Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên pot

Các phép toán trên tập hợp số
tự nhiên
Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép
đệ quy như sau
Phép cộng
1. a + 0 = a
2. a + S(b) = S(a) + b
Phép cộng này khiến (N,+) trở thành một vị nhóm giao hoán với
phần tử trung lập là 0, cũng là một vị nhóm tự do với một hệ sinh
nào đó. Vị nhóm thỏa tính chất khử và do đó có thể được nhúng
trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là số
nguyên.
Nếu chúng ta ký hiệu S(0) là 1, khi đó S(b) = S(b+0) = b + 1; tức là, số
liền sau của b chẳng qua là b + 1.
[sửa] Phép nhân
Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau
1. a×0 = 0
2. a×S(b) = (a×b) + a.
Phép nhân được định nghĩa như vậy khiến (N,×) trở thành một vị
nhóm với phần tử trung lập là 1; một hệ sinh của vị nhóm này
chính là tập hợp các số nguyên tố.
Phép cộng và phép nhân thỏa tính chất phân phối: a×(b + c) =
(a×b) + (a×c).
Các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự
nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của nửa vành giao hoán. Nửa
vành là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó
phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.
Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa "không có số 0" và
"bắt đầu bằng số 1" thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế,
ngoại trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a×1 = a.
Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết a.b để ám chỉ tích a×b, và

chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.
[sửa] Quan hệ thứ tự
Hơn nữa, chúng ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên
tập số tự nhiên như sau:
Với hai số tự nhiên a,b, ta có a ≤ b nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự
nhiên c sao cho a + c = b.
Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở
trên cho ta:
Nếu a, b và c là các số tự nhiên và a ≤ b, thì a + c ≤ b + c và a c ≤b
c.
Tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là
tập sắp tốt: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một
phần tử nhỏ nhất.
[sửa] Phép chia có dư và tính chia hết
Cho hai số tự nhiên a,b, ngoài ra b≠0. Xét tập hơp M các số tự nhiên p
sao cho p.b ≤ a. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần
tử lớn nhất của M là q. Khi đó b q ≤ a và b(q+1)>a. Đặt r=a-b.q. Khi đó
ta có
a=b.q+r, trong đó 0 ≤ r< b.
Có thể chứng minh rằng các số q và r là duy nhất. Số q được gọi là
thương hụt ( hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho
b. Nếu r =0 thì a=b.q. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b chia hết
a. Khi đó ta cũng nói rằng b là ước của a, a là bội của b.