Sử dụng phương pháp graph trong dạy học toán ở trường thpt nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------------------




LÊ THỊ NGỌC ANH




SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC
TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ
HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH




Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán
Mã số: 60.14.10



L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C






NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI




Thái Nguyên - 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỤC LỤC

Trang phụ Trang
Lời nói đầu
Các ký hiệu viết tắt
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề 1
2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3
4. Giả thuyết khoa học 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài 4
7. Phƣơng pháp nghiên cứu 4
7.1 . Nghiên cứu lý luận 4
7.2. Thực nghiệm sƣ phạm 4
8. Cấu trúc luận văn 4
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới PPDH 6
1.1.1. Nhu cầu đổi mới PPDH 6
1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH 7
1.2. Đặc điểm môn toán trong trƣờng phổ thông và quan điểm
đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán 8
1.2.1. Đặc điểm môn Toán 8
1.2.2. Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy
học môn toán ở trƣờng THPT 9
1.3. Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 11
1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph 11


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
1.3.2. Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy

học: tiếp cận cấu trúc hệ thống 22
1.3.3. Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc áp dụng
phƣơng pháp graph trong dạy học 22
1.3.4. Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy
học 25
1.4. Ứng dụng của phƣơng pháp graph trong dạy học 28
1.4.1. Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học 28
1.4.2. Chuyển hoá graph thành phƣơng pháp graph dạy
học 29
1.4.3. Những ứng dụng của graph trong dạy học 29
1.4.4. Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học 34
CHƢƠNG II: VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO
DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT
2.1. Graph dạy học toán học 36
2.1.1. Graph nội dung 36
2.1.2. Graph hoạt động 42
2.1.3. Mối quan hệ giữa graph nội dung và graph hoạt
động 54
2.2. Một số ví dụ về thiết kế graph trong dạy học toán 55
2.2.1. Thiết kế một số graph của một số nội dung
trong chƣơng trình toán THPT 55
2.2.2. Thiết kế graph một số chuyên đề toán học 62
2.2.3. Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập
toán học 66
2.3. Sử dụng graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT 70



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3

2.3.1. Một số nguyên tắc khi sử dụng graph trong dạy
học toán ở trƣờng THPT 70
2.3.2. Sử dụng graph trong quá trình dạy học 71
2.3.3. Một số tình huống sử dụng graph nôi dung
trong quá trình dạy học 72
CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm 79
3.1.1. Mục đích thực nghiệm 79
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 79
3.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm 79
3.1.4. Nội dung thực nghiệm 79
3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 79
3.2.1. Hình thức tiến hành thực nghiệm 79
3.2.2. Kế hoạch tiến hành thực nghiệm 80
3.2.3. Giáo án thực nghiệm 80
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 88
3.3.1. Về nội dung tài liệu thực nghiệm 88
3.3.2. Về phƣơng pháp giảng dạy 89
3.3.3. Về kết quả thực nghiệm 90
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm 97
KẾT LUẬN 98
PHỤ LỤC 99



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GD & ĐT : Giáo dục và đào tạo

GV : Giáo viên
HS : Học sinh
PT : Phƣơng trình
PPDH : Phƣơng pháp dạy học
SGK : Sách giáo khoa
TB : Trung bình
THPT : Trung học phổ thông



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
- Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy
định: “Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
tƣ duy sáng tạo của ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học
tập và ý chí vƣơn lên” (Luật Giáo dục 2005).
- Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng
sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) khẳng định: “Phải đổi mới phƣơng pháp giáo
dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy
sáng tạo của ngƣời học. Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và
phƣơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
- Đổi mới phƣơng pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành
giáo dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
- Nhiệm vụ đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng tích cực hoá hoạt
động học tập của học sinh không chỉ là định hƣớng mà còn đòi hỏi cần nghiên
cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phƣơng pháp dạy học

tích cực. Việc kết hợp các phƣơng pháp truyền thống với các phƣơng pháp
dạy học đặc thù nhƣ phƣơng pháp mô hình hoá, phƣơng pháp graph là một
giải pháp tốt.
- Công nghệ dạy học hiện đại đã trở thành một xu thế chung của thế giới
trong việc đổi mới giáo dục.
- Graph là một chuyên ngành toán học hiện đại đã đƣợc ứng dụng vào
nhiều ngành khoa học khác nhau nhƣ: khoa học, kỹ thuật, kinh tế học, hoá
học…. Bởi vì graph toán học là phƣơng pháp khoa học có tính khái quát cao,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
có tính ổn định vững chắc để mã hoá các mối quan hệ của các đối tƣợng đƣợc
nghiên cứu.
- Việc vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học toán học nhằm nâng
cao chất lƣợng dạy học môn học này ở trƣờng THPT, đƣợc xem nhƣ là một
trong những tiếp cận mới vừa bổ sung vào hệ thống các phƣơng pháp dạy học
truyền thống, vừa làm phong phú thêm kho tàng các phƣơng pháp dạy học
toán học. Theo hƣớng này, có nhiều tác giả đã thành công trong việc nghiên
cứu và vận dụng lý thuyết graph vào dạy học một số môn học ở trƣờng phổ
thông và đã có những kết quả bƣớc đầu. Năm 1980, tác giả Trần Trọng
Dƣơng đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phƣơng pháp graph và algorit hoá để
nghiên cứu cấu trúc và phƣơng pháp giải, xây dựng hệ thống về lập công thức
hoá học ở trƣờng phổ thông”. Năm 1984, Phạm Tƣ với sự hƣớng dẫn của giáo
sƣ Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu đề tài: “Dùng graph nội dung của bài
lên lớp để dạy và học chƣơng Nitơ- Phôtpho ở lớp 11 trƣờng trung học phổ
thông”. Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu: “Dùng phƣơng pháp
graph lập chƣơng trình tối ƣu để dạy môn sử”. Trong dạy học sinh học ở
trƣờng phổ thông, Nguyễn Phúc Chỉnh là ngƣời đầu tiên đi sâu nghiên cứu về
lý thuyết graph và ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu - Sinh lý
ngƣời (năm 2005).

- Đối với phƣơng pháp graph trong dạy học toán, các chuyên gia Hoàng
Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hƣớng nhƣng chƣa có học viên cao
học nào nghiên cứu một cách chi tiết.
- Xuất phát từ lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng phƣơng pháp
graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT nhằm tích cực hoá hoạt động
học tập của học sinh”, với mục tiêu vận dụng một phƣơng pháp dạy học có
nhiều tiềm năng phát huy năng lực nhận thức của học sinh, góp phần thiết
thực vào việc đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán học ở trƣờng phổ thông.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hƣớng vận dụng phƣơng pháp graph để xây dựng một số graph nội
dung và graph hoạt động vào dạy học toán ở trƣờng THPT theo chƣơng trình
mới.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Chƣơng trình toán THPT, học sinh THPT, GV
giảng dạy Toán ở các trƣờng THPT.
- Đối tƣợng nghiên cứu: Dạy học Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng
pháp graph.
- Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong một số nội dung của chƣơng trình
toán THPT nhƣ: Thống kê, xác suất….
4. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học một số nội dung của
chƣơng trình Toán thì sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động học tập của học
sinh, phát triển tƣ duy hệ thống và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn
Toán ở THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu quan điểm dạy học Toán theo tinh thần đổi mới.
- Tìm hiểu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy

học.
- Chỉ ra nội dung môn toán trong chƣơng trình toán THPT có thể vận
dụng lý thuyết graph
- Thiết kế các graph (nội dung và hoạt động).
- Kiểm tra hiệu quả các graph đã thiết kế để dạy học Toán bằng thực
nghiệm sƣ phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài
- Về lý luận:
Hệ thống và làm rõ thêm việc vận dụng lý thuyết graph vào dạy học
Toán ở THPT.
- Về thực tiễn:
Đƣa ra một số graph nội dung và graph hoạt động môn Toán và những
hƣớng dẫn sƣ phạm trong việc áp dụng những graph này vào thực tiễn dạy
học Toán.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan
đến: đổi mới phƣơng pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị
dạy học toán 10, 11, 12.
- SGK, phân phối chƣơng trình, sách GV…
- Các tài liệu về lý thuyết graph và những ứng dụng của nó trong thực
tiễn cuộc sống và trong dạy học.
- Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phƣơng
pháp graph và việc đổi mới phƣơng pháp dạy học.
7.2. Thực nghiệm sƣ phạm
- Biên soạn giáo án có sử dụng graph hoạt động và graph nội dung về
môn Toán THPT phù hợp với chƣơng trình lên lớp.

- Tiến hành thực nghiệm.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
8. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm:
Phần mở đầu.
Chƣơng I: Cơ sở lý luận của đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chƣơng II: Vận dụng lý thuyết graph vào dạy học toán ở trƣờng THPT.
Chƣơng III: Thực nghiệm sƣ phạm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chƣơng I
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1. Nhu cầu và định hƣớng đổi mới PPDH
1.1.1. Nhu cầu đổi mới PPDH
Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nƣớc đang đòi hỏi phải cấp bách
nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nƣớc ta đang chuyển đổi
từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trƣờng có sự quản lý của nhà
nƣớc. Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống
giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần
có những thay đổi mới căn bản về phƣơng pháp dạy học. Phải thừa nhận rằng
trong tình hình hiện nay, phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta còn có những nhƣợc
điểm phổ biến:
Thầy thuyết trình tràn lan;
Tri thức đƣợc truyền thụ dƣới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;
Thầy áp đặt, trò thụ động;
Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, sáng tạo của ngƣời
học;
Không kiểm soát đƣợc việc học.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời xây dựng xã hội công nghiệp
hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc

đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục
và Đào tạo từ một số năm nay với những tƣ tƣởng chủ đạo đƣợc phát biểu
dƣới nhiều hình thức khác nhau, nhƣ “Phát huy tính tích cực”, “Phƣơng pháp
dạy học tích cực”, “Tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá ngƣời
học”v.v… [6].


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH
Định hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc xác định trong nghị quyết Trung
ƣơng 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung ƣơng 2 khoá VIII (12- 1996),
đƣợc thể chế hoá trong luật giáo dục (2005), đƣợc cụ thể hoá trong các chỉ thị
của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4- 1999).
Luật giáo dục 2005, chƣơng I, điều 24 đã ghi “Phƣơng pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng
pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho mỗi học sinh”.
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngƣời Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng bảo vệ tổ quốc”; Chƣơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo
quyết định số 16/2006/QĐ - BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trƣởng bộ Giáo
dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trƣng môn học, đặc điểm đối tƣợng
học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dƣỡng cho học sinh phƣơng pháp tự

học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho
từng học sinh” [10].
Đổi mới PPDH đƣợc coi là một trong những nhiệm vụ chiến lƣợc. Chính
vì vậy PPDH cần hƣớng vào việc tổ chức cho ngƣời học học tập trong hoạt
động, kết hợp tốt học với hành. Đổi mới phƣơng pháp dạy và học theo hƣớng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của ngƣời học; tăng cƣờng thực
hành, thực tập; ứng dụng mạnh mẽ công nghệ thông tin và các thành tựu khác
của khoa học, công nghệ vào việc dạy và học.
Đổi mới và hiện đại hoá phƣơng pháp giáo dục, chuyển từ truyền đạt tri
thức thụ động, giáo viên giảng, học sinh ghi sang hƣớng dẫn ngƣời học tƣ duy
trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho ngƣời học phƣơng pháp tự học, tự
thu nhận thông tin một cách hệ thống và có tƣ duy phân tích, tổng hợp và phát
triển đƣợc năng lực của mỗi cá nhân; tăng cƣờng tính chủ động, tính tự chủ
của học sinh…
Hiện nay, trên thế giới đã có rất nhiều chuyên gia và GV áp dụng và
chuyển hoá các phƣơng pháp khoa học, các thành tựu của kỹ thuật tiên tiến và
công nghệ mới thành phƣơng pháp dạy học đặc thù. Trong đó, tiếp
cận - chuyển hoá lý thuyết graph toán học thành phƣơng pháp dạy học là một
trong những hƣớng có nhiều triển vọng.

1.2. Đặc điểm môn toán trong trƣờng phổ thông và quan điểm đổi
mới phƣơng pháp dạy học toán
1.2.1. Đặc điểm môn toán
Toán học nói chung và môn toán ở trƣờng THPT nói riêng là môn học
mang tính trừu tƣợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng. Tính trừu tƣợng của
toán học và của môn toán trong nhà trƣờng do chính đối tƣợng của toán học

quy định.
Toán học là khoa học nghiên cứu các quan hệ số lƣợng, hình dạng và
lôgic trong thế giới khách quan
Tính trừu tƣợng có trong mọi ngành khoa học, tuy nhiên trong toán học
tính trừu tƣợng tách ra khỏi mọi chất liệu đối tƣợng, chỉ giữ lại những quan hệ
số lƣợng dƣới dạng cấu trúc mà thôi.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Sự trừu tƣợng hoá trong toán học diễn ra trên những bình diện khác
nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tƣợng từ những đối
tƣợng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, khái niệm hình bình
hành…
Toán học là môn học có tính phổ dụng cao, điều này là do đặc tính trừu
tƣợng của môn học này quyết định
Ví dụ: xét tƣơng quan y = ax (a 0), trong toán học nó thể hiện tƣơng
quan của hàm bậc nhất. Tuy nhiên nó còn thể hiện ở nhiều lĩnh vực khác,
chẳng hạn:
+ Trong vật lí ta có tƣơng quan sau:
- Tƣơng quan giữa quãng đƣờng trong một chuyển động đều với
vận tốc v cho trƣớc tỷ lệ thuận với thời gian t là: s = vt
- Tƣơng quan giữa hiệu điện thế U với cƣờng độ dòng điện trong
trƣờng hợp điện trở R không đổi: U = IR.
+ Trong hoá học ta có: phân tử gam M của một chất khí tỷ lệ thuận với
tỷ khối d của chất khí đó đối với không khí: M = 29d.
Ngày nay toán học đã thâm nhập vào hầu hết mọi ngành khoa học. Nó là
nền tảng cho các môn khoa học khác, do đó đổi mới phƣơng pháp dạy học
toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của nền giáo
dục phổ thông.
1.2.2 Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán ở

trƣờng THPT
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng
sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ:
Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao
động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp, qua đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước
mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh.
Về phƣơng pháp giáo dục, phải khuyến khích tự học, phải áp dụng
những phƣơng pháp giáo dục hiện đại để bồi dƣỡng cho học sinh năng lực tƣ
duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng
sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương
pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
Các quan điểm trên đây đã đƣợc pháp chế hoá trong luật giáo dục. Nhƣ
vậy quan điểm chung về hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc khẳng định. Cốt lõi
của việc đổi mới PPDH môn toán ở trƣờng THPT là làm cho học sinh học tập
tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Vậy quan điểm
chung về đổi mới PPDH môn toán hiện nay ở trƣờng THPT là tổ chức cho
học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tự giác, tích cực, chủ
động và sáng tạo.
Trong những năm gần đây, đã có những công trình khoa học xét quá
trình dạy học dƣới mức độ định lƣợng bằng những công cụ của toán học hiện
đại. Việc này có tác dụng nâng cao hiệu quả của hệ dạy học cổ truyền, đồng
thời mở ra những hệ dạy học mới tăng cƣờng tính khách quan hoá (vạch kế

hoạch chi tiết có tính algorit), cá thể hoá (nâng cao tính tích cực, tự lực và
sáng tạo)…
Trong dạy học việc truyền thông tin không chỉ theo hƣớng từ giáo viên
đến học sinh mà còn theo hƣớng từ học sinh đến giáo viên (liên hệ ngƣợc)
hoặc giữa học sinh với các phƣơng tiện dạy học (sách, đồ dùng dạy học…)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
hoặc giữa học sinh với học sinh. Nhƣ vậy, giữa giáo viên và học sinh; giữa
phƣơng tiện dạy học với học sinh; giữa học sinh với học sinh đều có các
đƣờng (kênh) để chuyển tải thông tin đó là: kênh thị giác (kênh hình); kênh
thính giác (kênh tiếng)….Trong đó kênh thị giác có năng lực truyền tải thông
tin nhanh nhất, hiệu quả nhất.
Đối với học sinh đổi mới PPDH là: học tập một cách tích cực, chủ động,
biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo, hình
thành và ổn định phƣơng pháp tự học.
Đối với giáo viên đổi mới PPDH là:
-Thay đổi quan niệm: dạy học là truyền thụ một chiều, hƣớng tới dạy
ngƣời học phát triển và giải quyết vấn đề.
- Phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học
- Nâng cao hơn việc sử dụng phƣơng tiện dạy học, thành tựu của công
nghệ thông tin, tăng cƣờng tri thức toán gắn với thực tiễn.

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học
1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph
Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hƣớng hoặc
có hƣớng) nối các đỉnh đó.
Ngƣời ta phân loại graph tuỳ theo đặc tính và số cạnh nối các đỉnh của
graph. Số đỉnh của graph G đƣợc kí hiệu bằng V(G) hay V. Số cạnh của graph
G đƣợc kí hiệu bằng E(G) hay E.

Trong mỗi graph các cạnh của graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các
đỉnh ở vị trí nào, đều không phải là điều quan trọng, mà điều quan trọng là
graph có bao nhiêu cạnh và đỉnh nào đƣợc nối với đỉnh nào. Xét một đỉnh của
graph, số cạnh tới đỉnh đó đƣợc gọi là bậc (degree) của đỉnh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Một graph đƣợc gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ đƣợc trên một mặt phẳng
mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các
cạnh). Hình vẽ nhƣ thế đƣợc gọi là một biểu diễn phẳng của graph.
Mỗi graph có thể có nhiều biểu diễn phẳng khác nhau, nhƣng phải chỉ rõ
đƣợc mối quan hệ giữa các đỉnh. Graph có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng sơ
đồ, dạng biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận).

Ví dụ:




Trong một graph có thể có đỉnh lại là một graph thì những đỉnh đó gọi là
graph con.






1.3.1.1 Phân loại graph
* Graph vô hƣớng:
Một graph vô hƣớng G=(V,E) gồm một tập V≠ Ø mà các phần tử của nó

gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các
cặp không có thứ tự của các đỉnh có thể chứa cạnh bội nhƣng không có
khuyên.
Grap con (Đỉnh C là graph con)

A
B
e
g
h
C

Hai cách thể hiện khác nhau của một graph

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Ví dụ:


V= {A, B, C, D, E, G}
E={(A, B),(B, C),(A, D),(A, E),(E, C),(B, D)}
Hai đỉnh u và v trong graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liền kề nếu (u,v) E.
Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng là
cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó,
riêng khuyên tại một đỉnh đƣợc tính hai lần cho bậc của nó
Đỉnh v đƣợc gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu
deg(v)= 0.
Ví dụ:
Deg(A)=3; deg(B)=2

Deg(C)=4; deg(D)=4
Deg(F)=1( Flà đỉnh treo)
Deg(G)=0 (G là đỉnh cô lập)

* Graph có hƣớng:
Một graph có hƣớng G= (V,E) gồm một tập V≠Ø mà các phần tử của nó
gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các
cặp sắp thứ tự của các phần tử thuộc V.
Ví dụ:




A B
C
D
A
D
B
F
C
G
A
D
B C
E G

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Đỉnh u đƣợc gọi là nối tới v hay v đƣợc gọi là nối tới u trong graph có

hƣớng nếu (u,v) là một cung của graph. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi
là đỉnh cuối của cung này.
Bán bậc vào của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg
+
(v) là số
các cung có đỉnh cuối là v.
Bán bậc ra của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg
-
(v) là số các
cung có đỉnh đầu là v.
Ví dụ:

Deg
+
(A)= 1; deg
-
(A)= 4
Deg
+
(B)= 2; deg
-
(B)= 2
Deg
+
(C)= 2;deg
-
(C)= 0
Deg
+
(D)= 1; deg

-
(D)= 0
Deg
+
(E)= 0; deg
-
(E)= 0
D là đỉnh treo, E là đỉnh cô lập
Nếu deg
+
(v)= deg
-
(v)= 0 thì v là đỉnh cô lập.
Nếu deg
+
(v)= 1 và deg
-
(v)= 0 thì v là đỉnh treo.
Trong dạy học, ngƣời ta thƣờng chỉ quan tâm đến graph có hƣớng vì
graph có hƣớng cho biết cấu trúc của đối tƣợng nghiên cứu.
* Một số dạng graph đặc biệt
Ta xét một số dạng graph đơn vô hƣớng đặc biệt, có thể ứng dụng đƣợc
trong thực tế.
+ Graph đầy đủ
Graph đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi K
n
, là graph vô hƣớng mà giữa hai đỉnh
bất kỳ của nó luôn có cạnh nối (cạnh liền kề)
Nhƣ vậy, K
n

có
2
)1(nn
cạnh và mỗi đỉnh của K
n
có bậc là n-1.
E

B

B

C D
A

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ví dụ:






+ Graph vòng
Graph vòng C
n
, n 3, gồm n đỉnh v
1,
v

2,
..., v
n
và các cạnh (v
1
,v
2
),
(v
2
,v
3
),…,(v
n-1
, v
n
), (v
n
, v
1
). Nhƣ vậy mỗi đỉnh của C
n
có bậc là 2.
Ví dụ:





+ Graph bánh xe

Graph W
n
thu đƣợc từ C
n
bằng cách bổ xung vào một đỉnh mới v
n+1
, nối
với tất cả các cạnh của C
n
.
Nhƣ vậy graph W
n
có n+1 đỉnh, 2n cạnh, 1 đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3.
Ví dụ:







V
1
V
3
V
2
C
3

V
1
V
2
V
4
V
3
C
4

V
3
V
5
V
1
V
2
V
4
V
1
V
2
V
3
V
4
K

5
K
4

V
1
V
3
V
2
K
3

V
2
V
1
V
3
V
4
W
3

V
2
V
1
V
3

C
3


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
+ Graph lập phương
Graph lập phƣơng n đỉnh Q
n
là graph với các đỉnh biểu diễn 2
n
xâu nhị
phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi hai xâu nhị phân tƣơng ứng
với hai đỉnh này chỉ khác nhau một bit.






+ Graph hai phía
Graph đơn G = (V, E) sao cho V = V
1
V
2
, V
1
V
2
= Ø, V

1
≠ Ø, V
2
≠ Ø
và mỗi cạnh của G đƣợc nối với một đỉnh trong V
1
và một đỉnh trong V
2
đƣợc
gọi là graph phân đôi.
Nếu graph phân đôi G = (V, E) sao cho mọi v
1
V
1
, v
2
V
2
; (v
1
, v
2
) E
thì G đƣợc gọi là graph phân đôi đầy đủ. Nếu V
1
= m, V
2
= n thì graph phân
đôi đầy đủ G ký hiệu là K
m,n

. Vậy K
m,n
có m.n cạnh, các đỉnh V
1
có bậc n và
V
2
có bậc m.
Ví dụ: K
2,3





1.3.1.2 Graph Euler và graph Hamilton:
Đƣờng đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dƣơng,
trong graph G = (V, E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e
1
, e
2
,…,e
n
của graph
V
1
V
2
V
3

V
4
V
5
10 11
00 01
V
1
V
2

Q
1
Q
2


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
sao cho e
1
=(x
0
, x
1
); e
2
=(x
1
, x

2
);…;e
n
=(x
n-1
, x
n
) với x
0
= u và x
n
= v. Khi graph
không có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đƣờng đi này bằng dãy các đỉnh x
1
,
x
2
,…, x
n.
Đƣờng đi gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh.
Đƣờng đi gọi là chu trình đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung)
quá một lần.
Một graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liên thông nếu có đƣờng đi giữa mọi
cặp đỉnh phân biệt của graph.
Ví dụ:

Đường đi Euler và graph Euler [11]:
Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) đơn chứa tất cả các cạnh (hoặc cung)
của graph (có hƣớng hoặc vô hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi)
Euler.
Một graph liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hƣớng)có chứa
một chu trình (đƣờng đi) Euler đƣợc gọi là graph Euler (nửa Euler).
Ví dụ:





X
T
Y
U
Z
V
G liên thông
G
’
không liên thông gồm 2 thành phần liên thông
A C
D B
G
H

Z

I
C D
E
B
A
E
D C
A B
C
A B
D E
G
1
G
2
G
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Graph G
1
trong hình trên là graph Euler vì nó có chu trình Euler A, E, C,
D, E, B, A. Graph G
3
không có chu trình Euler nhƣng nó có đƣờng đi Euler
A, C, D, E, B, D, A, B, vì thế G
3
là nửa Euler. Graph G
2

không có chu trình
cũng nhƣ đƣờng đi Euler.
Đường đi Hamilton và graph Hamilton [11]:
Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) sơ cấp chứa tất cả các đỉnh của graph
(vô hƣớng hoặc có hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi) Hamilton. Một
graph có chứa một chu trình (đƣờng đi) Hamilton đƣợc gọi là graph Hamilton
(nửa Hamilton).
Ví dụ:





Trong hình trên G
3
là Hamilton, G
2
là nửa Haminlton, còn G
1
không là
nửa Haminlton.
Bài toán về đƣờng đi có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Trong dạy học, ứng
dụng bài toán về chu trình có thể lập đƣợc các graph ở nhiều nội dung khác
nhau.
1.3.1.3 Khái niệm “cây” trong lý thuyết graph
Định nghĩa: Cây (tree) là một graph vô hƣớng liên thông, không chứa
chu trình.
Một graph vô hƣớng không chứa chu trình gọi là một rừng. Trong một
rừng, mỗi thành phần liên thông là một cây.
Ví dụ: Trong hình dƣới đây là một rừng có 3 cây T

1
, T
2
, T
3
.











G
1
G
2
G
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19

Khảo sát về cây là một nội dung quan trọng của lý thuyết graph và có
nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Cây khung:
Định nghĩa: Giả sử G (V, E) là đồ thị vô hƣớng liên thông.
Cây T = (V, F) với F E đƣợc gọi là cây khung của đồ thị G.
Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất
Đây là bài toán tối ƣu trên graph tìm đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của đời sống.
Cho G = (V, E) là graph vô hƣớng liên thông có trọng số, mỗi cạnh e E
có trọng số m(e) 0. Giả sử T = (V
T
, E
T
) là cây khung của đồ thị G (V
T
= V).
Ta gọi độ dài m(T) của cây khung T là tổng trọng số các cạnh của nó. Bài
toán đặt ra là trong tất cả các cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung có độ
dài nhỏ nhất. Cây khung nhƣ vậy đƣợc gọi là cây khung nhỏ nhất.
Ví dụ 1: Tìm cây khung cực tiểu cho graph sau theo thuật toán Kruskal.






T

1


T
2

T
3


2
V
1
V
4
V
3
V
2
8
9
5
7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Bắt đầu từ graph rỗng T có 4 đỉnh V
1
, V
2

, V
3
, V
4
.
Sắp xếp các cạnh của graph theo thứ tự tăng dần của trọng số
{ (V
2
,V
4
), (V
2
, V
3
), (V
3
, V
4
), (V
3
, V
1
), (V
1
, V
2
)}
Thêm vào graph cạnh (V
2
, V

4
).
Vì số cạnh của T là 1< 4-1=3 nên ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V
2
, V
3
).
Số cạnh của T tăng thành 2 vẫn nhỏ hơn 4-1, ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V
3
,
V
1
) ( không thêm cạnh (V
3
, V
4
), vì nhƣ vậy sẽ tạo thành chu trình).
Vậy ta đƣợc cây khung cực tiểu:




T
min
= 2+ 5+ 8 =15
Cây có gốc
Định nghĩa: Cây có hƣớng là graph có hƣớng mà graph vô hƣớng nền
của nó là một cây.
Cây có gốc là một cây có hƣớng, trong đó có một đỉnh đặc biệt gọi là
gốc, từ gốc có đƣờng đi đến mọi đỉnh khác của cây.

Ví dụ:






Trong cây có gốc thì gốc R có bậc vào bằng 0, còn tất cả các đỉnh khác
đều có bậc vào bằng 1.
E
F
A
B
G
O H
R
J
C
I
L
M
N Q
K
P D
V
1

V
1
V

4
V
3
V
2
8 2 5