Tài liệu Ch-ơng 6 Xoắn thuần tuý thanh thẳng doc

1
Ch-ơng 6
Xoắn thuần tuý thanh thẳng
1 Khái niệm
1. Định nghĩa:
Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ xuất hiện 1 thành
phần nội lực là mô men xoắn M

2. Ngoại lực gây nên xoắn thuần tuý
Ngoại lực th-ờng cho ở 2 dạng:
* Cho ở dạng ngẫu lực hoặc mô men nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục của
thanh.
* Cho ở dạng công suất truyền N(kw) và tốc độ vòng quay của trục n(vòng/phút)
Khi đó mô men ngoại lực đ-ợc xác định nh- sau:
- Điểm đặt các mô men tại các pu li truyền lực.
- Chiều mô men có chiều trùng với tốc độ vòng quay đối với pu li chủ động, và
ng-ợc với tốc độ vòng quay đối với pu li bị động.
- Giá trị mô men đ-ợc xác định theo biểu thức sau:
M= 9550
N kw
n v ph
( )
( / )
(N.m)
3.Nội lực:
Nội lực khi xoắn thuần tuý là mô men xoắn M
z
đ-ợc quy -ớc dấu nh- sau:
Mang dấu d-ơng khi nhìn vào mặt cắt thấy mô men xoắn nội lực quay theo chiều
kim đồng hồ. Mang dấu âm thì ng-ợc lại.
Biểu diễn mô men xoắn nội lực thay đổi theo chiều trục thanh, ta đ-ợc biểu đồ

mô men xoắn M
z
.
M M M M
z
2
6.2 Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang
của thanh tròn chịu xoắn thuần tuý
1. Thí nghiệm và giả thuyết:
Xét 1 mẫu thanh mặt cắt
tròn, ta kẻ các đ-ờng song
song với trục của thanh đặc
tr-ng cho thớ dọc và kẻ các
đ-ờng vuông góc với trục của
thanh đặc tr-ng cho mặt cắt
ngang. Các đ-ờng này tạo nên
l-ới hình ô vuông.
Tác dụng mô men xoắn, ta
thấy các đ-ờng vuông góc với
trục của thanh vẫn vuông góc,
các đ-ờng song song với trục của thanh trở thành các đ-ơng xiên, ô vuông trở
thành ô hình bình hành .
Qua các thí nghiệm nh- vậy, ng-ời ta đ-a ra các giả thuyết sau:
* Giả thuyết 1:Mặt cắt ngang tr-ớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với
trục của thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi.
* Giả thuyết 2:Trong quá trình biến dạng, bán kính của mặt cắt ngang vẫn thẳng và
có độ dài không thay đổi.
Ngoài ra ng-ời ta còn giả thiết vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi,
nghĩa là tuân theo định luật Húc:

E.
và

G
2. Thành lập công thức ứng suất trên mặt cắt ngang
* Dựa vào các giả thuyết ta thấy:
- Theo giả thuyết 1 thì trên mặt cắt ngang không có thành phần -s pháp vì khoảng
cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. Nh- vậy trên mặt cắt ngang chỉ có
thành phần -s tiếp.
- Dựa vào giả thuyết 2 ta thấy trên mặt cắt song song với trục của thanh không có
thành phần -s pháp, điều đó chứng tỏ:phân tố ở trạng thái -s tr-ợt thuần tuý.
*T-ởng t-ợng dùng 1 mặt cắt cắt thanh
và xét 1 mặt cắt ngang. Trên mặt cắt
ngang có mô men xoắn M
z
. Xét 1 phân
tố diện tích dF xung quanh điểm K
cách tâm vòng tròn 1 khoảng là bán
kính

. Tại điểm K có -s tiếp


vuông góc với bán kính (vì thành phần
h-ớng kính bằng 0 do không có thành
phần nội lực nào cân bằng với nó).
Ta có ph-ơng trình cân bằng mô
men đối với trục z nh- sau:
M
z

=


. .dF
F

(1)
M M



M

dF
x


z
y
3
* Ta hãy xét quy luật biến thiên của -s tiếp: T-ởng t-ợng dùng 2 mặt cắt cắt 1
đoạn thanh có chiều dài là dz và dùng 2 hình trụ đồng trục có bán kính là

và

+d

cắt thanh (hình vẽ)
Ta có :

tg
d
dz




.
Mặt khác theo định luật Húc ta
có:





G G
d
dz
. .
(2)
*Thay (2) vào (1) ta có:
M
z
=
G
d
dz
dF
F
. . .

2

Tích phân , ta đ-ợc:
M
z
= G.
d
dz

.J
p
Suy ra
d
dz

=
M
GJ
z
p
(6.2)
Thay 6.2 vào (2) và rút gọn,ta đ-ợc:




M
J

z
p
.
(6.3)
Đây chính là biểu thức xác định -s tiếp trên mặt cắt ngang.
3.Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp:
Theo công thức 6.3 ta thấy:-s tiếp phân bố bậc nhất theo bán kính. Ta có:
Khi

=0 (tâm vòng tròn) thì


=0
Khi

=R=D/2 (tại chu vi vòng tròn) thì -s tiếp có giá trị lớn nhất là:


max

M
W
z
P
(6.4)
Trong đó W
p
=
J
R

p
gọi là mô men chống xoắn.

Ta có biểu đồ phân bố -s tiếp trên hình vẽ
* Mô men chống xoắn của 1 số hình đơn giản:
- Hình tròn đ-ờng kính là D=2R. Ta đã biết :
J
p
=0,1D
4
cho nên W
P
=0,2D
3
* Hình vành khăn: có đ-ờng kính ngoài D và
đ-ờng kính trong d. Ta đã biết:
J
p
=0,1D
4
(1-

4
) cho nên W
p
= 0,2.D
3
(1-

4

)





max

M
W
z
P

4
4.Điều kiện bền:
Tách 1 phân tố ngoài chu vi, ta
thấy: phân tố ở trạng thái -s tr-ợt
thuần tuý. Trong ch-ơng trạng thái
-s và thuyết bền, ta đã chứng minh
đ-ợc điều kiện bền cho phân tố
tr-ợt thuần tuý. Ta sẽ áp dụng cho
xoắn thuần tuý:
Ta có điều kiện bền:



max

M
W

z
p
Tuỳ theo từng thuyết bền mà ta có -s tiếp cho phép khác nhau:
- Theo thuyết bền -s tiếp lớn nhất: ta có





2
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại, ta có





3
- Theo thuyết bền Mor, ta có







k
1
Trong đó

k
n
Theo tính chất của thuyết bền, thì vật liệu dẻo sử dụng 2 thuyết bền trên, còn vật
liệu dòn thì sử dụng thuyết bền Mor
4-Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu
xoắn
Theo hình vẽ trên, ta thấy: khi chịu xoắn
thuần tuý thì phân tố ở trạng thái -s tr-ợt
thuần tuý. Tìm phân tố chính, ta thấy phân
tố chính nghiêng 45
0
so với phân tố tr-ợt
thuần tuý(hình vẽ).
- Vật liệu dẻo bị phá hỏng do chịu cắt kém,
cho nên mặt cắt bị phá hỏng là mặt cắt
ngang là mặt cắt có -s tiếp lớn nhất.
- Vật liệu dòn: vì chịu kéo kém, cho nên mặt cắt bị phá hỏng nghiêng 45
0
so với
ph-ơng ngang là mặt cắt có -s pháp kéo lớn nhất.
*Trong tr-ờng hợp thanh chịu kéo thì -s pháp lớn nhất đạt trên mặt cắt ngang cho
M M


max

3


1


-

(Phá hỏng vật liệu dẻo (Phá hỏng vật liệu dòn
khi xoắn) khi xoắn)
5
nên vật liệu dòn bị phá hỏng theo mặt cắt ngang. Còn -s tiếp đạt giá trị lớn nhất
trên mặt cắt nghiêng 45
0
cho nên vật liệu dẻo bị phá hỏng trên mặt cắt nghiêng 45
0
.

3 Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn thuần túy

Khi chứng minh công thức -s trên mặt cắt ngang ta đã có công thức 6.2:

=
d
dz

=

M
GJ
z
p
Trong đó

gọi là góc zoắn tỉ đối: là góc xoắn giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đơn
vị chiều dài.
Để tính góc xoắn tuyệt đối , ta chuyển vế và tích phân, ta có:




M
GJ
dz
z
p
l
0
(6.5)
Trong đó tích số GJ
p
gọi là độ cứng chống xoắn.
Nếu trong 1 đoạn thanh chiều dài l có M
z
, GJ
p
là hằng số thì ta có:

M l
GJ
z
p
.
.
(6.6)
Nếu có nhiều đoạn thanh có chiều dài l
i
,và M
zi
, G
i
, J
pi
là hằng số, khi đó góc
xoắn đ-ợc tính theo biểu thức sau:





M l
G J
zi i
i pi
i
n

.
.
1
(6.7)
Trong các biểu thức trên: Dấu của

phụ thuộc vào dấu của M
z
.
Điều kiện cứng:
Điều kiện cứng đ-ợc xác định trên cơ sở hạn chế biến dạng không cho phép quá
lớn. Đó là:



M l
GJ
z
p
.
.



và


max
max

M
GJ
z
p
Trong đó góc xoắn tuyệt đối, tỉ đối cho phép đ-ợc xác định theo yêu cầu kỹ
thuật, dựa theo các bảng tra.