Tính chất mở rộng tương đẳng đối với nửa nhóm đơn hoàn toàn

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG MINH ĐỨC

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƢƠNG ĐẲNG
ĐỐI VỚI NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Vinh – 2012


2

MỞ ĐẦU
Khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng tương đẳng được Day và
Alan đưa ra đầu tiên vào năm 1971: Một nửa nhóm S được gọi là có tính
chất mở rộng tương đẳng nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi
tương đẳng  trên T tồn tại một tương đẳng  *

trên S sao cho

 * (T  T )   . Tương đẳng  * được gọi là một mở rộng  . Khái niệm
này liên quan với khái niệm nửa nhóm có tính chất mở rộng iđêan.
Trong cơng trình The congruence extension property for algebraic
semigroups đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 43 năm 1991(Xem[6] ),
Garcia đã khảo sát một số lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng
như nửa nhóm xyclic, nửa nhóm iđêan và các nhóm.
Gần đây, trong cơng trình The ideal extension property in compact

semigroups của Xiaojiang Guo đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 66
năm 2004(Xem[7] ), các nửa nhóm tơpơ với tính chất mở rộng tương đẳng
cũng được xét đến.
Luận văn của chúng tôi dựa trên các cơng trình trên để tìm hiểu tính
chất mở rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm đơn hồn tồn, đó là lớp
nửa nhóm đơn với các lũy đẳng nguyên thủy.
Luận văn gồm 2 chương:
Chƣơng 1. Nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn.
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm và tính chất của
nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn.
Chƣơng 2. Tính chất mở rộng tƣơng đẳng đối với nửa nhóm đơn hồn
tồn.
Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu điều kiện để nửa nhóm đơn
hồn tồn có tính chất mở rộng tương đẳng.


3

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh , dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Lê Quốc Hán . Thầy đã định hướng
nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, cùng những
lời đơng viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo trong tổ Đại số
- khoa Tốn - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá
trình viết và chỉnh sửa luận văn này.
Tác giả cũng xin cảm ơn khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh
và Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện để chúng tơi hồn thành
chương trình học tập cũng như bản luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi

những điều thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy giáo, cơ giáo và bạn đọc.

Vinh,Tháng 02 năm 2012
Tác giả


4

CHƢƠNG 1. NỬA NHĨM 0 – ĐƠN HỒN TỒN
1.1. Iđêan và các quan hệ Grin trên nửa nhóm
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử I là một tập con khác rỗng của nửa nhóm S. Khi
đó :
i) I được gọi là một iđêan trái( tương ứng phải) của S nếu S.I  I
(tương ứng, I S  I ).
ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái vừa là là iđêan
phải của S. Ký hiệu I

S.

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra :
1.1.2. Hệ quả. Giả sử I là một tập con khác rỗng của nhóm S. Thế thì
1) I là iđêan trái( tương ứng phải) của S nếu với mọi a I, với mọi
x  S có xa  I ( tương ứng ax  I ).

2) Nếu I là một iđêan trái( phải, hai phía) của S thì I là nửa nhóm
con của S.
3) Nếu I và J là các iđêan trái( phải) của S với I  J   thì I  J
cũng là một iđêan trái( tương ứng phải) của S.
1.1.3. Định nghĩa. Một iđêan của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu

nếu với mọi iđêan J của S, J  I kéo theo J = I.
1.1.4. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan tối tiểu của S và J là một iđêan tùy ý của
S. Thế thì I  J .
Chứng minh. Trước hết, I  J   . Thật vậy, vì I và J là những iđêan của
S nên IJ  I  J . Hơn nữa I   , J   , nên IJ   , Do đó I  J   .
Mặt khác, I  J  I và I  J là iđêan của S nên từ tính tối tiểu của I suy ra
I  J  I và do đó I  J . 

Từ mệnh đề 1.1.4 trực tiếp suy ra.


5

1.1.5. Hệ quả. Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu thì iđêan tối tiểu của
S là duy nhất.
1.1.6. Chú ý. Một nửa nhóm có thể có hoặc khơng có iđêan tối tiểu. Xét nửa
nhóm cộng các số tự nhiên



n + = nk / k

 với n 

. Các iđêan của( ,+) là các tập con
. Hơn nữa m 

n

nếu và chỉ nếu

m  n . Do đó( ,+) khơng có iđêan tối tiểu.

Mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có
số phần tử ít nhất( iđêan như vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có
hữu hạn phần tử).
1.1.7. Định nghĩa. Một nửa nhóm S là nửa nhóm đơn nếu S khơng có iđêan
khác S.
1.1.8. Mệnh đề. Một nửa nhóm S là nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu
S  S  S với mọi x  S .

Chứng minh. Rõ ràng, với mọi x  S , S  S là iđêan của S, và do đó nếu S
đơn thì S  S  S .
Đảo lại, giả thiết rằng với mọi x  S có S  S  S . Khi đó nếu I là một
iđêan của S và x  I nào đó thì S  S  S  I nên I  S . Vậy S đơn.



1.1.9. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm, ta định nghĩa các quan hệ
L, R, J sau đây trên S
aLb  S1a = S1b
aRb  aS1=bS1
aJb  S1aS1= S1bS1
trong đó S1a, aS1, S1aS1 tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và
iđêan chính của S sinh bởi a.


6

1.1.10. Chú ý. Theo định nghĩa, aLb   s, s’ S , a = sb, b = s’a

a  b  r, r '  S : a  br, b  ar '
Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L,  , J là các quan hệ
tương đương trên S. Hơn nữa, L là một tương đẳng phải và  là một
tương đẳng trái trên S.
Với mỗi a  S , ký hiệu La là L – lớp tương đương chứa a:
La=  x  S | x L a  .
Tương tự Ra và Ja là ký hiệu lớp tương đương theo  và J chứa a.
1.1.11. Mệnh đề. Các quan hệ L và  giao hoán : L0  =  0 L.
Chứng minh. Giả sử (x,y)  L 0  . Thế thì có một phần tử z S sao cho
s, s ',r, r '  S sao cho

x Lz, z  y, do đó tồn lại các phần tử
x  sz, z  s ' x, t  yr, y  zr ' .

Ký

t  szr '  xr ', x  sz  syr  szr 'r  tr

hiệu
nên

t  szr ' .

xt .

Ta

Thế

thì

lại

có

t  s.zr '  sy, y  zr '  s ' xr '  s ' szr '  s ' t nên yLt. Suy ra ( x, y)  oL nên

o L  L 0.

Tương tự có  o L   o L nên  oL =  oL. 
1.1.12. Định nghĩa. Giả sử L và  là các quan hệ tương đương đã được
xác định trong Định nghĩa 1.1.9. Ta xác định các quan hệ trên S:
D = L 0  =  0 L và H = L   =   L.

Khi đó các quan hệ L,  , J , D và H được gọi là các quan hệ Grin
trên S.


7

Theo lý thuyết tập hợp, H là quan hệ tương đương lớn nhất được
chứa trong L và  . Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất
chứa cả L và  .
Thật vậy, vì L và  là các quan hệ tương đương nên D =L 0  =  0

L cũng là quan hệ tương đương. Hơn nữa x L x và x  x với mọi x  S
nên L  D và   D . Nếu C là một quan hệ tương trên S chứa L và 
thì D  C, nên D là quan hệ tương đương bé nhất chứa cả L và  .
Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Green trên cùng một nửa nhóm S
được cho bởi hình sau với chú ý D  J.

J
D

L



H
Với mỗi a S , ký hiệu các D –lớp và H – lớp chứa a tương ứng bởi Da và Ha.
1.2. Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn.
Trong tiết này ta sẽ xét các nửa nhóm với phần tử zero 0. Các kết quả
tương ứng về nửa nhóm khơng chứa phần từ zero hoàn toàn tương tự.
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0. Một iđêan
hai phía( trái, phải) M của S được gọi là iđêan hai phía( trái, phải) 0 – tối
tiểu nếu M  0 và 0 là Iđêan hai phía( trái, phải) duy nhất của S thực sự
chứa trong M.
1.2.2. Chú ý. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero nếu S2=0, nghĩa
là xy =0 với mọi x,y  S.


8

 Nếu M là iđêan hai phía( trái, phải) 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S
với phần tử zero 0 thì M 2 là iđêan cùng kiểu với M và được chứa trong M,
do đó hoặc M = 0 hoặc M 2 = 0( nghĩa là M là nửa nhóm zero).
 Rõ ràng, giao của hai iđêan 0 – tối tiểu bất kỳ của nửa nhóm S bằng 0.
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm với phần từ zero 0. Khi đó S được
gọi là nửa nhóm 0 – đơn( 0 – đơn trái, 0 – đơn phải) nếu S2  0 và 0 là
iđêan hai phía( trái, phải) thực sự duy nhất của S. Các kết quả sau đây đã
được chứng minh chi tiết trong [ 1, trang 117–122].

1.2.4. Mệnh đề.
1) Giả sử M là iđêan( hai phía) 0 – tối tiểu của nửa nhóm S với phần
tử zero 0. Thế thì hoặc M 2=0 hoặc M là nửa nhóm con 0 – đơn của S.
2) Nếu S là một nửa nhóm 0 – đơn phải( trái) thì S\0 là một nửa
nhóm con đơn phải( trái) của S.
3) Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0 và M là một iđêan 0
– tối tiểu của nó chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu. Khi đó M là tập
hợp của tất cả các iđêan 0 – tối tiểu của S.
4) Giả sử M là một iđêan trái 0 – tối tiểu của một nửa nhóm S với
phần tử zero 0 sao cho M

2

 0. Giả thiết rằng M chứa ít nhất một iđêan

trái 0 – tối tiểu của S. Khi đó mỗi iđêan trái của M cũng là một iđêan trái
của S.
Bây giờ ta chuyển sang xét các nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn.
1.2.5. Chú ý. Giả sử E là tập hợp các lũy đẳng của nửa nhóm S. Trên E xác
định quan hệ  cho bởi e  f nếu và chỉ nếu ef = fe = e. Thế thì  là một
thứ tự bộ phận trên E ( và được gọi là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E).


9

Thật vậy, vì e  E nên e2 = e, do đó e  e nên  phản xạ. Nếu e  f và
f  e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó  phản xứng. Nếu e  f
và f  G thì ef = fe = e và gf = fg = f nên eg = (ef)g = e(fg) = ef = e và
ge = g(fe) = (gf)e = fe, do đó e  G nên  bắc cầu.
Nếu S chứa phần tử zero 0 thì e0 = 0e = 0 với mọi e E nên 0  e

( chú ý 02 = 0 nên 0  E). Từ đó ta đưa đến khái niệm: Lũy đẳng f thuộc
nửa nhóm S với phần tủ zero 0 được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f  0
và nếu e  f thì hoặc e = 0 hoặc e = f .
1.2.6. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn( 0 – đơn) hồn
tồn nếu S là một nửa nhóm đơn( 0 – đơn) và S chứa lũy đẳng nguyên thủy.
1.2.7. Nhận xét. Từ Định nghĩa 1.2.6 suy ra rằng nửa nhóm đơn( 0 – đơn)
hữu hạn là đơn( 0 – đơn) hoàn toàn.
Thật vậy, S hữu hạn nên S chứa lũy đẳng, do đó E = E(S)   . Hơn
nữa, E  0 vì nếu trái lại mỗi phần tử của S là lũy linh( nghĩa là với mọi
a  S tồn tại số nguyên dương n sao cho an = 0), do đó( vì S hữu hạn) nên
S lũy linh nghĩa là tồn tại số nguyên dương m để Sm = 0 , trái giả thiết
S2 = S ( vì S đơn). Khi đó tập sắp thứ tự bộ phận hữu hạn E \ 0 chứa một
phần tử tối tiểu chính là lũy đẳng nguyên thủy của S.
Từ Định nghĩa 1.2.6 cũng trực tiếp suy ra: Nếu S là một nửa nhóm
0 – đơn hồn tồn thì S \ 0 là một nửa nhóm đơn hồn tồn.
Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [1, trang 136].


10

1.2.8. Mệnh đề.
1) Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn. Khi đó S là 0 – đơn hồn tồn
nếu và chỉ nếu S chứa ít nhất một iđêan trái 0 – tối tiểu và ít nhất một iđêan
phải 0 – tối tiểu.
2) Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn là hợp của các iđêan trái( phải)
0 – tối tiểu của nó.
1.2.9. Định nghĩa.
1) Một nửa nhóm S được gọi là D – đơn hoặc song đơn nếu S chỉ
gồm một D – lớp, trong đó D là quan hệ Grin trên S.
2) Một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của S đều

là phần tử chính quy( nghĩa là với mọi a S, tồn tại x  S sao cho axa = a).
Ta chú ý rằng một nửa nhóm đơn trái( phải) nếu và chỉ nếu nó chỉ
gồm một L – lớp( R – lớp) và một nửa nhóm là đơn nếu và chỉ nếu nó chỉ
gồm một T – lớp. Vì D  J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm
đơn. Hơn nữa, R  D, L  D nên mỗi nửa nhóm đơn phải và mỗi nửa nhóm
đơn trái đều là nửa nhóm song đơn.
1.2.10. Định lý. Mỗi nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn đều là nửa nhóm
0 – song đơn và chính quy.
Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn. Giả sử a và b là
các phần tử khác 0 của S. Ta chứng minh aDb. Theo Mệnh đề 1.2.8, a
thuộc một iđêan trái 0 – tối tiểu L nào đó của S và b thuộc một iđêan phải 0
– tối tiểu R nào đó của S, hơn nữa L = Sa và R = bS, La = L\ 0 và Rb =R\

0 . Từ

a  L và b  R suy ra bSa  R  L . Vì S là nửa nhóm đơn và

a  0, b  0 nên SaS = S và SbS = S.


11

Do đó S = S2 = SbS.SaS  S(bSa)S nên bSa  0 . Vì R  La chứa
tập con khác rỗng bSa \ 0 nên aDb.
Theo định nghĩa của nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn D - lớp S \ 0
chứa lũy đẳng( nguyên thủy), do đó mỗi phần tử thuộc S \ 0 đều chính
quy. Vì 0 = 0.0.0 nên 0 cũng là phần tử chính quy. Do đó S là nửa nhóm
chính quy. 
Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm bicyclic C (p,q)= C là nửa nhóm
đơn với đơn vị sinh bởi hai ký hiệu p,q và cho bởi một hệ thức xác định

pq = 1. Hai kết quả sau đây được chứng minh trong[ 1, trang 140–142].
1.2.11. Mệnh đề. Nửa nhóm bicyclic C = C(p,q) là một nửa nhóm ngược
song đơn chứa đơn vị . Các lũy đẳng của nó là các phần tử en = qnpn ( n =
0,1,2…). Chúng thỏa mãn các bất đẳng thức 1  e0  e1...  en  ... . Vì vậy T
khơng chứa lũy đẳng ngun thủy( và do đó C = C (p,q) khơng phải là nửa
nhóm đơn hồn tồn).
1.2.12. Nhận xét. Nếu e là một lũy đẳng khác khơng tùy ý của một nửa
nhóm 0 – đơn khơng phải là 0 – đơn hồn tồn, thì S chứa một nửa nhóm
con bicyclic trong đó e là phần tử đơn vị.
1.2.13. Định lý. Một nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn khi và chỉ khi một lũy
thừa nào đó của mỗi phần tử của S nằm trong một nhóm con của S.
Chứng minh. Nếu S là 0 – đơn hồn tồn thì bình phương của mỗi phần tử
thuộc S nằm trong một nhóm con của S( theo [1, trang 137]).
Đảo lại, giả sử một lũy thừa nào đó của mỗi phần tử thuộc S nằm
trong một nhóm con của S. Trước hết ta chứng tỏ rằng trong S tồn tại phần
tử không lũy linh.


12

Giả sử a  0 và a  S . Thế thì a  SaS nên a  xay với x, y  S nào đó.
Nhân bên trái với x và bên phải với y một số lần ta được a  x n by n với mỗi
số dương n vì a  0, nên x n  0 với mỗi n, nghĩa là x khơng lũy linh.
Nửa nhóm S phải chứa lũy đẳng khác không. Thật vậy, nếu x là
phần tử khơng lũy linh thuộc S thì( theo giả thiết) x n thuộc một nhóm con
G của S với n nguyên dương nào đó và rõ ràng đơn vị của nhóm G khơng
bằng 0.
Giả sử e là lũy đẳng khác khơng của S. Nếu S là nửa nhóm 0 – đơn
khơng phải là 0 – đơn hồn tồn thì theo mệnh đề 1.2.12, S chứa nửa nhóm
con bicyclic với đơn vị e, trong đó pq = e và qp  e. Ta chứng minh

điều đó khơng thể được .
Theo giả thiết, phần tử p n thuộc một nhóm con G nào đó của S với
n thích hợp. Giả sử f là đơn vị của G và r là nghịch đảo của p n trong G.
Từ p n q n = e suy ra fe  fpn qn  pnqn  e .
Từ rpn  f suy ra fe  rpne  rpn  f .
Do đó e  f và vì vậy qn  eqn  fqn  rpnqn  re  rf  r .
Nhưng khi đó qn pn  rpn  f  e
Trong khi đó qn pn  e trong nửa nhóm bicyclic theo Mệnh đề 1.2.11
Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ S là nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn.



1.2.14 Hệ quả. Mọi nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn( đặc biệt, mọi nửa nhóm
0 – đơn hữu hạn) là 0 – đơn hồn tồn.
Chứng minh. Giả sử S tuần hồn. Khi đó mỗi phần tử a  s đều được chứa
trong một nhóm con xyclic hữu hạn <a>. Gọi Ka là nhóm con tối đại của <a>.


13

Thế thì tồn tại n để an  Ka . Áp dụng định lý 1.2.13 ta có điều phải chứng


minh.

1.3 Định lý Rixơ.
Trước hết, ta xây dựng khái niệm nửa nhóm ma trận trên một nhóm với
phần tử khơng.
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm, G 0  G  O là nhóm phần tử
zero 0 bằng cách ghép thêm phần tử zero 0.

Giả sử X là một tập hợp nào đó và iai là một ánh xạ từ X vào G0.
Nếu ai = 0 với mỗi i  X thì ta định nghĩa  ai  0 . Nếu a j  0 với một j
iX

nào đó thuộc X và ai  0 với mọi i  j thì ta định nghĩa
a j  0 và ak  0 với j  k thì

 ai  a j . Nếu
iX

 ai không xác định.
iX

Giả sử X và Y là các tập hợp nào đó. Ta định nghĩa X, Y ma trận trên
G0 là ánh xạ A: X.Y  G0 nếu (i, j)  X .Y và aij  A (i, j ) thì ta có thể
viết A  (aij ) và nói rằng aij là một phần tử thuộc A nằm ở dòng thứ i và
cột thứ j của nó. Giả sử X, Y, Z là các tập hợp A  (aij ) là X.Y ma trận trên
G0 và B  (b jk ) là Y.Z ma trận trên G0. Nếu mỗi cặp (i, k )  X .Z xác định
được tổng

iY aij bjk

thì ta định nghĩa ma trận tích C = AB của hai ma trận

A và B là X .Z ma trận C  (Cik ) trên G0, trong đó Cik   aij b jk .
kY

Giả sử S là tập các X  X ma trận trên G0 sao cho nếu A và B thuộc S
thì AB tồn tại và thuộc S. Khi đó S là một nửa nhóm, tính kết hợp được
chứng minh như đối với ma trận trên một vành.

14

Ma trận A trên G0 được gọi là ma trận đơn thức theo dòng nếu mỗi
dòng của A chứa nhiều nhất một phần tử khác không thuộc G0. Tập hợp các
X  X ma trận đơn thức theo dòng là một nửa nhóm.

Bây giờ ta trình bày một loại nửa nhóm khác gồm các ma trận trên
G0 đóng vai trị rất quan trọng trong lý thuyết đại số các nửa nhóm.
1.3.2 Định nghĩa. Giả sử I và  là các tập hợp tùy ý, các phần tử thuộc I
sẽ được ký hiệu bởi i, j, k...; các phần tử thuộc  được ký hiệu bởi  ,  ,
…Ta định nghĩa I   ma trận Ress là I   ma trận trên G0 có khơng q
một phần tử khác không. Nếu a  G, i  I , r   thì  a  là ký hiệu I  
i

ma trận Rees trên G có a nằm ở dịng i cột  cịn các vị trí khác bằng 0.
Với mỗi i  I ,    ta ký hiệu (0 )i là I   ma trận khơng, cũng cịn được
ký hiệu bởi 0.
Giả sử P  (Pi ) là một I   ma trận tùy ý nhưng cố định trên G0.
Ta cũng P để định nghĩa một phép tốn hai ngơi trên tập hợp các I   ma
trận trên G như sau : AoB  APB .
Nếu A và B là các I   ma trận Rixơ trên G0 thì AoB cũng vậy.
Thật vậy, nếu A  (a)i , B  (b) j thì (a)i .(b) j (api b) với a, b  G; i, j  I
và

,    .

Hơn

nữa

phép

tốn

o

có

tính

kết

hợp

Ao(BoC)  AP(BPC)  ( APB)PC  ( AoB)oC .
Vì vậy, tập hợp tất cả các I   ma trận Rixơ trên G0 là một nửa
nhóm đối với phép tốn o; ta gọi nó là nửa nhóm ma trận Rixơ trên nhóm
với phần tử zero G0 và với ma trận đệm P. Ký hiệu nửa nhóm đó là

 0( G, I , , P ) ta gọi G là nhóm cơ sở của  0.


15

1.3.3. Chú ý.
(a) Ta nêu lên một cách tiếp cận khác đối với nửa nhóm ma trận
Rixơ bắt đầu từ tập Go  I   , gồm các bộ ba( a;i;  ) với
a  G,i  I ,    và

định

nghĩa

phép

toán

trên

Go  I  

bởi

(a; i;  ).(b; j,  )  (ap b; i,  ) .

Để thử tính kết hợp của phép tốn đó. Tiếp theo ta nhận xét rằng tập
hợp O  I   gồm các bộ ba (o; i,  ) là một iđêan của nửa nhóm Go  I   đó,
và ta lấy nửa nhóm thương Rixơ theo iđêan đó. Kết quả ta được nửa nhóm

 0 (G; I ; ; P) ( Về nửa nhóm thương Rixơ xem thêm 2.2.2).
(b) Nếu P không chứa phần tử không nào cả thì trong nửa nhóm

 0 (G; I , ) khơng chứa ước của khơng. Nửa nhóm  0|0 sẽ được gọi là nửa
nhóm I   ma trận Rixơ khơng chứa phần tử khơng trên nhóm G với ma
trận đệm P và được ký hiệu bởi  0 (G; I ; ; P) nó có thể xem như nửa
nhóm Go  I   các bộ ba (a; i;  ) với phép nhân xác định như trên.
Nhưng nếu muốn xem bộ ba (a; i;  ) như ma trận (a)i thì ta phải thêm phần
tử zero vào G.

(c) Về sau ta sẽ dùng cả hai ký hiệu (a)i và (a; i;  ) tùy theo sự thuận
tiện và ta sẽ không phân biệt “ma trận Rixơ” với “bộ ba”. Tương tự ta sẽ
đồng nhất các bộ ba dạng (0; i;  ) cũng như các ký hiệu (0 )i với I   ma
trận không.
(d) Ta cũng chú ý rằng: Từ mỗi định lý về nửa nhóm ma trận Rixơ ta
có thể thu được ngay một định lý về nửa nhóm Rixơ khơng có phần tử
zero.


16

1.3.4. Bổ đề. Nửa nhóm I   ma trận Rees  0 (G; I , ) là nửa nhóm chính
quy nếu và chỉ nếu mỗi dịng và mỗi cột của P chứa một phần tử khác zero.
Chứng minh. Giả sử P  (Pi ); a, b  G; i; j  I và  ,    . Khi đó
(a)i .(b) j .(a)i  (ap j bi b)i . Vế phải bằng (a)i khi và chỉ khi

p j bPi  a1 . Với (a)i đã cho tồn tại (b) j như thế thuộc  0 khi và chỉ khi
pi  0 và p j  0 với j  I ,    nào đó. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

dùng thứ  và cột thứ i của P chứa một phần tử khác zero của G0 .
1.3.5. Chú ý. Do Bổ đề 1.3.4, ta sẽ gọi ma trận trên một nhóm với phần tử
khơng là chính quy nếu và chỉ nếu mỗi dịng và mỗi cột của P chứa một
phần tử khác không.
Từ đây về sau ta sẽ dùng các ký hiệu sau đây đối với nửa nhóm
I   ma trận Rees  0 (G; I ; ; P ) trên một nhóm với phần tử không G0 với

ma trận đệm p  ( pi ) . Ký hiệu các phần tử của M0 là (a)i , trong đó
a  G,i  I ,    và đặt



 (a

Ri  (ai ) | a  G,   
L

i

) | a  G, i  I

 và Ri0  Ri  0
 và L0  L  0

Hi  Ri  L  (a)i | a  G

Bổ đề sau đây đã được chứng minh trong[ 1, trang 154–155].
1.3.6. Bổ đề.
(i) Với mỗi i  I , Ri0 là Iđêan phải của  0, hai phần tử R – tương
đương của  0\0 phải thuộc cùng một Ri với i  I nào đó.


17

(ii) Nếu P chính quy thì với mỗi i  I , Ri0 là iđêan 0 – tối tiểu của  0
và Ri là một R – lớp.
(iii) Nếu với i  I nào đó, pi  0 với mỗi    thế thì Ri0 là iđêan
hai phía của  0 và  0 Ri0  0 . Đặc biệt ( Ri0 )  0 .
(iv) Tập Hi (i  I ,   ) chứa một phần tử lũy đẳng khi và chỉ khi
pi  0 . Nếu pi  0 thì Hi là một H – lớp của  0 và là nhóm con của  0

với đơn vị ei  ( pi1 )i

Ánh xạ a  (api1 )i là phép đẳng cấu từ G lên Hi
(v) Với mỗi i, j  I ;  ,   , ta có Hi .H j 



Hi nếu P j  0
0 nếu P j 0

Bây giờ ta trình bày định lý chính của tiết này.
1.3.7. Định lý. Nửa nhóm ma trận 0 – đơn khi và chỉ khi nó chính quy, và
lúc đó nó là đơn hồn tồn.
Chứng minh. Giả sử  0 (G; I , ; P) là nửa nhóm ma trận Rixơ. Trước hết giả
sử  0 khơng chính quy, khi đó theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại một dịng hay một
cật tồn phần tử zero, chẳng hạn cột thứ i: pi  0 với mọi i   . Do Bổ đề
1.3.6 (iii), Ri0 là iđêan lũy linh khác khơng của  0, do đó  0 khơng thể là
nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn.
Đảo lại, giả sử  0 chính quy. Giả sử (a)i và (b) j là hai phần tử tùy
ý thuộc  0 với a  0. Theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại v   và k  I sao cho
pvi  0, pk  0 . Giả sử c  b( pvi .a. pk )1 và e là đơn vị của G. Thế thì

(c) jv .(a)i .(e)k  (b) j và do đó  0 là 0 – đơn.


18

Theo Bổ đề 1.3.6(iv) các lũy đẳng khác zero của M0 là các phần tử



ei  pi 1



i

.Tồn tại một phần tử như vậy với mọi cặp i,  (i  I ,   )

sao cho pi  0. Nếu ei .e j  e j .ei  e j thì i  j;    nên ei  e j . Vậy
mỗi lũy đẳng khác không của  0 là nguyên thủy và do đó  0 là nửa nhóm
đơn hồn tồn .
Dùng biểu diễn bởi ma trận trên các nhóm với phần tử khơng
[1, trang 148-157], ta chứng minh được kết quả sau đây .
1.3.8 Định lý Rixơ. Một nửa nhóm 0 – đơn hồn tồn khi và chỉ khi nó
đẳng cấu với nửa nhóm ma trận chính quy trên một nhóm với phần từ
khơng.


19

CHƢƠNG 2
TÍNH CHẤT MỞ RỘNG TƢƠNG ĐẲNG
ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHĨM ĐƠN HỒN TỒN
2.1 Tính chất mở rộng tƣơng đẳng đối với các nửa nhóm.
2.1.1 Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương
đẳng (congruence extension property – CEP) nếu đối với mỗi nửa nhóm
con T của S và một tương đẳng  trên T, tồn tại một tương đẳng  * trên S
sao cho  *  T  T    . Tương đẳng  * được gọi là mở rộng của  .
2.1.2 Chú ý. Giả sử  là một quan hệ hai ngơi trên nửa nhóm S. Khi đó
giao của tất cả các tương đẳng trên S chứa  và đó tương đẳng nhỏ nhất
trên S chứa  . Tương đẳng này được gọi là tương đẳng sinh bởi  và được

ký hiệu là  .
Từ đó suy ra : Nếu T là một nửa nhóm con của S và  là một tương
đẳng trên T, thế thì  có một mở rộng lên S nếu và chỉ nếu  là một mở
rộng của  .
Như vậy để thiết lập sự tồn tại của một mở rộng( của  ) chỉ cần
chứng minh  (T  T )   .
Chúng ta sẽ ký hiệu tương đẳng được sinh bởi  trên S là <  >s và
tương đẳng được sinh bởi cặp (a,b) trên S là  s(a,b).
2.1.3. Mệnh đề. Một nửa nhóm S có tính chất mở rộng tương đẳng khi và
chỉ khi mỗi nhóm con của S có tính chất mở rộng tương đẳng.
Chứng minh. Giả sử S có tính chất mở rộng tương đẳng và X là một nửa
nhóm con của S. Ta chứng minh X có tính chất mở rộng tương đẳng.


20

Thật vậy, giả sử T là một nửa nhóm con của X và  là một tương
đẳng trên T. Khi đó T là nửa nhóm con của S nên  có mở rộng  * lên S (
vì S có tính chất mở rộng tương đẳng). Thế thì thu hẹp của  * trên X là một
mở rộng của  trên X. Do đó X có tính chất mở rộng tương đẳng.
Điều ngược lại suy từ nhận xét : Bản thân S là một nửa nhóm con
của S.


Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng lớp các nửa nhóm có tính chất mở rộng

khơng khép kín đối với tích trực tiếp.
2.1.4 Ví dụ. Giả sử S  1,2,3 là một nửa nhóm với bảng nhân Cayley
1 2 3
1

1 1 1

2

1 1 2

3

1 2 3

Thế thì S có tính chất mở rộng tương đẳng
Các phần tử của SxS được ký hiệu bởi a = (1,1), b = (2,1), c = (3,1),
x = (1,2), y = (2,2), z = (3,2), u = (1,3), v = (2,3), w = (3,3)
Thế thì T  a, x, y, u, v là một nửa nhóm con của SxS. Xét quan hệ

  (u, v),(v, u) T ( trong đó T là quan hệ bằng nhau trên T:
(a, b) T nếu và chỉ nếu a = b). Thế thì  là một tương đẳng trên T và

tương

đẳng



sinh

bởi



(a, b,(b, a),( x, y),(y, x),(u, v),(v, u) ss .

trên

S S
Khi

là



=
đó

 (T  T )  ( x, y),( y, x),(u, v)  T khơng được chứa trong  . Do đó
S  S khơng có tính chất mở rộng tương đẳng.


21

1.1.5. Ví dụ. Nửa nhóm cộng N* các số ngun dương khơng có tính chất
mở rộng tương đẳng.
Thật vậy, xét nửa nhóm con T  2,3,... của N* và giả sử
I  2,4,5... . Thế thì I là một iđêan của T và giả sử  (I  I )  T . Khi đó

 là một tương đẳng trên T. Giả thiết rằng  * là một mở rộng của  lên
N*, thế thì (1,2),(2,4) * và từ đó (1,1)  (2,4)  (3,5)  * . Như vậy
(3,5)  *  (T  T ) nhưng (3,5) . Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ rằng

 khơng có mở rộng nào lên N* và do đó ( N * , ) khơng có tính chất mở
rộng tương đẳng.
2.1.6. Chú ý.
(i) Từ mệnh đề 2.1.3 và ví dụ 2.1.5 chứng tỏ rằng nếu S có tính chất mở
rộng tương đẳng thì S khơng có phần tử cấp vơ hạn.
(ii) Nói riêng, nửa nhóm xyclic vơ hạn và nhóm cộng các số ngun Z
khơng có tính chất mở rộng tương đẳng.
(iii) Giả sử S và T là các nửa đẳng cấu với nhau. Nếu S có tính chất mở
rộng tương đẳng thì T cũng có tính chất đó. Vì vậy, để xét tính chất mở
rộng tương đẳng đối với các nửa nhóm xyclic, ta chỉ cần xét các nửa nhóm
xyclic cấp hữu hạn.
(iv) Giả sử S là nửa nhóm xyclic hữu hạn cấp n sinh bởi a và chỉ số i. Khi





đó ta sẽ dùng ký hiệu S = <a> và M  ai1,...an . Thế thì M là iđêan tối
tiểu của S và M là một nhóm xyclic cấp n – i.
Ta sẽ dùng ký hiệu i(a) để chu kỳ của a và i(S)  maX i(a) / a  S
để ký hiệu chỉ số của S.


22

2.1.7. Mệnh đề. Một nửa nhóm xyclic <a> có tính chất mở rộng tương
đẳng khi và chỉ khi chỉ số của a không vượt quá 3.





Chứng minh. Giả sử i(a)  4. Thế thì T  a2 , a3 ,... là một nửa nhóm con
của





S = <a> và I  a2 , a4 , a5 ,... là một iđêan của T. Giả sử

  (I  I )  T . Thế thì  là một tương đẳng trên T. Giả sử  là tương
đẳng sinh bởi  trên S. Vì (a, a) SxS nên (a2 , a4 ) . Từ đó (a,a) (a2, a4)
  hay (a3, a5)  .Khi đó (a3 , a5 )   (T  T ) nhưng (a3 , a5 ) . Như

vậy  không phải là một mở rộng của  và do đó S = <a> khơng có tính
chất mở rộng tương đẳng.
Để chứng minh khẳng định ngược lại, giả sử i(a)  3 khi đó 3 trường
hợp sau có thể xảy ra :
Trường hợp 1. i = 1 thế thì <a> là nhóm xyclic hữu hạn nên có tính chất
mở rộng tương đẳng.
Trường hợp 2. i = 2, thế thì <a>  a  M và mỗi nửa nhóm con thực
sự T của <a> là một nhóm con của M. Do đó <a> có tính chất mở rộng
tương đẳng.
Trường hợp 3. i = 3, thế thì <a> = {a,a2}  M và mỗi nửa nhóm thực sự
T của <a> hoặc là một nhóm con của M hoặc có dạng T = {a2}  H với H
là nhóm con của M. Trong trường hợp này, T = <a2> hay T = a2}  M. Vậy
<a> có tính chất mở rộng tương đẳng.
Trong chứng minh trên ta đã sử dụng kết quả: Mỗi nhóm aben xoắn có
tính chất mở rộng tương đẳng( Hệ quả 2.3[6]).

Từ Mệnh đề 1.1.7 trực tiếp suy ra.


23

2.1.8 Hệ quả. Giả sử S là nửa nhóm tuần hồn có tính chất mở rộng tương
đẳng. Thế thì i(S)  4 . Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng khẳng định ngược lại
của hệ quả 2.1.8 không đúng .
2.1.9. Ví dụ. Giả sử S  1,2,3,4,5 là nửa nhóm với bảng nhân Cayley.


1 2 3 4 5

1

1 1 3 3 3

2

1 2 3 4 4

3

3 3 1 1 1

4

3 4 1 1 1

5

3 3 1 1 1

Giả sử T 1,2,3,4 .Khi đó  là một nửa nhóm con của S.
Giả sử   (3,5),(5,3) T . Khi đó  là một nửa nhóm con của S.
Giả sử  ={(3,5), (5,3)} T . Khi đó  là một tương đẳng trên T.
Thế

thì

tương

đẳng



sinh

bởi



trên

S

có

dạng

 = {(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}  s và  (TxT )   . Do đó S
khơng có tính chất mở rộng tương đẳng.
Hơn nữa <1>  1 ,  2  2,  3  1,3 (vì 33=3),  4  1,3,4
( Vì 44=42=1) và  5  1,3,5 ( Vì 54=52=1), suy ra 1,2,3 có chỉ số 1 và
4,5 có chỉ số 2, từ đó i(S) = 2 nhưng S khơng có tính chất mở rộng tương
đẳng.
Ta nhắc lại kết quả quen thuộc sau đây trong Lý thuyết nhóm: Giả sử
G là một nhóm với đơn vị là e. Khi đó mỗi tương đẳng  trên G được xác


24

định duy nhất bởi  - lớp chứa e. Nếu N là  - lớp chứa e thì N là nhóm
con chuẩn tắc của G và (a, b)   ab1  N  a1b  N .
Phần cuối của tiết này dành cho việc khảo sát tính chất mở rộng trên
các nhóm.
2.1.10. Định nghĩa. Nhóm G được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng
nhóm( Group congruence extension property – GCEP) nếu mỗi tương đẳng
trên mỗi nhóm con của G mở rộng được thành một tương đẳng trên G.
Vì mỗi nửa nhóm con của một nhóm hữu hạn thực tế là một nhóm
con, nên từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.10 trực tiếp suy ra.
2.1.11. Hệ quả. Giả sử G là một nhóm hữu hạn, thế thì G có tính chất mở
rộng tương đẳng khi và chỉ khi G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm.
2.1.12. Mệnh đề. Một nhóm G có tính chất mở rộng tương đẳng khi và chỉ
khi G là nhóm xoắn( nghĩa là mỗi phần tử của G có cấp hữu hạn) và G có
tính chất mở rộng tương đẳng nhóm.
Chứng minh. Trực tiếp thấy rằng một nhóm có tính chất mở rộng tương
đẳng thì có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm( vì mỗi nhóm con thực tế
là nửa nhóm con). Hơn nữa, từ Hệ quả 2.1.4 suy ra nếu G có tính chất mở
rộng tương đẳng thì G là một nhóm xoắn.

Giả thiết rằng G là một nhóm xoắn và có tính chất mở rộng tương
đẳng nhóm. Giả sử T là một nửa nhóm con của G. Giả sử a  T , thế thì

an T với mỗi n  N * . Vì G là nhóm xoắn sao cho am = e( e là đơn vị của
G) suy ra e  T . Vì x.x m1  e nên x 1  x m1  T , do đó T là một nhóm
con của G. Từ đó mỗi tương đẳng trên G mở rộng được lên G, do đó G có
tính chất mở rộng tương đẳng. 
Từ Mệnh đề 2.1.12 trực tiếp suy ra.


25

2.1.13. Hệ quả. Mỗi nửa nhóm con của một nhóm có tính chất mở rộng
tương đẳng là một nhóm con.
2.1.14. Hệ quả. Mỗi nhóm Aben xoắn có tính chất mở rộng tương đẳng.
Từ hệ quả 2.1.14 và hệ quả 2.1.8 trực tiếp suy ra.
2.1.15. Hệ quả. Giả sử G là nhóm Aben. Khi đó G có tính chất mở rộng
tương đẳng khi và chỉ khi G là nhóm xoắn .
2.1.16 Mệnh đề. Giả sử G là một nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng
. Khi đó mỗi ảnh đồng cấu của G cũng có tính chất mở rộng tương đẳng .
Chứng minh. Giả sử G có tính chất mở rộng tương đẳng và H là một ảnh
đồng cấu của G. Khi đó G có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm và G là
một nhóm xoắn theo Mệnh đề 2.1.12. Vì H là ảnh đằng cấu của G nên H
cũng là một nhóm xoắn và có tính chất mở rộng tương đẳng nhóm theo
[6]. Do đó H có tính chất mở rộng tương đẳng theo Mệnh đề 2.1.12. 
2.2 Tính chất mở rộng tƣơng đẳng của các thƣơng Rixơ.
2.2.1. Định nghĩa. Giả sử I là iđêan của nửa nhóm S. Ta định nghĩa một
quan hệ pI trên S bởi (a, b)  pI (a, b  S) khi và chỉ khi a = b hoặc a, b  I .
Thế thì  I là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng Rixơ theo
iđêan I.

Các lớp tương đương của nửa nhóm thương S \  I chính là I và tập
hợp các phần tử a , a  S \ I . Nửa nhóm thương S \  I được gọi là thương
Rixơ của nửa nhóm S theo iđêan I và được ký hiệu là S \ I .