Một số tính chất của cs môđun và cess môđun

3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HUỲNH THANH TƢỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA CS-MƠĐUN VÀ CESS-MƠĐUN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2012


4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HUỲNH THANH TƢỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA CS-MƠĐUN VÀ CESS-MƠĐUN
Chun ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN, 2012


5

MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................... 3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Hạng tử trực tiếp. ................................................................................... 5
1.2. Môđun suy biến...................................................................................... 5
1.3. Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều. ........................................ 5
1.4. Mơđun con tối đại, mơđun con đóng, bao đóng của một môđun,
bù giao............................................................................................................ 8
1.5. Môđun đơn, môđun nửa đơn. .............................................................. 11
1.7. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh.............................................................. 12
Chƣơng 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MƠĐUN VÀ
CESS-MƠĐUN
2.1. CS-mơđun: ............................................................................................ 13
2.2. CESS-môđun: ....................................................................................... 27
KẾT LUẬN ................................................................................................. 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 35


6

LỜI NĨI ĐẦU
Lý thuyết mơđun đã góp phần khơng nhỏ đến sự phát triển của
chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Trong lý thuyết môđun, hai lớp
môđun đƣợc các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và
lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tƣơng tự dựa trên yếu tố nội xạ, ngƣời ta đã
mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun nhƣ: môđun tựa nội xạ,
môđun giả nội xạ đã đƣợc nghiên cứu bởi S. K. Jain and S. Sigh (1967), M.
L. Teply (1975), H. Q. Dinh (2005),…; Các lớp CS-môđun, môđun liên tục
cũng đƣợc Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M. Okado, S. H.
Mohamed and P. J. Muler,… phát triển, xây dựng mối quan hệ giữa các lớp
môđun mở rộng với nhau và đã đƣa ra nhiều kết quả hữu ích trong việc
phát triển lý thuyết môđun.
Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “CESS-MODUNLES Tr.J.of
Mathematics 22 (1998), 69-75, của C. Celik” (xem [2]), nhằm tìm hiểu sự
tổng qt hóa của CS-môđun cụ thể CESS-môđun, CS-môđun yếu, môđun
thỏa mãn điều kiện (P) và tìm hiểu một số tính chất cũng nhƣ mối liên hệ
giữa các lớp mơđun đó.
Ngồi phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo Luận văn đƣợc chia
làm hai chƣơng.
Chƣơng 1. Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản
có liên quan đến chƣơng sau của luận văn nhƣ: tổng trực tiếp, môđun con
tối đại, mơđun con cốt yếu, mơđun con đóng, mơđun đơn, mơđun nửa đơn,
mơđun đều, bao đóng của một mơđun, mơđun nội xạ, môđun xạ ảnh…


7

Chƣơng 2. Trình bày có hệ thống và chứng minh chi tiết một số
tính chất của CS- mơđun và CESS- mơđun.

Luận văn đƣợc hồn thành tại Trƣờng Đại học Vinh dƣới sự hƣớng
dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến Thầy, ngƣời đã hƣớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại
số và Lý thuyết số, Khoa Tốn học và Phịng Đào tạo Sau đại học thuộc
Trƣờng Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp cao học 18 chuyên
ngành Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi những
sai sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của q thầy
giáo, cơ giáo và bạn đọc để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn.

Nghệ An, tháng 10 năm 2012
Tác giả


8
Chƣơng 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chƣơng này chúng tơi trình bày (không chứng minh) một số
kiến thức cơ sở của Đại số liên quan đến việc trình bày của Chƣơng 2, chủ
yếu dựa trên tài liệu [1] và [6]. Trong suốt tồn bộ luận văn, vành R ln
đƣợc giả thiết là vành có đơn vị ký hiệu là 1 và môđun là môđun phải unita.
1.1. Hạng tử trực tiếp

Định nghĩa. Môđun con A của M gọi là hạng tử trực tiếp (direct

summand) của M, ký hiệu A  M nếu và chỉ nếu tồn tại môđun con B của
M sao cho A  B  0 và A  B  M . Khi đó, ta viết M  A  B. Môđun A  0 đƣợc
gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duy nhất
trong A.
1.2. Môđun suy biến
Định nghĩa. Cho M là R- môđun. Đặt
Z(M)={m M\mI =0, với I là iđêan phải cốt yếu nào đó của R}
i)

Ta có Z(M) là một môđun con của M và gọi là môđun con suy biến
của M.

ii)

Các phần tử của Z(M) gọi là các phần tử suy biến.

iii)

M đƣợc gọi là môđun suy biến nếu M=Z(M). M đƣợc gọi là môđun
không suy biến nếu Z(M)=0 .

1.3. Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều
1.3.1. Định nghĩa. Môđun con N đƣợc gọi là cốt yếu (essential) trong
R-môđun M nếu với mọi môđun con K khác khơng của M ta đều có
N  K  0. (Một cách tƣơng đƣơng, nếu N  K  0 thì K=0). Nếu N là


9

mơđun con cốt yếu trong M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential

extension) của N và kí hiệu N e M .
Sau đây là một số ví dụ cụ thể về mơđun cốt yếu.
1.3.2. Ví dụ. a) Đối với mỗi mơđun M ta đều có M e M .
b). Xem vành số nguyên

nhƣ là

môđun con khác khơng trong
con khác khơng của

-mơđun trên chính nó. Khi đó, mỗi

đều cốt yếu. Thật vậy, giả sử N là môđun

, lấy K là mơđun con khác khơng bất kì của

đó, N có dạng a , K có dạng b

. Khi

với a, b là các số nguyên khác 0 và do đó

0  ab  a  b hay N  K  0. Vậy N là môđun con cốt yếu trong

.

Từ định nghĩa của mơđun con cốt yếu, ta có một số tính chất sau:
1.3.3. Mệnh đề. a) Nếu trong mơđun M có dãy các mơđun con

A  B  C và A e C thì B e C .

b) Nếu Ai e M , i  1,2,3,..., n thì

n
i 1

Ai e M .

c) Nếu  : M  N là đồng cấu mơđun và B e N thì  1 ( B) e M .
d) Cho M là R- mơđun và A là mơđun con của M. Khi đó A e M khi và
chỉ khi mỗi phần tử m khác không của M tồn tại r R sao cho

0  mr  A.
e) Nếu A e B thì B

A

là suy biến.

Chứng minh. a) Giả sử E là môđun con khác 0 của C và M có dãy các
mơđun con A  B  C trong đó A e C , ta cần chứng minh B e C hay ta
cần chứng minh E  B  0. Thật vậy, vì E là môđun con khác 0 của C
và A e C nên E  A  0 , do đó E  B  0. Điều này chứng tỏ B e C .
b) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n  1 , ta có

M e M mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với n-1,


10

tức là A 

n 1
i 1

Ai e M . Ta cần

chứng minh mệnh đề đúng với

n. Thật vậy, giả sử E  0 là một môđun con của M. Do An cốt yếu trong
M nên An  E  0 . Vì A cốt yếu trong M nên A  ( An  E )  0, suy ra

( A  An )  E  0, do đó A  An e M .
c) Giả sử E là một môđun con của M và E   1 ( B)  0 , ta cần chứng
minh  1 ( B) e M hay E=0. Thật vậy, vì E   1 ( B)  0 nên

B   ( E )  0 và vì vậy  ( E )  0 (do B e N ). Từ đó, ta có
E  Ker   1 ( B) suy ra E  E   1 ( B)  0. Điều này chứng tỏ

 1 ( B) e M .
d) (  ). Nếu m  0 thì mR  0 và do A e M nên A  mR  0. Từ đó suy
ra sự tồn tại của r  R mà 0  mr  A .
(  ). Giả sử B là môđun con khác 0 của M. Khi đó, lấy 0  m  B theo
giả thiết điều kiện cần ta tìm đƣợc r  R sao cho 0  mr  A . Vì mr B
nên B  A  0. Điều này chứng tỏ A e M .
e) Giả sử A e B ta cần chứng minh B A là suy biến. Thật vậy, đặt



B  B / A . Xét phần tử bất kì: b  B \ 0 . Ta phải chứng tỏ rằng:

ann(b)   x  R : bx  A e RR (*)
Giả sử y  R \ ann(b) . Khi đó, do by  A nên từ A e B ta suy ra có một
phần tử z  R sao cho byzA \ 0. Do đó 0  yz  ann(b) . Ta suy ra rằng
(*) thỏa mãn, theo (d). Ta có điều phải chứng minh.
1.3.4. Định nghĩa. Môđun U gọi là môđun đều (uniform) nếu bất kì mơđun
con A và B khác khơng của U thì A  B  0 , hay mọi môđun con khác
không của U là môđun cốt yếu trong U.


11

1.3.5. Ví dụ. a)

-mơđun

là đều. Thật vậy, cho 0  A, B 

ta có

A=n , B=m , với n, m *. Khi đó A  B  [n, m]  0, suy ra A e M .
Vậy

là

b) Xét

-môđun đều.
–môđun

. Khi đó,

là mơđun đều. Thật vậy, lấy 0  A, B 

.

a
n
Tồn tại 0   A và 0   B , với a, b, n, k  *. Khi đó, ta có
b
k
an  nb.

a
n
, suy ra an  A ; an  ak . , do đó an  B , nghĩa là
b
k

0  an  A  B hay A  B  0 . Vậy

là

-môđun đều.

1.3.6. Định nghĩa. Số tự nhiên n đƣợc gọi là chiều đều (uniform
dimension) của môđun M, nếu tồn tại hữu hạn n môđun con đều Ui của M
n

sao cho U i là cốt yếu trong một môđun con của M, ký hiệu là
i 1

udim(M)=n. Khi M  0 ta quy ƣớc udim(M)=0.
1.4. Mơđun con tối đại, mơđun con đóng, bao đóng của một môđun,
phần bù giao
1.4.1. Định nghĩa. Môđun con A của M đƣợc gọi là tối đại (maximal) nếu
A  M và nó khơng chứa trong một mơđun con thực sự nào của M. Tức là
nếu A  B  M và A  M thì B  A hoặc B  M .
1.4.2. Định nghĩa. Cho R-môđun M và N  M đƣợc gọi là đóng (closed)
trong M nếu N khơng có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi N
đƣợc gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà

N e K thì N=K.
1.4.3. Ví dụ. A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M  A  B thì
mơđun B là đóng trong M.


12

1.4.4. Định nghĩa. Môđun con K đƣợc gọi là bao đóng (closure) của
mơđun con N trong M, ký hiệu E(K) nếu K là môđun con tối đại trong M
sao cho N là cốt yếu trong K.
1.4.5. Định nghĩa. Cho R-môđun M và A, B là hai môđun con của M.
Môđun B đƣợc gọi là bù giao (complement) của A trong M nếu B là môđun
con tối đại của M thỏa mãn A  B  0 . Môđun con B đƣợc gọi là bù giao
trong M, ký hiệu B c M nếu tồn tại môđun con A của M sao cho B bù
giao của A trong M.
1.4.6. Bổ đề Zorn. Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự
tồn phần trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.
1.4.7. Mệnh đề. Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu K
là mơđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại).

Chứng minh. (  ) Giả sử K đóng trong M. Ta chứng minh K bù giao trong
M. Xét

   X  M X  K  0.
Do 0  Suy ra   . Khi đó, ta kiểm tra đƣợc sắp thứ tự theo quan hệ
bao hàm trong  thỏa mãn Bổ đề Zorn, suy ra  có phần tử tối đại ký hiệu
là A. Từ đó, ta chứng minh đƣợc K là bù giao của A trong M.
(  ) Giả sử K là bù giao trong M. Ta chứng minh K đóng trong M. Thật
vậy, giả sử K e X  M . Ta chứng minh X  K . Thật vậy, do K là bù giao
trong M nên tồn tại môđun con A của M sao cho K tối đại trong M và
K  A  0. Khi đó:

 . Ta có X  A  0 . Thật vậy, giả sử ngƣợc lại X  A  0, suy ra tồn
tại a  X sao cho a  A và a  0. Khi đó aR  X ; aR  A. Do K e X ,
suy ra aR  K  0, do đó A  K  0 (vơ lí vì K  A  0 )). Vậy
X  A  0.


13

 Nếu

X  K suy ra x  X \ K , x  0 .

Xét xR  X, khi đó K  K  xR, ( K  xR)  A  0. Thật vậy, nếu tồn tại

a  A  (K  xR)

suy

ra

K  X và xR  X suy ra k  xr  X ,

a A
do

đó

và a  xR.
a  X suy

ra

Do
a0

(do X  A  0). Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K với tính
chất K  A  0 suy ra X  K. Vậy K đóng trong M.
1.4.8. Mệnh đề. Nếu K là môđun con của M và L là bù giao của K. Khi đó:
i)

L là mơđun con đóng trong M;

ii) L  K là môđun con cốt yếu của M.
Chứng minh. i) Theo Mệnh đề 1.4.7.
ii) Ta cần chứng minh L  K e M . Thật vậy, lấy 0  N  M . Nếu

N  ( K  L)  0 thì N  K  0, N  L  0. Do đó ( N  L)  K  0 (vì nếu
n  l  k thì n  k  l hay n  N và n  K  L và do đó n = 0 và k  l  0 ).

Lúc đó, theo tính tối đại của L thì N  L  L hay N=0. Điều này mâu thuẫn
với giả thiết N  0. Vậy N  ( K  L)  0 hay K  L e M .
1.5. Môđun đơn, môđun nửa đơn
1.5.1. Định nghĩa. R-môđun M khác 0 đƣợc gọi là đơn (simple) nếu nó chỉ
có hai mơđun con là 0 và chính nó.
1.5.2. Ví dụ. i) K là một trƣờng, mọi K-không gian vectơ 1-chiều là
K-mơđun đơn.
ii) Với

là

con thực sự của

-mơđun. Khi đó,

khơng là mơđun đơn. Vì 2

là mơđun

.

1.5.3. Mệnh đề. Cho N là mơđun con của R-mơđun M. Khi đó, R-mơđun N
là tối đại nếu và chỉ nếu môđun thương M

N

là đơn.


14

Chứng minh. N là môđun con tối đại của M nếu và chỉ nếu N  M và
khơng có mơđun con P nào của M sao cho N  P  M , tức là môđun
 
thƣơng M

N

khác không chỉ có hai mơđun con là 0 và chính nó. Theo

định nghĩa thì mơđun thƣơng M

N

là đơn.

1.5.4. Định nghĩa. Mơđun M đƣợc gọi là nửa đơn (semisimple) nếu M là
tổng của các mơđun con đơn của nó.
1.5.5. Định lí. Đối với R-môđun M, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) M là môđun nửa đơn;
(ii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M.
1.5.6. Hệ quả. (i) Mỗi Môđun con của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
(ii) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
(iii) Tổng các môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.
1.6. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh
1.6.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Môđun Q đƣợc gọi là nội xạ
theo M (hay Q là M-nội xạ) nếu mọi môđun con N của M và mọi đồng cấu

f : N  Q đều tồn tại mở rộng R-đồng cấu g sao cho f  g i (với i là
phép nhúng đồng nhất), tức là biểu đồ sau đây giao hốn:

i
N

M

f
g
Q

Mơđun Q là môđun nội xạ nếu Q là M-nội xạ, với mọi R-môđun M.


15

1.6.2. Định nghĩa. Một R-môđun phải

P đƣợc

gọi là xạ

ảnh

(projective) nếu mọi toàn cấu f : A  B và với mỗi đồng cấu g : P  B
tồn tại đồng cấu h : P  A sao cho g  f h , hay biểu đồ sau giao
hoán.

P
h
A

g
f

B

0


16

Chƣơng 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA CS-MƠĐUN VÀ CESS-MƠĐUN
Trong chƣơng này chúng tơi trình bày có hệ thống và chứng minh chi
tiết một số tính chất của CS-mơđun và CESS-mơđun, chủ yếu dựa trên tài
liệu [2]; [4]; [6]; [9]. Ngoài ra, để hiểu thêm một số tính chất nói trên,
chúng tơi cịn trình bày đế của một mơđun, UC-mơđun, CS-mơđun yếu,
mơđun thỏa mãn điều kiện (P) và trình bày một số ví dụ cụ thể về các khái
niệm đó cũng nhƣ mối liên hệ giữa chúng.
2.1. CS-môđun
2.1.1. Các điều kiện (Ci) của một môđun
Giả sử M là R-môđun. Ta xét các điều kiện sau trên M:
(C1) Với mỗi môđun con U của M ln có hạng tử trực tiếp U* của M sao
cho U* là mở rộng cốt yếu của U.
(C2) Mỗi môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là một
hạng tử trực tiếp của M.
(C3) Nếu U và V là các hạng tử trực tiếp của M với U  V  0 thì U  V là
hạng tử trực tiếp của M.
2.1.2. Mệnh đề. Nếu M thỏa (C2) thì M thỏa (C3).

Chứng minh: Giả sử M là môđun thỏa mãn (C2) và A, B là các hạng tử trực
tiếp của M, thỏa mãn A  B  0 . Ta sẽ chứng minh A  B  M . Thật vậy,
giả sử M  A  M1 . Ta định nghĩa phép chiếu  : A  M1  M1  0 .
Thế thì A  B  A   ( B) . Giả sử x,y  B sao cho  ( x)   ( y) . Khi đó,

 ( x  y)  0 , suy ra x  y  A. Nhƣng ta lại có x-y  B. Vậy x  y  0 , hay


17

x  y . Do đó,  B là một đơn cấu. Vậy ta có  ( B)  M (do điều kiện

(C2)). Vì  ( B)  M1 nên A   ( B)  M . Vậy M thỏa mãn (C3).
2.1.3. Định nghĩa. Môđun M đƣợc gọi là CS-môđun (hay extending
module) nếu M thỏa mãn (C 1).
2.1.4. Nhận xét. R-môđun M là CS-môđun nếu và chỉ nếu mọi mơđun con
đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. Giả sử M là CS-môđun, N là môđun con đóng bất kỳ trong M.
Do N là mơđun con của M nên N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M.
Mặt khác, do N là đóng trong M nên N cốt yếu trong chính nó và do đó N là
hạng tử trực tiếp của M.
Ngƣợc lại, giả sử mọi mơđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp
của M, khi đó với K là mơđun con bất kỳ của M ta chứng minh K cốt yếu
trong hạng tử trực tiếp của M. Thật vậy, ta có E(K) là bao đóng của K và
E(K) là mơđun con đóng trong M nên E  K   M , do đó K e E  K   M .
Sau đây là một số ví dụ cụ thể về CS-mơđun:
2.1.5. Ví dụ. (1) Mọi mơđun nửa đơn là CS-mơđun. Thật vậy, giả sử M là
R-mơđun nửa đơn. Khi đó, mọi mơđun con đóng của M đều là hạng tử trực
tiếp của M, do đó M là CS-mơđun.
(2) Mọi mơđun đều là CS-môđun. Thật vậy, giả sử M là R-môđun đều. Khi

đó, mọi mơđun con khác khơng của M đều cốt yếu trong M. Vậy M là
CS-môđun.
(3) Cho p là số ngun tố. Xét

-mơđun M 

p



p2

. Khi đó, M là

CS-mơđun. Vì mọi mơđun con đóng của M đều cốt yếu trong M.


18

(4) Cho p là số nguyên tố. Xét

- môđun M 

p



p3

. Khi đó, M

khơng là CS-mơđun. Thật vậy, giả sử M là CS-mơđun. Khi đó, xét

-

mơđun K  (l  p , p  p3 ) là bù giao trong M có cấp p 2 . Nếu K là một
hạng tử trực tiếp của M thì M  K  K ' , với K’ là môđun con của M và K’
cũng có cấp p 2 . Khi đó, p2 M  0 và đây là một điều mâu thuẫn. Vậy M
không

là

CS-môđun

2.1.6. Định nghĩa. Môđun M đƣợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thỏa
mãn (C1) và (C2).
2.1.7. Định nghĩa. Môđun M đƣợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous)
nếu M thỏa mãn (C 1) và (C3).
2.1.8. Mệnh đề. i) Giả sử A là một môđun con của R-môđun M tùy ý. Nếu
A là đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A là mơđun con đóng của M.
ii)

Mọi hạng tử trực tiếp của M là đóng trong M.

Chứng minh. i) Giả sử M  M 2  M 2 , với A là mơđun con đóng của M1.
Ký hiệu  : M1  M 2  M1 là phép chiếu chính tắc. Giả sử A  e B với
B  M. Khi đó ta có A=  (A)  e  (B)  M 1 . Vì A là đóng trong M 1 suy ra
 (B)=A  B, và do đó (1   )( B)  B . Vì

(1   )( B)  A  (1   )( B)   ( B)  0 và A  e B

nên (1  )( B)  0. Do đó B   ( B)  M1. Vì A đóng trong M 1 nên A=B và
ta cũng có A đóng trong M.
ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M. Khi đó, tồn tại mơđun con B của M
sao cho M  A  B. Lấy N  M sao cho A  e N. Khi đó A  B e N  B, từ đó

0 e N  B, suy ra N  B  0. Xét phép chiếu  : A  B  A , ta có ker( )  B


19

mà N  B  0 nên N  ker( )  0, suy ra  B là đơn cấu. Vì thế N
nhúng đơn cấu vào mơđun A, mà A  N nên A=N. Vậy A đóng trong M.

2.1.9. Mệnh đề. Mơđun khơng phân tích được M là CS-mơđun khi và chỉ
khi M đều.
Chứng minh. (  ). Giả sử A, B là hai môđun con tùy ý của M, với A, B  0.
Theo giả thiết M là CS-môđun nên tồn tại M1 , M 2 là hạng tử trực tiếp của
M sao cho A e M1 , B e M 2 . Vì M khơng phân tích đƣợc nên

M1  M 2  M , suy ra A e M do đó A  B  0 . Vậy M đều.
(  ). Giả sử M đều ta cần chứng minh M khơng phân tích đƣợc và M là
CS-môđun. Thật vậy, với mọi môđun con A, B của M và A  B  0 . Khi
đó, theo giả thiết M đều nên A e M , B e M , suy ra M là CS-môđun. Bây giờ
ta chứng minh M khơng phân tích đƣợc. Thật vậy, giả sử M  C  D khi đó
C  D  0, điều này mâu thuẫn với M đều. Vậy M khơng phân tích đƣợc.

2.1.10. Mệnh đề. Giả sử X là CS-mơđun. Khi đó, mỗi hạng tử trực tiếp của
X cũng là CS-môđun.
Chứng minh. Giả sử X là CS-môđun và X có một sự phân tích khơng tầm
thƣờng X  A  B . Ta chứng minh A cũng là CS-mơđun. Thật vậy, giả sử

U là mơđun con đóng của A. Khi đó, theo Bổ đề 2.1.6 thì U đóng trong X.
Lại do X là CS-môđun nên U là hạng tử trực tiếp của X, tức là có sự phân
tích không tầm thƣờng X  U  H . Theo luật Modunla ta có:

A  A  X  A  (U  H )  U  ( A  H ) .
Vậy U là hạng tử trực tiếp của A.


20

2.1.11. Mệnh đề. Giả sử M là CS- môđun, với udim(M) = n. Khi đó,
n

M  M i , trong đó M i là đều.
i 1

k

Chứng minh. Do udim(M) = n nên M có sự phận tích: M  M i , với k  n,
i 1

trong đó mỗi M i , i  1,2,..., k là những môđun không phân tích đƣợc. Vì M
là CS-mơđun, suy ra mỗi M i cũng là CS-môđun (theo Mệnh đề 2.1.10).
Chọn một môđun M i bất kì , ta sẽ chứng minh rằng M i là đều. Thật vậy,
giả sử ngƣợc lại rằng M i khơng phải là mơđun đều. Khi đó, M i chứa một
môđun con U khác không sao cho U không phải là môđun con cốt yếu của

M i . Suy ra tồn tại một môđun con V của M i sao cho
0  U e V  M i , V  M i .
Điều này chứng tỏ M i có một sự phân tích khơng tầm thƣờng, đây điều vơ

n

lý. Khi đó, udim(M) = k. Vậy k = n và M  M i , với mỗi M i là đều.
i 1

2.1.12. Mệnh đề. Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun liên tục (tựa liên
tục) cũng là một môđun liên tục (tựa liên tục).
Chứng minh. Ta xét các môđun liên tục (tựa liên tục) M, và giả sử

M  M1  M 2 . Ta chứng minh M 1 là liên tục (tựa liên tục). Thật vậy, vì M
là mơđun liên tục (tựa liên tục) nên M là CS-môđun và mỗi hạng tử trực
tiếp của M cũng là CS- môđun (Mệnh đề 2.1.10).
Giả sử M là liên tục, và U  M1, V  M1, V  U . Khi đó ta cũng có

U  M và U,V cũng là các môđun con của M nên suy ra V  M (vì M
liên tục). Giả sử rằng M  V  M ' . Theo luật Modunla ta có:

M1  M1  M  M1  (V  M ')  V  (M1  M ') .


21

Điều này chứng tỏ V cũng là hạng tử trực tiếp của M1. Vậy M1 là Rmôđun liên tục.
Với M là tựa liên tục, ta sẽ chứng minh M 1 là tựa liên tục. Thật vậy,
giả sử U  M1, V  M1, U  V  0. Khi đó, do tính tựa liên tục của M ta
suy ra rằng U  V  M . Chẳng hạn M  (U  V )  M '. Vì U  V  M1
nên theo luật Modunla ta có:

M1  M1  M  M1  ((U  V )  M ')  (U  V )  (M1  M ')
Từ đó suy ra U  V  M1 . Vậy M 1 cũng là môđun tựa liên tục.

2.1.13. Mệnh đề. Môđun nội xạ là CS-môđun.
Chứng minh. Giả sử Q là môđun nội xạ, A là môđun con khác không tùy ý
của Q ta cần chứng minh tồn tại trong Q một môđun Q1 sao cho Q1  Q
và A e Q1 . Thật vậy, gọi A’ là bù giao của A trong Q và Q1 là bù giao của
A’ trong Q. Khi đó A  A '  0 và Q1  A '  0 , suy ra A  Q1 , và do đó với
mọi mơđun con B của Q1 ta có A  B  0 (nếu A  B  0  B  A '). Vì vậy

A e Q1.
2.1.14. Mệnh đề. Mơđun xạ ảnh P là CS-môđun khi và chỉ khi mọi ảnh
đồng cấu của P là tổng trực tiếp của một môđun suy biến và một môđun xạ
ảnh.
Chứng minh. Giả sử P là CS-môđun, xạ ảnh. Xét môđun con thực sự U bất
kì của P. Ta sẽ chứng minh P

U

là tổng trực tiếp của một môđun suy biến

và một môđun xạ ảnh. Vì P là CS-mơđun nên tồn tại hạng tử trực tiếp U1
của P sao cho U e U1  P . Giả sử rằng P  U1  P1 . Ta suy ra rằng:

P

U



( P1  U1 )

U

 P1  ( 1 )
U
U


22

trong đó P1 là xạ ảnh, cịn

P

U

U1

U

là

suy biến theo Bổ đề 1.3.4 (e). Vậy

là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến.
Ngƣợc lại, giả sử mọi ảnh đồng cấu của môđun xạ ảnh P là tổng trực

tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến, ta sẽ chứng tỏ P là
CS-môđun. Thật vậy, xét mơđun con thực sự U bất kì của P. Theo giả thiết
ta có P

P

U1



U
(P

U
( 1
U

U

)  N , trong đó

)
U
( 1

U1

U

là suy biến và N là xạ ảnh. Vì

 N là một môđun xạ ảnh nên U1 là hạng tử trực tiếp
U

của P, chẳng hạn ta có P  U1  P1. Theo Mệnh đề 1.7.8 thì U e U1 , với

U1 là xạ ảnh và

U1

U

là suy biến. Vậy P là CS-môđun.

2.1.15. Định nghĩa. Môdun M gọi là UC-môđun (unique closure module)
nếu mọi mơđun con của M đều có bao đóng duy nhất trong M.
Ví dụ. Xem

nhƣ là

-mơđun. Khi đó,

là UC-mơđun.

2.1.16. Mệnh đề. Đối với R-mơđun M, các điều kiện sau là tương đương:
i)

M là một UC-môđun;

ii)

Đối với bất kì K c M và N  M ta có K  N c N ;

iii)

Không tồn tại R-môđun X với môđun con cốt yếu Y sao cho môđun

( X / Y )  X nhúng trong M.
Chứng minh. Xem [7].
2.1.17. Mệnh đề. Mọi môđun đều là UC-môđun.


23

Chứng minh. Giả sử U là R-môđun đều, ta chứng minh U là UC-môđun.
Thật vậy, gọi N là môđun con bất kì của U, và N1 , N 2 là hai bao đóng bất
kì của N, tức là N e N1, N e N2 và N1 , N 2 đóng trong U. Khi đó:
 Nếu N  0 thì N1  N2  0 .
 Nếu N  0 thì N1  0, N2  0 . Vì U đều và N1  0 nên N1 e U . Kết
hợp với N1 đóng trong U suy ra N1  U .
Hồn tồn tƣơng tự, ta có N 2  U . Do đó, N có duy nhất bao đóng.
Vậy U là UC-môđun.
2.1.18. Mệnh đề. Mọi môđun nửa đơn là UC-môđun.
Chứng minh. Giả sử M là môđun nửa đơn, ta chứng minh M là UC-môđun.
Thật vậy, gọi N là môđun con bất kì của M, và N1 , N 2 là hai bao đóng bất
kì của N, tức là N e N1, N e N2 và N1 , N 2 đóng trong U. Khi đó:
 Nếu Nếu N = 0 thì N1  N2  0 .
 Nếu N  0 , do M là môđun nửa đơn nên N là hạng tử trực tiếp của M,
nghĩa là tồn tại N '  M sao cho N  N '  M . Theo luật Modula ta có:

N1  N1  M  N1  ( N  N ')  N  ( N1  N ')
Kết hợp với giả thiết N e N1, suy ra N  N1.
Hoàn toàn tƣơng tự, ta đƣợc N  N 2 , suy ra N  N1  N2 . Do đó, N
có duy nhất bao đóng. Vậy M là UC-mơđun.
2.1.19. Định nghĩa. Môđun M đƣợc gọi là CS-môđun yếu (weak CSmodule) nếu mỗi môđun con nửa đơn của M là cốt yếu trong hạng tử trực
tiếp của M.

2.1.20. Ví dụ. Cho p là số ngun tố, và

M (
Khi đó, M là CS-mơđun yếu.

p

)(

-môđun

p3

).


24

Chứng minh. Chú ý rằng M có chiều đều bằng 2. Lấy S là mơđun nửa đơn
của M. Khi đó:
Nếu S khơng là mơđun đơn thì S cốt yếu trong M.
Nếu S là mơđun đơn. Khi đó, S  (a  p , p2b  p3 ), với a,b là các
số nguyên sao cho 0  a, b  p  1. Nếu a  0 , thì S cốt yếu trong hạng tử
trực tiếp L  0  (

p3

) của M. Nếu a  0, thì M  S  L. Nghĩa là S cốt

yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Vậy M là CS-môđun yếu.

2.1.21. Mệnh đề. Cho M là UC-môđun. Nếu M là CS-môđun yếu thì mọi
hạng tử trực tiếp của M cũng là CS-mơđun yếu.
Chứng minh. Cho K  M và N là một môđun nửa đơn của K. Từ M là
CS-môđun yếu nên tồn tại một hạng tử trực tiếp M 1 của M sao cho

N e M1 . Gọi L là bao đóng của N trong K sao cho N e L c K . Khi đó, ta
có L c M . Nhƣ vậy, N e M1 c M và N e L c M . Vì vậy, từ M là
UC- mơđun chúng ta có L  M1 . Từ đây bao đóng L của N trong K là một
hạng tử trực tiếp của K điều đó cho thấy K là CS-mơđun yếu.
2.1.22. Mệnh đề. Cho M  M1  M 2 , với M1, M 2 là CS-môđun yếu và

M 1 là M 2 - nội xạ thì M là CS-mơđun yếu.
Chứng minh. Cho N là một môđun nửa đơn của M. Ta chứng minh N là cốt
yếu trong hạng tử trực tiếp của M bởi hai trƣờng hợp sau:
 Trường hợp 1. N  M1  0. Trong trƣờng hợp này theo [5, lemma 5]
tồn tại một hạng tử trực tiếp C của M sao cho C đẳng cấu với M 2 ,

N  C và M  M 1  C . Khi đó, C là một CS-mơđun yếu và vì
vậy N e K  C với K  C nhƣ đòi hỏi.
 Trường hợp 2. N  M1  0. Lấy N’ là môđun con của N sao cho


25

N  ( N  M1 )  N ' .
Từ M 1 là CS-môđun yếu nên

N  M1 e K1  M1  K1  K2 ,
với K1 và K2 là các môđun con của M 1 .
Từ N ' M1  0 , nhƣ Trƣờng hợp 1, tồn tại C1  M sao cho C1 đẳng

cấu với M 2 , N '  C1, M  C1  M1 và C1  C2  C3 với N ' e C2 , với

C2 và C3 là các môđun con của C1. Từ đó ta có K1  C2  M hay M là
CS-môđun yếu.
2.1.23. Định nghĩa. Đế của môđun M ký hiệu Soc(M) là tổng trực tiếp của
các môđun con đơn của M. Nếu M khơng có mơđun con đơn thì Soc(M)=0.
2.1.24. Ví dụ. a) Cho

là

-mơđun. Khi đó Soc( )=0. Thật vậy, giả sử

A là môđun con khác 0 của

, khi đó A =m , với m  0. Mà mọi mơđun

có dạng nm , với n  0 đều là mơđun con khác khơng của mơđun m .Vì
thế

khơng có mơđun con đơn. Do đó, Soc( )=0.

b) Giả sử n  p11 . p22 ... pkk , với pi là số nguyên tố, i 1;2;...; k . Khi đó,
r

r

mỗi mơđun con đơn của

r

n

có dạng m

n

. Thật vậy, vì n  m

nên

n  mq . Xét ánh xạ:
f:

m

n

Xác định bởi f ( x)  mx  mq , là một tồn cấu, và ker f  q . Khi đó,

m

n  q  q.

Do đó, mỗi mơđun con đơn của

m
n đều có dạng
n , với n  mq , trong

đó q là ƣớc nguyên tố của n. Suy ra q  pi và m  n pi , với i 1;2;...; k .

Mặt khác, nếu d là ƣớc chung lớn nhất (ƯCLN) của các số nguyên


26

m1 , m2 ,..., mk , thì

(n

p1

,n

p2

,..., n

k

 mi  d . Vì vậy,

từ

i 1

pk

) là n

p1 p2 ... pk

ƯCLN

của

, suy ra

 (( n ) )
  (n p )
i
pi

  i 1
Soc( n )  
n 
n
i 1 


k

k

và Soc(

k

n)  

i 1



((n p1 p2 ... pk ) )
n

pi .

2.1.25. Mệnh đề. Soc(M )  C , trong đó C chạy khắp các môđun con cốt
yếu của M.
Chứng minh. Trƣớc hết, ta chứng minh Soc( M ) 

C e M

C . Thật vậy, giả

sử x  Soc(M ), và C là môđun con cốt yếu tùy ý của M. Khi đó,

x   Ni , Ni là mơđun con đơn của M, i 1;2;...; n. Với mỗi xi tồn
n

i 1

tại ri  R sao cho 0  xi ri  C (vì C e M ). Nhƣng vì N i là môđun đơn và

xi ri  Ni nên xi R  Ni  xi ri R  C, với mọi i 1;2;...; n. Do đó
x  C. Suy ra x 

C e M

C. Vậy Soc( M ) 

C e M

C .(1)

Tiếp theo, ta chứng minh chiều ngƣợc lại
vậy ta chỉ cần chứng minh môđun K 

C e M

C e M

C  Soc( M ) , muốn

C là tổng của những mơđun

con đơn nào đó của M. Thật vậy, giả sử D  K , và D’ là bù giao của D
trong M, ta có D  D ' e M . Do đó K 

C  D  D '. Vì D  K nên

C e M

theo luật Modular ta có:

K  K  ( D  D ')  D  ( K  D ') .


27

Nhƣ vậy, mỗi môđun con D của K đều là hạng tử trực tiếp của K, do đó
K là tổng

K

C e M

của

những mơđun đơn

nào đó

của

M. Vì thế

C  Soc(M ). (2)

Từ (1) và (2) suy ra Soc(M )  C .
2.1.26. Mệnh đề. Cho M  M1  M 2 là UC-môđun sao cho Soc  M1  e M1
và Soc  M 2   0 . Khi đó Hom  K , M1   0, với K  M j , với {i;j}={1;2}.
Chứng minh. Lấy K là một môđun con của M 2 , ta thấy rằng f : K  M1 là
một đồng cấu khác không. Thế thì, từ Soc  M1  e M1 suy ra f ( K ) chứa
một môđun con đơn U. Xét L= f 1 (U )  ker f . Khi đó, L là mơđun con tối
đại của f 1 (U ).
Nếu L không cốt yếu trong f 1 (U ). thì f 1 (U )  L  L1 , với L1 là môđun
con đơn của M 2 . Điều này mâu thuẫn với Soc  M 2   0 . Vậy L phải cốt yếu
trong f 1 U  .

1
Tuy nhiên, từ ( f (U ) )  f 1 (U ) có thể nhúng trong M1  M 2  M .
L

Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.1.16. (iii). Vậy Hom  K , M1   0 .
Mặt khác, nếu K  M1 khi đó từ chứng minh [3, lemma 2.3] ta có

Hom  K , M 2   0
2.1.27. Hệ quả. Cho M  M1  M 2 là UC-môđun sao cho Soc  M1  e M1 và

Soc  M 2   0 . Khi đó, M là CS-mơđun yếu nếu và chỉ nếu M1 và M 2 là
CS-môđun yếu.
Chứng minh. Điều này đƣợc suy ra từ Bổ đề 2.1.20, Bổ đề 2.1.25 và Mệnh
đề 2.1.21.