Khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trung học phổ thông

bộ giáo dục và đào tạo
tr-ờng đại học vinh

TH THANH THẢO

KHAI THÁC TƢ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƢỚNG
TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2012


bộ giáo dục và đào tạo
tr-ờng đại học vinh

TH THANH THẢO

KHAI THÁC TƢ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƢỚNG
TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.10

ng-êi h-íng dÉn khoa häc

TS. TrÇn Trung

NGHỆ AN, 2012


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Trung, ngƣời thầy đã
tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và
hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo khoa Tốn, phịng Đào
tạo Sau đại học Trƣờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tơi trong q trình nghiên
cứu, hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Trƣờng Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều
kiện giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận
văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn các Trƣờng THPT trên địa bàn tỉnh Long
An, các đồng chí, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận
văn này.
Do bản thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót, tơi rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cơ giáo
và các bạn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2012
Học viên

Đỗ Thị Thanh Thảo


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PPDH
SGK

Phƣơng pháp dạy học
Sách giáo khoa

TTGK

Tri thức giáo khoa

TTKH

Tri thức khoa học

THPT

Trung học phổ thông


MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU

1

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1. Vấn đề đổi mới phƣơng pháp dạy học
1.2. Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

5
7

1.3. Những cơ sở của khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học
1.4. Vai trò của tri thức lịch sử toán đối với giáo viên và học sinh

10
31

1.5. Thực trạng khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học Giải
tích ở trƣờng Trung học phổ thơng
1.6. Kết luận chƣơng 1
Chƣơng 2. KHAI THÁC TƢ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN TRONG DẠY
HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
2.1. Nội dung Giải tích ở trƣờng Trung học phổ thơng
2.2. Xác định một số tri thức lịch sử toán liên quan đến nội dung
Giải tích ở trƣờng Trung học phổ thơng
2.3. Định hƣớng khai thác tƣ liệu lịch sử toán trong dạy học Giải

tích ở trƣờng Trung học phổ thơng
2.4. Một số phƣơng thức khai thác tƣ liệu lịch sử toán trong dạy
học Giải tích cho học sinh Trung học phổ thông
2.5. Kết luận chƣơng 2
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.4. Kết quả thực nghiệm
3.5. Kết luận chƣơng 3
KẾT LUẬN
DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

38
42

43
43
56
70
72
98
99
99
99
100
104

108
109
110
111
114


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đào tạo những ngƣời lao động phát triển tồn diện, có tƣ duy sáng tạo,
có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trƣớc
yêu cầu đẩy mạnh cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh
tế trí thức và xu hƣớng tồn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo
dục nƣớc ta hiện nay. Để thực hiện đƣợc nhiệm vụ đó sự nghiệp giáo dục cần
đƣợc đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới
căn bản về PPDH. Một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục
đƣợc đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng là: "Nâng cao
chất lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương
pháp dạy và học theo hướng „„chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa”. Phát huy
trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học. Đề cao trách
nhiệm của gia đình, nhà trường và xã hội".
Tốn học là mơn học có vai trị rất quan trọng trong chƣơng trình
THPT, nó giúp cho HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện
cho HS óc tƣ duy trừu tƣợng, tƣ duy chính xác, hợp lơgic, phƣơng pháp khoa
học trong suy luận, trong học tập. Nhƣng nó cũng là một mơn học mang tính
trừu tƣợng cao. Nhiệm vụ của ngƣời GV đứng trên bục giảng là phải làm thế
nào để giờ giảng của mình thêm sinh động, thu hút đƣợc sự chú ý, tạo đƣợc
nhu cầu khám phá tri thức của HS. Để góp phần thực hiện đƣợc điều đó, khi

dạy học đến từng vấn đề cụ thể, GV có thể dành thời gian để giới thiệu về lịch
sử của vấn đề và các nhà tốn học có liên quan đến vấn đề đó.
Trong chƣơng trình Tốn THPT, SGK tốn đã giới thiệu sơ lƣợc về các
nhà toán học và một vài kiến thức về lịch sử tốn có liên quan đến những nội
dung bài học. Tuy nhiên, thực trạng dạy học toán ở trƣờng THPT hiện nay
cho thấy các GV ít quan tâm đến vấn đề này vì các lý do: Thời gian một tiết
học hạn chế. Kiến thức của GV về vấn đề này cịn hạn chế, chƣa có cơ hội để


2

tiếp cận và nghiên cứu hay tìm hiểu về vấn đề này mặc dù nó rất quan trọng
đối với những ngƣời học toán, dạy toán và nghiên cứu toán.
Nhƣ vậy, việc tìm hiểu những kiến thức về lịch sử tốn nói chung, về
kiến thức lịch sử tốn liên quan trực tiếp đến chƣơng trình tốn THPT nói
riêng là rất cần thiết. Hơn nữa, việc tìm tịi phƣơng thức để khai thác những
kiến thức lịch sử toán trong dạy học cũng là một vấn đề rất thú vị và quan
trọng đối với mỗi ngƣời GV. Mặt khác, hiện nay tài liệu về lịch sử tốn cịn ít
và cũng chƣa có nhiều cơng trình nghiên cứu đi sâu tìm hiểu vấn đề này.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Khai
thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích theo hướng tích cực hóa
hoạt động học tập của học sinh Trung học phổ thông".
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định vai trị và nội dung của tri thức lịch sử tốn trong dạy học
mơn Tốn ở trƣờng THPT, từ đó đề xuất một số phƣơng thức khai thác tƣ liệu
lịch sử toán trong dạy học Giải tích nhằm nâng cao hiệu quả dạy học mơn
Tốn ở trƣờng THPT.
3. Khách thể, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học mơn Tốn ở trƣờng
THPT.

3.2. Đối tượng nghiên cứu: Nội dung và phƣơng thức khai thác tri thức
lịch sử toán trong dạy học Giải tích ở trƣờng THPT theo hƣớng tích cực hóa
hoạt động học tập của HS.
3.3. Phạm vi nghiên cứu: Tƣ liệu lịch sử toán liên quan một số nội
dung Giải tích ở trƣờng THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở nội dung chƣơng trình hiện hành, nếu GV quan tâm đến
việc xác định những tri thức lịch sử tốn có liên quan và tìm đƣợc phƣơng
thức khai thác phù hợp trong dạy học thì sẽ phát huy tính tích cực học tập của
HS, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT.


3

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về vai trị của tri thức lịch sử tốn trong
dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT. Điều tra, đánh giá thực trạng về việc khai
thác tƣ liệu lịch sử tốn trong dạy học Giải tích ở trƣờng THPT hiện nay.
5.2. Xác định những nội dung tƣ liệu lịch sử toán cần đƣợc trang bị cho
HS trong dạy học Giải tích, đề xuất các phƣơng thức khai thác tƣ liệu lịch sử
tốn nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh THPT.
5.3. Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính cần thiết và khả thi của các
phƣơng thức khai thác tƣ liệu lịch sử toán đƣợc đề xuất.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Làm rõ vai trị của tri thức lịch
sử tốn trong dạy học. Nghiên cứu nội dung, chƣơng trình SGK Giải tích ở
trƣờng THPT để tìm hiểu lịch sử các vấn đề và các nhà tốn học có liên quan.
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, tìm hiểu tình hình
giảng dạy các yếu tố của lịch sử tốn trong chƣơng trình Giải tích ở trƣờng
THPT hiện nay. Tham khảo ý kiến GV, HS về vai trò của lịch sử toán trong

việc nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trƣờng THPT.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ
phạm để đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các nội dung đƣợc đề xuất.
Phân tích kết quả thực nghiệm bằng phƣơng pháp thống kê toán học trong
khoa học giáo dục.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Góp phần làm sáng tỏ vai trị của tri thức lịch sử tốn trong dạy học
mơn Tốn ở trƣờng THPT. Xác định đƣợc những tri thức lịch sử toán cần
đƣợc trang bị cho HS trong dạy học Giải tích ở trƣờng THPT.
7.2. Đề xuất đƣợc một số phƣơng thức phù hợp để khai thác tƣ liệu lịch
sử toán trong dạy học Giải tích nhằm nâng cao tính tích cực học tập của học
sinh THPT.


4

7.3. Nội dung tƣ liệu lịch sử toán là tài liệu tham khảo bổ ích cho GV
trong dạy học Giải tích ở trƣờng THPT.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngồi phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2. Khai thác tƣ liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích theo
hƣớng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh THPT.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.
Luận văn có sử dụng 37 tài liệu tham khảo và kèm theo 2 Phụ lục.


5

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vấn đề đổi mới phƣơng pháp dạy học
1.1.1. Nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học
Nghị quyết Trung ƣơng 2 khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới
phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của HS. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh...". [1]
Tại điều 5, chƣơng I, Luật Giáo dục đã ghi: "Phương pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh;
bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê và ý chí vươn
lên”. [18]
Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nƣớc trong thời kỳ hội nhập đang
đòi hỏi cấp bách nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo. Mục tiêu giáo dục
trong thời đại mới là không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những kiến thức, kỹ
năng có sẵn cho HS mà điều đặc biệt quan trọng là phải bồi dƣỡng cho HS
năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học, cùng
với những thay đổi về mục tiêu, nội dung, cần có những thay đổi căn bản về
PPDH (hiểu theo nghĩa rộng gồm cả hình thức, phƣơng tiện và kiểm tra, đánh
giá). Tồn tại của PPDH hiện nay là việc GV thƣờng cung cấp cho HS những
tri thức dƣới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tịi, phát hiện; việc GV dạy chay,
áp đặt kiến thức khiến HS thụ động trong quá trình chiếm lĩnh tri thức. Đây là
những lý do dẫn tới nhu cầu đổi mới PPDH nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo
con ngƣời lao động sáng tạo phục vụ sự nghiệp cơng nghiệp hóa - hiện đại
hóa đất nƣớc.
1.1.2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Từ nhu cầu đổi mới PPDH, các nhà khoa học giáo dục nƣớc ta nhƣ
Nguyễn Bá Kim [15], Nguyễn Hữu Châu [5], Thái Duy Tuyên [35], Trần

6

Kiều [14], Trần Bá Hoành [11], ... đã khẳng định hƣớng đổi mới PPDH trong
giai đoạn hiện nay là: "Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho
học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng
tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong hoạt động" [15, tr. 112].
Theo Nguyễn Bá Kim [15], định hƣớng trên có những hàm ý sau đây:
Xác lập vị trí chủ thể của HS, đảm bảo tính tự giác, tích cực và sáng tạo của
HS; Quá trình dạy học là xây dựng những tình huống có dụng ý sƣ phạm cho
HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, đƣợc thực hiện độc lập hoặc
trong hoạt động; Dạy việc học, dạy tự học thông qua tồn bộ q trình dạy
học; Chế tạo và khai thác những phƣơng tiện phục vụ quá trình dạy học; Tạo
niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của HS; Xác định vai
trò mới của GV với tƣ cách ngƣời thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể chế hóa.
Định hƣớng đổi mới PPDH liên quan đến một tƣ tƣởng trong quá trình
thực hiện đổi mới PPDH ở nƣớc ta đó là "Dạy học lấy học sinh làm trung
tâm". Theo Trần Kiều [14], những đặc trƣng chủ yếu của tƣ tƣởng này bao
gồm: Thừa nhận, tôn trọng, hiểu, đồng cảm với nhu cầu, lợi ích, mục đích cá
nhân của HS. Đạt đƣợc độ tin cậy, tạo sức thu hút, thuyết phục, kích thích
động cơ bên trong của HS. Dựa vào kinh nghiệm của HS, khai thác kinh
nghiệm đó, dồn thành sức mạnh trong q trình tự khám phá. Chống gị ép,
ban phát, giáo điều, ni dƣỡng tính sẵn sàng, tính tích cực ý chí của HS để
đạt đƣợc mục đích học tập và phát triển cá nhân. Phƣơng thức hoạt động chủ
đạo là tự nhận thức, tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra, đánh giá, tự hồn
thiện trong mơi trƣờng đƣợc đảm bảo quyền lựa chọn tối đa của HS. Tối đa
hóa sự tham gia của HS, tối thiểu hóa sự áp đặt, can thiệp của GV. Tạo cho
HS tính năng động cải biến hành động học tập, chủ động, tự tin. Phát triển tƣ
duy độc lập, sáng tạo, khả năng suy ngẫm, óc phê phán và tính độc đáo của
nhân cách. Nội dung học tập, môi trƣờng học tập, … về nguyên tắc phải đƣợc
kiểm sốt bởi chính HS. Đảm bảo tính mềm dẻo, tính thích ứng cao của giáo

dục. Hết sức coi trọng vai trò to lớn của kỹ năng.


7

Chúng tôi nhận thấy việc đổi mới PPDH hiện nay cần tiếp cận theo
những định hƣớng này.
1.1.3. Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực
Một PPDH nếu biết sử dụng đúng lúc, đúng cách đều có thể phát huy
tính tích cực học tập của HS. Theo Trần Bá Hồnh [11], PPDH tích cực là
thuật ngữ chỉ các PPDH có thế mạnh trong phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của HS. PPDH tích cực hƣớng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa
HS. Có thể nêu bốn dấu hiệu đặc trƣng cơ bản của PPDH tích cực đó là [11]:
- Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của HS.
- Dạy và học chú trọng rèn luyện phƣơng pháp tự học.
- Tăng cƣờng học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác.
- Kết hợp đánh giá của GV với tự đánh giá của HS.
1.2. Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh
1.2.1. Tính tích cực học tập của học sinh
Tiền đề của tính tích cực học tập là tính tích cực sinh học. Hứng thú và
ý chí cá nhân là hạt nhân của tính tích cực. Tính tích cực cá nhân là cơ sở, là
nền tảng của tính tích cực học tập. Có thể nói tính tích cực học tập là dạng
phân hóa của tính tích cực cá nhân, nó có vai trị chun biệt nhƣ một con
đƣờng cơ bản để ngƣời học đạt đƣợc các mục tiêu trong lĩnh vực học tập. Khi
nói đến tính tích cực học tập, trƣớc tiên cần hiểu tính tích cực cá nhân gồm có
tính tích cực bên ngồi và tính tích cực bên trong gồm các thành tố cơ bản
nhƣ: Tính tích cực nhận thức; tính tích cực giao tiếp, hành động và giao lƣu.
- Tính tích cực nhận thức:
Cấu trúc của hoạt động nhận thức bao gồm năng lực nhận thức và động
cơ nhận thức (thái độ, tình cảm, ý chí,...). Tính tích cực nhận thức địi hỏi chủ

thể nhận thức phải năng động linh hoạt thay đổi liên tục mơ hình cấu trúc tâm
lý của hoạt động nhận thức.
Biểu hiện của tính tích cực nhận thức là: Khả năng định hƣớng đối với
nhiệm vụ của hoạt động nhận thức và định hƣớng khi nghiên cứu tài liệu;


8

hứng thú sâu sắc đối với việc học tập, với đối tƣợng nghiên cứu; sự tập trung
chú ý cao, sự căng thẳng trí tuệ; sự say sƣa nhiệt tình đối với nhiệm vụ nhận
thức; có ý chí kiên trì, khắc phục khó khăn để hồn thành nhiệm vụ nhận
thức; khả năng linh hoạt trong quá trình nhận thức nhƣ đặt vấn đề, giải quyết
vấn đề, kiểm tra kết quả giải quyết vấn đề. Đây là biểu hiện đặc trƣng nhất
của tính tích cực nhận thức.
Trong hoạt động học tập, tính tích cực nhận thức là cơ sở của tính độc
lập. Tính độc lập lại là cơ sở của tính sáng tạo. Tính sáng tạo gồm cả tính độc
lập và tính tích cực nhận thức.
- Tính tích cực giao tiếp, hành động và giao lưu:
Là sự hợp thành của hai yếu tố năng lực giao tiếp, năng lực hành động
và động cơ, ý chí của cá nhân.
Biểu hiện của tính tích cực giao tiếp và năng lực giao lƣu hành động
của cá nhân là: Khả năng định hƣớng đối với các nhiệm vụ giao tiếp (giao tiếp
với GV, với bạn học, với máy vi tính, với tài liệu học tập,...); hứng thú sâu sắc
đối với các đối tƣợng giao tiếp; sự tập trung cao độ để thực hiện các mục tiêu
giao tiếp; phải có ý chí kiên trì khắc phục khó khăn để đạt đƣợc các mục tiêu
giao tiếp,...
Trong quá trình dạy học, tính tích cực học tập của HS là yếu tố quyết
định kết quả cuối cùng của quá trình dạy học, là yếu tố quyết định sự trƣởng
thành của nhân tố ngƣời học.
1.2.2. Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

Trƣớc tiên chúng tơi hiểu tích cực hóa là tác động để làm cho ai đó, sự
vật nào đó trở nên năng động hơn, linh hoạt hơn, thể hiện hoạt tính của chúng
nhiều hơn, cao hơn so với trƣớc đây. Tác giả Đặng Thành Hƣng: Tích cực hóa
hoạt động của HS có nghĩa là làm cho HS sống và hoạt động, làm việc tới
mức tối đa so với tiềm năng và bản chất của mỗi ngƣời, so với vốn tri thức,
vốn kinh nghiệm và điều kiện thực tế của HS [12]. Nhƣ vậy, với quan niệm


9

này thì tích cực hóa hoạt động của HS là q trình phát huy những năng lực
sẵn có của HS.
Khi quan niệm về tính tích cực hóa hoạt động học tập của HS, tác giả
Nguyễn Nhƣ An: Tích cực hóa hoạt động học tập của HS là hoạt động có mục
đích của ngƣời GV nhằm hồn thiện nội dung, phƣơng pháp, hình thức tổ
chức dạy học, các phƣơng tiện kỹ thuật dạy học để kích thích hứng thú học
tập, nâng cao tính tích cực độc lập, sáng tạo của HS trong việc nắm tri thức,
rèn kỹ năng, kỹ xảo, vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo vào thực tế, là quá
trình ngƣời GV hiểu sâu sắc bản chất quá trình tích cực độc lập sáng tạo của
HS để đề ra các biện pháp lãnh đạo quá trình học tập của HS đạt kết quả tối
ƣu [12]. Theo tác giả Nguyễn Nhƣ An thì bản chất của tích cực hóa hoạt động
học tập của HS chính là q trình GV sử dụng các biện pháp tổ chức dạy học
nhằm phát huy đƣợc tính tích cực, tính chủ động, tính độc lập sáng tạo của HS
trong quá trình học tập.
Theo chúng tơi, tích cực hóa hoạt động học tập của HS là quá trình
ngƣời GV sử dụng các PPDH, các hình thức tổ chức dạy học, các biện pháp
dạy học, các phƣơng tiện kỹ thuật dạy học nhằm chuyển biến vị thế của ngƣời
học từ chỗ là chủ thể tiếp nhận học vấn một cách thụ động, một chiều, bảo sao
nghe vậy trở thành một chủ thể năng động, tích cực, sáng tạo, tự giác, tự lực
tiến hành các hành động học tập của mình ở cấp độ hoạt động cá nhân.

Một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học tập của HS trong dạy học
mơn Tốn ở trƣờng THPT nhƣ:
- Cá nhân hóa việc học: Sử dụng các biện pháp kỹ thuật cụ thể, chuyên
biệt để tạo ra hoạt động học tập của cá nhân trong mơi trƣờng nhóm, lớp cùng
hƣớng vào mục tiêu chung.
- Phân hóa dạy học: Nội dung và phƣơng thức hoạt động trong môn học
đƣợc thực hiện theo nhiều hƣớng khác nhau: chia nhóm năng lực, chia nhóm
theo hứng thú, chia nhóm theo nhu cầu, nhóm hợp tác... Xây dựng và thực
hiện các phƣơng án chƣơng trình và tổ chức các HS khác nhau về trình độ, về


10

tính chất, về tiến độ, cấu trúc... Xây dựng hệ thống các bài tập khác nhau với
những đối tƣợng khác nhau, trong đó có bài tập bắt buộc và bài tập tự chọn.
- Tích hợp trong dạy học: Tích hợp bộ mơn Tốn với các bộ mơn khác
nhƣ Vật lý, Tin học.... nhằm phát huy tính tích cực học tập của HS.
- Sử dụng kỹ thuật tƣơng tác đa phƣơng tiện để kích thích q trình học
tập ở HS: Sử dụng các phƣơng tiện dạy học nhằm cung cấp thông tin cho HS.
Công nghệ thông tin trong dạy học vừa là công cụ tổ chức học tập, vừa là
công cụ học tập của ngƣời học, vừa là phƣơng tiện hỗ trợ ngƣời GV trong quá
trình giảng dạy đồng thời lại là đối tƣợng giao tiếp của ngƣời HS. Tổ chức các
tình huống dạy học trên máy tính, sử dụng trị chơi trên máy tính
- Sử dụng PPDH thích hợp. Tập luyện cho HS thực hiện các hoạt động
toán học. Huy động vốn tri thức, vốn kinh nghiệm sẵn có của HS trong học
tập. Chú trọng khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học; tăng cƣờng mối
liên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn,...
1.3. Những cơ sở của khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học
1.3.1. Các giai đoạn phát triển tri thức toán học
Theo tƣ liệu nghiên cứu lịch sử toán, di chỉ khảo cổ có niên đại 30.000

năm trƣớc lồi ngƣời đã có những hiểu biết về tốn, đó là đếm và tạo ra dụng
cụ để đếm. Tuy nhiên kiến thức toán của nhân loại mỗi thời có những đặc
điểm khác nhau, nội dung tri thức toán mỗi thời cũng khác nhau. Căn cứ vào
sự khác nhau đó các nhà nghiên cứu lịch sử tốn đã có sự thống nhất với nhau
ở một mức nhất định về sự phân chia lịch sử phát triển của tri thức toán học
thành các giai đoạn:
- Giai đoạn phát sinh toán học. Đây là giai đoạn đầu tiên của sự phát
triển hệ thống tri thức toán của nhân loại. Tri thức toán của nhân loại trong
giai đoạn này chỉ là những hiểu biết sơ đẳng, riêng lẻ, mang tính thực nghiệm,
tính kinh nghiệm của chung cộng đồng dân cƣ và thƣờng nằm trong khối tri
thức tổng hợp của nhân loại. Đó là những hiểu biết đƣợc tích lũy từ hoạt động
thực tiễn, từ nhu cầu của cuộc sống, chẳng hạn nhƣ nhu cầu đếm, nhu cầu nhớ


11

đƣờng đi về, ƣớc lƣợng khoảng cách trong quá trình dịch chuyển hay săn bắn,
nhu cầu đo đạc ruộng đất trong canh tác, nhu cầu xây dựng, . . . Lúc này chƣa
có phƣơng pháp riêng, chƣa có tính hệ thống và thƣờng khơng có lập luận,
khơng có giải thích. Căn cứ vào các tƣ liệu còn lại đến ngày nay, các nhà
nghiên cứu lịch sử toán thống nhất rằng giai đoạn phát sinh toán học kéo dài
đến khoảng thế kỷ VII trƣớc công nguyên. Để nghiên cứu nội dung kiến thức
toán của nhân loại trong giai đoạn phát sinh, ngƣời ta phân tích các nội dung
đƣợc ghi trên các tấm đất sét nung (gọi là plimpton) của ngƣời Babylon hay
các bản cỏ ép (gọi là papyrus) của ngƣời Ai cập. Có khoảng nửa triệu tấm
plimpton đã đƣợc tìm thấy có niên đại khoảng từ năm 2.400 trƣớc cơng
ngun đến năm 1.100 trƣớc cơng ngun, trong đó có khoảng 300 tấm có ghi
chép các nội dung về tốn. Các bản papyrus của ngƣời Ai cập có nội dung
tốn hiện cịn giữ đƣợc có niên đại từ năm 1.850 trƣớc cơng ngun đến năm
1.350 trƣớc cơng ngun.

- Giai đoạn tốn học sơ cấp. Tiếp theo giai đoạn phát sinh toán học là
giai đoạn toán học sơ cấp. Trong giai đoạn này lƣợng kiến thức đã khá phong
phú, đã có sự giải thích, chứng minh, lập luận trong việc trình bày tri thức
tốn, đã có phƣơng pháp nghiên cứu tốn riêng. Phƣơng pháp suy diễn đã ra
đời và trở thành phƣơng pháp đặc trƣng cho toán học. Tuy nhiên giai đoạn
này toán học mới nghiên cứu những đại lƣợng không đổi, rời rạc, đơn giản.
Giai đoạn toán học sơ cấp đƣợc bắt đầu bởi những đóng góp của các nhà tốn
học Hy Lạp mà ngƣời đầu tiên là Ta-lét (thế kỉ VII trƣớc công nguyên – thế kỉ
VI trƣớc công nguyên). Giai đoạn toán học sơ cấp kéo dài suốt hơn hai nghìn
năm, đến hết thế kỉ XVI sau cơng ngun. Hầu hết nội dung mơn tốn trong
chƣơng trình phổ thơng hiện nay đều đã có từ giai đoạn tốn học sơ cấp. Các
quốc gia có sự phát triển tốn học cao trong giai đoạn toán học sơ cấp là Hy
Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ, các nƣớc ở vùng Trung cận đông. Đến thế kỷ XIV
Châu Âu khơng phải là nơi có nền toán học phát triển. Chỉ từ thời Phục hƣng,


12

tốn học Châu Âu mới có sự phát triển đáng kể và dần dần chiếm ƣu thế trên
trƣờng quốc tế trong giai đoạn phát triển sau đó của tốn học.
- Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. Từ thế kỷ XVII đến đầu thế kỷ
XIX là một giai đoạn phát triển mạnh của toán học. Trong giai đoạn này tốn
học đã có sự thay đổi về chất: đối tƣợng nghiên cứu của tốn học là các q
trình liên tục, phƣơng pháp nghiên cứu tốn học cũng có sự thay đổi, kết quả
nghiên cứu đạt đƣợc rất phong phú. Hầu hết nội dung toán đƣợc giảng dạy
trong các trƣờng đại học khơng chun về tốn ngày nay là kiến thức tốn học
của giai đoạn này. Châu Âu chiếm vị trí phát triển toán học nhất trong giai
đoạn toán học cao cấp cổ điển. Những thành tựu nổi bật nhất của giai đoạn
Toán cao cấp cổ điển là: Sự ra đời của đại lƣợng biến thiên và Hình học giải
tích do Đề-các (Descartes) xây dựng cùng với sự góp cơng hồn thiện của

nhiều nhà toán học khác; Sự ra đời của phép tính vi phân và phép tính tích
phân do Niu-tơn (Newton) và Lai-bơ-nít (Leibniz) độc lập khám phá; những
kết quả về Số học của Phéc-ma (Fermat) trong đó có bài toán nổi tiếng đƣa ra
từ thế kỷ XVII mà đến tận cuối thế kỷ XX mới có ngƣời giải quyết đƣợc; Sự
ra đời của Hình học xạ ảnh khởi đầu bởi cơng trình của Deusart, sự ra đời của
Hình học họa hình do Mon-giơ (Monger) đề xuất.
- Giai đoạn tốn học hiện đại. Giai đoạn toán học hiện đại bắt đầu từ
những năm đầu thế kỷ XIX và từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay phát triển hết
sức mạnh. Trong giai đoạn này toán học phát triển trên một diện rộng lớn.
Nhiều vấn đề toán học đƣợc đề xuất nghiên cứu và có sự liên kết giữa các nhà
tốn học ở nhiều quốc gia với nhau. Khởi đầu của toán học hiện đại là việc
giải quyết ba vấn đề lớn: Nghiên cứu định đề V của Ơ-clit (Euclide) và sự ra
đời của Hình học Lobashevxky cùng với các Hình học phi Ơ-clit khác; Vấn
đề giải phƣơng trình đa thức bậc lớn hơn 4 với các cơng trình của A-ben
(Abel) và Ga-loa (Galois); Vấn đề xây dựng một hệ thống số thực chặt chẽ để
đảm bảo sự phát triển của Giải tích tốn học. Nhu cầu thực tiễn sản xuất xã
hội và nhu cầu nội tại toán học đã thúc đẩy toán học hiện đại theo các hƣớng:


13

xây dựng các lý thuyết tổng quát bao trùm nhiều lĩnh vực nghiên cứu nhƣ các
cấu trúc đại số trừu tƣợng, cấu trúc tơ pơ, cấu trúc thứ tự, lí thuyết phạm trù;
nghiên cứu các lý thuyết toán học hữu hạn, tốn học rời rạc, các q trình
ngẫu nhiên nhằm kiểm soát các hệ thống phức tạp; nghiên cứu lý thuyết tối ƣu
theo nhiều cách tiếp cận khác nhau; với sự ra đời của máy tính điện tử, lý
thuyết ngơn ngữ hình thức, lý thuyết thuật tốn ngày càng có những bƣớc phát
triển mạnh mẽ... Thực ra thuật ngữ "toán học hiện đại" cũng cần đƣợc hiểu
một cách tƣơng đối, có tính chất thời điểm.
Phong trào cải cách giáo dục toán học đƣợc khởi xƣớng từ đầu thế kỉ

XX đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung mơn Tốn
trong nhà trƣờng với thành tựu phát triển của toán học. Một số nhà nghiên
cứu toán học và lí luận dạy học đã đƣa ra ý kiến cho rằng, cần phải đƣa một
số kiến thức toán học hiện đại vào giảng dạy trong các trƣờng phổ thông. Tuy
nhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi sự cố gắng cải cách một cách triệt
để nội dung dạy học mơn Tốn trong các trƣờng phổ thơng đều khơng mang
lại hiệu quả. Từ thực tế đó, xu hƣớng chung đƣợc nhiều ngƣời thừa nhận là
nội dung mơn Tốn ở trƣờng phổ thông chủ yếu vẫn phải bao gồm các tri thức
tốn học truyền thống nhƣng cần đƣợc trình bày dƣới sự soi sáng của toán học
hiện đại. Với quan điểm đó khơng cần đƣa nhiều kiến thức tốn hiện đại vào
chƣơng trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức mơn Tốn tiếp cận đƣợc với
xu thế phát triển của tốn học. Với một chƣơng trình nhƣ vậy địi hỏi ngƣời
GV phải có những hiểu biết nhất định về tốn học hiện đại để nhìn nhận nội
dung dạy học mơn Tốn phổ thơng một cách thống nhất.
1.3.2. Sự chuyển hóa sư phạm tri thức tốn học và tri thức dạy học
Theo Nguyễn Bá Kim, Bùi Huy Ngọc [16, tr.17], trong lý luận dạy học
cần có sự chuyển hóa sƣ phạm giữa ba bấp độ tri thức:
- Tri thức khoa học: Ở cấp độ các nhà khoa học, ngƣời ta nói tới tri
thức khoa học (ở đây đƣợc hiểu là tri thức tốn học). Đó là đối tƣợng của
nhận thức. Hoạt động khoa học liên hệ với lịch sử cá nhân của nhà nghiên


14

cứu. Để thông báo một tri thức, các nhà nghiên cứu thƣờng xóa bỏ lịch sử của
tri thức đó, khơng nêu lại tình huống cụ thể, tức là đã phi hồn cảnh hóa;
đồng thời bỏ qua những tìm tịi, dự đốn, sai lầm của cá nhân mình, tức là phi
cá nhân hóa. Nhà nghiên cứu chỉ thể hiện tri thức đúng đắn mà cuối cùng đã
đạt đƣợc, dƣới một dạng tổng quát nhất có thể đƣợc, theo những quy tắc diễn
đạt hiện hành trong cộng đồng khoa học.

- Tri thức chương trình: Tri thức khoa học cịn phải đƣợc sàng lọc, định
mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt cho phù hợp với mục tiêu và điều kiện
xã hội để đảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với mơi trƣờng của nó
thì mới trở thành tri thức chƣơng trình. Cơng việc này chịu sự tác động của
cộng đồng xã hội: Những nhà nghiên cứu chƣơng trình, những nhà giáo dục,
những nhà toán học, GV và phụ huynh học sinh,... Tri thức chƣơng trình là
đối tƣợng dạy học, là mục tiêu dạy của GV và mục tiêu học của HS.
- Tri thức dạy học: Ở cấp độ lớp học, ta nói tới tri thức dạy học. Để đạt
đƣợc mục tiêu dạy học, GV phải tổ chức lại tri thức quy định trong chƣơng
trình, SGK và biến thành tri thức dạy học theo khả năng sƣ phạm của mình,
với những ràng buộc của lớp, phù hợp với trình độ HS và những điều kiện
học tập khác.
Sự chuyển hóa sƣ phạm bao gồm hai khâu: chuyển tri thức khoa học
thành tri thức chƣơng trình và chuyển tri thức chƣơng trình thành tri thức dạy
học. Do đó để dạy tốt mơn Tốn ở trƣờng THPT, GV cần hiểu đƣợc sự
chuyển hóa từ tri thức khoa học (tốn học hiện đại) vào tri thức chƣơng trình
mơn Tốn mà mình giảng dạy thì mới có thể tích cực hóa hoạt động học tập
của HS. GV cần nắm vững các cơ sở Toán học hiện đại của kiến thức mơn
Tốn trong chƣơng trình phổ thơng nhƣ: Tập hợp, ánh xạ, các phép tốn đại
số, cấu trúc đại số... GV có khả năng vận dụng các kiến thức của Toán cao
cấp để soi xuống Tốn sơ cấp trong chƣơng trình phổ thơng, nhìn nhận các
mạch kiến thức Tốn ở phổ thơng trên quan điểm Tốn cao cấp để trong q
trình dạy học tổ chức hƣớng dẫn HS con đƣờng khám phá tìm kiếm những nội


15

dung kiến thức thiết thực thông qua các bƣớc chuyển hóa sƣ phạm giữa các tri
thức.
Theo Nguyễn Chiến Thắng [31], chẳng hạn với khái niệm Giới hạn hàm

số ta có:
- Tri thức khoa học: Trong Toán cao cấp định nghĩa là “Cho hàm số f
xác định trên tập X  ℝ và x0 là một điểm tụ của tập X. Số thực L  ℝ được
gọi là giới hạn của hàm số f khi x dần đến x 0 nếu  > 0, () > 0: x  X
mà 0 < |x - x0| <   |f(x) - L| < ”.
- Tri thức chương trình: Tuy nhiên khi đƣa khái niệm này vào trong
SGK thì khái niệm này đƣợc định nghĩa nhƣ sau “Cho khoảng K chứa điểm
x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. Ta nói hàm số y = f(x)
có giới hạn là số L khi x dần tới x 0 nếu dãy số (xn) bất kì, xn  K\{x0} và xn 
x0, ta có f(xn)  L” (SGK Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục, 2007).
Về mặt Tốn học, định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ  -  tƣơng
đƣơng với định nghĩa theo ngôn ngữ dãy. Điều khác biệt trong hai định nghĩa
trên chính là khái niệm “điểm tụ” (hay điểm giới hạn) trong định nghĩa thứ
hai, đây là một khái niệm của Tôpô trên khơng gian ℝ, khái niệm này đƣợc
định nghĩa trong Tốn cao cấp nhƣ sau: “x0  ℝ được gọi là điểm tụ của tập
hợp A nếu và chỉ nếu  > 0, (A\ {x0})  (x0 - ; x0 + )  ”, trong đó,
khoảng (x0 - ; x0 + ) gọi là  - lân cận của x0 và đƣợc kí hiệu là U(x0). Ta
biết rằng điểm tụ có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp A. Nhƣ vậy, có một
sự bỏ qua tính chính xác trong định nghĩa vì khái niệm điểm tụ khơng thể
trình bày chính xác cho HS hiểu đƣợc. Do đó, khi dạy khái niệm Giới hạn
hàm số cần đƣa ra các ví dụ yêu cầu HS tính giới hạn của một hàm số tại một
điểm liên quan đến đặc điểm của điểm tụ có thể thuộc hoặc không thuộc tập
xác định.


16

- Tri thức dạy học: Từ khái niệm Giới hạn của hàm số, GV có thể truyền
thụ cho HS tri thức phƣơng pháp để vận dụng khái niệm này để giải quyết
một số dạng toán sau:

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số y = f(x) có giới hạn là
L khi x dần tới a.
Bƣớc 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).
Bƣớc 2: Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, xn thuộc D, khác a và x n a.
Bƣớc 3: Tính lim f ( xn ) .
Bƣớc 4: Nếu lim f ( xn ) = L thì kết luận lim f ( x)  L .
xa

Dạng 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số y = f(x) khơng có giới
hạn là L khi x dần tới x 0.
Bƣớc 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).
Bƣớc 2: Chọn hai dãy số khác nhau (an) và (bn) thỏa mãn an, bn thuộc D
và khác x0: an x0, bn x0.
Bƣớc 3: Chứng minh lim f (an )  lim f (bn ) hoặc chứng minh một trong
hai giới hạn đó khơng tồn tại.
Để GV hiểu lịch sử phát triển của tốn học và có khả năng thẩm thấu
việc vận dụng kiến thức toán cao cấp để soi sáng tốn phổ thơng và từ đó tổ
chức cho HS con đƣờng khám phá tìm kiếm các nội dung kiến thức, GV cần
thực hiện các bƣớc nhƣ sau:
Bước 1: Nghiên cứu mối quan hệ giữa phần kiến thức Tốn phổ thơng
với cơ sở lý thuyết trong toán học cao cấp và toán sơ cấp đƣợc trang bị ở
trƣờng Sƣ phạm.
Bước 2: Sử dụng góc nhìn và ngơn ngữ của Tốn cao cấp để phân tích
kiến thức Tốn phổ thơng nhằm làm rõ bản chất sâu sắc về khoa học toán học.
Bước 3: Thông qua hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ để tiến hành chuyển
hóa sƣ phạm tri thức khoa học - tri thức chƣơng trình - tri thức dạy học.


17

1.3.3. Mối liên hệ giữa nguồn gốc, lịch sử toán học và thực tiễn
Theo Ăng-ghen, đối tƣợng của toán học là những quan hệ số lƣợng và
hình dạng khơng gian của thế giới hiện thực. Do đó, tốn học là khoa học về
quan hệ số lƣợng và hình dạng khơng gian của thế giới khách quan, đƣợc hình
thành và phát triển trên cơ sở của những hoạt động thực tiễn của xã hội lồi
ngƣời. Tốn học là khoa học rất thực tiễn. Song đối tƣợng của tốn học khơng
phải do thực tại đã cho một cách trực tiếp, mà là kết quả của một sự trừu
tƣợng hóa. Muốn nghiên cứu một đối tƣợng hay hiện tƣợng nào đó bằng
phƣơng tiện tốn học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về chất của đối tƣợng
và hiện tƣợng, mà chỉ giữ lại những đặc trƣng về số lƣợng và hình dạng mà
thôi. Làm nhƣ vậy, chẳng hạn, ta đƣợc điểm là khơng có kích thƣớc, đường là
khơng có bề dày và bề rộng, những đại lƣợng không đổi và những đại lƣợng
biến thiên. Trong q trình phát triển, tốn học khảo sát những đối tƣợng
thuộc về quan hệ số lƣợng và hình dạng khơng gian ngày càng trừu tƣợng.
Đối với các lý thuyết toán học hiện đại, các quan hệ và hình dạng đó thƣờng
hết sức trừu tƣợng: ngƣời ta thƣờng nói đến các tập hợp những phần tử mà
các tính chất của chúng và quy tắc tính về chúng đƣợc cho bằng một hệ tiên
đề. Những quan hệ mới xuất hiện trong quá trình phát triển của một lý thuyết
tốn học ra ngồi phạm vi của các tiên đề thì phải đƣợc định nghĩa qua các
tiên đề đó.
Đối tƣợng của tốn học ngày càng mang tính chất trừu tƣợng cao độ,
nhƣng nguồn gốc phát sinh và phát triển bao giờ cũng là thực tiễn. Vì vậy,
giảng dạy tốn cho HS, ngƣời GV cần hết sức lƣu ý gắn liền với đời sống, với
thực tiễn phong phú của xã hội. Tính trừu tƣợng của tốn học chỉ che lấp chứ
khơng hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Với vai trị là mơn học cơng cụ nên
các tri thức, kĩ năng và phƣơng pháp làm việc của mơn Tốn đƣợc sử dụng
cho việc học tập các môn học khác trong nhà trƣờng, trong nhiều ngành khoa
học khác nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn, trong Vật lí chúng ta gặp
mối liên hệ giữa quảng đƣờng đi đƣợc s và thời gian t trong một chuyển động

18

đều biểu thị bởi: s = vt, mối liên hệ giữa hiệu điện thế U và cƣờng độ dòng
điện I khi điện trở R không đổi biểu thị bởi: U = I.R; trong Hình học chúng ta
gặp mối liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của đƣờng trịn biểu thị bởi:
C = 2  R; trong Hóa học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của
một chất khí với tỉ khối d của chất khí đó đối với khơng khí biểu thị bởi:
M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền p với chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi:
p = a.n;… Bằng cách trừu tƣợng hóa, gạt ra một bên các đại lƣợng cụ thể và
chỉ chú ý tới quan hệ của các đại lƣợng đó, chúng ta có hàm số y = a.x.
Do vậy, có thể nói rằng, mơn Tốn có nhiều tiềm năng liên hệ với thực
tiễn trong dạy học. Theo [11, tr. 71] thì liên hệ với thực tiễn trong q trình
dạy học Tốn là một trong ba phƣơng hƣớng thực hiện Ngun lí giáo dục nói
trên. Cụ thể là cần liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau:
- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm,
hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ
sông Nil (Ai cập), …
- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những
đại lƣợng đặc trƣng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hƣớng, chẳng hạn
vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhƣng
khác nhau về độ lớn… trong Tốn học có chứng minh thuận, chứng minh đảo
thì trong cuộc sống ta thƣờng khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có
qua có lại", "sống phải có trƣớc có sau", …
- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lƣợng giác để đo
khoảng cách không tới đƣợc, đạo hàm đƣợc ứng dụng để tính vận tốc tức thời,
tích phân đƣợc ứng dụng để tính diện tích, thể tích…
Muốn vậy, GV cần quan tâm tăng cƣờng cho HS nắm bắt tri thức lịch
sử toán để hiểu đƣợc nguồn gốc của toán học, giá trị của tri thức toán học
trong giải quyết những bài tốn có nội dung thực tiễn. Lịch sử tốn học đã

chứng tỏ rằng tốn học chỉ có thể phát triển mạnh mẽ nếu nó đi sâu nghiên


19

cứu các hiện tƣợng trong thực tiễn của đời sống. Ở A-ten, vào thế kỉ thứ V
trƣớc cơng ngun, tốn học phát triển đƣợc chủ yếu là do cuộc đấu tranh
thắng lợi của quan điểm duy vật – mà đứng đầu là nhà triết học Đê-mơ-crít
chống quan điểm duy tâm. Ở “thời đại hồng kim” của tốn học, Ac-si-mét,
Ê-stơ-ten và nhiều nhà toán học khác ở A-lec-xăng-dri đã xây dựng tốn học
trên cơ sở thực tiễn, và do đó đã thúc đẩy khoa học rất nhiều. Trong thời kì
“đêm trƣờng trung cổ” của Châu Âu, khi toàn bộ khoa học bị tập trung vào
nhà thờ, thì tốn học hồn tồn khơng phát triển đƣợc.
Mãi đến thế kỉ XVI, tốn học mới lại phát triển, do yêu cầu của sức sản
xuất của xã hội tƣ sản mới phôi thai. Và cùng với sự phát triển của sản xuất,
của khoa học kĩ thuật, các quan điểm duy vật trong toán học ngày càng đƣợc
chứng minh. Nhà vật lý học Ga-li-lê đã xác nhận giá trị khách quan của tốn
học trong những dịng sau đây: “Vật lý và thiên văn học viết trong những sách
dày bao giờ cũng rộng mở cho mọi ngƣời... Vật lý và thiên văn học đƣợc diễn
tả bằng ngôn ngữ của tốn học, và cách kí hiệu của nó là những hình tam giác,
hình trịn và những hình tốn học khác”.
Đối với Niu-tơn thì thời gian và khơng gian tồn tại khách quan, và
nghiên cứu cái đó là vấn đề của toán học và cơ học. Nhà toán học vĩ đại Ơ-le
đã nhấn mạnh nhiều lần rằng “cảm giác chỉ cung cấp cho chúng ta những cái
tồn tại thực tế bên ngồi”, và “con ngƣời có khả năng trừu tƣợng hóa từ cái
thực tế bên ngồi, và chính theo đƣờng lối đó mà các khái niệm đƣợc hình
thành, đặc biệt là khái niệm về số và hình”.
Trên đây chỉ là một vài vấn đề rất sơ lƣợc về triết học trong toán học,
việc hiểu biết lịch sử toán cũng nhƣ về triết học trong toán học là rất cần thiết
đối với ngƣời dạy toán và học toán. Việc hiểu biết về các quan điểm duy vật

trong toán học càng giúp cho ngƣời học hiểu rõ thêm về vai trò của thực tiễn
đối với sự phát triển của toán học.
Ta có thể nhận thấy đƣợc tác dụng trực tiếp của những vấn đề khoa học
tự nhiên đến sự phát triển của tốn học trong suốt q trình lịch sử của toán


20

học. Chẳng hạn nhƣ phép tính vi phân và tích phân ở dạng đầu tiên đƣợc xuất
hiện từ phƣơng pháp tổng quát nhất để giải các bài toán cơ học, cơ học vũ trụ.
Lý thuyết các đa thức, sai ít nhất so với số không, đã đƣợc viện sĩ Nga
Sê-Bƣ-Sép nghiên cứu khi nghiên cứu vấn đề về máy hơi nƣớc. . . Ngày nay,
do ảnh hƣởng trực tiếp từ những nhu cầu trong các lĩnh vực mới về kỹ thuật,
mà nhiều ngành toán học đã phát triển rất mạnh mẽ: các phƣơng pháp giải gần
đúng phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng và phƣơng trình tích phân, các
phƣơng pháp của lý thuyết nhóm, . . .
Ngƣợc lại thì thực tiễn, đặc biệt là kỹ thuật, lại là một phƣơng tiện hỗ
trợ không thể thay thế đƣợc trong việc nghiên cứu tốn học và có tác dụng
làm thay đổi nhiều bộ mặt của tốn học. Các máy tính điện tử đã mở ra một
khả năng vô hạn để mở rộng loại các bài toán, giải đƣợc bằng phƣơng tiện của
toán học, và làm thay đổi mối quan hệ giữa các phƣơng pháp tìm lời giải đúng
và gần đúng.
Từ những điều đó HS hiểu rõ đƣợc tính chất thực tiễn của tốn học,
cũng nhƣ các mơn khoa học khác nhƣ vật lý, hóa học, sinh học, . . . tốn học
cũng phát sinh và phát triển trên cơ sở nhu cầu thực tiễn của con ngƣời và để
thỏa mãn những nhu cầu ấy. Khi học toán, nếu các em biết đƣợc trong điều
kiện thực tế nào, những nguyên nhân khách quan nào đã làm phát sinh khái
niệm này hay khái niệm khác, hoặc đã thúc đẩy sự phát triển của một lý
thuyết tốn học nào thì sẽ bồi dƣỡng đƣợc quan điểm duy vật cho HS, đã phá
luận điệu duy tâm cho rằng toán học là sự sáng tạo tùy ý của con ngƣời,

khơng liên quan gì đến thế giới hiện thực. Điều đó góp phần xây dựng tƣ
tƣởng vơ thần, chống mê tín, dị đoan, dần dần xây dựng cơ sở thế giới quan
khoa học cho HS.
Quá trình phát triển của các toán học phản ánh các quy luật của biện
chứng. Ví dụ: Từ lớp 5 đến lớp 12, khái niệm về số liên tục đƣợc mở rộng, từ
số tự nhiên đến số nguyên dƣơng, số hữu tỉ, số thực và cuối cùng là số phức.
Khái niệm về số đã phát triển dần dần do nhu cầu của thực tiễn và đƣợc mở