Môđun noether và sự phân tích nguyên sơ

-1-

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ VĂN LC

MễUN NOETHER
V S PHN TCH NGUYấN S

Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S
Mó s: 60.46.05
luận văn thạc sĩ toán häc

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An, 12 . 2011


-2-

MỤC LỤC
Mục lục

1

Mở đầu

2

1. Một số tính chất cơ bản của vành và mơđun Noether

4

1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản. .................................................... 4
1.2 Địa phƣơng hóa của mơđun Noether. .............................................. 14
1.3 Một số tính chất của iđêan trong vành Noether ................................ 15
1.4 Tính Noether của vành đa thức. ....................................................... 18
1.5 Mối liên hệ giữa tính Noether, Artin của vành và mơđun ................ 23

2. Sự phân tích ngun sơ của mơđun Noether

29

2.1 Mơđun con ngun sơ và phân tích nguyên sơ. ................................ 29
2.2 Iđêan nguyên tố liên kết ................................................................... 38

Kết luận

50

Tài liệu tham khảo

51


-3-

MỞ ĐẦU
Nhằm mục đích chứng minh Định lí lớn Fermat, Ernst Kummer đã xem

xét phƣơng trình Fermat trong một lớp vành thực sự chứa vành số nguyên

.

Trên lớp vành mới này, ông đã gặp phải hiện tƣợng không duy nhất trong
phân tích một phần tử thành các nhân tử bất khả quy. Đến khoảng giữa thế kỷ
XIX, Carl Friedrich Gauss và Dirichle đã chỉ ra rằng sự phân tích của các
[] (với  là một căn nguyên thủy

phần tử không khả nghịch trong vành

bậc n của đơn vị) thành các nhân tử bất khả quy nói chung là khơng duy nhất.
Nhƣ vậy, Định lý cơ bản của Số học không còn đúng trong nhiều lớp vành
các số đại số. Để khắc phục khó khăn đó, năm 1879, Richard Dedekin đã đƣa
ra khái niệm iđêan, và ông đã cùng Heinrich Weber sử dụng khái niệm iđêan
trong vành đa thức để nghiên cứu các đƣờng cong đại số mở đầu cho Hình
học Đại số hiện đại. Đặc biệt vào năm 1905, trong một bài báo có tên “ Zur
theorie der moduln und ideale” đƣợc cơng bố trên tạp chí Annalen, Emanuel
Lasker đã đƣa ra khái niệm iđêan nguyên sơ và chứng minh sự tồn tại của
phân tích nguyên sơ trong vành đa thức.
Đến năm 1921, trong bài báo “ Idealtheorie in ring bereichen”, Emmy
Noether đã nghiên cứu mơđun M thỏa mãn tính chất: mọi dãy tăng các môđun
con của M đều dừng (M chính là mơđun Noether, nhƣ tên gọi sau này) và
chứng minh sự tồn tại phân tích nguyên sơ của môđun con N của M; tức là N
biểu diễn đƣợc dƣới dạng
N = Q1

Q2 ...

Qr

trong đó Qi là mơđun con pi-nguyên sơ, i = 1,..., r. Định lý này đƣợc biết đến
với tên gọi Định lý Lasker - Noether, là tổng quát hóa Định lý cơ bản trong Số
học. Ý nghĩa hình học của Định lý phân tích ngun sơ cho iđêan là: Mỗi tập
đại số afin đều được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập đại số
afin bất khả quy.


-4Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lại
khái niệm và một số tính chất cơ bản của mơđun Noether trên vành giao hốn;
đặc biệt là sự tồn tại phân tích ngun sơ của nó. Với mục đích đó, Luận văn
đƣợc chia làm 2 chƣơng.
Chƣơng 1: Một số tính chất cơ bản của vành và mơđun Noether. Trong
chƣơng này chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản
của vành và môđun Noether, đặc biệt là mối liên hệ của nó với vành và
mơđun Artin.
Chƣơng 2: Sự phân tích ngun sơ của mơđun Noether. Trong chƣơng
này chúng tơi trình bày sự phân tích ngun sơ của mơđun Noether và iđêan
trong vành Noether, iđêan nguyên tố liên kết của mơđun Noether.
Luận văn đƣợc hồn thành tại trƣờng Đại học Vinh dƣới sự hƣớng dẫn tận
tình, chu đáo, nghiêm khắc của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả
xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến cô. Tác giả trân trọng cảm ơn
các thầy cô giáo trong Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn học và Khoa Đào tạo Sau
đại học thuộc Trƣờng Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ cho tác
giả hoàn thành Luận văn này cũng nhƣ nhiệm vụ học tập và nghiên cứu trong
chƣơng trình đào tạo sau đại học. Tác giả cũng xin đƣợc cám ơn Trƣờng Đại
học Sài Gòn, Ban giám hiệu Trƣờng THPT Nguyễn Hiền, đồng nghiệp, các
bạn học viên Cao học Khóa 17 và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong q trình học tập.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhƣng Luận văn khơng tránh khỏi những hạn

chế, thiếu sót. Tác giả mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy
cô giáo và bạn đọc để Luận văn ngày càng hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác giả


-5-

CHƢƠNG 1.

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
CỦA VÀNH VÀ MƠĐUN NOETHER

Lớp các vành (tƣơng ứng môđun) Noether là lớp vành (tƣơng ứng mơđun)
quan trọng, mang đậm dấu ấn của Hình học và Số học. Trong chƣơng này,
chúng tơi trình bày về định nghĩa và một số tính chất cơ bản của mơđun và
vành Noether, một số liên hệ giữa tính Noether và Artin của vành và mơđun.
Trong tồn bộ Luận văn, các vành đƣợc nhắc đến là vành giao hoán và có
đơn vị 1 ≠ 0.

1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
1.1.1. Định nghĩa. (i) Cho R là một vành và M là một R-môđun. M đƣợc gọi
là một R-môđun Noether nếu mọi dãy tăng các R-môđun con của M:
0 = M0  M1  M2  ...
đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho Mn = Mk, n  k.
(ii) Cho R là một vành, R đƣợc gọi là một vành Noether nếu R là một Rmôđun Noether.
1.1.2. Định lý. Cho R là một vành và M là một R-mơđun. Khi đó các điều
kiện sau đây là tương đương:
(i) M là R-môđun Noether;
(ii) Mọi tập khác rỗng các R-môđun con của M đều có phần tử cực đại

theo quan hệ bao hàm;
(iii) Mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh;
(iv) Với mỗi họ các mơđun con {Mi}iI của M ln tìm được tập con hữu
hạn J của I sao cho

M  M .
iI

i

iJ

j


-6Chứng minh. (i)  (ii). Chúng ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngƣợc
lại, tồn tại một tập hợp  ≠  gồm các môđun con của M mà khơng có phần
tử cực đại. Chọn M1   là một phần tử tùy ý, vì  khơng có phần tử cực đại
nào nên tồn tại M2   và M1  M2. Tiếp tục quá trình này với chú ý rằng
trong  khơng có phần tử cực đại ta chọn đƣợc một dãy tăng không dừng các
môđun con của M
M1  M2  ... Mn  …
Điều này trái với giả thiết M là R-mơđun Noether. Vậy ta có (ii).
(ii)  (iii). Chúng ta cần chỉ ra rằng mỗi R-môđun con N tùy ý của M là
hữu hạn sinh. Chúng ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử tồn tại môđun
con N của M là vô hạn sinh. Xét  là tập hợp tất cả các R-môđun con hữu hạn
sinh của N. Vì 0   nên  ≠ . Theo giả thiết, tồn tại trong  một phần tử
cực đại N’. Vì N’ hữu hạn sinh, nên tồn tại x  N \ N’. Từ đây suy ra R-môđun
con hữu hạn sinh N’ + xR  . Điều này trái với tính cực đại của N’ trong  vì
N’ N’ + xR. Vậy N là hữu hạn sinh. Vậy ta có (iii).

(iii)  (iv). Đặt N   iI M i . Rõ ràng N là một R-môđun con của M.
Theo giả thiết, N là hữu hạn sinh, chẳng hạn N = x1R +…+ xnR, xi N, i. Khi
đó tồn tại các phần tử i1, …, in trong I sao cho xj  Mij, j. Từ đây suy ra
N   j 1 M i j . Vậy ta có (iv).
n

(iv)  (i). Xét R-mơđun con N =  n 1 Mn theo giả thiết tồn tại một số tự


nhiên k sao cho N =  n1 Mn tức Mn = Mk, n  k.Vậy M là R-môđun Noether.
k

Vậy ta có (i).



1.1.3. Hệ quả. Cho R là một vành. Khi đó các điều kiện sau đây là tương
đương:
(i) Vành R là một vành Noether;
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R:


-7a1  a2  …  an  …
đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho an = ak, n  k;
(iii) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo quan
hệ bao hàm;
(iv) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. Vì mỗi tập con khác rỗng của vành R là một R-môđun con của
R-môđun R khi và chỉ khi nó là một iđêan của R. Do đó từ Định lý 1.1.2, Hệ
quả đƣợc chứng minh.



1.1.4. Ví dụ. (i) Cho K là một trƣờng và V là một khơng gian véctơ trên K.
Khi đó V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K khi và chỉ khi V là
một K-môđun Noether.
Chứng minh. (). Cho V là không gian vectơ n chiều trên trƣờng K. Khi đó V
là một K-mơđun. Lấy
L0  L1  L2  …(1)
là một dãy tăng bất kỳ các K-môđun con của V. Suy ra Li là các không gian
con của V, vdim Li  n với i = 1, 2,…và
vdimL0 < vdimL1 < vdimL2 ... (2).
Khi đó, dãy (2) phải dừng vì n hữu hạn. Do đó dãy (1) dừng suy ra V là một
K-môđun Noether.
(). Chúng ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngƣợc lại, V là không
gian vectơ vô hạn chiều chúng ta sẽ chứng minh V không là Kmôđun Noether. Thật vậy, luôn tồn tại dãy vô hạn

 wi i

các phần tử

của V, trong đó với mọi số tự nhiên n họ  wi i 1 độc lập tuyến tính. Với mỗi
n

n

số tự nhiên n, đặt Ln   Kwi suy ra Ln là hữu hạn chiều và vdimLn = n. Từ
i 1

đó ta có dãy

L1  L2  … Ln  Ln+1  …


-8không dừng, suy ra V không là K-môđun Noether điều này trái giả thiết. Vậy
V là một không gian vectơ hữu hạn chiều.



(ii) Mỗi vành chính đều là một vành Noether.
(iii) Vành số nguyên
m

là vành Noether vì mọi iđêan của

đều có dạng

= <m> là iđêan sinh bởi m.
(iv) Cho K là trƣờng. Khi đó K là vành Noether vì K chỉ có 2 iđêan là 0 =

<0> và K = <1> đều hữu hạn sinh.
(v) Cho K là trƣờng, vành đa thức vô hạn biến R = K[x1, x2,…, xn,...]
không phải là vành Noether, vì tồn tại một dãy tăng các iđêan sau đây trong R
(x1)  (x1, x2) … (x1, x2 ,…, xn)  …
không dừng.
1.1.5. Nhận xét. Vành con của vành Noether có thể khơng phải vành Noether.
Thật vậy vì K là trƣờng nên R = K[x1, x2, …, xn, ...] là miền nguyên. R có
trƣờng các thƣơng F và có thể coi R là vành con của F. Vì F là trƣờng nên F
là vành Noether nhƣng vành con R (theo Ví dụ 1.1.4) khơng là vành Noether.
1.1.6. Hệ quả. Cho R là một vành và một dãy khớp ngắn các R-môđun
0  M’ M  M’’ 0.

Khi đó M là R-mơđun Noether khi và chỉ khi M’ và M’’ là R-mơđun Noether.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng M’ là môđun
con của M và M” = M / M’.
(). Giả sử M là R-mơđun Noether. Vì M’ là mơđun con của M nên mỗi
môđun con của M’ cũng là môđun con của M. Do đó từ định nghĩa suy ra M’
là R-môđun Noether.
Mỗi môđun con của M” = M / M’ có dạng K / M’ với K là mơđun con của
M chứa M’. Giả sử
Q0  Q1  Q2  …

(1)

là một dãy tăng tùy ý các môđun con của M”. Với mỗi i, tồn tại môđun con Ki
của M, Ki  M’ sao cho Qi = Ki / M’.
(1)  K0 / M’  K1 / M’  K2 / M’  …


-9Ta thu đƣợc dãy tăng các môđun con của M
K0  K1  K2  …

(2)

Vì M là R-mơđun Noether nên dãy (2) dừng, tức tồn tại số tự nhiên n sao cho
Kt = Kn, t  n. Do đó Kt / M’ = Kn / M’, t  n nên Qt = Qn, t  n suy ra (1)
dừng. Vậy M” là R-môđun Noether.
(). Giả sử M’ và M” là các R-môđun Noether. Giả sử
M0  M1  M2  …

(3)

là một dãy tùy ý các môđun con của M. Ta nhận đƣợc dãy tăng sau đây các
môđun con của M’
M’  M1

M0

M’  M2

M’ …

(4)

và cũng nhận đƣợc dãy tăng sau đây các môđun con của M”

 M 0  M '
M'



 M1  M '
M'



 M 2  M '
M'

 ...

(5)

Theo định lý đồng cấu thì dãy (5) đƣợc viết lại
M0

M0

M '



M1

 M1

M '



M2

M2

M '

 ...

(6)

Vì M’ là R-môđun Noether nên dãy (4) dừng, tức tồn tại số tự nhiên n, sao
cho

Mk

M’, k  n.

M’ = Mn

Vì M” là R-mơđun Noether nên dãy (5) dừng. Do đó dãy (6) dừng nên dãy
(3) dừng. Vậy M là R-môđun Noether.
1.1.7. Hệ quả. Cho R là một vành, M =


n

M là tổng trực tiếp của một họ hữu
i 1

i

hạn R-môđun. Khi đó M là R-mơđun Noether khi và chỉ khi M1, M2, …, Mn
là R-môđun Noether.
Chứng minh. Bằng phƣơng pháp quy nạp ta chỉ cần chứng minh hệ quả trên
với n = 2 tức là chứng minh M1 và M2 là R-môđun Noether khi và chỉ khi
M1  M2 là R-mơđun Noether. Thật vậy, ta có dãy khớp ngắn
0  M1  M1  M2  M2  0


-10Do đó theo Hệ quả 1.1.6 suy ra điều cần chứng minh.



1.1.8. Hệ quả. Cho R là một vành. Khi đó:
(i) Mơđun con và mơđun thương của R-mơđun Noether M cũng là một Rmôđun Noether.
(ii) Ảnh đồng cấu của R-môđun Noether là R-môđun Noether.
Chứng minh. (i) Cho M là R-môđun Noether, M’ là R-mơđun con của M. Khi
đó dãy
0  M’  M  M / M’  0
là dãy khớp ngắn. Theo Hệ quả 1.1.6 chúng ta có M’ và M / M’ là các Rmôđun Noether.
(ii) Giả sử f : M  N là một đồng cấu R-môđun. Ảnh đồng cấu của f là
Imf = f(M)  M / Kerf. Do đó theo (i) vì M là R-mơđun Noether nên M / Kerf
là R-môđun Noether. Vậy Imf là R-mơđun Noether.



Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau.
1.1.9. Hệ quả. Cho R là vành Noether, S là một vành và f : R  S là một
toàn cấu vành. Khi đó S cũng là vành Noether.
1.1.10. Mệnh đề. Giả sử  là một tự đồng cấu của vành R. Khi đó:
(i) Nếu R là vành Noether thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho n  n0,
Im  n 

Ker  n   0.

(ii) Nếu R là vành Noether và  là tồn cấu thì  là đẳng cấu.
Chứng minh. (i) Ta có dãy tăng các iđêan của R
Ker    Ker  2   ...Ker  n   ...

Do R là vành Noether nên tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho n  n0.
Ker    Ker  . Lấy x 
 
Im   Ker   , khi đó ta có y  M với x =  n(y) và  2n(y) =  n(x) = 0.

Do đó y  Ker    Ker  . Suy ra x =  n(y) = 0. Vậy
Im   Ker    0.
Ker  n0  Ker  n  . Vậy n  n0, ta có
n

2n

n

2n

n

n

n

n


-11(ii) Nếu  là một tồn cấu thì  n cũng là toàn cấu n 

*

, tức là

Im  n   M . Do R là vành Noether nên từ (i) ta có tồn tại một số tự nhiên n0

sao cho n  n0, Ker  n   0, mà Ker    Ker  n0  chúng ta có Ker   =
0. Do đó  là một đơn cấu. Mặt khác theo giả thiết  là tồn cấu. Do đó 

là đẳng cấu.



1.1.11. Hệ quả. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó M là Rmơđun Noether khi và chỉ khi M là R-môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh. (). Cho M là R-môđun Noether. Theo Định lý 1.1.2, M là Rmôđun hữu hạn sinh.
(). Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một số tự nhiên n
sao cho M là ảnh đồng cấu của R-môđun tự do Rn. Theo Hệ quả 1.1.7, Rn là Rmôđun Noether, suy ra M là R-môđun Noether nhờ Hệ quả 1.1.8.



1.1.12. Hệ quả. Cho A là một vành con của vành R. Nếu A là vành Noether và
R là A-môđun hữu hạn sinh thì R là vành Noether.
Chứng minh. Vì R là A-mơđun hữu hạn sinh và A là vành Noether nên theo
Hệ quả 1.1.11 R là A-mơđun Noether. Do đó theo Hệ quả 1.1.3 mọi iđêan của
R là A-môđun hữu hạn sinh, nhƣng vì A  R, nên cũng là R-hữu hạn sinh. Vậy
R là R-môđun Noether hay R là vành Noether (theo Hệ quả 1.1.3).



1.1.13. Định nghĩa. Một R-môđun E đƣợc gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính
chất mở rộng phổ dụng sau đây: với các R-đồng cấu f : N  M và
g : N  E trong đó f là đơn ánh, ln tồn tại ít nhất một R-đồng cấu
h : M  E sao cho g = h o f, tức làm cho biểu đồ sau (với dịng trên là khớp)
giao hốn.


-12f

N

0

M

g
h
E
Khi đó ta nói h là một mở rộng của g.
Định lý sau đây là một đặc trƣng cho vành Noether qua môđun nội xạ.
Đặc trƣng này cũng cho ta thấy việc nghiên cứu mơđun trên vành Noether có
ý nghĩa đặc biệt.
1.1.14. Định lý. Cho R là một vành. Khi đó các điều kiện sau đây là tương
đương:
(i) R là một vành Noether;
(ii) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun nội xạ là nội xạ;
(iii) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun đơn là
nội xạ.
Chứng minh.(i)  (ii). Đặt E  Ei là một tổng (trong hoặc ngồi) trực tiếp
i 

các R-mơđun nội xạ Ei. Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn Baer để chứng minh E là nội
xạ. Cho a là một iđêan tùy ý của R, j : a  R là phép nhúng chính tắc
và f : a  E là R-đồng cấu, ta phải chỉ ra sự tồn tại một R-đồng cấu
g : R  E sao cho f = g

o

j. Thật vậy, theo giả thiết R là vành Noether nên

a là hữu hạn sinh. Giả sử a = (a1, a2, …, an). Khi đó phải tồn tại một tập hữu
hạn J   sao cho với mọi k = 1, …, n thì thành phần của f(ak) trong Ej là
khác khơng khi và chỉ khi j  J. Từ đây suy ra f(a) 

E . Do
jJ

f’: a 

E , là hạn chế của
jJ

j

f trong ảnh f(a) và j‘ :

j

E
jJ

j

đó nếu đặt

 Ei  E
i 


-13là phép nhúng chính tắc thì f = j’o f’. Vì tập chỉ số J là hữu hạn nên

E
jJ

j

là

nội xạ. Ta có biểu đồ sau giao hốn
j

a

g’

f’

E

f

R

jJ

j

g

j’

E  E

\

i 

i

Trong đó g’ là R-đồng cấu g’ : R 

E
jJ

j

là mở rộng của f’, tức f’ = g’o j.

Bây giờ. đặt g = j’og’, ta suy ra
g o j = j’o g’o j = j’o f’ = f.
Điều này chứng tỏ g là một mở rộng của f.
(ii)  (iii). Hiển nhiên.
(iii)  (i). Ta sẽ chứng minh bằng phƣơng pháp phản chứng. Giả sử R
không là vành Noether, suy ra tồn tại dãy tăng không dừng các iđêan
a1  a2  … an  ….
Khi đó, a 



ai cũng là một iđêan của R và với mỗi a  a đều tồn tại số tự

i 1

nhiên na, sao cho a  ai với i  na. Với i = 1, 2,… lấy ci  a, ci  ai. Trong
môđun xyclic (ciR + ai) / ai có mơđun cực đại Ni / ai nên
Ei = ((ciR + ai) / ai) / (Ni / ai)


-14là một R-môđun đơn. Đặt vi : ((ciR + ai)) / ai  Ei là toàn cấu tự nhiên. Gọi
I(Ei) là bao nội xạ của Ei (Ei  I(Ei)). Đặt
ti : Ei  I(Ei) và ti’ : (ciR + ai) / ai  a / ai
là các phép nhúng chính tắc. Khi đó do I(Ei) là nội xạ ta có biểu đồ sau giao
hoán.
ti’

(ciR + ai) / ai

a / ai

vi

i

Ei
ti
I(Ei)

Trong đó i là R-đồng cấu i : a / ai  I(Ei) là mở rộng của ti o vi, tức ti o
vi = i o t‘i với i = 1, 2, ... Chúng ta định nghĩa

 : a 



I  E 
i

i 1
n0

 (a  a ) .

a

i 1

i

i

Ở đây thành phần thứ i của (a) là phần tử i(a + ai). Vì a  ai với i  na,

(a) nằm trong tổng trực tiếp. (Nếu xem



I  E  nhƣ một tổng trực tiếp
i 1

i

ngoài, chúng ta sẽ đặt (a) = (i(a + ai)). Theo giả thiết



I  E  là nội xạ, ta
i 1

có biểu đồ sau giao hoán.

1

a







I  E 
i 1

R

i

i

-15Đặt bi là thành phần thứ i của (1) trong

I  E 

thì tồn tại số tự nhiên n sao

i

cho bi = 0 với i  n. Vì (a) = (a) = (1)a, a  a. Do đó i(a + ai) = bia, cho
nên i(a +ai) = 0 với i  n và mọi a  a. Nhƣng n(cn + an) ≠ 0 bởi định
nghĩa của i. Vậy mâu thuẫn. (i) đƣợc chứng minh.

1.2. Địa phƣơng hóa của mơđun Noether
1.2.1. Khái niệm địa phƣơng hóa. Cho M là một R-mơđun và S  R là một
tập đóng nhân của R, tức là S là một vị nhóm con của vị nhóm nhân R. Trong
tập tích Descartes M  S ta xác định một quan hệ P nhƣ sau: (x, a) P (y,b) nếu
tồn tại s  S để s(bx  ay) = 0. Khi đó dễ kiểm tra P là một quan hệ tƣơng
đƣơng trong M  S. Tập các lớp tƣơng đƣơng của M  S trong quan hệ tƣơng
đƣơng này đƣợc ký hiệu là S 1M, còn mỗi lớp tƣơng đƣơng có đại diện (x, a)
đƣợc ký hiệu bởi

x
. Trong trƣờng hợp đặc biệt M = R ta có tập S
a

phép tốn cộng trong S 1M đƣợc xác định bởi

1

R. Với

x y bx+ay
x y
+ =
với mọi ,
a b
ab
a b

 S 1M. Ta có S 1R là một vành. Thật vậy, với phép cộng nhƣ trên thì S 1R

là một nhóm Abel. Cịn phép nhân trên S 1R là
S

1

R. Ta cũng có S

1

M trở thành một S

1

xy
xy
x y
=
với mọi ,


a b ab
a b

R-mơđun với phép nhân ngồi là

a x ax
a
x
=
với mọi  S 1R và mọi  S 1M, S 1R-môđun S 1M đƣợc gọi
b c bc
b
c
là môđun địa phƣơng hóa của mơđun M bởi S. Mặt khác, S 1M cũng trở thành
x ax
x
một R-mơđun với phép nhân ngồi a =
với mọi a  R và mọi  S 1M.
b b
b
Cho một R-đồng cấu h : M  S 1 cho bởi x

h(x) =

x
đƣợc gọi là
1

đồng cấu tự nhiên. Nếu M khơng có ƣớc của 0 thì h là một đơn cấu. Trong
x

trƣờng hợp này ngƣời ta đồng nhất x  , và có thể coi M nhƣ là một R1


-16môđun con của R-môđun S

1

M (M  S

1

M) . Nhớ lại rằng nếu N1 là một

môđun con của S 1R-môđun S 1M, thì h−1(N1) = N là một R-mơđun con của
R-môđun M và N1 = S

1

N. Bây giờ nếu u : M  N là một đồng cấu R-

mơđun, thì quy tắc S 1u : S 1M  S 1N xác định bởi

m
s

u(m)
sẽ
s

là một đồng cấu S 1R-môđun.

Nếu p là một iđêan nguyên tố của R thì S = R \ p là vị nhóm con nhân của
R. Kí hiệu Mp : = S 1M và gọi là địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố
p.
Mệnh đề sau nói lên tính Noether của một mơđun đƣợc bảo tồn qua địa
phƣơng hóa.
1.2.2. Mệnh đề. Nếu M là một R-mơđun Noether và S là một tập đóng nhân
của R thì S 1M là một S 1R-môđun Noether.
Chứng minh. Giả sử N1 là một mơđun con của S

−1

M. Khi đó tồn tại môđun

con N của M sao cho N1 = S −1N. Vì M là Noether nên N hữu hạn sinh (theo
Định lý 1.1.2). Giả sử x1, x2, …, xm là một hệ sinh của N, khi đó ta thấy ngay
x1 x 2
x
, , …, m là một hệ sinh của S
1 1
1

1

N. Nhƣ vậy N1 = S

1

N là một môđun

hữu hạn sinh trên S 1R. Vậy S 1M là một S 1R-mơđun Noether.



Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau.
1.2.3. Hệ quả. Nếu R là một vành Noether và S là một tập đóng nhân của R
thì S 1R là cũng là một vành Noether.
Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau.
1.2.4. Hệ quả. Nếu R là một vành Noether và p là một iđêan nguyên tố thì
Rp cũng là một vành Noether.

1.3. Một số tính chất của iđêan trong vành Noether
Theo Hệ quả 1.1.3, vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan của R
đều hữu hạn sinh. Định lý sau đây là một tiêu chuẩn mạnh hơn.


-171.3.1. Định lý (Định lý I. S. Cohen). Vành R là một vành Noether khi và chỉ
khi mọi iđêan nguyên tố của R là hữu hạn sinh.
Chứng minh. (). Hiển nhiên do Hệ quả 1.1.3.
(). Bằng phƣơng pháp phản chứng. Giả sử ngƣợc lại, R không là vành
Noether. Gọi  là tập tất cả các iđêan không hữu hạn sinh của R. Khi đó  
 và mỗi dây chuyền iđêan {ai}iI của  đều bị chặn trên bởi
iI

ai  . Do

đó theo Bổ đề Zorn,  có phần tử cực đại p, ta sẽ chứng minh p là iđêan
nguyên tố. Thật vậy, nếu p khơng ngun tố thì tồn tại x  p và y  p nhƣng
xy  p. Khi đó iđêan p + Rx  p nên khơng thuộc , và vì vậy là hữu hạn
sinh. Ta có p + Rx = (a1+ t1x, a2 + t2x, …, an +tnx). Với ai  p, ti  R. Đặt a
= (p : Rx), ta có a  p + Ry  p nên a không thuộc , do đó a là hữu hạn sinh,

đặt a = (b1, b2, ..., bm), (bj  a). Khi đó, p = (a1, a2, ..., an, b1x, b2x, ..., bmx).
Thật vậy, nếu u  p thì u  p + Rx. Nên
n
n
 n

u   ri (ai  ti x)   ri ai    rti i x.
i 1
i 1
 i 1 
n
 n

Suy ra   rti i  x  u   ri ai p. Vậy
i 1
 i 1 

n

n

m

 rt  a. Do đó  rt   s b .
i 1

i i

i 1

i i

k 1

k k

Cuối cùng
n

m

i 1

k 1

u   ri ai  sk (bk x)  (a1 ,...an , b1 x,..., bm x).
Suy ra p là hữu hạn sinh, trái giả thiết vì p  . Vậy p là iđêan nguyên tố.
Nhƣ vậy tồn tại p là iđêan nguyên tố không hữu hạn sinh mâu thuẫn với giả
thiết. Do đó giả sử ban đầu là sai, suy ra R là vành Noether.




-18

an. Khi

1.3.2. Định lý. Cho a là một iđêan của vành Noether R và đặt b =
n 1

đó b = ab.
Chứng minh. Nếu a = R thì Định lý hiển nhiên đúng. Giả sử a là iđêan thực
sự của R. Từ ab  b  a, dễ dàng thấy rằng ab cũng là một iđêan thực sự của
R. Do đó ab có sự phân tích ngun sơ (theo Hệ quả 2.1.22). Đặt
ab = q1

… qn

là một phân tích nguyên sơ tối tiểu của ab, trong đó

qi = pi với i = 1,…, n.

Khi đó b  ab bởi vì b  qi với mọi i =1,…,n. Giả sử rằng tồn tại số tự nhiên i
với 1  i  n, chúng ta có b  qi thì tồn tại a  b \ qi. Vì

a a  ab = q1

… qn  qi

và qi là pi-nguyên sơ, nên a qi và a  pi. Nhƣng pi =

qi nên tồn tại số tự

nhiên t mà pti  qi (theo Mệnh đề 2.1.9). Vì vậy
b



t
n

t
p
a

a

i  qi
n1

dẫn đến mâu thuẫn. Do đó b  qi với mọi i = 1,…, n, và suy ra b  ab.



Ký hiệu J(R) là căn Jacobson của vành R, tức là, J(R) là giao của tất cả
các iđêan cực đại của vành R. Từ định lý trên ta có hệ quả sau.
1.3.3. Hệ quả (Định lý giao Krull). Cho a là iđêan của vành Noether R sao
cho a  J(R). Khi đó

n 1

an  0.


-19Chứng minh. Đặt b =



an, ta có b = ab (theo Định lý 1.3.2). Mặt khác, R là

n 1

vành Noether, b là iđêan hữu hạn sinh của R và do đó a là hữu hạn sinh Rmơđun. Vậy b = 0 (theo Bổ đề Nakayama).



Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau.
1.3.4. Hệ quả. Giả sử R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại
duy nhất m. Khi đó


mn = 0.
n 1

1.4. Tính Noether của vành đa thức
Định lý sau đây cho thấy lớp vành Noether chứa tất cả lớp vành quen biết
trong hình học. Điều này nói lên ý nghĩa quan trọng của việc nghiên cứu cấu
trúc của vành và môđun Noether.
1.4.1. Định lý (Định lý cơ sở Hilbert). Nếu R là một vành Noether thì vành
đa thức R[x] cũng là vành Noether.
Chứng minh. Để chứng minh R[x] là vành Noether ta sẽ chứng minh rằng mọi
iđêan của R[x] là hữu hạn sinh. Thật vậy, cho a là một iđêan khác 0 tùy ý của
R[x]. Xét tập hợp con của R
a0 = {a R |  f  a : f = axm + a1xm1 + …+am}.
Nói cách khác a0 là tập tất cả các hệ số cao nhất của các đa thức thuộc a. Dễ
dàng kiểm tra đƣợc rằng a0 là một iđêan của R. Vì R là vành Noether nên a0
là hữu hạn sinh. Giả sử a0 = (a1, …, an), ai  R, i = 1,…, n. Khi đó tồn tại
những đa thức fi (x)  a, i = 1,…, n có hệ số cao nhất là ai. Đặt deg(fi (x)) = ri
và r = max{r1,…, rn}. Bằng cách nhân thêm x r r vào fi(x) với chú ý rằng
i

x r  ri fi(x)  a, ta suy ra có thể giả thiết thêm mà khơng làm mất tính tổng qt

rằng r = r1 = … = rn. Tiếp tục đặt b = (f1(x),…, fn(x))R[x] là iđêan chứa trong


-20a, M = R + xR + … + xrR và N = a

M. Nếu xem M = R + xR + … + xrR

nhƣ là R-mơđun thì M chính là tập tất cả các đa thức f(x)  R[x] có degf(x) 
r, nên nó có một hệ sinh hữu hạn trên R là {1, x, …, xr}. Vì R là vành
Noether, nên theo Hệ quả 1.1.3, M là R-môđun Noether. Suy ra R-môđun con
N của M là hữu hạn sinh. Bây giờ, nếu ta chỉ ra đƣợc
a=b+N
thì rõ ràng a là hữu hạn sinh và Định lý đƣợc chứng minh. Thật vậy, cho g(x)
 a, degg(x) = m là một đa thức tùy ý với khai triển
g(x) = axm + b1xm-1 + ... + bm, 0 ≠ a  a.
Nếu m  r thì f(x)  N. Trái lại, giả sử m > r. Vì a  a0, nên tồn tại
những phần tử ui  R, i = 1, …, n sao cho ta có khai triển a =  i 1 ui ai .
n

Khi đó đa thức
n

G1(x) = g(x) −  fi ( x)ui x mr
i 1

sẽ có degG1(x)  m  1 hoặc G1(x) = 0. Để ý rằng cùng với P1(x) =



n
i 1

fi ( x)ui x mr  b thì G1(x)  a. Vậy ta có
g(x) = P1(x) + G1(x), P1(x)  b, degG1(x)  m  1.

Nếu vẫn cịn degG1(x) > r, thì bằng phƣơng pháp nhƣ vừa thực hiện (thay vì

g(x) ta xét G1(x)) ta sẽ tìm đƣợc các đa thức G2(x)  a với degG2(x)  m  2
và P2(x)  b sao cho
G1(x) = P2(x) + G2(x).
Từ đây suy ra
g(x) = P1(x) + P2(x) + G2(x).


-21Nếu degG2(x)  r thì quá trình trên đƣợc dừng lại, bằng không nhiều nhất là
sau m  r bƣớc ta sẽ tìm đƣợc các đa thức G(x) a có degG(x)  r và P(x) 
b sao cho
g(x) = P(x) + G(x)  b + N.
Từ đây suy ra a  b + N. Bao hàm thức ngƣợc lại là hiển nhiên và Định lý
đƣợc chứng minh.



Từ định lý trên ta có ngay các hệ quả sau.
1.4.2. Hệ quả. Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức n biến R[x1, x2,…,
xn] cũng là vành Noether.
1.4.3. Hệ quả. Nếu K là trường thì vành đa thức n biến K[x1, x2, …, xn] là
một vành Noether.

1.4.4. Hệ quả. Nếu R là một vành Noether thì mọi iđêan của vành đa thức n
biến R[x1, x2,…, xn] đều hữu hạn sinh.
1.4.5. Nhận xét. Cho K là một trƣờng. Khi đó vành đa thức K[x1, x2,…, xn] là
một vành Noether và mỗi đa tạp đại số afin  trong Kn là tập các không điểm
của một iđêan a trong K[x1, x2,…, xn]. Từ Hệ quả 1.4.4, ta rút ra a hữu hạn
sinh, và giả sử a = ( f1, f2, …, ft ). Khi đó ta thấy ngay  là giao của các siêu
mặt
f1 = 0, f 2 = 0, …, ft = 0.
Nhƣ vậy mỗi đa tạp đại số afin đều là giao của một số hữu hạn siêu mặt. Đó
chính là ý nghĩa hình học của Định lý cơ sở Hilbert.
1.4.6. Định lý. Nếu R là một vành Noether thì vành các chuỗi lũy thừa hình
thức R[[x]] cũng là vành Noether.
Chứng minh. Để chứng minh R[[x]] là vành Noether ta sẽ chứng minh rằng
mọi iđêan nguyên tố của R[[x]] là hữu hạn sinh. Thật vậy, cho p là một iđêan
nguyên tố của R[[x]]. Khi đó


-22-

h : R[[x]]  R





r xj

r0

j 0 j

là một toàn cấu vành, do đó h(p) là một iđêan của R. Vì R là vành
Noether nên h(p) là hữu hạn sinh, sinh bởi a0(1), ..., a0(t). Với mỗi i = 1, ..., t,
đều tồn tại
f (i) = a0(i) + a1(i)x +… an(i)xn+ … p
có hệ số thứ 0 là a0(i). Chúng ta chia 2 trƣờng hợp là x  p hoặc x  p
Giả sử x  p. Khi đó, với mỗi i = 1, ..., t,

a0  f
(i )



(i )

 x a (ji)1 x j  p
j 0



(i )
Ngoài ra, cho f =  b j x  p chúng ta có b0  h(p) =  i 1 Ra0 . Vậy
t

j

j 0



t

f  b0  x b j 1 x   R[[ x]] a0(i )  xR[[ x]] .
j

j 0

i 1

t

(i )
Suy ra p =  R[[ x]] a0  xR[[ x]]. Do đó p là iđêan hữu hạn sinh.
i 1

t

(i )
Giả sử x  p. Khi đó ta có p =  R[[ x]] f . Dĩ nhiên, f (i) p với mọi i =
i 1

t

(i )
1,…t. Đặt f   j 0 b j x  p. Do đó b0  h( P)   Ra0 và tồn tại b0(1), ...,


j

i 1

t

b0  R mà b0 =
(t)

b0(1)a0(1)
t

+ ... +

(t)

b0 a0(t).

(i ) (i )
Do đó f   b0 f có hệ số thứ 0
i 1

(i ) (i )
của nó bằng 0 và có f   b0 f = xg1 với g1  R[[x]] nào đó.
i 1


-23Chúng ta sẽ chứng minh bằng phƣơng pháp qui nạp mệnh đề sau: Với mọi
(1)
(t )
(1)
(t )
(1)

(t )
luôn tồn tại b0 ,...b0 , b1 ,...b1 ,..., bv1 ,..., bv1  R. Sao cho

v

t  v 1

f     b(j i ) x j  f (i ) = xvgv(* )
i 1  j  0


với gv  R[[x]] nào đó. Thật vậy, khi v = 1 điều này hiển nhiên dúng. Khi
v  1. Chúng ta giả sử mệnh đề đúng với v và chứng minh mệnh đề đúng với
v +1. Ta có p là iđêan nguyên tố. Do vế trái của phƣơng trình (*) thuộc p nên
xvgv thuộc p mà x  p, nên gv  p. Mặt khác, theo chứng minh trên tồn tại

bv(1) ,..., bv(t )  R sao cho gv   i 1 bv(i ) f (i ) = xgv+1 với gv+1  R[[x]] nào đó.
t

Suy ra
t
 v (i ) j  (i )


v
f     b j x  f = x  gv   bv (i ) f ( i )  = xv+1gv+1.
i 1  j  0
i 1




t

Vậy mệnh đề đúng với v + 1. Điều này hoàn thành chứng minh qui nạp.
(i ) j
Đối với mỗi i = 1, ..., t, đặt e(i) =  j 0 b j x  R[[ x]]. Khi đó


f  i 1 e(i ) f (i ) vì với mỗi v  , chúng ta có
t

f  e f
(i )

  (i ) j  (i )
= x gv     b j x  f  xvR[[x]].
i 1  j  v

t

t

(i )

i 1

v

x v R[[ x]]  0. Do đó trong trƣờng hợp này p =

và dễ dàng thấy rằng
v

t

f
i 1

(i )

R[[ x]] là iđêan hữu hạn sinh.

Vậy trong mọi trƣờng hợp mỗi iđêan nguyên tố của R[[x]] đều là một
iđêan hữu hạn sinh. Do đó (theo Định lý 1.3.1) R[[x]] là vành Noether.
Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau.




-241.4.7. Hệ quả. Nếu R là một vành Noether thì vành các chuỗi lũy thừa hình
thức n biến R[[x1, x2,…, xn]] cũng là vành Noether.

1.5. Mối liên hệ giữa tính Noether, Artin của vành và môđun
Vành (tƣơng ứng môđun) Artin là lớp vành (tƣơng ứng môđun) đối ngẫu
với lớp vành (tƣơng ứng mơđun) Noether, trong phần này chúng tơi trình bày
định nghĩa và một số tính chất cơ bản (khơng chứng minh) của môđun và
vành Artin, độ dài hữu hạn của mơđun qua đó nêu mối liên hệ giữa tính chất
Noether và Artin của vành và môđun.
1.5.1. Độ dài của môđun. Cho M là R-môđun và một dãy các môđun con của
M:

M = M0  M1 …  Mn-1  Mn = 0. (*)
Khi đó:
(i) n đƣợc gọi là độ dài của dãy (*).
(ii) Dãy (*) đƣợc gọi là dãy hợp thành nếu Mi1  Mi, (1  i  n) và
Mi1 / Mi là môđun đơn (nghĩa là Mi là môđun con cực đại của Mi1 hay
không tồn tại môđun con K sao cho M i Ø. K Ø Mi1).
(iii) Nếu R-mơđun M có một dãy hợp thành với độ dài n thì tất cả các dãy
hợp thành của M cũng có độ dài n. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật
sự các môđun con của M đều có độ dài khơng vƣợt q độ dài của các dãy
hợp thành, và đều có thể mở rộng thành dãy hợp thành.
(iv) M đƣợc gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có dãy hợp thành. Khi đó độ
dài của một dãy hợp thành bất kỳ của M đƣợc gọi là độ dài của M, ký hiệu là

lR (M) (hoặc l(M) nếu vành R đã xác định).
(v) Nếu M khơng có dãy hợp thành thì ký hiệu lR (M) = .
1.5.2. Định nghĩa. (i) Cho R là một vành và M là một R-môđun. M đƣợc gọi
là một R-môđun Artin nếu mọi dãy giảm các R-môđun con của M :
M = M0  M1  M2  ...


-25đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho Mn = Mk, n  k.
(ii) Vành R đƣợc gọi là một vành Artin nếu R là một R-môđun Artin.
1.5.3. Định lý. Cho R là một vành và M là một R-mơđun. Khi đó các điều kiện
sau đây là tương đương:
(i) M là R-môđun Artin;
(ii) Mọi tập khác rỗng các R-mơđun con của M đều có phần tử cực tiểu
theo quan hệ bao hàm;
(iii) Với mỗi họ các mơđun con {Mi}iI của M ln tìm được tập con hữu
hạn J của I sao cho

Mi 
iI

M j.
jJ

1.5.4. Ví dụ. (i) Mỗi trƣờng K là một vành Artin.
(ii) Cho p là số nguyên tố. Với m, n 
xyclic

pm

nhƣ là nhóm con của nhóm xyclic

phép cộng cảm sinh từ phép cộng trong
là một

, n > m ta xem nhóm

. Đặt

pn

thì





(p ) =

i 1

nói cách khác A =
(p) là

pn

≠ . Từ đây ta dễ dàng suy ra

(p). Vậy mọi nhóm con

pi

và với

(p) là một nhóm Abel, tức

-mơđun. Cho A là một nhóm con cấp vơ hạn tùy ý của

đó với mỗi số tự nhiên n thì A \

suy ra

pn

*

(p). Khi
pn

 A,

(p) đều là nhóm hữu hạn và

-mơđun Artin.

(iii) Vành số ngun

khơng phải là vành Artin vì tồn tại dãy giảm các

iđêan sau không dừng
2

 22

 23

 ....

1.5.5. Mệnh đề. Cho K là một trường và V là một không gian véctơ trên K.
Khi đó các điều kiện sau tương đương:
(i) V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên K;
(ii) V là một K-môđun Noether;
(iii) V là một K-môđun Artin.