Tài liệu Giáo án điện tử môn Xác suất thống kê - Tuần 6 doc

Tài Liệu

Giáo án điện tử môn
Xác suất thống kê - Tuần 6

TRẦN AN HẢI
 

 TUẦN 6 

HÀ NỘI - 2009
Chương 5
ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
_________________________________________________

§1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Biết chiều dài một sản phẩm do một xưởng sản xuất ra là
bnn X . Hãy ước lượng giá trị của .


là một tham số cần ước lượng. Muốn ước lượng nó, ta
phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này
sản xuất. Ta có thể ước đoán bởi một giá trị hoặc
ước đoán thuộc khoảng (a; b) nào đấy.

Trong thống kê, gọi là ước lượng điểm của , còn
(a; b) là ước lượng khoảng của .

§2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM
Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng
chưa biết tham số nào đó. Ta ước đoán bởi một con
số * như sau: Ta xây dựng hàm của mẫu ngẫu nhiên
tổng quát là
.
Với mỗi mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x
1
, x
2
, …, x
n
), ta lấy

làm ước lượng cho .
Gọi
hay
là ước lượng điểm của .

Để đánh giá chất lượng * xem “tốt” hay không ta không
thể mong muốn nó thật gần bởi vì ta chưa biết . Vì
vậy, dưới đây người ta đưa ra các tiêu chuẩn để dựa vào
đó kết luận về chất lượng của *.

 Ước lượng không chệch (ưlkc)
Gọi là ước lượng không chệch
của , nếu
= .
Ngược lại, nếu

thì gọi là ước lượng chệch của .


 Ước lượng hiệu quả (ưlhq)
Gọi là ước lượng hiệu quả của ,
nếu nó là ưlkc của và nhỏ
nhất so với phương sai của mọi ưlkc khác của .





 Ước lượng vững (ưlv)
Gọi là ước lượng vững của , nếu


Ý nghĩa của công thức này
Hầu như chắc chắn sai khác
không nhiều miễn là n đủ lớn.

Các kết quả về ước lượng điểm
là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X).
, là ưlkc, ưlv của D(X).
là ưlkc, ưlhq, ưlv của P(A).
, là ước lượng chệch của
D(X).

§3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Phương pháp ước lượng điểm có nhược điểm là khi kích
thước mẫu nhỏ thì ước lượng điểm tìm được có thể sai
lệch rất nhiều so với tham số cần ước lượng. Ngoài ra
không thể đánh giá được khả năng mắc sai lầm khi ước
lượng. Để khắc phục các nhược điểm này, ta thường
dùng phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy.

Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng
chưa biết tham số nào đó. Ta đi tìm một khoảng
để nó chứa với xác suất bằng như sau: Ta
xây dựng như là các hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng
quát
và .
sao cho
.

Khi ấy ta gọi
.
là ước lượng khoảng (hay khoảng tin cậy của ), còn
là độ tin cậy của ước lượng này. Số đo khả năng để
rơi vào khoảng này, nên người ta thường chọn nó gần 1.




Chú ý
Với một mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x
1

, x
2
, …, x
n
), ta cũng
gọi

là ước lượng khoảng (hay khoảng tin cậy) của .




I – Tìm khoảng tin cậy cho kì vọng
a) Trường hợp X
Nếu đã biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, còn không âm
thỏa ,
, .

Như vậy, khoảng tin cậy của E(X) với độ tin cậy là

Đặc biệt:
 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin
cậy đối xứng là
.
 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên
phải là
.

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên
trái là
.

Ví dụ
Khối lượng của một loại sản phẩm là bnn tuân theo luật
phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1g. Cân 25 sản
phẩm loại này ta thu được kết quả sau
Khối lượng (g)
18 19 20 21
Số sản phẩm
3 5 15 2
Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung
bình với độ tin cậy 0,95.

Giải
Với 0,95, ta có .
,
.
Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung
bình là


Nếu chưa biết, ta dùng công thức

trong đó n = kích thước mẫu, và không âm thỏa
, còn tra từ Bảng giá trị
hàm Student.

Đặc biệt:
 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin
cậy đối xứng là
.



 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên
phải là
.

 Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên
trái là
.

Ví dụ
Chiều cao của thanh niên một vùng là bnn tuân theo luật
phân phối chuẩn. Đo chiều cao của 16 thanh niên được
chọn ngẫu nhiên của vùng đó ta thu được kết quả sau
172 173 173 174 174 175 175 176
166 167 165 173 171 170 171 170

Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của chiều cao trung
bình với độ tin cậy 0,95.

Giải
Ta tính được .
Với 0,95, ta có .
.

Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của chiều cao trung bình
là


b) Trường hợp X có phân bố bất kỳ, và kích thước
mẫu lớn
Khi kích thước mẫu là , ta dùng công thức

và không âm thỏa ,
, .