Quan hệ thứ tự trên một số lớp nửa nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN

NGUYỄN THỊ BẢO

QUAN HƯ THø Tù
TR£N MéT Sè LíP NưA NHãM

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

VINH - 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN

QUAN HƯ THø Tù
TR£N MéT Sè LíP NưA NHã M

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Lê Quốc Hán

VINH - 2012


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU ...............................................................................................................................1
Chương 1. QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN CÁC NỬA NHĨM LŨY ĐẲNG GIAO HỐN
1.1. NỬA NHĨM. NỬA NHÓM CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP ..............................3
1.2. THỨ TỰ TỰ NHIÊN TRÊN CÁC NỬA NHĨM LŨY ĐẲNG GIAO
HỐN. BĂNG CHỮ NHẬT. .......................................................................................8
Chương 2.THỨ TỰ TỰ NHIÊN TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC...................................14
2.1. NỬA NHĨM CHÍNH QUY. NỬA NHĨM NGƯỢC. ..............................................14
2.2. QUAN HỆ THỨ TỰ TỰ NHIÊN TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC .............................22
KẾT LUẬN .........................................................................................................................25
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................26

3


MỞ ĐẦU
Trong cuốn “Lý thuyết nửa nhóm” của A. H. Cliphơt và G. B. Presơn
(xem [1], trang 47-49), một quan hệ thứ tự trên các nửa nhóm lũy đẳng
S=E(S) đã được thiết lập: e  f  ef = fe = e . Tuy nhiên, một quan hệ thứ tự

tương tự trên nửa nhóm S tùy ý cho đến nay vẫn chưa được phát hiện.
Dựa trên cuốn “Fudamentals of Semigroup Theory”của J. M. Howie
(xem [4]), chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự trên nửa nhóm ngược. Quan hệ
thứ tự này không chỉ là mở rộng của quan hệ thứ tự đã xác lập ở trên, mà còn
làm cho nửa nhóm ngược trở thành nửa nhóm sắp thứ tự được.
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của khóa
luận được chia thành hai chương:
Chương 1. Quan hệ thứ tự trên các nửa nhóm giao hốn
Trong chương này chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự trên một tập, quan
hệ thứ tự tự nhiên trên nửa nhóm giao hốn và một số vấn đề liên quan đến
băng giao hoán.

Chương 2. Thứ tự tự nhiên trên nửa nhóm ngược
Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày một số lớp nửa nhóm
chính quy: nửa nhóm ngược, nhóm phải, nửa nhóm chính quy suy rộng. Sau
đó trình bày thứ tự tự nhiên trên nửa nhóm ngược.
Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ
lòng cảm ơn sâu sắc nhất đối với thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý
thiết thực cho tác giả trong q trình hồn thành khóa luận. Đồng thời tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy, cơ giáo
trong khoa Tốn, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng

1


dạy và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập. Xin cảm ơn tập thể 49A Toán
đã động viên tơi trong thời gian làm khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên
khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự
chỉ bảo góp ý của thầy cơ và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2012
Tác giả

2


Chương 1

QUAN HỆ THỨ T�1 .

2.2.4. Định nghĩa. Nửa nhóm S gọi là sắp thứ tự được nếu trên S xác

định được quan hệ thứ tự tương thích.
2.2.5. Hệ quả. Nửa nhóm ngược S là nửa nhóm sắp thứ tự được.
2.2.6. Nhận xét. i) Nếu S là một nhóm thì quan hệ thứ tự tự nhiên xác
định như trên quy về quan hệ bằng nhau.
ii) Nếu S là một nửa dàn thì quan hệ thứ tự tự nhiên xác định như trên
trùng với quan hệ trên một nửa dàn: x  y nếu và chỉ nếu x=xy .
Nếu S là một nửa nhóm lũy đẳng giao hốn thì quan hệ trên E(S) = S
chính là quan hệ đã thiết lập trong 1. 2
iv) Nếu S=IX là nửa nhóm ngược đối xứng thì quan hệ



cho

bởi

   nếu và chỉ nếu    . Ở đây ta hình dung  và  như là các tập con

của X . X , và    nếu và chỉ nếu  là cái thu hẹp của  , nghĩa là
dim  dim  và  (x)= (x),x  dim trong đó dim  và dim  là miền xác

định của  và  tương ứng.
2.2.7. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm ngược với nửa dàn E các
lũy đẳng, và giả sử a, b  S . Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
(1) a  b

(2) e  E : a  be

(3) aa -1  ba1

(4) aa -1  ab1
23


(5) a -1a  b1a

(6) a -1a  a 1b

(7) a  ab1a

(8) a  aa 1b.

Chứng minh. Chúng ta chỉ chứng minh một số điều kiện cần thiết:
(1)  (3)  (7).
(1)  (3) . Giả thiết rằng a  eb, trong đó e  E (S ) .

Thế thì aa -1  ebb1e  bb1e  b(eb)1  ba 1.
(3)  (7) . Giả thiết rằng aa -1  ba 1 . Thế thì a -1  a1aa1  a1ba 1 . Từ đó

a  (a 1 )1  (a1ba 1 )1  ab1a.
(7)  (1) .

Giả sử

a  ab1a .

Thế thì

(ab1 )2  ab1ab1  ab1

ab1  E (S ) . Từ đó a  eb với e  ab1  E (S ) , nên a  b.

nên



2.2.8. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và H là một tập con của
S . Bao đóng H  của H trong S được xác định bởi H  s  S : (h  H )h  s .

Thuật ngữ “bao đóng” dựa trên các tính chất sau đây (mà ta có thể kiểm
tra trực tiếp được): H  H, H  K  H  K,( H)  H với H và K là
các tập con của S .
Tập con H được gọi là đóng nếu H  H .
Rõ ràng rằng khơng phải mỗi nửa nhóm con của nửa nhóm ngược đều
là nửa nhóm ngược. Một nửa nhóm con H của nửa nhóm ngược S là nửa
nhóm ngược nếu và chỉ nếu (x  S ) x  H  x1  H .
Trong trường hợp này ta nói rằng S là nửa nhóm con ngược của S .
2.2.9. Mệnh đề. Nếu H là một nửa nhóm con ngược của nửa nhóm
ngược S thì H  là nửa nhóm con ngược đóng của S .
Chứng minh. Vì ( H)  H nên H  đóng trong S . Giả sử x, y  H .
Thế thì theo định nghĩa 2.2.8 tồn tại h, k  H sao cho x  h, y  k. Vì H  H
nên xy  hk  H và do đó xy  H . Như vậy H là nửa nhóm con của S . Bây
giờ giả sử x  H , thế thì tồn tại h  H sao cho x  h . Nhưng khi đó
x1  h1  H , nên x 1  H  . Vậy H  là nửa nhóm con ngược của S .

24



KẾT LUẬN
Dựa trên các tài liệu tham khảo, khóa luận đã hồn thành các việc sau:
- Trình bày thứ tự trên một tập tùy ý và thứ tự trên nửa nhóm lũy đẳng.
- Trình bày khái niệm băng chữ nhật và chứng minh các đặc trưng của
nó (Định lý 1.2.12).
- Trình bày các khái niệm: Nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược,
nhóm phải và chứng minh các đặc trưng của chúng (Định lý 2.1.7, Định lý
2.1.14).
- Trình bày thứ tự tự nhiên trên nửa nhóm ngược và các tính chất của
chúng (Hệ quả 2.2.5, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.9).

25


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] A. H. Cliphơt và G. B. Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), Bản
dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học
chuyên nghiệp, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội.
[3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm và lý thuyết nhóm,
Trường Đại Học Vinh.

Tiếng Anh
[4] J.M.Howie (1995), Fundaments of Semingroup Thery ,Oxford University
Prees Inc, New York.

26