Khảo sát một số tính chất của đường cong slant helix trong không gian minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN DUY DIỆN

KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
ĐƯỜNG CONG SLANT HELIX
TRONG KHƠNG GIAN MINKOWSKI

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH SƯ PHẠM TỐN
LỚP 49 A TỐN
Chun ngành : HÌNH HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN DUY BÌNH

NGHỆ AN - 2012


Mục lục
Lời nói đầu

3

1 KHƠNG GIAN LORENTZ- MINKOWSKI
1.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6

2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski.
2.1 Cung tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Trường hợp đường cong có tham số hoá độ dài cung
hoặc tham số hoá giả độ dài cung. (xem [3]) . . . . . .
2.2.2 Trường hợp đường cong có tham số hố bất kỳ. . . .
2.3 Đường xoắn ốc trong E13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
9
10
11

3 Đường cong slant helix trong không gian Minkowski
3.1 Đường cong slant helix . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Chỉ đồ và đường thân khai của đường slant helix. . . .
3.2.1 Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các tính chất. (Xem [6]) . . . . . . . . . . . .

E13
. .
. .
. .
. .

. .
. .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

11
14
15
17
17
17
18
22
23
23

Kết luận

26

Tài liệu tham khảo

27

2


Lời nói đầu
Lý thuyết đường trong khơng gian Euclide đã được trình bày trong nhiều
giáo trình hình học vi phân cổ điển. Trong không gian Euclide, một đường
xoắn ốc là một đường cong trong đó tiếp tuyến tại mọi điểm tạo một góc
khơng đổi với một phương cố định. Phương này được gọi là trục của đường
xoắn ốc. Năm 1802, nhà toán học Lancret đã chỉ ra rằng: Một đường cong
là đường xoắn ốc khi và chỉ khi tỉ số τ /κ là một hàm hằng, với τ và κ tương
ứng là Chẳng hạn các đường cong phẳng là các đường xoắn ốc. Một đường
xoắn ốc có độ cong và độ xoắn không đổi được gọi là đường xoắn ốc trụ.
Năm 2004, hai nhà toán học Izumiya và Takeuchi đã nghiên cứu một đường
cong mới, đặt tên là slant helix, là một đường cong trong đó pháp tuyến tại
mọi điểm tạo một góc khơng đổi với một phương cố định.
Khơng gian Minkowski có ứng dụng rộng rãi trong vật lý học hiện đại, đặc
biệt là lý thuyết tương đối. Lý thuyết đường cong cũng được nghiên cứu
nhiều trong không gian Minkowski. Trong các tài liệu có trình bày về đường
slant helix trong không gian Minkowski 4 chiều (E14 ), tuy nhiên, có ít tài liệu
trình bày về tính chất của đường cong này trong không gian 3 chiều (E13 ).
Trong tài liệu [4], hai tác giả A. T. Ali, Rafael López có trình bày một số kết
quả về các tính chất của đường cong slant helix trong không gian E13 , nhưng
chưa được chi tiết.
Do đó chúng tơi lựa chọn đề tài: " Khảo sát một số tính chất của đường cong

slant helix trong khơng gian Minkowski E13 "
Trong khố luận này, chúng tơi sẽ trình bày các kết quả mở rộng khái niệm
đường cong slant helix và các tính chất của nó trong khơng gian Minkowski
ba chiều (E13 ).
Cụ thể khố luận được chia thành 3 chương:
Chương 1: Khơng gian Lorentz - Minkowski E31 .
Để thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau, trong chương này chúng
tơi trình bày một số khái niệm và cũng như các tính chất của khơng gian
Lorentz - Minkowski mà khơng trình bày chứng minh chi tiết.
Chương 2: Đường cong trong không gian Lorentz - Minkowski E31 .
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của
lý thuyết đường cong trong không gian Lorentz- Minkowski bao gồm: cung
3


tham số, độ cong, độ xoắn và đường xoắn ốc (helix). Đây là các kiến thức
cần thiết phục vụ cho chương tiếp theo. Một số tính chất, định lý trong mục
này chúng tơi có trình bày chứng minh, và có một số mệnh đề chỉ nêu chứ
không chứng minh.
Các chứng minh chi tiết của các mệnh đề, định lý ở trong hai chương trên
có thể tham khảo trong tài liệu [3]
Chương 3: Đường cong slant helix trong không gian Lorentz Minkowski E31 .
Đây là nội dung chính của khố luận, chương này trình bày định nghĩa và
một số tính chất của cơ bản của đường slant helix trong không gian Lorentz
- Minkowski. Chương này cũng trình bày một trong số các hướng nghiên cứu
đường cong slant helix đó là thơng qua chỉ đồ và đường thân khai của nó.
Khố luận được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của
thầy giáo - tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm
ơn chân thành đến thầy. Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban
chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa cùng các bạn bè đã tạo

điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình tơi thực hiện khố
luận này.
Nghệ An, tháng 5 năm 2012
Nguyễn Duy Diện

4


Chương 1

KHÔNG GIAN LORENTZMINKOWSKI
1.1

Các định nghĩa cơ bản

Cho R3 là không gian véctơ thực với cấu trúc thông thường. Gọi B =
{E1 , E2 , E3 } là cơ sở thông thường, với E1 = (1, 0, 0), E2 = (1, 0, 0), E3 =
(1, 0, 0).
Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một khơng gian véctơ sinh bởi tích vơ hướng:
u, v = u1 v1 + u2 v2 − u3 v3 , với u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) .
Khi đó E được gọi là khơng gian Lorentz - Minkowski. Ký hiệu E13 .
Tích vơ hướng , được gọi là tích vơ hướng Lorentz – Minkowski.
Người ta thường gọi khơng gian Lorentz – Minkowski là khơng gian Minkowski
và tích vơ hướng , cũng được gọi là tích vơ hướng Minkowski.
Định nghĩa 1.1.2. Cho véctơ v ∈ E13 .
(i) v được gọi là véctơ kiểu không gian nếu v, v > 0 hoặc v=0
(ii) v được gọi là véctơ kiểu thời gian nếu v, v < 0
(iii) v được gọi là véctơ kiểu ánh sáng nếu v, v = 0 và v = 0
Nhận xét: véctơ v = 0 có v, v = 0 nhưng vẫn được xét là véctơ kiểu
không gian.

Ví dụ 1.1.1. Véctơ E1 và E2 là các véctơ kiểu khơng gian vì E1 , E1 = 1 > 0
và E2 , E2 > 0. Véctơ E3 là véctơ kiểu thời gian vì E1 , E1 = 1 > 0. Véctơ
E1 + E2 là véctơ kiểu ánh sáng vì E1 + E2 , E1 + E2 = 0
Định nghĩa 1.1.3. Cho E13 là một khơng gian Minkowski với tích vô hướng
và U là một không gian véctơ con của E13 .
Ta xét tích vơ hướng cảm sinh: u, v U = u, v . Khi đó, U được gọi là
khơng gian con kiểu khơng gian nếu tích vơ hướng cảm sinh xác định dương
( u, u > 0, ∀u ∈ U ). U được gọi là không gian con kiểu thời gian nếu tích vơ
5


hướng cảm sinh xác định âm ( u, u < 0, ∀u ∈ U ) và U được gọi là khơng gian
con kiểu ánh sáng nếu tích vơ hướng cảm sinh thoả mãn: ( u, u = 0, ∀u ∈ U .
Định nghĩa 1.1.4. Cho véctơ u ∈ E13 . Khi đó số | u, u | được gọi là mô
đun hay chuẩn của véctơ u. Ký hiệu |u|. Nếu |u| = 1 thì u được gọi là véctơ
đơn vị.
Định nghĩa 1.1.5. Cho u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ E13 . Khi đó, tích
Lorentz của hai véctơ u và v là véctơ duy nhất được ký hiệu u × v thoả mãn:

u1 u1 u3
(u × v, w) = det(u, v, w) = v1 v1 v3 , ∀w = (w1 , w2 , w3 ) ∈ E13 .
w1 w 1 w3
. Toạ độ của tích Lorentz được tính như sau:

v =
1.2

u2 u3
u3 u1
u1 u2

,
,
−
v2 v3
v3 v1
v1 v2

Một số tính chất.

Định lý 1.2.1. (xem [3])
Ta có các mệnh đề sau:
1. Cho v ∈ E13 . Khi đó, v là véctơ kiểu thời gian khi và chỉ khi < v >⊥ là
không gian con kiểu không gian và E13 =< v > ⊕ < v >⊥ . Đối với các
véctơ kiểu không gian, ta cũng có: v là véctơ kiểu khơng gian khi và chỉ
khi < v >⊥ là không gian con kiểu thời gian.
2. U là không gian con của E. Khi đó, nếu U là kiểu khơng gian khi và chỉ
khi U ⊥ là kiểu thời gian, U là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi U ⊥ cũng kiểu
ánh sáng.
Chứng minh chi tiết tham khảo trong tài liệu [3]
Định lý 1.2.2. (Xem [3])
Ta có các mệnh đề sau:
1. Cho u và v là hai véctơ kiểu ánh sáng. Khi đó, v và v là phụ thuộc tuyến
tính khi và chỉ khi u, v = 0.
2. Nếu u và v là các véctơ khác kiểu không gian sao cho u, v = 0 thì
chúng là các véctơ kiểu ánh sáng.
3. Nếu U là một không gian con kiểu ánh sáng, khi đó dim(U ∩ U ⊥ ) = 1 .
Chứng minh chi tiết tham khảo trong tài liệu [3]
6

Định lý 1.2.3 (xem [3]).
Cho U là một không gian con hai chiều của E13 . Khi đó, các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) U là không gian con kiểu thời gian.
(ii) U chứa hai véctơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính.
(iii) U chứa một véctơ kiểu thời gian.

Chứng minh chi tiết tham khảo trong tài liệu [3]
Định lý 1.2.4 (xem [3]).
Cho U là một không gian con hai chiều của E13 . Khi đó, các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) U là không gian con kiểu ánh sáng.
(ii) U chứa một véctơ kiểu ánh sáng nhưng không chứa một véctơ kiểu thời
gian nào.

Chứng minh chi tiết tham khảo trong tài liệu [3]
Mệnh đề 1.2.1 (xem [3]).
Sử dụng biểu thức toạ độ của tích Lorentz, ta có thể chứng minh được các
tính chất sau:
1. u × v = v × u
2. u × v vng góc với u, v .
3. u × v = 0 khi và chỉ khi u, v tỉ lệ.
Chứng minh chi tiết tham khảo trong tài liệu [3]
Trong khơng gian E3 , ta có cơng thức mối liên hệ giữa tích có hướng và tích
vơ hướng như sau:
ux uy
(u × v)(x × y) = vx vy
Câu hỏi đặt ra là liệu trong không gian Minkowski, mối liên hệ giữa tích
Lorentz và tích vơ hướng có cịn như vậy hay khơng? Chúng ta cùng xây
dựng cơng thức biểu thị mối liên hệ ấy.

Giả sử u(u1 , u2 , u3 ), v(v1 , v2 , v3 ), x(x1 , x2 , x3 ), y(y1 , y2 , y3 ) ∈ E13 . Ta có:

v =

u2 u3
u3 u1
u1 u2
v2 v3 , v3 v1 , − v1 v2
7


,

x×y =

x2 x3
x3 x1
x1 x2
,
,
−
y2 y3
y3 y 1
y1 y2

Từ đó suy ra:

(u × v)(x × y) = (u2 v3 − u3 v2 )(x2 y3 − x3 y2 ) + (u3 v1 − u1 v3 )(x3 y1 − x1 y3 )
+(u1 v2 − u2 v1 )(x1 y2 − x2 y1 )
(1.1)

Mặt khác

u1 x1 + u2 x2 − u3 x3 u1 y1 + u2 y2 − u3 y3

ux uy
=
vx vy

v1 x1 + v2 x2 − v3 x3 v1 y1 + v2 y2 − v3 y3
= (u1 x1 + u2 x2 − u3 x3 )(v1 y1 + v2 y2 − v3 y3 )
−(u1 y1 + u2 y2 − u3 y3 )(v1 x1 + v2 x2 − v3 x3 )

(1.2)

ux uy
Từ (1.1) và (1.2) ta có: (u × v)(x × y) = − vx vy
Ta có thể phát biểu kết quả trên thành mệnh đề như sau:
Mệnh đề 1.2.2. Cho u,v , x, y ∈ E13 . Khi đó, mối liên hệ giữa tích Lorentz
và tích vơ hướng Lorentz - Minkowski được thể hiện qua cơng thức sau:

ux uy
(u × v)(x × y) = − vx vy

8


Chương 2

Đường cong trong không gian
Lorentz – Minkowski.

Chúng ta nhắc lại khái niệm: Một đường cong là một ánh xạ khả vi

α : I → R3 ,
với I là một khoảng mở trong R. Trong chương này ta xét I là khoảng mở
chứa 0.

2.1
2.1.1

Cung tham số.
Các định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1.1. Cho α là một đường cong trong E13 . Ta nói rằng α là một
đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng) tại t nếu
véctơ α (t) là véctơ kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng).
Đường cong α được gọi là đường cong kiểu khơng gian nếu nó là đường cong
kiểu không gian tại mọi điểm .
Nhận xét: Một đường cong bất kỳ α trong E13 thì với mỗi t ∈ I , α (t) có
thể là kiểu khơng gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, nhưng tính chất này
sẽ khơng đúng trên tồn khoảng I .
Ví dụ 2.1.1. Xét đường cong α cho bởi tham số hoá: α(t) = (cosh(t), t2 , sinh(t)).
Khi đó, α (t), α (t) = 4t2 − 1.
Do đó, đường cong này là kiểu khơng gian trong khoảng (−∞, − 21 ), kiểu thời
gian trong khoảng (− 12 , 12 ) và kiểu ánh sáng tại − 21 và 12 .
Định nghĩa 2.1.2. Cho α là đường cong trong E13 xác định trên khoảng I .
Khi đó α được gọi là chính quy tại to ∈ I nếu α (t) = 0. Nếu α chính quy
tại mọi điểm t ∈ I thì α được gọi là chính quy.

9

2.1.2

Một số tính chất

Mệnh đề 2.1.1. ( Xem [3])
Mọi đường cong kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đều chính quy.
Chứng minh. Giả sử rằng đường cong α là kiểu thời gian. Ta viết α(t) =
(x(t), y(t), z(t)), trong đó các hàm x, y và z là các hàm khả vi theo t. Ta có:
α (t), α (t) = x (t)2 + y (t)2 − z (t)2 < 0, suy ra z (t) = 0 vì nếu z (t) = 0
thì α khơng phải là kiểu thời gian. Từ đó suy ra α là chính quy.
Trong trường hợp α là kiểu ánh sáng, giả sử z (t) = 0, suy ra x (t) = y (t) = 0
và α (t) = 0. Khi đó α là kiểu khơng gian. Mâu thuẫn, vậy z (t) = 0. Từ đó
suy ra α là chính quy.
Kể từ giờ, ta giả thiết các đường cong là chính quy.
Mệnh đề 2.1.2 (xem [3]).
Cho α là một đường cong kiểu không gian hoặc thời gian. Khi đó, tồn tại
các tham số hố của α sao cho |β (t)| = 1. Ta gọi tham số hoá này là tham
số hoá độ dài cung
Chứng minh.
Ta chứng minh trong trường hợp đường cong kiểu thời gian.
Giả sử α(t) là một tham số hoá của α. Đặt
t

λ(t) = −

α (u), α (u) du.
a

Khi đó, λ ≥ 0. Hơn nữa, λ là hàm đơn điệu tăng, vì λ (t) = α (t), α (t) >

0, ∀t, cho nên λ là một vi phôi. Đặt β(s) = α ◦ λ−1 (s). Ta chứng minh β là
tham số hoá độ dài cung của β .
Thật vậy:
1
1
|β (s)| = |(α ◦ λ−1 (s)) | = |αλ−1 ◦ (λ−1 )s | = |αt . | = |α (t)|. = 1, ∀s.
λ1
λt
Mệnh đề 2.1.3 (xem [3]).
Cho α là một đường cong kiểu ánh sáng trong E13 . Khi đó, tồn tại một tham
số hố của α cho bởi β(s) = α(φ(s)) sao cho |β (s)| = 1. Ta gọi tham số
hoá này là tham số hoá giả độ dài cung.
Chứng minh.
Ta viết: β(s) = α(φ(s)). Đạo hàm hai lần vế ta có:

β (s) = α (t)φ (s)2 + α (t)φ (s)

10


. Ta có:

β (s), β (s)

= φ (s)4 α (t), α (t) + φ (s)2 α (t), α (t)
+2.φ (s)2 .φ (s) α (t), α (t)
= φ (s)4 α (t), α (t)
(2.1)

( Do α là đường cong kiểu ánh sáng nên α (t), α (t) = 0 và dẫn đến

α (t), α (t) = 0).
Mặt khác, theo giả thiết ta có: |β (s)| = 1 suy ra φ (s)4 α (t), α (t) = 1.
Từ đó, hàm φ là nghiệm của phương trình vi phân:

φ (s) =

1
,
|α (φ(s))|

với φ(0) = to .

(2.2)

Giải phương trình vi phân trên ta được một nghiệm là:
t

|α (u)|du

S = λ(t) = −
a

Khi đó, λ ≥ 0. Hơn nữa, λ là hàm đơn điệu tăng, vì |α (u)| > 0, ∀t, cho
nên λ là một vi phơi. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Khi α được tham số hoá bởi một trong hai tham số hố trên, ta gọi α là
đường cong có vận tốc đơn vị.

2.2

Độ cong và độ xoắn

Cho trước một đường cong chính quy. Vậy làm thế nào để mơ tả các tính
chất hình học của đường cong? Chúng ta sẽ gán tại mỗi điểm của đường cong
một cơ sở trực chuẩn. Khi đó, sự biến đổi của cơ sở này dọc đường cong sẽ
cho ta thông tin về sự biến dạng của đường cong trong không gian. Ta sẽ xét
lần lượt các trường hợp.
2.2.1

Trường hợp đường cong có tham số hố độ dài cung hoặc tham số hoá
giả độ dài cung. (xem [3])

Hệ cơ sở trực chuẩn ta dùng ở đây là trường mục tiêu Frenet. Trong không
gian Minkowski, trường mục tiêu Frenet cũng được xây dựng tương tự như
trong không gian Euclide. Tuy nhiên, trong khơng gian Minkowski, có nhiều
loại đường cong khác nhau. Do vậy, chúng ta sẽ xây dựng các trường mục
tiêu Frenet khác nhau cho từng loại đường cong khác nhau. Nhờ các trường
11


mục tiêu này, chúng ta cũng có được hai thơng số cơ bản là độ cong và độ
xoắn.
Ta xét một đường cong α được tham số hoá bởi tham số hoá độ dài cung
hoặc tham số hoá giả độ dài cung. Gọi T (s) = α (t) là véctơ tiếp tuyến của
α tại s. Ta có: T(s), T(s) = 1, đạo hàm hai vế cho ta: T(s), T (s) = 0.
Ta giả thiết T (s) = 0 và véctơ T (s) khơng vng góc với T(s) tại mọi điểm
s.
Ta xét các trường hợp:
1. Trường hợp đường cong kiểu thời gian.
Giả sử α là đường cong kiểu thời gian. Khi đó T (s) = 0 là một véctơ
kiểu không gian độc lập với T(s). Ta định nghĩa độ cong của α tại s là hàm

κ(s) = |T (s)|. véctơ pháp tuyến N(s) được định nghĩa bởi:

N (s) =

T (s)
α (s)
=
.
κ(s)
|α (s)|

Hơn nữa, κ(s) = T (s), N(s) . Ta gọi véctơ trùng pháp tuyến B(s) là véctơ
B(s) = T(s) × N(s)
Khi đó, véctơ B(s) là véctơ đơn vị kiểu khơng gian. Với mỗi s, { T,N, B} là
một cơ sở trực chuẩn của E13 , và được gọi là trường mục tiêu Frenet của α.
Ta định nghĩa độ xoắn của α hàm:

τ (s) = N (s), B(s)
Ta có: |N| = 1 ⇒ N(s), N(s) = 1 ⇒ N(s), N (s) = 0 ⇒ N ⊥ N
⇒ N = αT + βB.
Nhân hai vế của biểu thức trên với T ta có: N , T = −α (vì T là véctơ kiểu
thời gian nên T, T = −1. Ta lại có: T = κN ⇒ T , N = κ N, N = κ.
Mặt khác:

T, N = 0 ⇒ T, N + T , N = 0 ⇒ α = κ
.
Tương tự, ta tính được β = τ . Từ đó ta suy ra: N = κT + τ B.
Bằng các phép tính tốn tương tự, ta suy ra: B = −τ N. Từ đó chúng ta có
được phương trình Frenet như sau:

T
N
B

=

0 κ 0
κ 0 τ
0 −τ 0

T
N
B

(2.3)

2. Trường hợp đường cong kiểu không gian.
Cho α là đường cong kiểu không gian. Khi đó, có 3 trường hợp xảy ra:
a. Trường hợp véctơ T (s) là kiểu không gian.
12


Ta định nghĩa hàm độ cong của α là: κ = | T’(s) |. Khi đó, tương tự trường
hợp trên, ta định nghĩa:

T (s)
và B(s) = T(s) × N(s)
κ(s)

N (s) =

. Ta cũng định nghĩa hàm độ xoắn:

τ (s) = − N (s), B(s)
Chứng minh tương tự trường hợp α là đường cong kiểu thời gian, ta có
phương trình Frenet:

T
N
B

=

T
N
B

0 κ 0
−κ 0 τ
0 τ 0

(2.4)

b. Trường hợp véctơ T (s) là kiểu thời gian.
Ta định nghĩa hàm độ cong của α là:

− T (s), T(s)

κ = |T (s)| =

. Khi đó, tương tự mục trường hợp trên, ta định nghĩa:

N (s) =

T (s)
và B(s) = T(s) × N(s)
κ(s)

. Ta định nghĩa hàm độ xoắn:

τ (s) = N (s), B(s)
Véctơ trùng pháp tuyến cũng được định nghĩa tương tự mục trên:

B(s) = T(s) × N(s)
Dễ thấy véctơ này là véctơ kiểu khơng gian.
Từ đó ta lập được phương trình Frenet:

T
N
B

=

0 κ 0
κ 0 τ
0 τ 0

T
N
B

(2.5)

c. Trường hợp véctơ T (s) là kiểu ánh sáng với mọi s.
Ta định nghĩa véctơ pháp tuyến N(s) = T (s), độc lập tuyến tính với T(s).
Khi đó, với mỗi điểm s cho trước, tồn tại duy nhất một véctơ kiểu ánh sáng
B(s) sao cho: T(s), B(s) = 1 và vng góc với N(s). Véctơ B(s) được gọi
là véctơ trùng pháp tuyến của α tại s. Phương trình Frenet:

T
N
B

=

0 1 0
0 τ 0
−1 0 −τ
13

T
N
B

(2.6)


Trong đó, τ được gọi là độ xoắn của α. Ở đây ta không định nghĩa độ cong
của α.
3. Trường hợp đường cong kiểu ánh sáng.

Cho α là đường cong kiểu ánh sáng được tham số hoá bởi tham số hoá giả
độ dài cung, nghĩa là véctơ α (s) là véctơ đơn vị. Giả sử véctơ này là thời
gian hoặc kiểu ánh sáng, khi đó, do α (s) là kiểu ánh sáng α (s), α (s) = 0,
trái với giả thiết α (s) là véctơ đơn vịnên theo định lý 1.2.2, α (s) phải là
kiểu ánh sáng, hay α (s) là véctơ đơn vị. Do đó, α (s) là kiểu không gian. Ta
xét véctơ T(s) = α (s) và định nghĩa véctơ pháp tuyến là N(s) = T (s) = 1.
Khi đó, tồn tại duy nhất một véctơ kiểu ánh sáng vng góc với N(s) sao
cho T(s), B(s) = 1.
Thật vậy, giả sử T = (a1 , a2 , a3 ). Do phép biến đổi Lorent bảo tồn tính chất
của véctơ cho nên khơng mất tính tổng qt, giả sử N = (1, 0, 0). Giả sử toạ
độ véctơ B = (x, y, z). Theo giả thiết ta có:

T, T
T, N
B, B
N, B
T, B

=
=
=
=
=

0
0 Do T, T = 0
0
0
1

1
1
,−
).
2α2 2α3
Mặt khác, hệ {T, N, B} là độc lập tuyến tính. Thật vậy, xét định thức:
Giải hệ trên, ta được: B = (0, −

T, T
N, T
B, T

T, N
N, N
B, N

T, B
N, B
B, B

0 0 1
= 0 1 0 =1
1 0 0

Do đó, hệ {T, N, B} có thể lập thành một mục tiêu.
Khi đó, bằng các phép vi phân, ta xây dựng được phương trình Frenet như
sau:

T
N

B

=

0 1 0
τ 0 −1
0 −τ 0

T
N
B

(2.7)

Trong đó, τ được gọi là độ xoắn của α. Ở đây ta cũng không định nghĩa độ
cong của α.
2.2.2

Trường hợp đường cong có tham số hố bất kỳ.

Ở mục trên chúng ta đã định nghĩa độ cong và độ xoắn của một đường
cong có vận tốc đơn vị. Tuy nhiên, khơng phải lúc nào cũng dễ dàng tìm
14


được một tham số hố để đường cong đó có vận tốc đơn vị. Do đó, chúng ta
cần có cơng thức tính độ cong và độ xoắn cho đường cong có tham số hố
bất kỳ.
Mệnh đề 2.2.1.
Cho α : I → E13 là đường cong kiểu thời gian hoặc kiểu khơng gian trong

khơng gian Minkowski E13 có tham số hố α(t) bất kỳ. Khi đó, độ cong và
độ xoắn của α lần lượt là:

|α (t) × α (t)|
|α (t)|3

(2.8)

det(α (t), α (t), α (t))
|α (t) × α (t)|2

(2.9)

κα (t) =
τα (t) =

Chứng minh. Giả sử r : s −→ r(s) là tham số hố tự nhiên của α. Ta có:

α(t) = r.λ(t)

(với λ(t) = s)

α (t) = rλ .λt = λ (t).T
α (t) = λ (t).T + λ (t).Tt = λ (t).T + λ (t).λ (t).T = λ (t).T + κ.λ (t)2 .N
Ta có:

α × α = (λ .T) × (λ T + κλ 2 .N) = κ.λ 3 .T × N = κ.λ 3 .B
Từ đó suy ra:|α × α | = κ|α 3 | ⇒ κ =

|α × α | |α (t) × α (t)|

=
.
|λ 3 |
|α(t) 3 |

Công thức (2.9) chứng minh tương tự.

2.3

Đường xoắn ốc trong E13 .

Trong không gian Euclide, một đường xoắn ốc là một đường cong trong
đó tiếp tuyến tại mọi điểm tạo một góc khơng đổi với một phương cố định.
Phương này được gọi là trục của đường xoắn ốc. Năm 1802, nhà toán học
Lancret đã chỉ ra rằng: Một đường cong là đường xoắn ốc khi và chỉ khi tỉ số
τ /κ là một hàm hằng. Chẳng hạn các đường cong phẳng là các đường xoắn
ốc. Một đường xoắn ốc có độ cong và độ xoắn không đổi được gọi là đường
xoắn ốc trụ.
Chúng ta sẽ mở rộng khái niệm này cho không gian Minkowski. Tuy nhiên
trong không gian Minkowski không định nghĩa góc giữa các véctơ, thay vào
đó ta xét hàm số T, v , với v là một phương cố định. Ta có định nghĩa:
Định nghĩa 2.3.1. Cho α là một đường cong chính quy và v = 0 là một
véctơ có phương khơng đổi trong E13 . Gọi T(s) là véctơ tiếp tuyến của α tại
15


s. Nếu T(s), v là hàm hằng thì α được gọi là đường xoắn ốc. Mọi đường
thẳng có phương song song với phương của v đều được gọi là trục của đường
xoắn ốc.
Ta giả thiết các đường cong không phẳng.

Định lý 2.3.1. (xem [3])
Cho α là một đường cong kiểu khơng gian hoặc kiểu khơng gian trong E13 .
Khi đó:
1. Nếu α là đường xoắn ốc thì hàm τ /κ là một hàm hằng.
2. Nếu α có véctơ pháp tuyến là kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng và hàm
τ /κ là một hàm hằng thì α là đường xoắn ốc.
Chứng minh.
1. Xét các trường hợp:

• Trường hợp α là đường cong kiểu khơng gian. Khi đó, có ba khả năng
của véctơ T .
- T là véctơ kiểu không gian. Đạo hàm hai vế của biểu thức T, v = c,
ta có: T , v = 0, ta có: κ T, v = 0. Suy ra κ T, v = 0. Khi đó,
tồn tại các hàm hằng a, b sao cho v = aT + bB. Đạo hàm hai vế theo
tham số s ta có: a.T + b.B = 0. Mặt khác, theo cơng thức (2.4) ta
có: T = κN và B = τ N. Do đó ta suy ra: aκ + bτ = 0. Ta có điều
phải chứng minh.
- T là véctơ kiểu thời gian. Chứng minh hoàn toàn tương tự.
- T là véctơ kiểu ánh sáng. Đạo hàm hai vế của biểu thức T, v = c,
ta có: T , v = 0, ta có: κ T, v = 0. Suy ra κ T, v = 0. Khi đó, tồn
tại các hàm số a, b sao cho v = aT+bB. Đạo hàm hai vế theo tham số
s ta có: a.T +b.B = 0. Mặt khác, theo cơng thức (2.6) ta có: T = N
và B = −T − τ B. Do đó ta suy ra: (a − b)T + aN + (b − τ b)B = 0.
Điều này kéo theo a = b = 0, và từ đó ta có v = 0. (mâu thuẫn)

• Trường hợp α là đường cong kiểu thời gian hoàn toàn tương tự với khả
năng thứ nhất của trường hợp trên (cả α và T là kiểu không gian).
2. Giả sử rằng τ = cκ, c ∈ R. Ta chỉ xét trường hợp đường cong là kiểu thời
gian. Ta định nghĩa hàm véctơ cho bởi công thức:

v(s) = cT(s) + B(s).
Đạo hàm hai vế theo s ta có:

v (s) = cT (s) + B (s) = cκN(s) − τ N(s) = 0
Nghĩa là v là hàm hằng. Mặt khác: T, v = c, theo định nghĩa ta có α là
đường xoắn ốc.
16


Chương 3

Đường cong slant helix trong không
gian Minkowski E13
Ở chương trước chúng ta đã biết về đường xoắn ốc (helix) là các đường
cong trong đó tiếp tuyến tại mọi điểm tạo một góc khơng đổi với một phương
cố định. Gần đây, người ta đã nghiên cứu một đường cong mới trong không
gian Euclide tương tự như đường xoắn ốc ở trên, đó là đường cong slant
helix. Đó là các đường cong có pháp tuyến tại mọi điểm tạo một góc không
đổi với một phương cố định. Chúng ta sẽ mở rộng khái niệm này cho không
gian Minkowski E13 và khảo sát một số tính chất của nó.

3.1

Đường cong slant helix

3.1.1

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 3.1.1. Cho α là đường cong có vận tốc đơn vị. Khi đó, α được

gọi là slant helix nếu tồn tại một trường véctơ hằng U ∈ E13 sao cho hàm
N(s), U là hàm hằng.
Ví dụ 3.1.1.

s
s
s
1. Đường xoắn ốc α(s) = (a , b sinh , b cosh ), s ∈ R, a > 0, a = 0 với
c
c
c
2
2
2
c = a + b là slant helix.
s b
s
a b
Chứng minh. Thật vậy, ta có: α (s) = ( , cosh , sinh ) Đó cũng chính
c c
c c
c
là toạ độ của trường véctơ tiếp tuyến T. Từ đó ta tính toạ độ của trường
véctơ pháp tuyến:
N(s) =

α (s)
b
s b
s

= (0, 2 sinh , 2 cosh )
|α (s)|
c
c c
c

Chọn U = (1, 0, 0), ta có: N(s), U = 0 là hàm hằng với mọi s.

17


3.1.2

Các tính chất.

Định lý 3.1.1. (xem [4])
Cho α là đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị. Khi đó, α là đường
cong slant helix khi và chỉ khi một trong hai hàm số:

τ
κ2
(τ 2 − κ2 )3/2 κ

hoặc

κ2
τ
(κ2 − τ 2 )3/2 κ

(3.1)

là hằng số tại mọi điểm mà κ2 − τ 2 không triệt tiêu.
Chứng minh.
Cho α là đường cong kiểu thời gian trong E13 . Trường mục tiêu Frenet
{T, N, B} của α được cho bởi:

T(s) = α (s),

N(s) =

α (s)
,
|α (s)|

, B(s) = T(s) × N(s)

Khi đó, phương trình Frenet là:

T (s)
N (s)
B (s)

0
κ(s) 0
−κ(s) 0 τ (s)
0
τ (s) 0

=

T(s)
N(s)
B(s)

(3.2)

trong đó κ và τ lần lượt là độ cong và độ xoắn của α. Để chứng minh định
lý 3.1.1, trước hết ta giả sử α là đường cong Slant helix. Cho U là trường
véctơ hằng sao cho hàm N(s), U = c là hàm hằng với mọi s. Khi đó, tồn
tại các hàm khả vi a1 và a3 sao cho:

U = a1 (s)T(s) + cN(s) + a3 (s)B(s), s ∈ I.

(3.3)

Do U là véctơ hằng, đạo hàm phương trình (3.3), ta có:

a1 + c.κ = 0
κa1 − τ a3 = 0
=0
a3 + cκ
Từ phương trình thứ 2 của hệ (3.4) trên ta rút:
τ
a1 = a3
.
κ

(3.4)

(3.5)

Mặt khác:

U, U = −a21 + c2 + a23 = contant
Kết hợp (3.5) và (3.6) ta có:

.m2 := a31

τ
κ

2

− 1 , m > 0, ∈ {−1, 0, 1}.

18

(3.6)


Nếu = 0 thì a3 và từ (3.4) ta có: a1 = c = 0, nghĩa là U = 0. Do đó,
hoặc = −1 và do đó τ 2 − κ2 = 0. Do vậy:
m
m
trên I
hoặc a3 = ±
a3 = ±
τ 2
τ 2
−1

1− κ
κ
Từ phương trình thứ 3 của (3.4) ta có:




d 
±
ds

m
1−

τ 2
κ


 = cτ

hoặc

d 
±
ds

=1



m
τ 2
κ

−1


 = −cτ

trên I

Do đó ta có thể viết:

τ
κ2
(τ 2 − κ2 )3/2 κ

c
=±
m

hoặc

κ2
τ
(κ2 − τ 2 )3/2 κ

=

c

m

Từ đó ta biểu thức (3.1) được chứng minh.
Ngược lại, giả sử rằng (3.1) đã thoả mãn. Bằng các tính tốn đơn giản, ta
giả sử rằng hàm đầu tiên trong công thức (3.1) là hàm hằng, gọi là c. Ta
định nghĩa:
τ
κ
U=√
T + cN + √
B
(3.7)
τ 2 − κ2
τ 2 − κ2
Đạo hàm hai vế của (3.7), ta có:

τ
dU
−κ3
=
ds
(τ 2 − κ2 )3/2 κ

τ
τ
τ.κ2
.T+ √
T +cN + 2
(τ − κ2 )3/2 κ
τ 2 − κ2

.B+ √

κ
B
τ 2 − κ2

Áp dụng phương trình Frenet (2.3) ta có:

τ
−κ3
dU
=
ds
(τ 2 − κ2 )3/2 κ

.T + √

τ.κ2
τ
+ 2
(τ − κ2 )3/2 κ

τ
.κN + c.κT + c.τ B
τ 2 − κ2

κ
τN = 0
τ 2 − κ2

Từ đó suy ra U là hàm hằng. Mặt khác, N(s), U = 1, theo định nghĩa ta
có α là slant helix. Định lý được chứng minh.
.B − √

Nhận xét: Trong định lý 3.1.1, ta cần giả thiết rằng hàm τ 2 − κ2 không
triệt tiêu tại mọi điểm. Ta không biết kết quả sẽ thế nào nếu nó triệt tiêu tại
một vài điểm. Giả sử đường cong kiểu ánh sáng α có độ cong κ và độ xoắn τ
thoả mãn τ 2 (s) − κ2 (s) = 0 tại mọi s ∈ I . Ta chứng minh α là đường cong
slant helix. Thật vậy, ta định nghĩa U = T(s) + B(s), khi đó U là hàm hằng
số do (3.2). Mặt khác, N, U = 0, nghĩa là α là đường cong slant helix.
19


Định lý 3.1.2. (xem [4])
Cho α là một đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị trong E13 .
1. Nếu véctơ pháp tuyến của α là véctơ kiểu khơng gian, khi đó, α là đường
cong slant helix khi và chỉ khi một trong hai hàm sau:

κ2
τ
2
2
3/2
κ
(τ − κ )

hoặc

κ2
τ

2
2
3/2
κ
(κ − τ )

(3.8)

là hằng số tại mọi điểm mà κ2 − τ 2 không triệt tiêu.
2. Nếu véctơ pháp tuyến của α là véctơ kiểu thời gian, khi đó, α là đường
cong slant helix khi và chỉ khi một trong hàm:

κ2
τ
(τ 2 + κ2 )3/2 κ

(3.9)

là hằng số.
3. Nếu véctơ pháp tuyến của α là véctơ kiểu ánh sáng, khi đó, α là đường
cong slant helix.
Chứng minh.
Cho α là đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị trong E13 .
Trong trường hợp véctơ N(s) của α là véctơ kiểu không gian hoặc kiểu
thời gian, chứng minh định lý 3.1.2 hoàn toàn tương tự như chứng minh định
lý 3.1.1.
Trong trường hợp véctơ N(s) của α là véctơ kiểu sáng với mọi s ∈ I . Khi
đó, trường mục tiêu Frenet là: T(s) = α (s), N(s) = T (s) và B(s) là véctơ
kiểu ánh sáng duy nhất vuông góc với T(s) sao cho N(s), B(s) = 1. Khi
đó, phương trình Frenet của α là:

0
1
0
T (s)
T(s)
0
τ
(s)
0
N (s) =
N(s)
(3.10)
−1 0 −τ (s)
B (s)
B(s)
với τ là độ xoắn của α. Ta sẽ chỉ ra rằng mọi đường cong như vậy đều là
slant helix. Cho α2 (s) là nghiệm của không tầm thường của phương trình
y (s) + τ (s).y(s) = 0. Ta định nghĩa hàm U = α2 (s)N(s). Đạo hàm hai vế
rồi Sử dụng phương trình Frenet (3.10), ta được: dUds(s) = 0, nghĩa là U là
một trường véctơ hằng trong E13 . Mặt khác: N(s), U = α2 (s) N(s), N = 0,
điều này chỉ ra rằng α là slant helix.
Định lý 3.1.3. (xem [4])
Cho α là một đường cong kiểu ánh sáng có vận tốc đơn vị trong E13 . Khi đó,
α là đường cong slant helix khi và chỉ khi hàm độ xoắn của α thoả mãn:
a
τ (s) =
,
(3.11)
(bs + c)2
20

trong đó a, b và c là các hằng số, với bs + c = 0.
Chứng minh.
Cho α là một đường cong kiểu ánh sáng có vận tốc đơn vị trong E13 . T(s) =
α (s), N(s) = T (s) và B(s) là véctơ kiểu ánh sáng duy nhất vuông góc
với T(s) sao cho T(s), B(s) = 1.
Khi đó, phương trình Frenet của α là:

T (s)
N (s)
B (s)

=

0
1
0
τ (s)
0
0
0 −τ (s) 0

T(s)
N(s)
B(s)

(3.12)

với τ là độ xoắn của α. Giả thiết α có độ xoắn khác khơng ở mọi điểm.

Giả sử rằng là α là đường cong slant helix. Cho U là là trường véctơ hằng
sao cho hàm N(s), U = c là hàm hằng. Tương tự như trong chứng minh
định lý 3.1.1, ta có:

U = a1 (s)T(s) + cN(s) + a3 (s)T(s), s ∈ I
và

a1 + c.τ = 0
κa1 − τ a3 = 0
a3 − c = 0

(3.13)

Từ phương trình thứ ba của (3.13) ta suy ra: a3 (s) = cs + m, m ∈ R và
a1 = (cs + m)τ . Sử dụng phương trình thứ nhất của (3.13), ta có: (cs +
m)τ + 2cτ = 0. Giải hệ phương trình vi phân này ta được:
n
τ (s) =
(cs + m)2
với m và n là các hằng số. Nghĩa là (3.11) được chứng minh.
Ngược lại, nếu điều kiện (3.11) được thoả mãn, ta xét:
a
U=
T(s) + bN(s) + (bs + c)B(s).
bs + c

dU (s)
= 0 nghĩa là U là
ds
trường véctơ hằng trong E13 . Mặt khác, N(s), U = b. Vậy, α là slant helix.

Sử dụng phương trình Frenet (3.12), ta có được

Nhận xét 3.1.1. Chứng minh trên đã cho ta cách xác định trục của đường
slant helix thông qua trường mục tiêu Frenet:
a
U=
T(s) + bN(s) + (bs + c)B(s).
bs + c
Hệ quả 3.1.1. Cho α : I → E13 là một đường cong có vận tốc đơn vị. Cho α
là một đường cong kiểu không gian hoặc kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến
21


là véctơ kiểu không gian và κ2 − τ 2 = 0. Gọi β là đường cong phẳng được
định nghĩa như sau:

β : I → E12

với

β(s) =

κds,

τ ds

Khi đó, α là đường cong slant helix khi và chỉ khi β là đường cong phẳng có
độ cong hằng số.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát, giả sử κ2 > τ 2 . Khi đó, độ cong
của β là κβ thoả mãn:

−κ2β (s) =

1
2
2
6 |β (s)| |β (s)| − β (s), β (s)
|β (s)|

2

.

(3.14)

Từ giả thiết ta có: β (s) = (κ, τ ), suy ra: β (s) = (κ , τ ). Sử dụng tích
Lorent của khơng gian E12 , ta có các kết quả sau:
2

2

|β (s)| = | β (s), β (s) | = κ2 −τ 2 , |β (s)| = κ 2 −τ 2 , β (s), β (s)

2

= (κκ −τ τ )2 .

Thay vào (3.14) ta có:

κ2

τ
κβ (s) = ± 2
(κ − τ 2 )3/2 κ

(3.15)

Khi đó, theo định lý 3.1.1, hàm độ cong κβ là hàm hằng khi và chỉ khi α là
đường slant helix.
Chứng minh hoàn toàn tương tự trong trường hợp β là đường cong phẳng
trong khơng gian Euclide E 3 , do đó ta có được hệ quả sau:
Hệ quả 3.1.2. Cho α : I → E13 là một đường cong kiểu không gian có vận
tốc đơn vị với véctơ pháp tuyến là véctơ kiểu thời gian và κ2 − τ 2 = 0. Gọi
β là đường cong phẳng được định nghĩa như sau:

β : I → E2

với

β(s) =

κds,

τ ds

Khi đó, α là đường cong slant helix khi và chỉ khi β là đường tròn trong
phẳng Euclide E2 .

3.2

Chỉ đồ và đường thân khai của đường slant helix.

Trong mục này, ta nghiên cứu các tính chất đường slant helix thơng qua
các chỉ đồ và đường thân khai của chúng. Ở đây ta chỉ xét các đường cong
kiểu không gian hoặc các đường cong kiểu thời gian có véctơ pháp tuyến là
véctơ kiểu thời gian hoặc kiểu không gian.
22


3.2.1

Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 3.2.1. Cho α : I → E13 là đường cong có vận tốc đơn vị. Gọi
T : I → E13 là đường cong trong E13 sao cho T(s) là véctơ tiếp tuyến của α
tại s. Khi đó, T được gọi là chỉ đồ tiếp xúc của α.
Định nghĩa 3.2.2. Cho α : I → E13 là đường cong có vận tốc đơn vị. Gọi
N : I → E13 là đường cong trong E13 sao cho N(s) là véctơ pháp tuyến của
α tại s. Khi đó, N được gọi là chỉ đồ pháp tuyến của α.
Định nghĩa 3.2.3. Cho α : I → E13 là đường cong có vận tốc đơn vị. Gọi
B : I → E13 là đường cong trong E13 sao cho B(s) là véctơ trùng pháp tuyến
của α tại s. Khi đó, B được gọi là chỉ đồ trùng pháp tuyến của α.
Định nghĩa 3.2.4. Ký hiệu H2 = {x ∈ E13 ; x, x = −1} là mặt Hyperbolic
và S2 = {x ∈ E13 ; x, x = 1} là mặt De Sitter.
Khi đó, ảnh của một đường cong lên H2 hoặc S2 gọi là chỉ đồ cầu của
đường cong đó.
Định nghĩa 3.2.5. Cho α : I → E13 là một đường cong bất kỳ. Ta gọi đường
thân khai của α là đường cong β : I → E13 thoả mãn: với mỗi s ∈ I , điểm
β(s) nằm trên đường tiếp tuyến của α tại s và α (s), β (s) = 0.
Nhận xét 3.2.1. Nếu α là đường cong kiểu khơng gian hoặc kiểu thời gian,
khi đó, phương trình của đường thân khai là β(s) = α(s) + (c − s)T(s),

trong đó c là hằng số và T là véctơ tiếp tuyến đơn vị của α.
3.2.2

Các tính chất. (Xem [4])

Định lý 3.2.1. Cho α là đường cong có vận tốc đơn vị kiểu không gian hoặc
kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến là véctơ kiểu không gian hoặc kiểu thời
gian. Khi đó, nếu α là slant helix trong E13 thì chỉ đồ tiếp xúc T của α đường
xoắn ốc.
Chứng minh.
Ta ký hiệu độ cong và độ xoắn của T lần lượt là κT và τT . Để chứng minh
T là đường xoắn ốc trong E13 , ta sẽ chứng minh tỉ số τT /κT là hàm hằng. Ta
nhận thấy tham số hố của T khơng phải là tham số hoá độ dài cung. Trong
trường hợp tổng quát, nếu đường cong β(t) được tham số hố bất kỳ khơng
phải tham số hố độ dài cung thì cơng thức tính độ cong và độ xoắn là:

κ2β (t)

|β (t)|2 |β (t)|2 − β (t), β (t) 2
det(β (t), β (t), β (t))
=
,
τ
(t)
=
−
,
β
|β (t)|6
κβ (t)2 |β (t)|6

Trong đó, là 1 hoặc -1 ứng với trường hợp β (t) là véctơ kiểu không gian
hoặc kiểu thời gian.
23


Giả thiết rằng α là đường cong với véctơ pháp tuyến N là kiểu không gian
hoặc kiểu thời gian. Ký hiệu 0 = 1-1 tương ứng với trường hợp N là kiểu
khơng gian hoặc kiểu thời gian. Khi đó, chỉ dồ tiếp tuyến T là đường cong
kiểu không gian hoặc kiểu thời gian. Trong cả hai trường hợp:
τ
κ
1
τ
κ2T = 2 κ2 − 0 τ 2 , det (T , T , T ) = 0 κ5
, τT = 0 2 κ 2
κ
κ
κ − 0τ
Trong trường hợp α là đường cong kiểu thời gian, khi đó T là kiểu khơng
gian và:
τ
κ
τ
1
, τT = 2 κ 2
κ2T = − 2 κ2 − τ 2 , det (T , T , T ) = −κ5
κ
κ
κ −τ

Từ đó ta có:
τ
τ
κ2
κ2
τT
τ
T
κ
κ
= 0
=
,
hoặc
3/2
2
2
2
κT
κ
T
(κ − 0 τ )
(τ − κ2 )3/2
Theo định lý 3.1.1 và 3.1.2 tỷ số κτTT là hằng số. Điều này nghĩa là T là đường
xoắn ốc và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3.2.2. Cho α là đường cong có vận tốc đơn vị kiểu không gian hoặc
kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến là véctơ kiểu không gian hoặc kiểu thời
gian. Khi đó, nếu α là slant helix trong E13 thì chỉ đồ trùng pháp tuyến B
của α đường xoắn ốc. (spherical helix).
Chứng minh.

Tính tốn tương tự như trong chứng minh của định lý 3.2.1. Ta viết κβ và
τβ tương ứng là độ cong và độ xoắn của đường cong B.
Xét trường hợp α là đường cong kiểu không gian. Khi đó chỉ đồ trùng pháp
tuyến B là đường cong kiểu không gian hoặc kiểu thời gian,tương ứng với N
là kiểu thời gian hoặc kiểu không gian.

κ2
κ2 − 0 τ 2
2 3 τ
, det(B , B , B ) = 0 κ τ
, τB =
=
τ2
κ
τ (κ2 − 0 τ 2
Trong đó 0 = 1 hoặc -1 ứng với N là kiểu không gian hoặc kiểu thời
Nếu α là kiểu thời gian, khi đó B là kiểu khơng gian. Ta có:
κ2 − τ 2
κ2
τ
2
2 3 τ
κB =
,
det(B
,
B
,
B
)

=
κ
τ
,
τ
=
B
τ2
κ
τ (κ2 − τ 2 κ
κ2B

Do đó ta có:

τ
τB
κ
= δ(τ )
,
2
κB
(κ − 0 τ 2 )3/2
κ2

τ
τB
κ
= δ(τ )
2
κB

(κ − τ 2 )3/2
κ2

hoặc
24

τ
,
κ
gian.

,


Trong đó δ là 1 hoặc -1 tương ứng với khả năng τ dương hay âm. Trong cả
τB
hai trường hợp, sử dụng các công thức (3.1), (3.8) và (3.9) ta có tỉ số
là
κB
hằng số, điều này chứng tỏ rằng chỉ đồ trùng pháp tuyến B là đường xoắn
ốc trong E13 .
Định lý 3.2.3. Cho α là đường cong có vận tốc đơn vị kiểu không gian hoặc
kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến là véctơ kiểu không gian hoặc kiểu thời
gian. Cho β là đường thân khai của α. Khi đó, α là đường cong slant helix
khi và chỉ khi β là đường xoắn ốc.
Chứng minh.
Ký hiệu κβ và τβ tương ứng là độ cong và độ xoắn của đường cong β
Nếu α là đường cong kiểu thời gian

κ2β

τ 2 − κ2
=
,
κ2 (c − s)2

Khi đó:

τβ = −

τ
κ
(c − s) (τ 2 − κ2 ) κ

κ2
τ
τβ
=− 2
κβ
(τ − κ2 )3/2 κ

(3.16)

Nếu α là đường cong kiểu khơng gian, khi đó:

κ2β
và:

κ2 − 0 τ 2
κ

τ
=
τ
=
β
(c − s) (κ2 − 0 τ 2 ) κ
κ2 (c − s)2
κ2
τβ
τ
= 2
κβ
(κ − 0 τ 2 )3/2 κ

(3.17)

Trong đó 0 là 1 hoặc -1 tương ứng với véctơ N là kiểu không gian hoặc
thời gian. Từ (3.16) và (3.17) và định lý 3.1.1, 3.1.2 ta có điều phải chứng
minh.

25