Sự hội tụ có điều kiện và không điều kiện của chuỗi trong không gian lp

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✶✳✶✳✽✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤✉é✐ ∞n=1 xn ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tư ❝â
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0 ✈ỵ✐ ♠å✐
n∈H xn
∗

k = 1, 2, ... ✈➔ ∪∞
k=1 Hk = N ✳
❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ ✶✲✶ σ : N∗ → N∗ s❛♦ ❝❤♦
j

1

2

k

σ(1) = 1,
σ(2, 3, ...; | H1 | +1) = H1,
σ(| H1 | +2, | H2 | +3, ..., | H1 | + | H2 | +1) = H2, ...

tr♦♥❣ ✤â | Hk | ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ Hk ✳ ❚ø ∪∞k=1Hk = N∗ s✉② r❛ σ
∗
❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝ tø n∈H xn
0 ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ N
s✉② r❛ ❝❤✉é✐ ∞n=1 xσ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â ♠ët ✤✐➲✉
♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❉♦ ✤â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝õ❛ ✷✴ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣
ữủ sỷ ợ ồ ữỡ tỗ t t ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ J
❝õ❛ N∗ s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ H ❝õ❛ N∗\{J} t❛ ❝â
k

(n)


✽

xn < ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ s♦♥❣ →♥❤ σ : N∗ → N∗ ✈➔ ♠é✐
k+p
> 0✱ ✤➦t m = max σ −1(J)✳ ❚❛ ❝â
✈ỵ✐ ♠å✐
i=k+1 xσ(i) <
k > m ✈➔ ♠å✐ p ∈ N∗✳ ❚❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② t❤➻ ∞
i=1 xσ(i)
n∈H

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t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ H ❝õ❛ N∗\{J} t❛ ❝â
n∈H xn < ✳ ❈❤å♥
n0 ∈ N ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦ ❝❤♦
J ⊂ σ1({1, 2, ..., n0}) ∩ σ2({1, 2, ..., n0}).

❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ n > n0 t❤➻ σ(n) ∈ N∗\{J}✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ✈ỵ✐ ♠å✐
n > n0 t❛ ❝â
n

n

xσ1(i)−
i=1

n

n

xσ1(i)−

xσ2(i)
i=1

i=1

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä

xi
i∈J

∞
n=1

xi −

+

xσ1(n) =

i=1

i∈J
∞
n=1

xσ2(i) < 2 .

xσ2(n)✳

✶✳✶✳✶✶✳ ✣à♥❤ ❧➼✳ ▼ët ❝❤✉é✐ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❤ë✐

tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❤ë✐ tö ❤♦➔♥ ❤↔♦

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✳ ●✐↔ sû ❝❤✉é✐

❤ë✐
tư ❤♦➔♥ ❤↔♦ ♥❤÷♥❣ ổ ở tử ổ õ tỗ
t s♦♥❣ →♥❤ σ : N∗ → N∗ s❛♦ ❝❤♦ ∞n=1 xσ(n) ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư✳ ❉♦
✤â✱ tø t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② s✉② r tỗ t > 0 số tü
♥❤✐➯♥ k1 < l1 < k2 < l2 < k3 < ... s❛♦ ❝❤♦
∞
n=1

xn

lj

xσ(i)

δ, j = 1, 2, ...

i=kj

✣➦t ∆j = {xσ(i) : i = kj , kj + 1, ..., lj }; j = 1, 2, ... ❚❛ ❝❤å♥ ✤÷đ❝
❞➣② ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ m1 < n1 < m2 < n2 < m3 < ... s❛♦ ❝❤♦


✾

∆j ⊂ ∆j ; j = 1, 2, ...✱ tr♦♥❣ ✤â ∆j = {xi : i = mj , mj +1, ..., nj }
✈➔ ❝→❝ ∆j ✤ỉ✐ ♠ët rí✐ ♥❤❛✉✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ Uj ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû
t❤✉ë❝ ∆j ✈➔ Vj ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ ∆j \∆j ; j = 1, 2, ...✳
❑❤✐ ✤â✱ tø 12 ( Uj + Vj + Uj − Vj ) Uj δ s✉② r❛
U j + Vj
δ ❤♦➦❝ Uj − Vj
δ✳
❇➙② ❣✐í t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ❤å {αi = ±1 : i = 1, 2, ...} ♥❤÷ s❛✉✳ ▲➜②
αi ❜➡♥❣ ✶ ♥➳✉ xi ∈ ∆j \∆j ✈ỵ✐ j ♥➔♦ ✤â❀ ❜➡♥❣ ✶ ♥➳✉ xi ∈ ∆j
✈➔ Uj + Vj δ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ j ♥➔♦ ✤â❀ ❜➡♥❣ ✲✶ ♥➳✉ xi ∈ ∆j ,
Uj − Vj
δ ✤ó♥❣ ✈➔ Uj + Vj
δ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ j ♥➔♦ ✤â❀
❜➡♥❣ ±1 ♥➳✉ xi ❦❤ỉ♥❣ t❤✉ë❝ ∆j ✈ỵ✐ ♠å✐ j = 1, 2, ...✳ ❑❤✐ ✤â t❛

❝â

nj

αixi = Uj ± Vj

δ, j = 1, 2, ...

i=mj

❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② t❤➻ ∞i=1 αixi ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư✳ ✣✐➲✉
♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ❤ë✐ tö ❤♦➔♥ ❤↔♦✳ ❚ø
✤â s✉② r❛ ∞n=1 xn ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✳ ●✐↔ sû ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư ❤♦➔♥ ❤↔♦✱ tự tỗ t ồ {i = 1 :
i = 1, 2, ...} s❛♦ ❝❤♦ ❝❤✉é✐ ∞
i=1 αi xi ❦❤æ♥❣ ở tử õ t
t t tỗ t δ > 0 ✈➔ ❞➣② ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥
m1 < n1 < m2 < n2 < m3 < ... s❛♦ ❝❤♦
nj

αi x i

δ, j = 1, 2, ...

i=mj

✣➦t ∆j = {xi : i = mj , mj + 1, ..., nj }✱ ∆+j = {xi ∈ ∆j : αi =
1}✱ ∆−j = ∆j \∆+j ✳ ❚❛ ❝â
xi
xi ∈∆+
j

+

−

xi
xi ∈∆−
j

αi x i
xi ∈∆j

δ.


✶✵
δ
❉♦ ✤â
❤♦➦❝
x ∈∆ xi
2
♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ t➟♣ ∆±j s❛♦ ❝❤♦
i

❑➼ ❤✐➺✉ ∆∗j ❧➔
δ
. ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉
2
δ
.
2

xi
xi ∈∆∗j xi
xi ∈∆−
j

+
j

∗
∆0 = {xi : i = 1, 2, ...}\ ∪∞

j=1 ∆j .

❇➙② ❣✐í t❛ t❤➔♥❤ ❧➟♣ ❝❤✉é✐ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ♥❤÷
s❛✉✳ ❱✐➳t ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ∆∗1 t❤❡♦ t❤ù tỹ tr 1 rỗ t t
ởt tỷ ừ 0 ❙❛✉ ✤â✱ ✈✐➳t t✐➳♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ∆∗1 t❤❡♦
t❤ù tỹ tr 2 rỗ t t ởt tỷ ❝õ❛ ∆0 ❦❤→❝ ✈ỵ✐
♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ∆0 ✤➣ ✈✐➳t r❛ trữợ õ tử tữỡ tỹ
3 ộ ứ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ ❧➟♣ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
∞
n=1 xn ✈➔ tø t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❈❛✉❝❤② s✉② r❛ ❝❤✉é✐ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tư✳
✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣
✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ❤ë✐ tö ❤♦➔♥ ❤↔♦✳

✶✳✶✳✶✷✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉

xn ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ✭❤ë✐ tư
❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✈➔ f : E → F
❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ tø E ✈➔♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
F t❤➻ ❝❤✉é✐ ∞
n=1 f (xn ) ❤ë✐ tư ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤ë✐ tư ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉
❦✐➺♥✮ tr♦♥❣ F ✈➔
∞
n=1

∞

f(

∞

xn ) =
n=1

f (xn).
n=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ❝❤✉é✐

tù❝ ❧➔ x =
f ❧✐➯♥ tö❝ ♥➯♥ t❛ ❝â
∞
n=1

xn = x✱

∞
n=1

❤ë✐ tö tr♦♥❣ E ✈➔
xn = limn→∞ nj=1 xj ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻
∞
n=1

xn

n

f (x) = f ( lim

n→∞

n

xj ) = lim f (
j=1

n→∞

xj ).
j=1


✶✶

▼➦t ❦❤→❝✱ tø t➼♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ f t❛ ❝â
n

f (x) = lim

n→∞

❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐

∞
n=1

f (xn)

f (xj ).
j=1

❤ë✐ tö ✈➔

∞

f(

∞

xn) = f (x) =
n=1

f (xn).
n=1

❇➙② ❣✐í✱ ❣✐↔ sû ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ❑❤✐ ✤â✱
✈ỵ✐ ♠é✐ s♦♥❣ →♥❤ σ : N∗ → N∗ t❤➻ ❝❤✉é✐ ∞n=1 xσ(n) ❤ë✐ tö✳ ❉♦
✤â✱ t❤❡♦ ✤✐➲✉ ✈ø❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ð tr➯♥ t❤➻ ❝❤✉é✐ ∞n=1 f (xσ(n)) ❤ë✐
tö✳ ❱➟② ❝❤✉é✐ ∞n=1 f (xn) ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳

✶✳✶✳✶✸✳ ❍➺ q✉↔✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐

xn ❤ë✐ tư ❤♦➔♥ ❤↔♦ tr♦♥❣
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✈➔ f : E → F ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤
❧✐➯♥ tö❝ tø E ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ F t❤➻ ❝❤✉é✐ ∞
n=1 f (xn )
❤ë✐ tö ❤♦➔♥ ❤↔♦ tr♦♥❣ F ✳
◆➳✉ ❝❤✉é✐ ∞n=1 xn ❤ë✐ tö ❤♦➔♥ ❤↔♦ t❤➻ t❤❡♦
∞
n=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✶ ♥â ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤
✤➲ ✶✳✶✳✶✷✱ ∞n=1 f (xn) ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ▲↕✐ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼
✶✳✶✳✶✶✱ ❝❤✉é✐ ∞n=1 f (xn) ❤ë✐ tö ❤♦➔♥ ❤↔♦✳

✶✳✶✳✶✹✳ ✣à♥❤ ❧➼✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥

❝❤✐➲✉✱ ♠ët ❝❤✉é✐ ❧➔ ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â
❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ ♠å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉

✤➲✉ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♥➯♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧➼ tr➯♥ ❧➔
tr÷í♥❣ ❤ì♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✵✳✶✴✳
❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ n− ❝❤✐➲✉ ✈➔ ∞k=1 xk ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ tr♦♥❣ X ✳ ❱➻ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ n− ❝❤✐➲✉ ♥➯♥ tr♦♥❣ X ❝â ❝ì


✶✷

sð ❍❛♠❡❧ {a1, ..., an}✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠é✐ x ∈ X ữủ t ữợ
x = nj=1 j aj , λj ∈ K, j = 1, 2, ..., n✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ j = 1, 2, ..., n t❛
①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ fj : X → K ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
n

λiai) = λj , x ∈ X.

fj (x) = fj (
i=1

❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ t➼♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ❝→❝ fj ✳ ❉♦
✤â✱ tø t➼♥❤ ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ∞k=1 xk ✈➔ ▼➺♥❤
✤➲ ✶✳✶✳✶✷ s✉② r❛ ❝→❝ ❝❤✉é✐ ∞k=1 fj (xk ) ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
tr♦♥❣ K ✭j = 1, 2, ..., n✮✳ ❑➳t ❤ñ♣ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✶ s✉② r❛ ❝→❝ ❝❤✉é✐
∞
k=1 | fj (xk ) | ❤ë✐ tö ✭j = 1, 2, ..., n✮✳ ❱➻ ❝→❝ ❝❤✉➞♥ tr➯♥ ❝ị♥❣
♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ữỡ ợ õ
t tt
x =

õ t ❝â

n
j=1

λj aj = nj=1 | λj |=
xk = nj=1 | fj (xk ) | ✈ỵ✐

∞

∞

k=1 j=1

k=1
∞
k=1

xk

♠å✐

| fj (x) |, x ∈ X.
k = 1, 2, ... ✈➔

∞

| fj (xk ) |< ∞.

| fj (xk ) |=

xk =

◆❤÷ ✈➟②

n

n

n
j=1

j=1 k=1

❤ë✐ tư t✉②➺t ✤è✐✳

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✹ ❦❤ỉ♥❣ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ❱➼ ❞ư s❛✉ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ✤â✳
✶✳✶✳✶✺✳ ❱➼ ❞ư✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ♥❤ỵ ❧↕✐ r➡♥❣ c0 ❧➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tư tỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ t 0= supn | tn |
✈ỵ✐ ♠å✐ t = {tn} ∈ c0✳ ❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ c0 ❝❤♦ ❞➣② {xk } ✈ỵ✐
xk = (0, 0, ..., 0, k1 , 0, 0, ...) ✈ỵ✐ k1 ❧➔ sè ❤↕♥❣ t❤ù k ✱ k = 1, 2, ...✳
❑❤✐ ✤â✱ ∞k=1 xk ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tö
t✉②➺t ✤è✐✳


✶✸

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➛✉ t✐➯♥✱ t❛ ❝❤ù♥❣ tä ❝❤✉é✐

tr♦♥❣ c0 ✈➔
0

xk ❤ë✐ tö
∞
1
k=1 xk = { k }k ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ n = 1, 2, ... t❛ ❝â

1
{ }−
k

n

xk

0 = sup{

n

k=1

∞
k=1

1
1
1
,
, ...} =
.
n+1 n+2
n+1

1
→ 0 ❦❤✐ n → ∞ t❛ ❝â { k1 } − nk=1 xk 0→ 0
❉♦ ✤â✱ tø n+1
❦❤✐ n → ∞✱ tù❝ ❧➔ nk=1 xk → { k1 } ❦❤✐ n → ∞✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐
∞
1
k=1 xk ❤ë✐ tö ✈➔ ❝â tê♥❣ ❧➔ { k }✳
●✐↔ sû σ : N∗ → N∗ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ →♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ > 0✱
tø ∞k=1 xk = { k1 } s r tỗ t số tỹ n0 s❛♦ ❝❤♦

1
=
n0 + 1

n0

1
xk − { }
k
k=1

0<

.

✣➦t n1 = max σ−1({1, 2, ..., n0})✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ n > n1 t❛ ❝â
σ(n) > n0✳ ❚ø ✤â✱ s✉② r❛ ✈ỵ✐ ♠é✐ n n1 t❛ ❝â
n

1
xσ(n) − { }
k
k=1

0<

1
< .
n0 + 1

❉♦ ✤â✱ ❝❤✉é✐ ∞n=1 xσ(n) ❤ë✐ tö✳ ❱➟② ❝❤✉é✐ ∞k=1 xk ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣
✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳
❱ỵ✐ ♠é✐ k = 1, 2, ...✱ t❛ ❝â xk 0= k1 . ❉♦ ✤â
∞

∞

xk
k=1

❱➟② ❝❤✉é✐

∞
k=1

xk

0=
k=1

1
= ∞.
k

❦❤ỉ♥❣ ❤ë✐ tư t✉②➺t ✤è✐✳

✣➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✤à♥❤ ❧➼ t✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉
D = {{αk } : αk = ±1}.


✶✹

✭D ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞➣② sè ♠➔ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ♥❤➟♥
❣✐→ trà ✶ ❤♦➦❝ ✲✶ ✮

✶✳✶✳✶✻✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✭ ●❡❧❢❛♥❞ ✮✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐

xk ❤ë✐
tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❳ t❤➻ S(D) =
{ ∞
k=1 αk xk : α = {αk } ∈ D}❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣➢❝ tr♦♥❣ X ✳
✣➛✉ t✐➯♥✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r ợ ộ > 0
tỗ t n = n( ) ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ∞i=1 αixi < ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣②
{αi} ∈ D✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ú
õ tỗ t > 0 ũ sè tü ♥❤✐➯♥ n1 < n2 < ... ✈➔ ❝→❝
❞➣② {αi(j)}∞i=1 ∈ D✱ j = 1, 2, ... s❛♦ ❝❤♦
∞
k=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

∞
(j)

αi x i

δ, j = 1, 2, ....

i=nj

❚❛ ❝❤å♥ ❞➣② ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ rj s❛♦ ❝❤♦ rj > nj ✈➔
rj
(j)

αi x i
i=nj

δ
, j = 1, 2, ....
2

❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t rj < nj+1✳ ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤
❞➣②{αi} ∈ D ♥❤÷ s❛✉ ✿ αi ❜➡♥❣ αi(j) ✈ỵ✐ nj i rj , j = 1, 2, ...❀
❜➡♥❣ ±1 ✈ỵ✐ ❝→❝ i ❝á♥ ❧↕✐✳ ❑❤✐ ✤â✱ rã r➔♥❣ ∞k=1 αixi ♣❤➙♥ ❦➻✳
✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤✉é✐ ∞i=1 xi ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣
✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ❧➔ ✤ó♥❣✳ ✣➦t
n−1

αixi, n = n( ), α ∈ D,

Sn−1(α) =
i=1

✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ B(Sn−1(α), ) ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ Sn−1(α)✱ ❜→♥ ❦➼♥❤
tr♦♥❣ X ✳ ❚ø ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ t❛ s✉② r❛ ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ❤➻♥❤
❝➛✉ {B(Sn−1(α), ) : α ∈ D} ♣❤õ t➟♣ S(D)✳ ❉♦ ✤â✱ S(D) ❧➔ t➟♣
❤♦➔♥ t♦➔♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤


✶✺

S(D) ❝♦♠♣❛❝t t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ tä S(D) ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳ ●✐↔ sû
(l)
{α(l)}∞

l=1 ❧➔ ❞➣② tr♦♥❣ D s❛♦ ❝❤♦ liml→∞ S(a ) = S ∈ X, tr♦♥❣
✤â α(l) = {αi(l)}∞i=1, l = 1, 2, ...✳ ❱➻ αi(l) = ±1, l = 1, 2, ... ♥➯♥
❞➣② {α(l)} ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tư t❤❡♦ t♦↕ ✤ë tỵ✐ ❞➣② α = {αi} ∈ D
❦❤✐ l → ∞✱ t❛ ✈➝♥ ❦➼ ❤✐➺✉ ❞➣② ❝♦♥ ♥➔② ❧➔ {α(l)}✳ ❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ tr➯♥✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ > 0 tỗ t số tỹ n0 = n( ) s❛♦
∞
< ✈ỵ✐ ♠å✐ {αi} ∈ D✳ ❈❤å♥ l0 ∈ N s❛♦
❝❤♦
i=n0 αi xi
❝❤♦ αil0 = αi ✭1 i < n0✮✳ ❱➻ αi → αi ❦❤✐ l → ∞ ✈ỵ✐ ♠å✐
i = 1, 2, ... l0 tỗ t ✤â✱ ✈ỵ✐ l l0 t❛ ❝â
∞

∞
(l)
αi xi

(l)

S(α ) − S(α) =

−

i=n0

i=n0

∞

<2 .

∞
(l)
αi xi

(l)

S(α ) − S(α) =
i=n0

αixi

−

αixi < 2 .
i=n0

❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä lim S(α(l)) = S(αi) ∈ S(D)✱ tù❝ ❧➔
S ∈ S(D)✳ ❉♦ ✤â✱ S(D) ✤â♥❣ tr♦♥❣ X.

✶✳✷✳ ▼✐➲♥ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉
❤↕♥ ❝❤✐➲✉

▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠✐➲♥ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❙t❡✐♥✐t③ ✈➲ ♠✐➲♥ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛
❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳
✶✳✷✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ●✐↔ sû ∞k=1 xk ❧➔ ∞♠ët ❝❤✉é✐ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✳ ❚❛ ❣å✐ t➟♣ ❤ñ♣ DS( k=1 xk ) ❝→❝ ❣✐→ trà
x ∈ X t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✉é✐ ∞
k=1 xπ(k) ❝â tê♥❣ ❜➡♥❣ x ✈ỵ✐

❤♦→♥ ✈à π : N → N ♥➔♦ ✤â ❧➔ ♠✐➲♥ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ∞k=1 xk ✳

✶✳✷✳✷ ❇ê ✤➲ ✭✈➲ sü ❧➔♠ trá♥ ❝→❝ ❤➺ sè✮✭❬✹❪✮✳ ❈❤♦ {x }

n
i 1

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ m ❝❤✐➲✉✱


✶✻

{λi}n1 ❧➔ ❞➣② ❝→❝ ❤➺ sè ✈ỵ✐ 0 λi 1✱ x = ni=1 ixi
õ tỗ t ở ❤➺ sè {θi}n1 ✱ θi = 0 ❤♦➦❝ 1 s❛♦ ❝❤♦
n

x−

θ i xi
i=1

m
. max
2 i

xi

.

✶✳✷✳✸ ❇ê ✤➲ ✭✈➲ sü ❣✐❛♦ ❤♦→♥✮✭❬✹❪✮✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ {x }

n
i i=1

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ✈❡❝tì ✈ỵ✐ tê♥❣ ❜➡♥❣ x tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ m ❝❤✐➲✉ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ ♥➔②
❝â t❤➸ ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ ❧↕✐ t❤❡♦ ởt s ợ t số
ữỡ k n t❛ ❝â
k

xπ(i) −
i=1

k−m
x
n

m. max
i

xi ,

(1)

tr♦♥❣ ✤â π ❧➔ ♠ët ❤♦→♥ ✈à t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❝→❝ ❝❤➾ sè✳
●✐↔ sû ∞k=1 xk ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❝â
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈ỵ✐ tê♥❣ ❜➡♥❣ s tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✳▼ët ♣❤✐➳♠
❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ f ∈ X ∗ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐
∞
∞

k=1 xk ♥➳✉
k=1 | f (xk ) |< ∞✳
❚➟♣ ❤ñ♣ Γ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❤ë✐ tư ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ∞k=1 xk ❧➔
♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ X ∗✳ Γ ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ✤â♥❣
♥➳✉ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ❑➼ ❤✐➺✉

✶✳✷✳✹ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

Γ0 = {x ∈ X : f (x) = 0, ∀f ∈ Γ},

✈➔ ❣å✐ Γ0 ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ Γ✳ ❘ã r➔♥❣ Γ0 ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✤â♥❣ ❝õ❛ X ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➔♥❤ ❧➟♣ ❤❛✐ t➟♣
❤ñ♣ s❛✉
P ({xk }∞
1 ) = {xi1 + xi2 + ... + xip : i1 < i2 < ... < ip ; p ∈ N },
n

Q({xk }∞
1 ) = {

λixi : 0
i=1

λi

1, n = 1, 2, ...}.


✶✼

❈→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ P ({xk }∞1 ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ tê♥❣ r✐➯♥❣✳
❘ã r➔♥❣ P ({xk }∞1 ) ⊂ Q({xk }∞1 ) ✈➔ Q({xk }∞1 ) ❧➔ t ủ ỗ
Q t õ ừ Q({xk }∞1 )✳

✶✳✷✳✺✳ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ◆➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧➜② r❛ sè ❤↕♥❣ t❤ù ❤❛✐

❝õ❛ ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1) t❤➻ ✤÷đ❝ ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
t✐➺♥ ❧đ✐ ❤ì♥ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ✿
k

n

xπ(i)

m. max
i

i=1

xi

+(m + 1)

xi

.

i=1

✶✳✷✳✻✳ ❇ê ✤➲ ✭❬✹❪✮✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❜➜t ❦➻ ✈➔ ∞
k=1 xk ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ X ✳
◆➳✉ x ∈ Q t❤➻ x + Γ0 ⊂ Q✳
❈❤♦ ∞
k=1 xk ❧➔ ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐
tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ m ❝❤✐➲✉ E ✈➔ ∞
k=1 xk = s✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠✐➲♥
∞
❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ k=1 xk ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s + Γ0✱ tr♦♥❣ ✤â Γ0
❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ Γ ❝→❝ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❤ë✐ tư ❝õ❛
∞
❝❤✉é✐ ∞
k=1 xk ✱ tù❝ ❧➔ DS(
k=1 xk ) = s + Γ0 ✳
●å✐ f ∈ X ∗ ❧➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐
∞
∞
k=1 xk ✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱
k=1 f (xk ) ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư t✉②➺t ✤è✐✳
❚ø ✤â✱ ✈ỵ✐ ❤♦→♥ ✈à π ❜➜t ❦➻✱ tø sü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ∞k=1 xπ(k)

✶✳✷✳✼✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❙t❡✐♥✐t③✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

s✉② r❛

∞

f(

∞

xπ(k)) =
k=1

∞

f (xπ(k)) =
k=1

f (xi) = f (s).
i=1

◆❤÷ ✈➟② DS( ∞k=1 xk ) − s ⊂ ker f ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ Γ✳ ❚ø ✤â✱ s✉②
r❛ DS( ∞k=1 xk ) − s ⊂ Γ0✳ ❱➻ ✈➟② DS( ∞k=1 xk ) ⊂ s + Γ0✳ ❱✐➺❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ DS( ∞k=1 xk ) ⊃ s + Γ0 ự t ỡ s ỗ
rữợ t ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ s ∈ s + Γ0
❜➜t ❦➻ ❝â ♠ët ❤♦→♥ ✈à π0 ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❜❛♥ ✤➛✉ ∞k=1 xk ✈➔ ♠ët ❞➣②
❝→❝ ❝❤➾ sè n1 < n2 < ... s❛♦ ❝❤♦


✶✽

nj

lim

j→∞

s −

xπ0(i) = 0,
i=1

♥❣❤➽❛ ❧➔ ❞➣② ❝→❝ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ ❧↕✐ ❤ë✐ tư
✤➳♥ s ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝❤➾ ❝➛♥ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❤♦→♥ ✈à π t❤♦↔ ♠➣♥ ❝❤✉é✐
∞
i=1 xπ(i) ❤ë✐ tö ✤➳♥ s ✳
❳➨t t➟♣ Q✳ ◆â ❝❤ù❛ s ✈➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✻ ❝ô♥❣
❝❤ù❛ s ✭s ∈ s + Γ0 ⊂ Q✮✳ ❈❤♦ ❞➣② n → 0✳ ❈❤♦ s ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾
❜ð✐ ♣❤➛♥ tû q1 ∈ Q({xi}∞i=1) ✿
s − q1 = s −

λixi <

1.

❑❤✐ ✤â✱ q1 ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷ ✈➲ sü ❧➔♠ trá♥ ❝→❝ ❤➺
sè ❜ð✐ ♣❤➛♥ tû p1 ∈ P ({xi}∞i=1) ✿
q 1 − P1 = q 1 −

θ i xi

m. max
i 1

xi ,

tr♦♥❣ ✤â m = dim E ✈➔ θi ❜➡♥❣ ✵ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ✶✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❧➜②
r❛ ♠ët ✤✐➸♠ xi tr♦♥❣ tê♥❣ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ s❛♦ ❝❤♦ θi = 1✳ ❑➼ ❤✐➺✉
S1 = {xi} ∪ {x1}✱ ✈➔ tê♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ S1 ❧➔ s1✳ ❍✐➸♥
♥❤✐➯♥
s − s1

1

+ m. max
i 1

xi

+

x1

.

❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t t➟♣ s1 + Q({xk }∞k=1\S1)✳ ❚➟♣ ♥➔② ❝❤ù❛ s ✈➔ ❝ô♥❣
❝❤ù❛ s ✭ t❤❡♦ ♥❤➟♥ ①➨t s❛✉ ✿ ❈❤♦ S ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥
❜➜t ❦➻ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ∞i=1 xi✱ ✈➔ y ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❜➜t ❦➻
❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ X ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✻ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ t❤❛②
∞
Q({xk }∞
k=1 ) ❜➡♥❣ y + Q({xk }k=1 \S )✳ ●✐↔ sû s − s1 ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾
❜ð✐ ♣❤➛♥ tû q2 ∈ Q({xi}∞i=1\S1)✱ tù❝ ❧➔
s − s1 − q 2 = s − s1 −

λ i xi

2.


✶✾

❑❤✐ ✤â q2 ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♣❤➛♥ tû p2 tr♦♥❣ P ({xi}∞i=1\S1) ✿
q2 − p 2 = q2 −

θixi

m. max
i 2

xi ,

tr♦♥❣ ✤â θi ❜➡♥❣ 0 ❤♦➦❝ 1✳ ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➯♠ ✈➔♦ t➟♣ ❤ñ♣ S1 ✤✐➸♠
x2 ✈➔ ❝→❝ xi tr♦♥❣ tê♥❣ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ s❛♦ ❝❤♦ θi = 1✳ ❚➟♣ ❤đ♣ t❤✉
✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ S2✱ ✈➔ tê♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ S2 ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ s2✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝â
s − s2

2

+ m. max
i 2

xi

+

x2

.

❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ ♥➔② ♠ët ❝→❝❤ ✈ỉ ❤↕♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ❞➣② ❝→❝
t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥
Sn = {xi}∞
1 .

S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ ...;
n

◆➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ✈✐➳t r❛ t❤❡♦ t❤ù tü ❝→❝ sè ❤↕♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ t➟♣ ❤ñ♣
S1, S2\S1, S3\S2, S4\S3, ...,

t❤➻ ❜➡♥❣ ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ t❛ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❤♦→♥ ✈à π0
❝➛♥ t➻♠ ❝õ❛ ❝❤✉é✐✳
❈❤ó♥❣ t❛ t✐➳♣ tư❝ ♣❤➛♥ ❤❛✐ ❝õ❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â ♠ët ❝❤✉é✐
✭✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ t❛ ❧↕✐ ❦➼ ❤✐➺✉ ♥â ❧➔ ∞i=1 xi✮ ✈ỵ✐ sè ❤↕♥❣ tê♥❣ q✉→t
❞➛♥ ✈➲ 0 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠ët ❞➣② ❝→❝ tê♥❣ r✐➯♥❣ ❤ë✐ tö ✈➲ s ✿
nj

lim

j→∞

s −

xi = 0, n1 < n2 < n3 < ....

i=1

❚ø ✤â✱ t❛ ❝â

nj+1

lim

j→∞

xi = 0.
i=nj +1


✷✵

❈❤ó♥❣ t❛ →♣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ♠é✐ t➟♣ {xi}ni=n +1 ❇ê sỹ s
ữợ t tr ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✺✱ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ π ❧➔ ❤♦→♥
✈à t❤✉ ✤÷đ❝ ❝❤♦ t♦➔♥ ❜ë ❞➣② ❝õ❛ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✳ ❑❤✐ ✤â✱
j+1

j

nj

nj

xk , j = 1, 2, ...,

xπ(k) =

k=1

k=1

✈➔ ✈ỵ✐ l ∈ [nj , nj+1] ❜➜t ❦➻ t❛ ❝â
nj+1

l

xπ(k)

m. max

k=nj +1

nj
xk

xi

+(m + 1)

.

i=nj +1

●✐↔ sû r ❧➔ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ ❜➜t ❦➻✱ r > n1✱ ✈➔ ❣✐↔ sû j ❧➔ sè tü
♥❤✐➯♥ s❛♦ ❝❤♦ nj < r nj+1✳ ❑❤✐ ✤â✱
nj

r

xπ(k) − s
k=1

r

xπ(k) − s
k=1

+

xπ(k)
k=nj +1

nj

nj+1

xk − s
k=1

+m. max
k>nj

xk

+(m + 1)

xi

.

i=nj +1

❉♦ ✤â limr→∞ rk=1 xπ(x) − s = 0✱ tù❝ ❧➔ ❝❤✉é✐ ∞k=1 xπ(x) ❤ë✐
tö ✈➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ♥➔② ❜➡♥❣ s ✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✸✳ ❈❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉

❈❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❝â sü ♠ỉ t↔ ✤➛② ✤õ ♠✐➲♥ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐
❤ë✐ tö ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ▼ët ♠♦♥❣
♠✉è♥ tü ♥❤✐➯♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣✱ ❦❤ỉ♥❣
t❤➸ ♠❛♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ →♣ ❞ư♥❣
❝❤♦ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳


✷✶

▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ❧➔ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ✤➸ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ r➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ♠ð rë♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ❙t❡✐♥✐t③ ❝❤♦ ❝❤✉é✐ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳
❈❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉ ∞k=1 xk ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❝â ✤✐➲✉
❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ t❤➻ DS( ∞k=1 xk ) ❝❤ù❛
♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ♠ët ✤✐➸♠ ✭ ♥â✐ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❤ì♥✱ ♥â ❝❤ù❛ ❝↔
✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✮✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ö s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ t❤➜② ♠ët ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❝â
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❝â t❤➸ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ✤✐➸♠

tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ♥â✳
✣➛✉ t✐➯♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤ỵ ❧↕✐ r➡♥❣✱
∞

| xn |2< ∞}

l2 = {{xn} ⊂ K :
k=1

✭K = C ❤♦➦❝ ❈✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ rt ợ t ổ ữợ
(x | y) =
n=1 xn yn ✈ỵ✐ ♠å✐ x = {xn }✱ y = {yn } ∈ l2 ✳
✣➦t A = {e1, e2, ...}✱ tr♦♥❣ ✤â en = (0, ..., 0, 1, 0, 0, ...) ✈ỵ✐ ✶ ð ✈à
tr➼ t❤ù n❀ n = 1, 2, ...✳ ❑❤✐ ✤â✱ A ❧➔ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ l2 ✈➔
♥â ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝❤➼♥❤ t➢❝ tr♦♥❣ l2✳
✶✳✸✳✶✳ ❱➼ ❞ö ✶✳ ●å✐ {ek}∞k=1 ❧➔ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝❤➼♥❤ t➢❝
tr♦♥❣ l2✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ①➨t ❝❤✉é✐ s❛✉
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
e1+ e2− e2+ e3− e3+ e3− e3+ e4− e4+...− e4+ e5−...
2
2

4
4
4
4
8
8
8
16

❈❤✉é✐ ♥➔② ❤ë✐ tö ✈➔ tê♥❣ ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣ e1✳ ❈❤✉é✐ ✈ø❛ ✤÷đ❝ ①➙②
❞ü♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞♦ ❝❤✉é✐
1
1
1
1
1
1
e1 + e2 + e2 + e3 + e3 + e3 + e3 + ... = e1 + e2 + e3 + ...
2
2
4
4
4
4

♣❤➙♥ ❦➻ ❜ð✐ ✈➻ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✶✶ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❝ơ♥❣ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư ❤♦➔♥ ❤↔♦✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ♠✐➲♥ tờ ừ
ộ ỗ ởt e1 ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ♥➔② ❧➯♥

✷✷

t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t♦↕ ✤ë ❜➜t ❦➻ ❝❤➾ ❝❤ù❛ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❦❤→❝ ✵
✈➔ tê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ❜à t ờ sỹ s
rữợ t ❞ư t✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥❤ỵ ❧↕✐ r➡♥❣ Lp([a, b]) =
{f : [a, b] → R, f ✤♦ ✤÷đ❝ ✈➔ | f |p ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ [a, b]} ✈ỵ✐
1 p < ∞ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥
b

1

| f (x) |p dx) p , f ∈ Lp([a, b]).

f =(
a

❱ỵ✐ p = 2✱ L2([a, b]) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈ỵ✐ t➼❝❤ ✈ỉ ữợ
b

(f | g) =

f (x)g(x)dx
a

ợ ồ f, g L2([a, b])✳
◆➳✉ ❦❤ỉ♥❣ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ [a, b] t❤➻ t❛ t❤÷í♥❣ ✈✐➳t Lp t❤❛② ❝❤♦
Lp([a, b])✳
˙ b) ❧➔ ❤➔♠ sè ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❜➡♥❣ ✶
✶✳✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö ✷✳ ●å✐ I(a,
tr➯♥ [a, b] ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà 0 ð ♥❣♦➔✐[a, b]✳ ❈❤ó♥❣ t s ỹ

ỗ õ tỷ
i

xi,k = I(k.2
, (k + 1).2−i), yi,k = −xi,k ,

tr♦♥❣ ✤â 0 i < ∞, 0 k < 2i✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ L2[0, 1]✳ ◆➳✉ tê♥❣ ✤÷đ❝ ✈✐➳t t❤❡♦ t❤ù tü
x0,0 + y0,0 + x1,0 + y1,0 + x1,1 + y1,1 + x2,0 + ...

t❤➻ ❝❤✉é✐ s➩ ❤ë✐ tö ✈➲ ✵✳ ◆➳✉ t❤ù tü t❤❛② ✤ê✐
x0,0 + x1,0 + x1,1 + y0,0 + x2,0 + x2,1 + y1,0 + x2,2 + x2,3 + y1,1 + ...

t❤➻ ❝❤✉é✐ s➩ ❤ë✐ tö ỗ t ỡ ỳ ộ ổ
t ở tư ✈➲ ❤➔♠ ❜➡♥❣ 21 tr➯♥ [0, 1]✱ ❞ị ♥â s➢♣ ①➳♣ ❧↕✐✱ ✈➻ ♠å✐
tê♥❣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ✤➲✉ ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥✳


✷✸

✶✳✹✳ ❈❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tr♦♥❣ L

p

▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ✤à♥❤ ❧➼ t÷ì♥❣ tü ✤à♥❤ ❧➼ ❙t❡✐♥✐t③ ✈➲ ♠✐➲♥
❝→❝ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lp ✈ỵ✐ 1 p < ∞✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉✳

✶✳✹✳✶✳ ❇ê ✤➲✳ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❤❛✐ sè t❤ü❝

a ✈➔ b ❜➜t ❦➻ ✿

| a + b |p | a |p +p.b. | a |p−1 .s✐❣♥ a + Ap. | b |p
✈ỵ✐ 1 < p

(1)

2✱ ✈➔

| a + b |p | a |p +p.b. | a |p−1 .s✐❣♥ a + Ap(| b |p + | a |p−2| b |2)
(2)
✈ỵ✐ 2 < p < ∞✱ tr♦♥❣ ✤â Ap ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ p✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ (2) ỏ ự
(1) tữỡ tỹ ợ a = 0 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ Ap 1 ❜➜t
❦➻ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ a = 0✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (2) ❝❤♦ | a |p ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ b/a ❧➔ β ✿

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

| 1 + β |p

1 + pβ + Ap(| β |p + | β |2).

❇✐➳♥ ✤ê✐ t❛ ✤÷đ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
| 1 + β |p −1 − pβ
| β |p + | β |2

Ap.

❱➻ ❤➔♠ ð ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥

t♦➔♥ ❜ë trö❝ ✈➔ ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ β → ±∞✱ ♥â ❝â ♠ët ❝➟♥ tr➯♥
❤ú✉ ❤↕♥✱ t❛ ❧➜② ❝➟♥ tr➯♥ ✤â ❧➔ Ap✳

✶✳✹✳✷✳ ❇ê ✤➲✳ ❱ỵ✐ x ✈➔ y ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ L ✱ t❛ ❝â
p

x+y

p

x

p

+Fx(y) + Ap

y

p

(3)


✷✹

✈ỵ✐ 1 < p

x+y

2✱ ✈➔

p

p

x

+Fx(y) + Ap( y

p

+

x

p−2

2

y

) (4)

✈ỵ✐ 2 < p < ∞✱ tr♦♥❣ ✤â ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ Fx ✤÷đ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝
1

| x(t) |p−1 .s✐❣♥ x(t).y(t)dt.

Fx(y) =
0

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r♦♥❣ (1) t❤❛② a ✈➔ b ❜➡♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ x(t) ✈➔

y(t) ✈➔ ❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤❡♦ t✱ t❛ ✤÷đ❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (3)✳ ◆➳✉ ✤✐➲✉
t÷ì♥❣ tü ❧➔♠ ❝❤♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (2) t❤➻ ✈ỵ✐ 2 < p < ∞ t❛ ❝â
1

x+y

p

x

p

+Fx(y)+Ap( y

p

| x(t) |p−2| y(t) |2 dt)

+
0

❙è ❤↕♥❣ ố ũ õ t ữủ ữợ ữủ sỷ ❞ư♥❣ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r ✈ỵ✐ sè ♠ơ s = p/(p − 2) ✈➔ s = p/2 ✭❞➵ t❤➜②
r➡♥❣ 1s + s1 = 1✮ ✿
1

| x(t) |p−2| y(t) |2 dt

0
1

1
(p−2)s

| x(t) |

[
0

1/s

| y(t) |2s dt]1/s = x

dt] .[

p−2

.

2

y

0

❚❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤❛② t❤➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦➳ t✐➳♣ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ t❛ ✤÷đ❝ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ (4)✳
❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s➩ ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ✤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜ê ✤➲ ✈➲

sü ❧➔♠ trá♥ ❝→❝ ❤➺ sè ✈➔ ❜ê ✤➲ ✈➲ sü s➢♣ ①➳♣ ❧↕✐ ❝→❝ ✈❡❝tì tr♦♥❣
Lp ✳

✶✳✹✳✸✳ ❇ê ✤➲ ✭✈➲ sü ❧➔♠ trá♥ ❝→❝ ❤➺ sè tr♦♥❣ L ✮✳
p

❈❤♦

{xi}ni=1

❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ Lp✱ 1 < p < ∞✱

{λi}ni=1

❧➔

.


✷✺

t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ❤➺ sè ✈ỵ✐ 0 λi 1 ✈➔ x = ni=1 ixi õ
tỗ t số {θi}ni=1✱ ✈ỵ✐ θi ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà 0 ❤♦➦❝ 1✱ s❛♦
❝❤♦
n
n

x−

θ i xi

Cp (

i=1

xi

r

1

)r ,

(5)

i=1

tr♦♥❣ ✤â r = min{2, p} ✈➔ ❤➺ sè Cp ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ p✳
❍➺ sè θ1 ữủ ồ tý ỵ 1 = 1
sỷ ❝→❝ ❤➺ sè θ1, ..., θk−1 ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤å♥✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦➼

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❤✐➺✉

k−1

k−1

λixi −

sk−1 =
i=1

θixi.

(6)

i=1

❇➙② ❣✐í ❤➺ sè θk ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉
(λk − θk )Fsk−1 (xk )

0

✭♥➳✉ Fs = 0 t❤➻ ❝❤å♥ θk = 1 ✮✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➟♣ ❝→❝
❤➺ sè {θk }n1 ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❜ð✐ q✉→ tr➻♥❤ q✉✐ ♥↕♣ t❤♦↔ ♠➣♥ ②➯✉
❝➛✉ ❝õ❛ ❜ê ✤➲✳
❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ 2 < p < ∞✳ ▲➜② x = sk−1, y =
(λk − θk )xk tr♦♥❣ (4) ✈➔ sû ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (6) ✿
k−1

sk

p

sk−1

p

+Ap

2

(λk −θk )xk

( (λk −θk )xk

p−2

+

sk−1

❚r♦♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû sk ✭1 k n✮ t❛ ❝❤å♥ ♣❤➛♥ tû ❝â ❝❤✉➞♥ ❧ỵ♥
♥❤➜t✳ ●å✐ ♣❤➛♥ tû ✤â ❧➔ sm✳ ❚ ❝â sm = maxk sk ✳ ❑❤✐ ✤â✱
(λk − θk )xk = sk − sk−1

sk

+

sk−1

2

sm

❚❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤❛② t❤➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦➳ t✐➳♣ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ t❛ ✤÷đ❝
sk

p

sk−1

p

+Ap

(λk − θk )xk

2

(2p−2 + 1).

sm

p−2

.
(7)

p−2

).