả sử có số thoả mãn cả hai điều kiện trên thì:.  mâu thuẫn a = 15q1 + 6 chia hết cho 3 a = 15q2 + 1 không chia hết cho 3 vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn (đpcm) 28. Ví dụ 2. Chứng minh rằng: F = 10 + 8 chia hết cho 72 Giải: 28 F = 10 + 8 chia hết cho 72 Ta thấy: 72 = 8.9 Ta có: 28 10 + 8  9 vì tổng các chữ số bằng 9 28 10 + 8  8 vì có tận cùng là 008 28 Mà (8;9) = 1 nên 10 + 8 8.9 = 72 (đpcm) 2 3 60 Ví dụ 3. Chứng minh rằng: H = 2 + 2 + 2 +…+ 2 chia hết cho 3 Giải: 2 3 60 H = 2 + 2 + 2 +…+ 2 chia hết cho 3 Dãy số H có 60 số hạng mà 60 chia hết cho 2 nên ta nhóm một cặp hai số hạng Ta có 2. 3. 60. H = 2 + 2 + 2 +…+ 2 2 3 H = (2 + 2 ) + ( 2 + 24) + …+ (259 + 260) 3 59 H = 2.(1 + 2) + 2 .(1 + 2) + … + 2 .(1+2) 3 59 H = 2.3 + 2 .3 + … + 2 .3 3 59 H = 3.(2 + 2 + .. . + 2 )  3 Vậy H chia hết cho 3 Ví dụ 4. Chứng minh tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ chia cho 10 dư 5 Giải:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Gọi 5 số chẵn liên tiếp là 2n ; 2n + 2 ; 2n+ 4 ; 2n + 6 ; 2n + 8 Ta có A = 2n +( 2n + 2 ) + ( 2n + 4 ) + ( 2n + 6 ) + ( 2n + 8 ) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10 ( n + 2 )  10 Vậy A chia hết cho 10 *Gọi 5 số lẻ liên tiếp là 2n +1 ; 2n + 3 ; 2n+ 5 ; 2n + 7 ; 2n + 9 Ta tính tổng được 10n + 25 = 10 ( n + 2 ) + 5.  10 ( dư 5 ). 1.3.Chứng minh theo phương pháp quy nạp Phương pháp : + Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 0 (hoặc n = 1 ) + Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k (giả thiết này được goi là giả thiết quy nạp) .Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 + Theo nguyên lí quy nạp ta kết luận mệnh đề đúng với mọi n * Chú ý : Nếu phải chứng minh rằng mệnh đề luôn đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn p (n ≥ p) thì ở bước một ta sẽ phải kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p,ở bước 2 và bước 3 làm tương tự như trên. Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi số n  N ta có : 4n + 15n – 1 9 (1) Bài làm :  Với n = 1 ta có : 41 + 15.1 – 1 = 18 9.Vậy (1) đúng với n = 1  Giả sử (1) đúng với n = k , tức là ta có : 4k + 15n – 1 9  4k + 15k – 1 = 9m (m  Z)  4k = 9m – (15k – 1)  Với n = k+ 1 ta có : 4k+1 + 15(k + 1) – 1 = 4.4k + 15k + 14 = 4 (9m – (15k – 1)) + 15k + 14 = 36m – 45k + 18 = 9(4m – 5m + 2) 9 Vậy (1) đúng với n = k + 1 , do đó (1) đúng với mọi n ≥ 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n ta có 7n +3n – 1 chia hết cho 9 (2) Bài làm : Với n = 1 ta có 71 + 3 . 1 – 1 = 9 9  (2) đúng với n = 1 Giả sử (2) đúng với n = k tức là 7k + 3 . k – 1 = 9 9 .Cần chứng minh (2) đúng với n = k+ 1 tức cần chứng minh 7k+1 + 3 . (k +1) – 1 = 9 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Thật vậy : Theo giả thiết quy nạp ta có : 7k + 3 . k – 1 = 9 9  7k + 3 . k – 1 = 9m (với m  Z)  7k = 9m – 3k + 1 Nên 7k+1 + 3 . (k +1) – 1 = 7. 7k + 3 . (k +1) – 1 = 7 (9m – 3k + 1) + 3 . (k +1) – 1 = 63m – 18k + 9 = 9 (7m – 2k +1) 9  (2) đúng với n = k+1 , do đó (2) đúng với mọi n ≥ 1 Vậy 7n +3n – 1 chia hết cho 9 đúng với mọi n nguyên dương 1.4.Chứng minh chia hết bằng việc Sử dụng chữ số tận cùng. *Phương pháp : - Tìm chữ số tận cùng (hoặc hai chữ số tận cùng hoặc ba chữ số tận cùng …) của biểu thức chứa lũy thừa đó. Ví dụ 1 : Chứng minh 8102 - 2102 chia hết cho 5 Bài làm : Ta có : 8102 = 84 . 25 . 82 = (…6) . 64 = … 4 2102 = 24 . 25 . 22 = (…6) . 4 = … 4 Vậy 8102 - 2102 có tận cùng là 0  8102 - 2102 chia hết cho 5 Ví dụ 2 : Chứng minh 51n + 47102 chia hết cho 10 ( n N ) Bài làm Ta có 51n = … 1 47102 = 47100 . 472 = ( … 1 ) . ( …9 ) = … 9  51n + 47102 =( … 1 ) + ( …9 ) Có tận cùng bằng 10 Vậy 51n + 47102 chia hết cho 10 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: a) Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11 b) Cũng chứng minh như trên đối với số tự nhiên có ba chữ số Bài 2. Chứng minh rằng nếu ab 2cd thì abcd chia hết cho 67 Bài 3. Cho abc  deg chia hết cho 37. Chứng minh rằng abc deg 37 Bài 4. Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a, b  N). Chứng minh rằng: 10a + b chia hết cho 13.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 5. Chứng minh rằng: 2 11 a ) A = 1 + 3 + 3 + …+ 3 chia hết cho 4 2 3 8 b ) B = 5 + 5 + 5 + …+ 5 chia hết cho 30 c ) C = 45 + 99 + 180 chia hết cho 9 2 3 119 d ) D = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 chia hết cho 13. e ) E = 88 + 220 chia hết cho 17 2 3 1991 f ) F = 1 + 3 + 3 + 3 +…+ 3 chia cho 13 và 41. n I ) I = 10 + 18n – 1 chia hết cho 27 n j ) J = 10 + 72n – 1 chia hết cho 81 2 3 60 h ) H = 2 + 2 + 2 +…+ 2 chia hết cho 3, 7, 15 Bài 6. Chứng minh rằng: a. Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3. b. Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với a, b  N 2 c. Chứng minh rằng: A = n + n + 1 không chia hết cho 2 và 5với n  N Bài 7 Chứng minh rằng n  N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30. Bài 8 Chứng minh rằng các tổng , hiệu sau không chia hết cho 10 a) A = 98 . 96 . 94 . 92 – 91 . 93 . 95 . 97 b) B = 405n + 2405 + m2 Với m,n  N ; n # 0 Bài 9: Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4 Bài 10: Chưng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 còn chia cho 9 thì dư 1  DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT. 1. Phương pháp : - Giả sử tìm n  N sao cho A(n) B(n) - Biến đổi điều kiện A(n) B(n)  k B(n) (với k là số tự nhiên không phụ thuộc n) ,từ đó tìm n - Thử lại các giá trị tìm được của n để có A(n) B(n) Ví dụ 1: Tìm các số tự nhiên n sao cho n2 + 1 chia hết cho n + 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài làm : Giả sử : n2 + 1  n + 1 , khi đó n2 + 1 = (n2 – 1 )+ 2  n + 1 Vì n2 – 1 = (n – 1 ) (n + 1 )  n + 1 nên suy ra 2  n + 1 Mà Ư(2) =.  1;2. suy ra n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 2 Suy ra n = 0 hoặc n = 1 Vì n  N nên n = 1 , n = 0 Thử lại : Với n = 0 ta có n2 + 1 = 02 + 1 = 1  0 + 1 (đúng) Với n = 1 ta có n2 + 1 = 12 + 1 = 2  1 + 1 (đúng) Vậy với n = 1 , n = 0 thì n2 + 1 chia hết cho n + 1 Ví dụ 2: Tìm các chữ số a,b sao cho a – b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 3 Giải: Cách 1: Số. 7 a5b13  (7  a  5  b  1) 3  (13  a  b) 3  a  b. Ta có a – b = 4 Suy ra. mà. chia cho 3 dư 2. 4 ≤ a ≤ 9 và 0 ≤ b ≤ 5. 4 ≤ a + b ≤ 14. (2). Mặt khác a – b là số chẵn nên a + b là số chẵn. (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra a + b = 8 hoặc a + b = 14 Với a + b = 8; a – b = 4 ta được : a = 6; b = 2 Với a + b = 14 ; a – b =4 ta được : a = 9 ; b = 5 Cách 2: Ta có a – b = 4. . a=4+b. 7 a5b1. mà. chia hết cho 3. . Với. 4 ≤ a ≤ 9 và. 0≤b≤5. ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hết cho 3. hay (13 + a + b ) chia hết cho 3. (1).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> . . 13 + 4 + b + b chia hết cho 3. . 17 + 2b chia hết cho 3. vì 17 chia 3 dư 2 nên 2b chia 3 dư 1 và b ≤ 5 nên 2b € {4; 7; 10} . b € {2; 5}. Khi đó a € {6; 9} Ví dụ 3 : Tìm các chữ số x ; y để : a. Bài làm :. 7 x36 y5 1375. b. 135 x4 y45. a.) 7 x36 y5  1375 ta có : 1375 = 125 .11. 7 x36 y5 125  6 y5 125 . y =2 ;. 7 x36 y5 11  (5 + 6 +x) – (2 + 3 + 7 ) = 12 – x 11 . x=1. Vậy số cần tìm là 713625 . b). 135x4 y45. Ta có : 135x4 y45 + 135 x4 y. 5.  135x4 y . 5 và 135x4 y 9. y = 0 hoặc y = 5.  Với y = 0 : 135 x40. 9.  .  ta được số 135540  Với y = 5 : 135 x45. 9. 1+ 3 + 5 + x+ 4 + 0 x=5. 9.  1+ 3 + 5 + x+ 4 + 5 9  x = 0 hoặc x = 9.  ta được hai số 135045 và 135945. Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Giải: Gọi số phải tìm là. ab. 1999ab 37  (199900  ab) 37. . Ta có :  . Ví dụ 5. Tìm a). (5402.37 + 26 + ab)37. (26 +. ab. Vậy nN. ab)37. € { 11; 48; 45}. để:. 3n + 7 chia hết cho n. b ) n + 6 chia hết cho n + 2 Giải: a). Vì. 3n + 7 chia hết cho n. 3n chia hết cho n . Vậy. n € {1; 7}. n € {1 ; 7 } b). Nên 7 chia hết cho n. thì. 3n + 7 chia hết cho n. n + 6 chia hết cho n + 2. Có n + 6  n + 2 mà ta có ( n+ 6 ) - ( n + 2 ) Hay 4 Vậy.  n + 2 suy ra. n € {0; 2 }. thì. n + 2  n + 2 Nên theo tính chât . n+2. n + 2 € {1; 2; 4 } do đó n € {0; 2 } n + 6 chia hết cho n + 2. Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 chia hết cho 7 Giải:.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Cách 1. 18n + 3. 7.  14n + 4n +3. 7.  4n + 3. 7.  4n + 3 – 7. 7.  4n – 4. 7.  4(n – 1). 7. Ta lại có (4, 7) = 1 nên n -1  7 Vậy. n = 7k + 1 (k € N). Cách 2. 18n + 3. 7.  18n + 3 – 21. 7.  18n – 18. 7.  18( n – 1). 7. Ta lại có (18, 7) = 1 nên n – 1  7 Vậy. n = 7k + 1 (k € N). Nhận xét : Việc thêm bớt các bội của 7 trong 2 cách giải trên nhằm đi đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở dó hệ số của n bằng 1. BÀI TẬP ÁP DỤNG.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài 1. Tìm a và b sao cho: a) Cho n =. 7a5. +. 8b 4. . Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9.. 87 ab 9. b) a – b = 4 và c) a – b = 6 và. 4a 7 1b5. +. chia hết cho 9. Bài 2. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng. * 657. , Hiệu của chúng bằng. 5 * 91. 20a 20a 20a 7. Bài 3. Tìm chữ số a, biết rằng: Bài 4. a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37 b) Tìm số tự nhiên có 4 chữ só, chia hết cho 5 và cho 27, biết rằng hai chữ số ở giữa của số đó là 97 Bài 5. a) Tìm số tự nhiên chia cho 4 dư 1 còn chia cho 5 thì dư 3 b) Tìm các số tự nhiên chia cho 8 thì dư 3 còn chia cho 125 thì dư 12 Bài 6.. Tìm số tự nhiên n, sao cho : a) 4n – 5 chia hết cho 13 ; b) 5n + 1 chia hết cho 7 ; c) 2n + 13 chia hết cho n + 3 ; d) 3n + 7 chia hết cho n + 1; e) 2n + 6 chia hêt cho 2n + 1. f) 3n + 1 chia hết cho 11 – 2n.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài 7. Thay các chữ x , y bằng chữ số thích hợp để cho a ) Số 275x chia hết cho 5 ; cho 25 ; cho 125 b ) Số 9xy4 chia hết cho 2 ; cho 4 ; cho 8. DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỰ NHIÊN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN Bài 1. Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5? Ta có: Các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là: 2; 4; 6; 8; …; 100  Số các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là (100 – 2) : 2 + 1= 50 (số) Các số chia hết cho 5 từ 1 đến 100 là: 5; 10; 15; …; 100  Số các số chia hết cho 5 từ 1 đến 100 là (100 – 5) : 5 + 1= 20 (số) Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia cho 5 và dư 3? Ta có: Số chia cho 5 và dư 3 nhỏ hơn 100 là: 3; 8; 13; 18; …; 98 (98  3)  1 19  1 20 5 Vậy có: số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia cho 5 và dư 3. Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3? Ta có: Các số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số là: 102; 105; 108; …; 999.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Vậy có: số. (999  102)  1 299  1 300 3 số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ. Bài 4. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5? Ta có: Các số tự nhiên chia hết cho cả 2 và 5 là: 0; 2; 4 ; 6; 8; …; 998; 1000 Các số tự nhiên chẵn chia hết cho 5 là: 0; 10; 20;…;990;1000 (1000  0) (1000  0) 1 1 2 10 Vậy có: [ ]–[ ] = 501 – 101 = 400 số tự nhiên. nhỏ hơn 1000 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>