Tính chất thu hẹp iđeean đối với các nửa nhóm iđeean

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐÌNH LỘC

TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHĨM IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2011


2

MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2
4

1.1.

Tương đẳng. Nửa nhóm thương và đồng cấu

4

1.2.

Băng và nửa dàn. Băng các nửa nhóm

10

Chương 2. TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI
NỬA NHĨM IĐÊAN
2.1.

15

Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm có
phần tử zero

15

2.2.

Cấu trúc của nửa nhóm iđêan giao hốn

22

2.3.

Nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan

31

Kết luận

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37


3

LỜI MỞ ĐẦU
Tính chất mở rộng iđêan đối với các nửa nhóm đã được đề xuất nghiên
cứu những năm cuối thế kỷ hai mươi bởi J.I. Giacia (1991), K.D. Aucoin
(1999) và đầu thế kỷ hai mươi mốt bởi X. Guo (2001).
Một vấn đề tự nhiên nẩy sinh là xét tính chất thu hẹp iđêan của các
nửa nhóm. Tuy nhiên vấn đề này được quan tâm muộn hơn. Năm 2003,
K.D. Aucoin cùng các cộng sự đã khảo sát các vấn đề này trong bài báo
Semigroups with the ideal retraction property đăng trên tạp chí Semigroup
Forum số 66 năm 2003 (xem [4])
Ta nói rằng nửa nhóm S được gọi là có tính chất thu hẹp iđêan nếu S
không đơn (nghĩa là S có ít nhất một iđêan thực sự) và nếu I là một iđêan
của S đều tồn tại một thu hẹp đồng cấu φ: S → I. (nghĩa là φ là một đồng
cấu và φ thu hẹp trên I là ánh xạ đồng nhất: φ(ab) = φ(a)φ(b), a, b  S và
φ(x) = x, x  I)
Luận văn này dựa vào bài báo nêu trên để thu hẹp nghiên cứu lớp nửa
nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan, đó là lớp nửa nhóm mà mỗi tương
đẳng trên nó là tương đẳng Rees.
Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, luận văn
gồm hai chương
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Tương đẳng. Nửa nhóm thương và đồng cấu
1.2. Băng và nửa dàn. Băng các nửa nhóm
Chƣơng 2. Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm iđêan
2.1. Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm có phần tử zero
2.2. Cấu trúc của nửa nhóm iđêan giao hốn
2.3. Nửa nhóm iđêan với tính chất thu hẹp iđêan


4

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng tri ân chân
thành và sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên
cứu, thường xuyên quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn
thành được luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán –
Trường Đại học Vinh, Khoa Sau Đại học – Trường Đại học Vinh và
Trường Đại học Sài Gịn đã tạo mọi điều kiện để chúng tơi hồn thành
chương trình học tập cũng như bản luận văn này. Tác giả xin chân thành
cảm ơn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã đọc và
đóng góp những ý kiến quý báu cho bản luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy cơ và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


5

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. TƢƠNG ĐẲNG. NỬA NHÓM THNG V NG CU
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp không rỗng. Khi đó một tập
con của tích Descartes đ-ợc gọi là một quan hệ trên X.
Chóng ta sÏ viÕt (x,y)   hay xy ®Ĩ chØ r»ng cỈp cã thø tù (x,y) n»m
trong quan hƯ .
Giả sử (X) là tập hợp tất cả các quan hệ trên X. Tập hợp (X) tạo thành
một vị nhóm d-ới toán tử là phép hợp thành.

= (x, y)  X.X  z  X : (x, z) , (z, y) .
Phần tử đơn vị của (X) là quan hệ đồng nhất i = iX = (x, x) x X.
Phần tử không của (X) lµ quan hƯ phỉ dơng  = X = X.X = (x, y)  x,y  X.
Gi¶ sư   ℬ(X) vµ Y  X. Chóng ta sÏ sư dơng các ký hiệu sau đây:
x = y (x, y)  ; Y =

y Y

y ; ran() = X ; dom() = X -1

trong ®ã  -1 = (y, x)  (x, y)  .
Nãi riªng:   dom()  ran().
1.1.2. Định nghĩa. Một quan hệ (X) đ-ợc gọi là một quan hệ t-ơng
đ-ơng nếu nó phản xạ (iX ), đối xứng ( -1 = ) và bắc cầu ( = ).
Các tập hợp x đ-ợc gọi là các lớp t-ơng đ-ơng, chúng tạo thành một sự
phân hoạch của tập X: X =

xX

và x y x = y.

1.1.3. Định nghĩa. Giả sử là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên nửa nhóm
S. Khi đó đ-ợc gọi là một t-ơng đẳng phải (trái) nếu ổn định bên phải
(trái), nghĩa là với mäi x, y, z  S, xy  xzyz (hay t-¬ng øng zxzy).


6

đ-ợc gọi là một t-ơng đẳng nếu nó vừa là t-ơng đẳng trái vừa là
t-ơng đẳng phải.
Chúng ta nhắc lại rằng một quan hệ t-ơng đ-ơng phân hoạch miền xác
định S thành các lớp t-ơng đ-ơng x (x S). Một lớp t-ơng đ-ơng của một
t-ơng đẳng đ-ợc gọi là một lớp t-ơng đẳng.
Nếu là một t-ơng đẳng thì nó bảo
toàn tích của S, nghĩa là nếu các phần tử

x1

y1y2

x1, y1 và x2, y2 thuộc cùng những lớp t-ơng
đẳng (x1 = y1, x2 = y2) thì tích x1x2 và

x1x2

y1

y1y2 cũng thuộc cùng một lớp t-ơng đẳng.

x1
y2

Thực ra ta có
1.1.4. Bổ đề. Một quan hệ t-ơng đ-ơng trên nửa nhóm S là một t-ơng
đẳng nếu và chỉ nÕu víi mäi x1, x2, y1, y2 cã: x1y1, x2y2 x1x2y1y2.
Chứng minh.Giả sử là một t-ơng đẳng. Nếu x1y1 và x2y2 thì theo
định nghĩa, x1x2x1y2 và x1y2y1y2, do tính bắc cầu của suy ra x1x2y1y2.
Khẳng định ng-ợc lại là hiển nhiên.
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S. Xác định
một quan hÖ X nh- sau: (x, y)  X  (u, v  S1: uxv  X  uyv  X).
Khi đó X là một t-ơng đẳng trên S và đ-ợc gọi là t-ơng đẳng cú pháp
của X trong S.
Chúng ta nói rằng một t-ơng đẳng bóo hũa một tập con X của nửa
nhóm S nếu X là hợp của các lớp t-ơng đẳng của .
1.1.6. Bổ đề. Một t-ơng đẳng bóo hũa X S nếu và chØ nÕu
X=

xX

x.

(1.1)


7

Chứng minh. Vì x x nên X luôn luôn đ-ợc chứa trong hợp của (1.1).
Hơn nữa, nếu bÃo hòa X, thì X bằng hợp trong (1.1). Khẳng định ng-ợc lại là
hiển nhiên.
1.1.7. Bổ đề. Đối với mọi tập con X S, quan hệ X là t-ơng đẳng lớn nhất bÃo
hòa X.

Chứng minh. Khẳng định X là t-ơng đẳng trên S đ-ợc suy ra trực tiếp từ
cách xác định X.
Rõ ràng, X đ-ợc chứa trong hợp của tất cả xX (x X). Hơn nữa, nếu
y xX thì bằng cách chọn u = v = trong định nghĩa của X, chúng ta
nhận đ-ợc x X kÐo theo y  X. Tõ ®ã xX  X với mọi x X và do đó
X=

xX

X. Suy ra X bÃo hòa X.

Giả sử là một t-ơng đẳng bÃo hòa X. Theo Bổ đề 1.1.6, có X =

xX

x.

Giả thiết rằng xy và u, v S1 là các phần tử tùy ý. Thế thì uxuy và uxvuyv. Từ
đó uxv X nếu uyv X, vì bÃo hòa X. Nh- vậy (x, y) X và do đó

X. Vậy X là t-ơng đẳng lớn nhất trên S bÃo hòa X.
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử là một t-ơng đẳng trên S, và giả sử
S = x x S
là tập hợp tất cả các lớp t-ơng đẳng của S. Khi đó t-ơng ứng (x, y) xy
là một phép toán hai ngôi trên S (theo Bổ đề 1.1.4), và với phép toán đó,
S trở thành một nửa nhóm đ-ợc gọi là nửa nhãm th-¬ng (cđa
S modulo).


8

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.8 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai
ngôi xác định trong S nh- trên có tính chất kết hợp. Thật vậy, với mäi x,
y, z  S, ta cã
x.(y.z) = x.(yz) = (x(yz) = ((xy)z) = (xy).z = (x.y).z.
1.1.9. VÝ dô. (1) XÐt nưa nhãm S = e, a, f, b víi bảng nhân sau (xem
hỡnh 1a). Khi đó e và f là các lũy đẳng, e là đơn vị của S.
Giả sử là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất. Thế thì chỉ có
fb và bf, và là một t-ơng đẳng trên S với các lớp t-ơng đẳng x = c,
y = a và z = f, b. Bảng nhân của nửa nhóm th-ơng S đ-ợc cho bởi
bảng thứ hai bên cạnh (xem hỡnh 1b).
e

a

f

b

e

e

a

f

b

a

a

e

b

f

f

b

b

b

f

x

y

z

x

x

y

z

f

y

y

x

z

f

b

z

z

z

z

b

f

(b)

(a)
Hỡnh 1
T-ơng tù, quan hƯ ®èi xøng 1 (víi iS  1) sao cho e1a và f1b là một
t-ơng đẳng. Nó chỉ có hai lớp t-ơng đẳng là e, a và f, g, do đó nửa
nhóm th-ơng S1 là một nửa nhóm có hai phần tử.
Quan hệ đối xứng 2 sao cho a2b không phải là một t-ơng đẳng, vì
a.a = e vµ a.b = f trong S nh-ng (e,f) 2. Trong tr-ờng hợp này, 2 không
t-ơng thích với tích của S: (a,b)2 nh-ng (aa, ab)  2.
(2) XÐt S = (ℤ, +).


9

Nếu là một t-ơng đẳng của S, thì nm kÐo theo (n + k)(m + k),
k  ℤ. Gi¶ thiết rằng k là nguyên không âm nhỏ nhất sao cho n(n + k)
với n nào đó thuộc . Nói riêng, 0k. Ký hiệu m là số d- còn lại của m
đ-ợc chia bởi k: 0 m m và m = m (modk). Khi đó m m . Điều ng-ợc
lại cũng đúng, và nh- vậy các t-ơng đẳng của (Z, +) thực chất là các t-ơng
đẳng đà xét trong Lý thuyÕt sè,  b»ng modk (k > 0).
B©y giờ, ta chứng minh rằng các t-ơng đẳng của một nưa nhãm S
®ãng d-íi phÐp lÊy giao.
1.1.10. MƯnh ®Ị. i) Nếu i i I là một họ các t-ơng đẳng của S, thì

=

iI

i cũng là một t-ơng đẳng của S.

ii) Giả sử S.S là một quan hệ trên S. Thế thì

c = là một t-ơng đẳng trên S,
là t-ơng đẳng bé nhất của S chứa .
Chứng minh. i) Giả sử xy và z S. Khi đó xiy, với mọi i I và do đó
zxizy, xziyz, với mọi i I, vì i là t-ơng đẳng, với mọi i I. Từ đó zxzy
và xzyz. Do đó là một t-ơng đẳng trên S.
ii) Khẳng định thứ hai đ-ợc suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và
định nghĩa giao của các tập hợp.
1.1.11. Định nghĩa. Giả sử là một t-ơng đẳng trên S. Khi đó ánh xạ
: S S/, (x) = x là một toàn cấu và đ-ợc gọi là đồng cấu tự

nhiên.
Vì là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 3.11 hợp lý, ta chỉ
cần chứng minh là đồng cấu.
Thật vậy, x, y S có  (xy) = xy = x.y =  (x).  (y).


10

1.1.12. Định nghĩa. Giả sử : S P là một đồng cấu nửa nhóm. Khi
đó quan hệ
(x, y) SS (x) = (y)
là một t-ơng đẳng trên S, đ-ợc gọi là hạt nhân của và đ-ợc ký hiƯu lµ
ker().
Ng-êi ta cịng viÕt ker() =  -1, trong ®ã  -1(y) = x S (x) = y vµ

 -1 đ-ợc hình dung nh- là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải).
Sự kiện: ker() là một t-ơng đẳng đ-ợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa
đồng cấu nửa nhóm và cách xác định ker(). Hơn nữa, nếu là một t-ơng

đẳng trên S, thì = ker( ). ThËt vËy, xy  x = y   (x) =  (y)
 (x, y)  ker(  ).
Gộp các kết quả trên, ta nhận đ-ợc
1.1.13. Hệ quả. Mỗi t-ơng đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó.
Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh các Định lý về đồng cấu và
đẳng cấu nửa nhóm.
1.1.14. Định lý. Giả sử : S P là một ®ång cÊu tïy ý. Tån t¹i duy
nhÊt mét phÐp nhóng  : S/ker()  P sao cho biĨu ®å sau đây giao hoán:
S
ker()




P


S/ker()

nghĩa là = ker()

Chứng minh. Giả sử = ker() và : S S/ là đồng cấu tự nhiên.
Khi ú tng ng : S/ P xác định bởi (x) = (x) với mọi x S
là một ánh xạ. Thật vậy,
x = y  (x, y)  ker()  (x) = (y) (x) = (y).
Từ đây cũng trực tiếp suy ra là đơn ánh.


11

Hơn nữa, là đồng cấu, vì

(x.y) = (xy) = (xy) = (x).(y) = (x).(y).
Cuèi cïng,  lµ duy nhÊt vì nếu : S/ P là một phép nhóng tháa m·n

 =    th× (x) = (x), x  S nªn (x) = (x), x  S/. Do đó
= .
1.1.15. Định lý. (Định lý ®ång cÊu nưa nhãm). Gi¶ sư  : S  P là
đồng cấu nửa nhóm và ker() là một t-ơng đẳng của S. Thế thì tồn tại
một đồng cÊu duy nhÊt : S/  P sao cho  =   , trong ®ã  : S  S/
là đồng cấu tự nhiên.
Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn t-ơng tự nh- chứng minh Định lý
1.1.14. ở đây chúng ta chú ý rằng ánh xạ cho bởi (x) = (x) là hoàn
toàn xác định, vì x = y  xy  (x, y)    (x, y) ker() (x) = (y),
do ker().
Định lý đồng cấu cũng nh- Định lý đẳng cấu tiếp theo là những kết quả
đại số phổ dụng tiêu biểu, nghĩa là chúng đ-ợc thỏa mÃn trong tất cả các
cấu trúc đại số (nhóm, vành, đại số Bool).
1.1.16. Định lý. (Định lý đẳng cấu). Giả sử : S P là một đồng cấu.
Thế thì

(S) S/ker().
Chứng minh. Vì : S P là một đồng cấu nên : S (S) là một toàn
cấu. Theo Định lý 1.1.14, chúng ta nhận đ-ợc một phép nhúng duy nhất

: S/ker() (S). Hơn nữa, là toàn ánh vì là toàn ánh từ S vào (S) và
=  víi  = ker() . Do ®ã  là một đẳng cấu, từ đó S/ker() (S).


12

1.2. BĂNG VÀ NỬA DÀN. BĂNG CÁC NỬA NHÓM
Trước hết ta nhắc lại một quan hệ thứ tự  trên một tập X được gọi là
một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng
ký hiệu a  b để chỉ a  b và a  b
1.2.1. Bổ đề. Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S.
Khi đó quan hệ  xác định trên E bởi:e  f (e, f  E) nếu ef  fe  e là một
thứ tự bộ phận trên E.
Chứng minh. Vì e  E nên e2  e , do đó e  e nên  phản xạ. Hơn nữa,
nếu e  f , f  e thì ef  fe  e và fe  ef  f nên e  f , do đó  phản
đối xứng. Ta lại có: nếu e  f và f  g thì ef  fe  e và gf  fg  f nên

eg  (ef )g  e( fg)  ef  e , ge  g( fe)  (gf )e  fe  e . Do đó, e  g nên 
bắc cầu.
1.2.2. Chú ý. Quan hệ  xác định trong Bổ đề 1.2.1 được gọi là thứ tự
bộ phận tự nhiên trên E.
1.2.3. Định nghĩa. Giả sử  là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập
con của X.
i) Phần tử b  X được gọi là cận trên của Y nếu y  b với mọi y  Y
ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y,
nếu b  c với mọi cận trên c của Y (nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng
hợp đó là duy nhất)
iii) Phần tử a  X được gọi là cận dưới của Y nếu a  y với mọi y  Y
iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu
d  a với mọi cận dưới d của Y (nếu Y có một giao trong X, thì rõ ràng giao

đó cũng duy nhất).
v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên ( hay dưới), nếu
mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp (hay giao) trong X; trong

13

trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X. Hợp
(giao) của {a, b} sẽ được ký hiệu là a  b ( hay a  b ).
vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn
trên và nửa dàn dưới.
vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và
một giao.
1.2.4. Ví dụ. 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm
S bổ sung thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ
bao hàm của lý thuyết tập hợp. Vì giao của một tùy ý các nhóm con của S
hoặc là rỗng , hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ,
Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các
nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp
theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y. Tất cả các lý luận trên
vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập hợp của S” bởi
từ “tương đẳng trên S”.
2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung
thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con
đầy đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S.
1.2.5. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử
của S đều là lũy đẳng.
Giả sử S là một băng. Khi đó S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự
nhiên (a  b (a, b  S) nếu và chỉ nếu ab  ba  a ).
1.2.6. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự
bộ phận tự nhiên trên S. Giao a  b của hai phần tử a và b của S trùng với
tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối
với phép giao.

14

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.1, quan hệ  là một thứ tự bộ phận trên
S (= E). Ta chứng tỏ rằng nếu tích ab (= ba) của hai phần tử a, b  S trùng
với cận dưới lớn nhất của {a, b} .
Từ (ab)a  a(ba)  a(ab)  aab  a 2b  ab và a(ab)  (aa)b  a2b  ab suy
ra ab  a . Tương tự ab  b nên ab là cận dưới của {a, b} . Giả sử c  a và
c  b . Thế thì (ab)c  a(bc)  ac  c ,và tương tự, c(ab)  c , từ đó c  ab .

Do đó ab là cận dưới lớn nhất của {a, b} . Do đó S là nửa dàn dưới.
Mệnh đề đảo là hiển nhiên.
1.2.7. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hốn. Khi đó nếu đặt a  b khi
và chỉ khi ab( ba)  b thì (S, ) là nửa dàn trên. Tuy nhiên để cho thống
nhất, trong luận văn này ta giữ Định nghĩa nêu trong 1.2.5. Từ đây về sau,
ta sẽ dùng nửa dàn như đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Hơn nữa, từ nửa
dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu khơng nói gì thêm.
1.2.8. Ví dụ. Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. S  X  Y là tích
Decartes của X và Y. Ta đinh nghĩa phép tốn hai ngơi trên S bằng cách đặt
( x1, y1 )( x2 , y2 )  ( x1, y2 ) với x1, x2  X; y1, y2  Y . Tính kết hợp và lũy đẳng

của phép tốn đó là hiển nhiên. Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập
X  Y . Lý do của tên gọi đó như sau: Ta hãy tưởng tượng X  Y là một

băng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm ( x, y) nằm ở dịng x cột y của
bảng. Thế thì a1  ( x1, y1 ) và a2  ( x2 , y2 ) là hai đỉnh đối diện của hình chữ
nhật, mà hai đỉnh kia là a1a2  ( x1, y2 ) và a2a1  ( x2 , y1 ) . Các băng chữ nhật
trên X  Y và X ' Y ' đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu X  X ' và
Y  Y' .

15

Nếu X  1, Y  1thì băng chữ nhật trên X  Y đẳng cấu với nửa nhóm
các phần tử khơng bên phải.
1.2.9. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm S được phân hoạch thành hợp của các
nửa nhóm con rời nhau S ,  I (I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói
rằng S phân tích được thành các nửa nhóm con S ,  I .
Chú ý rằng sự phân tích trên đây chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con
S thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S.

Giả sử S  {S ,  I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với
mọi cặp  ,   I , tồn tại   I để cho S .S  S . Ta định nghĩa một phép
toán đại số trong I bằng cách đặt  .   nếu S .S  S , khi đó I trở
thành một băng đối với phép tốn đó. Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa
nhóm S .
Ánh xạ  : S  I xác định bởi  (a)   nếu a  S là một toàn cấu và
các nửa nhóm con S là các lớp của tương đẳng hạt nhân Ker . Đảo lại,
nếu  là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên băng I thì ảnh ngược
S   1( ) của mỗi phần tử   I là một nửa nhóm con của S và S là hợp

của nửa dàn I các nửa nhóm S ,  I .


16

Chƣơng 2. TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA
NHĨM IĐÊAN
2.1. TÍNH CHẤT THU HẸP IĐÊAN ĐỐI VỚI CÁC NỬA NHĨM CĨ PHẦN
TỬ ZERO.

2.2.1. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm có tính chất thu
hẹp iđêan (ideal retraetion property - IRP) nếu S không phải là nửa nhóm
đơn (nghĩa là S có ít nhất một iđêan thực sự) và với mỗi iđêan I của S đều
tồn tại một đồng cấu thu hẹp φ: S→ I (nghĩa là φ là đồng cấu nửa nhóm và
φ thu hẹp trên I là tự đẳng cấu đồng nhất của I)
2.1.2. Ký hiệu. Giả sử S là một nửa nhóm.
i) Phần tử e  S được gọi là lũy đẳng nếu e2 = e. Tập hợp tất cả các
phần tử lũy đẳng của S được ký hiệu bởi E(S), Es hay E – nếu không sợ
nhầm lẫn
ii) Phần tử 0  S được gọi là phần tử zero (phần tử không) nếu thỏa mãn
các điều kiện 0.x = 0 = x.0 với mọi x  S.
Nửa nhóm S có thể có hoặc khơng có phần tử zero. Nếu S chứa phần tử zero
thì phần tử ấy phải duy nhất, khi đó S được gọi là nửa nhóm với phần tử zero.
2.1.3. Chú ý. a) Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó ta có thể nhúng S
vào nửa nhóm S0 với phần tử zero bằng cách đặt
S0 =

S
nếu S có phần tử zero
S  {0} nếu S khơng có phần tử zero

Trong trường hợp thứ hai, 0 là một ký hiệu không thuộc S thỏa mãn
0.x = 0 = x.0 với mọi x S và phép nhân trên S chính là phép nhân trên S0
thu hẹp trên S. Khi đó 0 là phần tử zero của S0.
b) Phần tử đơn vị và phần tử zero (nếu có) là các lũy đẳng của S.
2.1.4. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm thỏa mãn hai điều kiện:
i) E = E(S) là một tập con thực sự của S.

17

ii) Tồn tại phần tử e  E sao cho với mọi a, b  S có
a nếu a  E
e nếu a  E

ab =

Khi đó S là nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan.
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra E ≠ , E ≠ S và E là một iđêan của S.
Vậy S không phải là nửa nhóm đơn.
Giả sử I là một iđêan của S. Ta xác định ánh xạ φ: S → I bởi
x nếu x  I
φ(x) =
e nếu x S \ I
==
Thế thì φ thu hẹp trên I là một tự đẳng cấu đồng nhất của I. Ta chứng minh
φ là đồng cấu nửa nhóm. Xét các trường hợp sau:
i) a  I, b  I. Khi đó ab  I vì I là iđêan của S và φ(a) = a, φ(b) = b,
φ(ab) = ab. Do đó φ(ab) = φ(a)φ(b)
ii) a  I, b S \ I. Khi đó ab  I vì I là iđêan của S và φ(a) = a, φ(b)= e,
φ(ab)= ab.
+) Nếu a  E thì φ(a)φ(b) = ae = a = ab = φ(ab)
+) Nếu a  S \ E thì φ(a)φ(b) = ae = e và φ(ab) = φ(e) = e. Do đó
φ(ab)= φ(a)φ(b) ≠ e.
iii) a  S \ I, b  I và (iv) a  S \ I, b  S \ I được lập luận tương tự.
2.1.5. Ví dụ. Giả sử S = {e, a, b, c} là nửa nhóm cấp 4 với bảng nhân
Cayley
.

e

a

b

c

e

e

e

e

e

a

e

e

e

e

b

e

e

e

e

c

c

c

c

c


18

Thế thì các iđêan của S là S, E = {e, c}, I = {e, b, c} và J ={e, a, c}.
Vậy S khơng phải là nửa nhóm đơn.
Thử trực tiếp thấy e  E thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.2.4. Do
đó S có tính chất thu hẹp iđêan.
Đặc trưng sau đây cho một dấu hiệu khác để nhận biết một nửa nhóm có
tính chất thu hẹp iđêan.
2.1.6. Mệnh đề. Giả sử S là nửa nhóm với phần tử zero 0 và S ≠ {0}
thỏa mãn các điều kiện sau:
ab =

a nếu a = b = e  E
0 nếu ngược lại

Thế thì S có tính chất thu hẹp iđêan.
Chứng minh. Vì {0} là một iđêan của S và {0} ≠ S nên S không phải là
nửa nhóm đơn.
Giả sử I là một iđêan của S. Xác định ánh xạ φ: S →I cho bởi
x nếu x  I
0 nếu x  S \ I

φ(x) =
==

Khi đó φ thu hẹp trên I là một ánh xạ đồng nhất. Thử trực tiếp φ là đồng
cấu nửa nhóm nên S là nửa nhóm có tính chất thu hẹp iđêan.
2.1.7. Ví dụ. Giả sử S = {0, a, b, c} là nửa nhóm cấp 4 với bảng nhân
Cayley
.

0

a

b

c

0

0

0

0

0

a

0

0

0

0

b

0

0

b

0

c

0

0

0

c


19

Thế thì phần tử zero 0  E và các điều kiện của Mệnh đề 2.1.6 được
thỏa mãn. Do đó S có tính chất thu hẹp iđêan.
2.1.8. Ví dụ. Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng: lớp các nửa nhóm có tính
chất thu hẹp iđêan khơng khép kín với việc lấy nửa nhóm con.
Giả sử S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} là nửa nhóm con cấp 6 với bảng nhân
Cayley
.

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

4

4

1

1

3

4

1

1

5

1

1

1

1

5

6

6

1

1

5

6

1

1

Khi đó S là nửa nhóm với tính chất iđêan.
Giả sử T = {1, 5, 6}. Khi đó T là một nửa nhóm con của S và I = {1, 6}
là một iđêan của T. Vì khơng tồn tại một đẳng cấu thu hẹp nào từ T lên I
nên T khơng có tính chất thu hẹp iđêan.
2.1.9. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero. Nếu I và

J là hai iđêan của S thỏa mãn hai điều kiện I  J =  và I  J = S thì ta
nói rằng các iđêan của I và J là các iđêan đối ngẫu (dual ideal) của S và S là
tổng trực tiếp (direct sum) của I và J. Ký hiệu S = I  J
2.1.10. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero sao cho mỗi
iđêan của S có một iđêan đối ngẫu. Thế thì S có tính chất thu hẹp iđêan.
Chứng minh. Giả sử I và J các iđêan của S sao cho S = I  J. Xác định
ánh xạ φ: S → I cho bởi:


20

φ(x) =
==

x nếu x  I
0 nếu x  J

Khi đó φ là một thu hẹp đồng cấu của S lên I. Thật vậy, theo định nghĩa
φ, ta thấy φ là ánh xạ từ S lên I và φ thu hẹp trên I là ánh xạ đồng nhất. Để
chứng minh φ là đồng cấu nửa nhóm, ta xét 4 trường hợp:
+ Nếu x, y  I thì xy I và φ(xy) = xy = φ(x)φ(y)
+ Nếu x I, y J thì xy I  J nên xy = 0. Do đó
φ(xy) = 0 = x.0 = φ(x)φ(y), vì φ(x) = x  I và φ(y) = 0
+ Nếu x  J, y  I thì lập luận tương tự trường hợp 2
+ Nếu x, y  J thì xy  J và do đó φ(xy) = 0 = 0.0 = φ(x)φ(y),
vì φ(x) = 0 và φ(y) = 0 do x, y  J
2.1.11. Ví dụ. Giả sử S = {0, a, b, c} là nửa nhóm cấp 4 với bảng nhân
Cayley
.

0

a

b

c

0

0

0

0

0

a

0

a

0

0

b

0

0

b

b

c

0

0

c

0

Khi đó 0 là phần tử của S. Các iđêan của S là S, {0}, I = {0, b, c},
J = {0, a}. Thế thì S = S  {0} = I  J, do đó S thỏa mãn các điều kiện
của Mệnh đề 2.1.10. Từ đó S có tính chất thu hẹp iđêan.
2.1.12. Ví dụ. Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng khẳng định ngược lại của
Mệnh đề 2.1.10 nói chung khơng đúng.
Giả sử S = {a, b, c, d} là nửa nhóm với bảng nhân Cayley


21

.

a

b

c

d

a

a

a

a

a

b

a

b

a

a

c

a

a

c

c

d

a

a

c

d

Thế thì S có tính chất thu hẹp iđêan và a là phần tử zero của S. Tuy nhiên,
I = {a, b, c} khơng có iđêan đối ngẫu, vì {a, d} không phải là iđêan của S.
Chú ý rằng cd = c.
2.1.13. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm sao cho tồn tại tập con F
của S và e  F E, với e ≠ 0 thỏa mãn điều kiện sau: với mọi a, b  S có
ab =
==

e nếu a, b  F
0 nếu ngược lại

Thế thì S có tính chất thu hẹp iđêan.

Chứng minh. Giả sử I là một iđêan của S. Xác định ánh xạ φ: S →I cho
bởi

x nếu x  I
e nếu e  I, x  F \ I
0 nếu ngược lại

φ(x) =
==

Thế thì φ là thu hẹp của S lên I. Ta chứng minh φ đồng cấu. Thật vậy, giả
sử a, b  S. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. a, b  F
 Nếu e  I, thế thì φ(ab) = φ(e) = e và chú ý rằng φ(x)  F với mọi x  F vì
φ(x) =

x nếu x  F  I
e nếu x  F \ I

Như vậy, φ(a) F, φ(b)  F và do đó φ(a)φ(b) = 0. Từ đó
φ(ab) = φ(a) φ(b)


22

 Nếu e  I, thế thì φ(ab) = φ(e) = 0. Chú ý rằng a, b  F và
(a  I hay b  I), thế thì e = ab  I dẫn tới mâu thuẫn. Như vậy, a  I và
b  I, từ đó φ(a) φ(b) = 0.0 = 0 (vì a, b  I và e  I). Suy ra
φ(ab) = φ(a) φ(b).
Trường hợp 2. Giả thiết rằng a  F hay b  F. Không mất tính tổng

qt, giả sử a  F. Thế thì φ(ab) = φ(0) = 0
 Nếu a I, thế thì φ(ab) = a.φ(0) = 0, do a  F, và từ đó
φ(ab) = 0 = φ(a) φ(b).
 Nếu a  I, thế thì φ(a) = 0, vì a  F và a  I , từ đó
φ(ab) = 0.φ(b) = 0. Suy ra φ(ab) = 0 = φ(ab).
Vậy φ là đồng cấu nửa nhóm.
2.1.14. Ví dụ. Giả sử S = {a, b, c} là một nửa nhóm cấp 3 với bảng
nhân Cayley
.

a

b

c

a

a

a

a

b

a

a

a

c

a

a

a

Từ Mệnh đề 1.1.13 suy ra S có tính chất thu hẹp iđêan, bằng cách lấy
F = {b}.
2.1.15 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử zero 0.
i) Phần tử a  S gọi là phần tử lũy linh (nilpotent) nếu an = 0 với số
nguyên n nào đó.
ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm nil (nil semigroup) nếu mọi
phần tử S đều lũy linh.
iii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero (zero semigroup) nếu
xy = 0 với mọi xy thuộc S.


23

2.1.16. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm giao hốn hữu hạn và khơng
phải nửa nhóm zero. Khi đó tồn tại p  S sao cho p ≠ 0, p= ab với a, b  S
nào đó và px = 0 với mọi x thuộc S.
Chứng minh. Vì S khơng phải là nửa nhóm zero nên tồn tại các phần tử
thuộc S mà tích của chúng khác zero. Xét các dãy (x1, x2,…,xn) trong S sao
cho x1x2 …xn ≠ 0. Vì mỗi phần tử của S đều lũy linh nên tồn tại một cận trên
theo độ dài của các dãy như vậy. Giả sử p = p1p2…pn, trong đó

(p1, p2,…,pn) là dãy có độ dài cực đại mà tích của chúng khác zero. Thế thì
px = 0 với mọi x  S.
2.1.17. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm nil giao hốn với tính chất
thu hẹp iđêan. Thế thì S là một nửa nhóm zero.
Chứng minh. Giả thiết phản chứng rằng S không phải là một nửa nhóm zero
Giả sử I = {x  S | xS = 0}. Thế thì I là một iđêan của S. Theo Bổ đề
2.1.16, tồn tại p  S, p ≠ 0 sao cho px = 0 với mọi x  S và p = ab với
a, b  S nào đó. Trực tiếp thấy rằng p  I.
Vì S có tính chất thu hẹp iđêan nên tồn tại một đồng cấu thu hẹp
φ: S → I. Vì p  I nên p = φ(p) = φ(ab) = φ(ab) = 0 (do φ(a)  I). Điều
này mâu thuẫn với p ≠ 0. Do đó S là một nửa nhóm zero.
2.2. CẤU TRÚC CỦA NỬA NHĨM IĐÊAN GIAO HỐN.
2.2.1. Định nghĩa. i) Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S. Khi đó qua
hệ I cho bởi (a, b)  I nếu và chỉ nếu a = b hoặc a, b  I là một tương
đẳng trên S, được gọi là tương đẳng Rees (Rees congruence) xác định bởi I
và vị nhóm thương S
nhóm S theo iđêan I.

I

được gọi là thương Rees (Rees quotitent) của nửa


24

Để đơn giản, ta dùng ký hiệu S

I

thay cho ký hiệu S

I

. Chú ý rằng I

là phần tử zero của S .
I
ii) Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm iđêan (ideal semigroup) nếu
mỗi tương đẳng trên S là một tương đẳng Rees, nghĩa là: nếu  là một
tương đẳng trên S thế thì tồn tại một iêan I của S sao cho  = I.
Chú ý rằng I  ( I  I )   S , trong đó  S là tương đẳng đồng nhất trên
S (nghĩa là (a, b)   S nếu và chỉ nếu a = b).
2.2.2. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm iđêan. Khi đó
(1) S có một phần tử zero 0
(2) Nếu  là một tương đẳng trên S, thế thì   ( I  I )   S ,
trong đó I = {x  S | (x, 0) }.
Chứng minh. Để chứng minh (1), ta nhận thấy rằng  S  (s, s)  S  S s  S
là một tương đẳng trên S. Vì S là một nửa nhóm iđêan, nên tồn tại một
iđêan I của S sao cho  S   I  I    S . Do đó I  I   S , từ đó
I  I  0,0  . Ta kết luận rằng I = {0} và do đó S có một phần tử zero 0.

Để chứng minh (2), giả sử  là một tương đẳng trên S. Thế thì, vì S là
nửa nhóm iđêan nên tồn tại iđêan của S sao cho   ( I  I )   S . Giả sử
J = {x  S |(x,0)  }. Thế thì J là một iđêan của S và J  I. Để hoàn thành
phép chứng minh ta cần chứng tỏ rằng I  J. Thật vậy, giả sử x  I. Thế thì
(x, 0)  I×I  . Do đó x  J. 
2.2.3. Mệnh đề. Ảnh đồng cấu của một nửa nhóm iđêan là một nửa
nhóm iđêan.

25

Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm iđêan, : S  T là một đồng
cấu từ S lên nửa nhóm T và  là một tương đẳng trên T. Định nghĩa

 = {(x,y)  S×S | ((x), (y) }.
Thế thì  là một tương đẳng trên S. Vì S là nửa nhóm iđêan nên

  ( I  I )   S với một iđêan I nào đó của S. Giả sử J = (I). Thế thì J là
một iđêan của T vì  là tồn cấu.
Chúng ta khẳng định rằng  = (J×J)  T.
Thật vậy, giả thiết rằng ((x), (y)) . Khi đó (x,y)  . Nếu x = y thì
(x,y)  T. Nếu x  y thế thì (x, y)  I×I và ((x), (y)  J×J.
Suy ra   (J×J)  T.
Mặt khác, giả sử (a,b)  J×J. Thế thì a = (x) và b = (y) đối với
(x, y)  I×I nào đó. Như vậy (x,y)   và do đó (a,b)  . Suy ra

 = (J×J)  T và do đó T là một nửa nhóm iđêan. 
Bây giờ ta trình bày cấu trúc của nửa nhóm giao hốn tùy ý. Các kết quả
này thuộc về Tamura và Kimura.
2.2.4. Định nghĩa. Nửa nhóm giao hốn S được gọi là nửa nhóm
Acsimet (Archimedian semigroup) nếu với mọi a, b  S tồn tại các số tự
nhiên m và n sao cho am chia hết b và bn chia hết a (nghĩa là am.q = b và
bn.p = a với p, q nào đó thuộc S).
2.2.5. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và  là một tương đẳng
trên S. Khi đó  được gọi là một lũy đẳng (idempotent) nếu mỗi phần tử
của nửa nhóm thương S



đều là phần tử lũy đẳng.