Một số tính chất cơ sở của vành va iđêan trong vành giao hoán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN

LÊ NHƯ HẢO

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ SỞ CỦA
VÀNH VÀ IĐÊAN TRONG VÀNH
GIAO HOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ

Cán bộ hướng dẫn:
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

NGHỆ AN - 2012


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu
1 Một số kiến thức cơ sở về vành giao hoán
1.1. Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Các phần tử đặc biệt của vành . . . . . . . .

1.3. Các cấu trúc trong vành . . . . . . . . . . .
1.4. Đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3
3
5
8
10
13

2 Các phép toán trên các iđêan
17
2.1. Một số iđêan đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Các phép toán trên các iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


2

MỞ ĐẦU

Vành là một trong những cấu trúc quan trọng trong Đại số. Hầu hết
các tập hợp số và các đối tượng nghiên cứu trong chương trình phổ thơng
đều có cấu trúc vành. Chẳng hạn vành các số nguyên Z, trường các số
hữu tỉ Q, trường các số thực R, trường các số phức C, các vành đa thức
Z[x], Q[x], R[x], C[x], ...
Vành đã được đưa vào giảng dạy ở mơn Đại số đại cương trong chương
trình đào tạo đại học. Tuy nhiên, ở đó sinh viên mới chỉ biết sơ qua về cấu
trúc vành. Vì vậy dựa vào các tài liệu tham khảo, khóa luận này sẽ tìm hiểu
sâu hơn về cấu trúc vành giao hoán và các iđêan trên chúng.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung Khóa
luận được viết thành hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở
về vành giao hốn. Chương 2 trình bày về một số iđêan đặc biệt và các phép
toán trên các iđêan. Nội dung của Khóa luận được tham khảo chủ yếu dựa
vào [3]. Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày lại các kết quả và làm một
số bài tập trong [3].
Trong q trình viết khóa luận, tác giả được sự hướng dẫn, góp ý nhiệt
tình cả về mặt nội dung cũng như cách trình bày khóa luận của TS. Nguyễn
Thị Hồng Loan. Tác giả trân trọng gửi tới TS. Nguyễn Thị Hồng Loan lời
cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết
ơn tới các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Đại số và khoa Toán đã tạo điều kiện
cho tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt cả khóa học.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng khóa luận cũng khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý thêm từ các thầy cơ và
các bạn để khóa luận trở nên hồn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 5 năm 2012
Tác giả


3

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH GIAO HOÁN

1.1

Vành

1.1.1 Định nghĩa. Vành là một tập hợp R = φ, trên đó trang bị hai phép
tốn là phép cộng và nhân như sau:
Phép cộng:
+
:
R×R → R
(x; y) → x + y
Phép nhân:
·
:
R×R → R
(x; y) → xy
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) (R, +) là một nhóm Abel;
ii) (R, ·) là một nửa nhóm;
iii) Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, tức là, với các phần tử
x, y, z ∈ R tùy ý ta ln có:

(x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy.
Ta kí hiệu vành cùng với hai phép toán trên là (R, +, ·).
1.1.2 Nhận xét.
- Vành R được gọi là vành giao hốn nếu phép nhân có tính chất giao
hốn, nghĩa là với x, y ∈ R thì xy = yx.

- Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân có phần tử đơn vị.
- Phần tử đơn vị của phép cộng ta gọi là phần tử khơng của vành và kí
hiệu là 0, phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) thì ta gọi là phần tử đơn vị
của vành và kí hiệu là 1.
- Trường hợp vành R có phần tử đơn vị bằng phần tử khơng, thì ∀x ∈ R
ta có:
x=x·1=x·0=0


4

và như vậy vành R chỉ có một phần tử R = {0} và ta gọi là vành khơng, kí
hiệu là 0.
- Cho R là vành giao hốn có đơn vị, nếu tồn tại số nguyên m sao cho
mx = 0, ∀x ∈ R, thì ta nói R là vành với đặc số hữu hạn. Số nguyên dương
n nhỏ nhất thỏa mãn nx = 0, ∀x ∈ R được gọi là đặc số của vành R. Nếu
n = 0 là số nguyên duy nhất thỏa mãn nx = 0, ∀x ∈ R thì R được gọi là
vành có đặc số 0.
- Trong khóa luận này, khi xét đến một vành thì vành đó là vành
giao hốn có đơn vị.
1.1.3 Ví dụ.
- Cho Z, Q, R, C lần lượt là tập hợp các số tự nhiên, số hữu tỉ, số thực và
số phức. Khi đó cùng với phép cộng và phép nhân thông thường lập thành
các vành tương ứng (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·). Hơn nữa chúng là
các vành giao hốn có đơn vị.
- Cho Zn = {0, 1, ..., n − 1} là tập hợp các số nguyên modulo n, với phép
cộng và nhân là:

∀x, y ∈ Zn ; x + y = x + y, x · y = x · y
Khi đó Zn là một vành giao hốn có đơn vị.

1.1.4 Ví dụ. Cho R là vành giao hốn có đơn vị.
- Một đa thức trên R là một tổng hình thức f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
trong đó a0 , a1 , ..., an ∈ R và an = 0 nếu n > 0, ai là các hệ tử của đa thức
f (x), a0 được gọi là hệ tử tự do, an được gọi là hệ tử có bậc cao nhất, n được
gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là deg (f (x)). Khi f (x) = a, a ∈ R, nếu
a = 0 thì đa thức có bậc là 0, cịn nếu a = 0 thì ta nói đa thức khơng có bậc.
Đặt
n
R [x] = {f (x) =
ai xi |i ∈ N, ai ∈ R}.
n
i
i=0 ai x , g (x)

Giả sử f (x) =
nghĩa hai phép toán như sau:
- Phép cộng:

f (x) + g (x) =

=

n
i=0

i=0
m
i
i=0 bi x

∈ R [x] , n > m, khi đó ta định

(a1 + bi ) xi , bi = 0 ∀i > m;

- Phép nhân:

f (x) g (x) =

m+n
i=0

ck xk ; ck =

ai aj , k = 1, ..., n + m.
i+j=k


5

Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được R [x] là một vành giao hốn có phần tử
đơn vị là 1R (và phần tử không là 0R ). Vành R [x] được gọi là vành đa thức
ẩn x với hệ số trên R.

1.2

Các phần tử đặc biệt của vành

1.2.1 Định nghĩa. Cho R vành giao hốn có đơn vị. Phần tử a ∈ R được
gọi là khả nghịch trong vành R nếu ∃b ∈ R; sao cho ab = 1. Phần tử b xác
định là duy nhất và được kí hiệu là a−1 và gọi là phần tử nghịch đảo của a.

Các phần tử khả nghịch của vành R lập thành một nhóm nhân giao hốn.
Trong vành R giao hốn có đơn vị, nếu mọi phần tử khác khơng đều khả
nghịch thì ta gọi vành đó là trường.
1.2.2 Ví dụ.
- Trong vành số nguyên Z chỉ có hai phần tử khả nghịch là 1 và −1.
- Trong vành các số hữu tỉ và vành số thực, mọi phần tử khác khơng đều
khả nghịch.
- Trong vành Z [x] , chỉ có hai phần tử 1 và −1 là khả nghịch.
1.2.3 Định nghĩa. Trong vành giao hoán R, phần tử x được gọi là ước của
không nếu x = 0 và ∃y ∈ R, y = 0 sao cho xy = 0.
Một vành giao hốn có đơn vị và khơng có ước của khơng được gọi là một
miền ngun.
1.2.4 Ví dụ.
- Trong vành Z6 , 2, 3, 4 là những ước của khơng vì 2 · 3 = 0, 4 · 3 = 0.
- Zn là miền nguyên nếu n là số nguyên tố.
1.2.5 Định nghĩa. Cho R là một vành, x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh
nếu ∃n ∈ N∗ sao cho xn = 0.
Như vậy phần tử lũy linh là ước của khơng, nhưng ngược lại thì có thể
khơng đúng.
1.2.6 Nhận xét. Nếu a là phần tử lũy linh của vành R thì ∀x ∈ R, xa cũng
là phần tử lũy linh của vành R. Thật vậy, vì a là lũy linh, nên ∃n ∈ Z, an = 0.
Mặt khác, R là vành giao hoán nên (xa)n = xn an = 0. Như vậy xa là lũy
linh.


6

1.2.7 Ví dụ.
- Trong vành R tùy ý, 0 ln là phần tử lũy linh.
3

2
- Trong vành Z8 , 0, 2, 4 là lũy linh vì 2 = 0, 4 = 0.
1.2.8 Mệnh đề. Cho x là một phần tử lũy linh của vành R. Khi đó 1 + x là
phần tử khả nghịch của vành R.
Chứng minh. Vì x là phần tử lũy linh của vành R nên ∃n ∈ Z, xn = 0 ⇒
(−x)n = (−1)n xn = 0 hay −x cũng là phần tử lũy linh. Ta có:

1 = 1 − 0 = 1 − (−x)n
= (1 + x)(1 − x + ... + (−x)n−1 )
Như vậy 1 + x là phần tử khả nghịch.
1.2.9 Hệ quả. Cho x là phần tử lũy linh, u là phần tử khả nghịch của vành
R, khi đó u + x là phần tử khả nghịch của vành R.
Chứng minh. Vì u khả nghịch nên ∃u−1 , sao cho uu−1 = 1. Khi đó, u + x =
u(1 + u−1 x), theo Nhận xét 1.2.6 suy ra u + x là phần tử khả nghịch.
1.2.10 Mệnh đề. Giả sử R là một vành giao hốn, có đơn vị. R [x] là vành
đa thức một biến với hệ tử trong R. Cho f ∈ R[x]

f = a0 + a1 x + ... + an xn , n ∈ N.
Khi đó:
i) f khả nghịch trong R[x] khi và chỉ khi a0 khả nghịch và a1 , ..., an là các
phần tử lũy linh trong vành R.
ii) f lũy linh khi và chỉ khi a0 , a1 , ..., an lũy linh.
iii) f là ước của không khi và chỉ khi tồn tại 0 = a ∈ R, af = 0.
Chứng minh.
i) ( ⇐ ) Giả sử a0 khả nghịch, ai lũy linh ∀i = 1, n. Khi đó ai xi là lũy linh
nên a1 x + ... + an xn là lũy linh. Vì a0 khả nghịch nên theo Hệ quả 1.2.9, f
là khả nghịch.
( ⇒ ) Giả sử f khả nghịch, chúng ta có thể tìm được

g = b0 + b1 + ... + bm sao cho f · g = 1

7

Ta có f · g = 1, khơng
nên:
1 =
0 =
0 =
...
0 =

mất tính tổng qt ta có thể giả thiết rằng n ≥ m

a0 b0
an b m
an bm−1 + an−1 bm

(1)
(2)

an b0 + an−1 b1 + ... + an−m bm (m)

Nhân hai vế phương trình (2) với an suy ra 0 = a2n bm−1 . Thực hiện liên tiếp
việc nhân phương trình thứ (i) với ai−1 , ta suy ra được 0 = am+1
b0 .
n
Vì a0 b0 = 1 nên am+1
= am+1
a0 b0 = 0. Như vậy an lũy linh.

n
n
n
Vì an lũy linh ⇒ an x lũy linh, f khả nghịch ⇒ f − an xn khả nghịch.
Làm lại thao tác tương tự như trên với f = f − an xn , f = f − an−1 xn−1 , ...,
ta suy ra được ai lũy linh ∀i = 1, n.
ii) ( ⇐ ) Nếu a0 , a1 , ..., an lũy linh thì rõ ràng f là lũy linh.
( ⇒ ) Giả sử f lũy linh. f lũy linh nên 1 + f khả nghịch. Theo i) suy ra
1 + a0 khả nghịch và ai lũy linh ∀i = 1, n.
Mặt khác, f lũy linh nên:
∃m ∈ N, f m = 0, tức là (a0 + a1 x + ... + an xn )m = 0
vì ai lũy linh ∀i = 1, n nên a = a1 x + ... + an xn lũy linh
k m−k k
⇒ (a0 + a)m = 0 ⇒ am
a =0
0 + C m a0
k m−k k
m
⇒ a0 = −Cm a0 a
k m−k k
Vì a lũy linh nên Cm
a0 a lũy linh. Điều này chứng tỏ rằng a0 lũy linh.
iii) ( ⇒ ) Giả sử f là ước của không,

f = a0 + a1 x + ... + an xn
Gọi

g = b0 + b1 x + ... + bm xm
là đa thức có bậc nhỏ nhất sao cho f · g = 0. Ta có:

0 = f g = (a0 + a1 x + ... + an xn )(b0 + b1 x + ... + bm xm )
.
= a0 b0 + an bm + m+n−1
ci x i
∀x ∈ R
i=1
⇒ a0 b0 = 0, ci = 0, an bm = 0
Giả sử an g = 0 ta sẽ có deg(an g) = deg(an ) + deg(g), nhưng

deg(an · g)
≤ m−1
⇒ mâu thuẫn ⇒ an g = 0.
deg(an ) + deg(g) = m
Từ đó

f g = 0, an g = 0
⇒ (a0 + a1 x + ... + an xn ) · g = 0, an g = 0
⇒ (a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 ) · g = 0


8

Chứng minh tương tự trên ta suy ra an−1 g = 0 ⇒ an−1 bm = 0. Nếu tiếp tục
thao tác như trên ta suy ra an−i g = 0 ∀i = 0, n hay an−i bm = 0 ∀i = 0, n.
Như vậy ∃bm , bm f = 0.
( ⇐ ) Điều ngược lại là hiển nhiên.

1.3

Các cấu trúc trong vành

1.3.1 Định nghĩa. Cho R là một vành, A ⊆ R, Khi đó A được gọi là một
vành con của R nếu A khép kín với hai phép tốn trên R và cùng với hai
vành con

phép tốn đó lập thành một vành. Ta kí hiệu A ⊆

R.

1.3.2 Ví dụ.
- Một vành ln có hai vành con tầm thường là 0 và R.
- Mọi nhóm con của Z đều có dạng mZ nên ta dễ dàng chứng minh được
mỗi vành con của Z có dạng mZ với m ∈ N.
Từ định nghĩa vành con, ta dễ dàng suy ra được mệnh đề sau.
1.3.3 Mệnh đề. Cho R là một vành, ∅ = A ⊆ R. Khi đó, A là vành con
của R khi và chỉ khi với mọi a, b ∈ A thì a − b ∈ A và ab ∈ A.
1.3.4 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một vành con
của vành R. Khi đó I được gọi là iđêan của R nếu:

∀a ∈ I, ∀x ∈ R ⇒ ax ∈ I.
Ta kí hiệu I

R.

1.3.5 Ví dụ.
- Trong vành R ln có hai iđêan tầm thường là 0 và R.
- Trong vành các số ngun Z, theo Ví dụ 1.3.2 thì mọi vành con đều có
dạng mZ, và ta cũng dễ dàng kiểm tra được chúng cũng là các iđêan. Như
vậy mọi iđêan trong vành số nguyên Z đều có dạng mZ.
1.3.6 Nhận xét. Từ định nghĩa, ta thấy:

I

R⇔

φ=I⊆R
a − b ∈ I , ∀a, b ∈ I, ∀x ∈ R.
ax ∈ I


9

1.3.7 Bổ đề. Cho I1 và I2 là các iđêan của vành R. Khi đó I1 ∩ I2 là một
iđêan của R.
Chứng minh. Ta có: I1 ⊆ R, I2 ⊆ R nên I1 ∩ I2 ⊆ R.
0 ∈ I1 , 0 ∈ I2 nên 0 ∈ I1 ∩ I2 hay I1 ∩ I2 = φ.
a, b ∈ I
a−b∈I
Ta lại có: ∀a, b ∈ I1 ∩ I2 ⇒ a, b ∈ I1 ⇒ a − b ∈ I1 ⇒ a − b ∈ I1 ∩ I2
2
2
a∈I
Mặt khác: ∀a ∈ I1 ∩ I2 , ∀x ∈ R ⇒ a ∈ I1
2
ax ∈ I
⇒ ax ∈ I1 vì I1 , I2 là các iđêan ⇒ ax ∈ I1 ∩ I2 . Vậy theo Nhận xét 1.3.6
2
suy ra I1 ∩ I2 là một iđêan của R.
n

1.3.8 Định lí. Giả sử Ii , ∀ i = 0, n là các iđêan của vành R, khi đó

Ii là
i=0

một iđêan của R.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 1.3.7 và bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng
n

Ii là một iđêan của R.

chứng minh được
i=0

1.3.9 Định nghĩa. Cho R là vành, tập con S ⊆ R. Khi đó giao của tất cả
các iđêan của R chứa S là một iđêan của R chứa S . Iđêan này được gọi là
iđêan sinh bởi tập S .

< S >.

Kí hiệu:

iđêan

1.3.10 Nhận xét. Cho J ⊆ R, S ⊆ R. Khi đó

J = < S > ⇔ J là iđêan bé nhất của R chứa S
S ⊆ J,
⇔
iđêan

Nếu K ⊆ R, K ⊇ S ⇒ K ⊇ J.
+ Nếu J = < S > thì S được gọi là một hệ sinh hay tập sinh của J .
+ Iđêan nào cũng có hệ sinh. Hệ sinh của mỗi iđêan là khơng duy nhất. Nếu
tồn tại một hệ sinh của J gồm hữu hạn phần tử thì iđêan J được gọi là iđêan
hữu hạn sinh.
1.3.11 Mệnh đề. Cho R là một vành, S = {a0 , a1 , ..., an } ⊂ R, khi đó:

S = x0 a0 + x1 a1 + ... + xn an |xi ∈ R, ∀i = 0, n .
là iđêan bé nhất chứa S .


10

Chứng minh. Đặt I = x0 a0 + x1 a1 + ... + xn an |xi ∈ R, ∀i = 0, n . khi đó I
là một iđêan. Thật vậy ∀ai ∈ S ta có ai = ai · 1 ∈ I nên I = φ và S ⊆ I .
Giả sử x, y ∈ I, r ∈ R khi đó sẽ tồn tại các phần tử xi , yi ∈ R sao cho

x = x0 a0 + x1 a1 + ... + xn an và y = y0 a0 + y1 a1 + ... + yn an
Khi đó:

x − y = (x0 − y0 )a0 + (x1 − y1 )a1 + ... + (xn − yn )an ∈ I vì xi − yi ∈ R,
rx = r(x0 a0 + x1 a1 + ... + xn an ) = rx0 a0 + rx1 a1 + ... + rxn an ∈ I.
Vậy I là một iđêan của R.
Ta có nếu J ⊇ S , J là iđêan của R thì ai ∈ J, ai r ∈ J ∀i = 0, n, r ∈ R. Do
vậy I ⊆ J hay I chính là iđêan bé nhất chứa S . Do đó I là iđêan sinh bởi
tập S.
1.3.12 Nhận xét.
- Khi S = {a} thì I = a = {ax|x ∈ R} và ta gọi I là iđêan chính sinh
bởi a. Một vành, mà mọi iđêan đều là iđêan chính thì ta gọi vành đó là vành
chính.

- I = 1 = {x|x ∈ R} = R.
- Nếu a là một phần tử khả nghịch trong vành R thì iđêan sinh bởi a sẽ chứa
1, do vậy I = a = R.

1.4

Đồng cấu vành

1.4.1 Định nghĩa. Cho R và R là các vành. Ánh xạ f : R → R được gọi
là đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) f (a + b) = f (a) + f (b), ∀a, b ∈ R;
ii) f (ab) = f (a)f (b), ∀a, b ∈ R.
Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu (toàn cấu hay đẳng cấu) vành nếu
f là đơn ánh (tồn ánh hay song ánh).
Nếu có một đẳng cấu vành f : R → R thì ta nói hai vành R và R đẳng
cấu với nhau, và kí hiệu R ∼
=R.
Tập Imf = {f (x)|x ∈ R} = f (R) được gọi là ảnh của đồng cấu vành f .
Tập Kerf = {x ∈ R|f (x) = 0} = f −1 (0R )} được gọi là hạt nhân hay
hạch của đồng cấu vành f .


11

1.4.2 Ví dụ.
i) Cho S là vành con của vành R, khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ

i: S → R
a → a
là một đồng cấu vành, và ta gọi là phép nhúng chính tắc.

ii) Ánh xạ đồng nhất
Id : R → R
x → x
là một đẳng cấu vành và gọi là tự đẳng cấu đồng nhất.
iii) Cho R, R là các vành, ánh xạ:

θ: R → R
x → θ(x) = 0
là một đồng cấu vành và gọi là đồng cấu tầm thường.
1.4.3 Mệnh đề. Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Tức là
nếu f : R → R , g : R → R là hai đồng cấu vành thì ánh xạ hợp thành
g ◦ f : R → R cũng là một đồng cấu vành.
Chứng minh. Vì f, g là các đồng cấu vành nên cũng là đồng cấu nhóm cộng.
Theo tính chất của đồng cấu nhóm cộng nên g ◦ f là đồng cấu nhóm cộng,
hay thỏa mãn điều kiện thứ nhất của một đồng cấu nhóm.
Điều kiện thứ hai cũng dễ dàng kiểm tra được là thỏa mãn. Thật vậy,
∀x, y ∈ R ta có:

g ◦f (x·y) = g(f (x·y)) = g(f (x)·f (y)) = g(f (x))·g(f (y)) = g ◦f (x)g ◦f (y).

Khi f, g là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì ánh xạ hợp thành g ◦ f cũng
là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
1.4.4 Mệnh đề. Cho f : R → R là một đồng cấu vành, khi đó:
i) Nếu A là một vành của vành R thì f (A) là vành con của vành R ;
ii) Nếu I là một iđêan của vành R thì f −1 (I) là iđêan của vành R.
Chứng minh.
i) Vì A là vành con của R nên A là nhóm con của nhóm (R, +). Do đó theo
tính chất của đồng cấu nhóm cộng thì f (A) là nhóm con của nhóm (R , +).
Như vậy ta chỉ cần chứng minh f (A) khép kín với phép tốn nhân.

12

Ta có: ∀b1 , b2 ∈ f (A), ∃a1 , a2 ∈ A sao cho f (a1 ) = b1 , f (a2 ) = b2 . Từ đây
suy ra b1 b2 = f (a1 )f (a2 ) = f (a1 a2 ) ∈ f (A). Vậy f (A) là một vành con của
vành R .
ii) Vì I là iđêan của vành R nên I là nhóm con của nhóm (R, +). Do đó
theo tính chất của đồng cấu nhóm cộng thì f −1 (I) là nhóm con của nhóm
(R, +).
Do vậy để chứng minh f −1 (I) là iđêan của vành R, ta cần chứng minh ∀x ∈ R
và ∀a ∈ f −1 (I) thì xa ∈ f −1 (I). Thật vậy:
∀x ∈ R
f (x) ∈ R
⇒ f (a) ∈ I
∀a ∈ f −1 (I)
⇒ f (x)f (a) ∈ I ⇒ f (xa) ∈ I ⇒ xa ∈ f −1 (I).
1.4.5 Hệ quả. Cho f : R → R là một đồng cấu vành, khi đó:
i) Imf là vành con của vành R ;
ii) Kerf là iđêan của vành R.
Chứng minh. Hệ quả được suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên.
1.4.6 Mệnh đề. Cho f : R → R là một đồng cấu vành, khi đó:
i) f là đơn ánh khi và chỉ khi Kerf = {0R };
ii) f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = R .
Chứng minh. Ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề dựa vào tính chất của
đồng cấu nhóm cộng.
Cho R, R là hai vành giao hốn có đơn vị, f : R → R là một đồng cấu
vành và I là một iđêan của vành R, J là một iđêan của vành R . Khi đó,
iđêan f −1 (J) được gọi là thu hẹp iđêan J trong vành R, và kí hiệu là J c .
Cịn iđêan sinh bởi f (I) được gọi là mở rộng của iđêan I trong vành R và
kí hiệu là I e .

1.4.7 Mệnh đề. Cho f : R → R là đồng cấu vành. I, J lần lượt là các iđêan
của R và R , khi đó:
i) I ⊆ I ec , J ⊇ J ce ;
ii) J c = J cec , I e = I ece .
Chứng minh. i) Ta có I e là iđêan sinh bởi f (I) nên f (I) ⊆ I e , do vậy I ⊆
f −1 (I e ) = I ec . Nên với mọi x ∈ I suy ra x ∈ I ec . Như vậy I ⊆ I ec .
Ta lại có, với mọi y ∈ J ce tồn tại xi ∈ J c , yi ∈ R sao cho y =
yi f (xi ).
c
Nhưng vì xi ∈ J nên f (xi ) ∈ J do vậy ∀yi ∈ R thì yi f (xi ) ∈ J nên y ∈ J .
Vậy J ce ⊆ J .


13

ii) J c là một iđêan trong R nên theo i) suy ra J c ⊆ j cec . Cũng theo i) ta
có J ⊇ J ce nên J c ⊇ J cec . Như vậy, J c = J cec .
Tương tự ta cũng suy ra được I e = I ece .

1.5

Vành thương

Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của vành R. Khi đó I là
nhóm con chuẩn tắc của nhóm Abel (R, +). Do vậy tồn tại nhóm thương
R

1.5.1 Nhận xét. Trên R

I,

I

= {x + I|x ∈ R}.

phép nhân được định nghĩa như sau là có nghĩa:

(x + I)(y + I) = xy + I, ∀x, y ∈ R.
Phép nhân xác định như trên là có nghĩa, tức là nó khơng phụ thuộc vào
cách chọn đại diện của các lớp ghép. Thật vậy, giả sử x + I = a + I và
y + I = b + I . Khi đó a − x ∈ I và b − y ∈ I . Ta phải chứng minh ab − xy ∈ I .
Thật vậy, theo giả thiết, tồn tại c, d ∈ I sao cho a − x = c, b − y = d. Khi đó
theo luật phân phối của R, ta có:

ab = (x + c)(y + d) = xy + (xd + cy + cd).
Vì I là iđêan nên xd + cy + cd ∈ I . Từ đây suy ra ab − xy ∈ I . Do đó
ab + I = xy + I . Vậy phép nhân được định nghĩa như trên là có nghĩa.
Trên nhóm thương R I đã có phép cộng các phần tử

(x + I) + (y + I) = x + y + I, ∀x, y ∈ R.
Ta dễ dàng kiểm tra được phép nhân vừa được định nghĩa phân phối với phép
cộng, và hơn nữa phép nhân cịn giao hốn và có phần tử đơn vị là 1 + I . Do
vậy (R I , +, ·) là một vành giao hốn có đơn vị.
1.5.2 Định nghĩa. Vành (R I , +, ·)được xây dựng như trên được gọi là
vành thương của R theo iđêan I .
1.5.3 Ví dụ. Xét vành số nguyên Z và iđêan mZ, khi đó vành thương
Z

mZ

= {x + mZ|x ∈ Z}
= {r + mq + mZ|0 ≤ r ≤ m − 1} = {r + mZ|r = 0, 1, ..., m − 1}
= {0 + mZ, 1 + mZ, ..., m − 1 + mZ} = {0, 1, ..., m − 1}
= Zm


14

Như vậy vành thương
mơđun m.

Z

mZ

cũng chính là vành Zm các số nguyên theo

1.5.4 Mệnh đề. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó ánh xạ

f: R → R I
x → x+I
là một toàn cấu vành. Hơn nữa kerf = I .
Chứng minh. Theo cách xây dựng thì f là một đồng cấu vành.
Hơn nữa
Imf = {f (x)|x ∈ R} = {x + I|x ∈ R} = R I
nên theo Mệnh đề 1.4.6 thì f là một tồn ánh. Vậy f là một toàn cấu vành.
Ta gọi toàn cấu vành này là đồng cấu chính tắc hay là đồng cấu tự nhiên
từ R vào R I .
1.5.5 Hệ quả. Cho R là vành giao hoán, I ⊆ R. Khi đó I là iđêan của vành
R, khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành f : R → S.

Chứng minh. Giả sử I = Kerf với f là đồng cấu vành R → S , theo Hệ quả
1.4.5 I là iđêan của vành R.
Ngược lại, giả sử I là iđêan của vành R, xét đồng cấu chính tắc ở Mệnh
đề 1.5.4
f: R → R I
x → x+I
Điều này suy ra Kerf = {x ∈ R|x + I = I} = {x ∈ R|x ∈ I} = I.
1.5.6 Định lí. Cho f : R → R là một đồng cấu vành. Khi đó f cảm sinh
với một đẳng cấu vành
f : R Kerf → Imf
Xác định bởi f (x + Kerf ) = f (x), ∀x ∈ R.
Chứng minh. Đặt I = Kerf . Vì f là một đồng cấu vành nên ta dễ dàng
kiểm tra được f cũng là một đồng cấu vành. Hơn nữa

Imf = {f (x)|x ∈ R} = {f (x)|x ∈ R} = Imf
nên theo Mệnh đề 1.4.6 f là một toàn cấu.
Mặt khác Kerf = {x|f (x) = f (x) = 0} = {x|x ∈ Kerf } = 0 nên f là
đơn ánh.
Vậy f là một đẳng cấu vành.


15

1.5.7 Mệnh đề. Cho R là một vành khác không, khi đó các khẳng định sau
là tương đương:
i) R là một trường;
ii) Trong R chỉ có hai iđêan là 0 và R;
iii) Mọi đồng cấu vành f : R → R là một đơn cấu hoặc đồng cấu tầm
thường.
Chứng minh. i) ⇒ ii): Cho I là một iđêan khác 0 trong vành R. Khi đó I

chứa một phần tử khác không x. Do R là trường nên x khả nghịch. Theo
Nhận xét 1.3.11 thì I = R.
ii) ⇒ iii): Cho f : R → R là đồng cấu vành. Khi đó nếu Kerf = R thì
f là đồng cấu tầm thường, cịn nếu Kerf = 0 thì f là đơn cấu.
iii) ⇒ i): Giả sử x là phần tử khác khơng của R. Nếu x khơng khả nghịch
thì iđêan x = R. Do vậy R/ x = 0. Từ giả thiết, ta suy ra đồng cấu chính
tắc f : R → R/ x là đơn ánh. Như vậy Kerf = x = 0.
Định lí sau đây mơ tả iđêan trong vành thương.
1.5.8 Định lí. Cho R là một vành giao hốn có đơn vị và I là iđêan của
vành R. Khi đó K là iđêan của vành R I khi và chỉ khi tồn tại duy nhất
một iđêan K của vành R, K ⊇ I sao cho K = K I = {a + I|a ∈ K}.
Chứng minh. Giả sử K là iđêan của vành R I . Đặt K = {a ∈ R|a + I ∈
K }.
• I ⊆ K vì ∀a ∈ I thì a + I = I = 0R I ∈ K nên a ∈ K .
• K là iđêan của vành R. Thật vậy:

∀a, b ∈ K ⇒ a + I, b + I ∈ K
vì K là iđêan nên

(a + I) − (b + I) = (a − b) + I ∈ K
điều này suy ra a − b ∈ K . Mặt khác cũng vì K là iđêan nên ∀x ∈ R, a ∈ K
thì (x + I)(a + I) ∈ K hay xa + I ∈ K , như vậy xa ∈ K .
• Theo định nghĩa của K thì K = K I .
Ngược lại, giả sử K là iđêan của vành R chứa I , ta cần chứng minh tập
hợp
K
I = {a + I|a ∈ K}
là iđêan của vành thương R I . Ta có:
• Vì K là iđêan của R nên K ⊆ R , suy ra

K

I

⊆R

I.


16

• K I = φ vì I = 0 + I ∈ K I ( do K là iđêan của vành R nên 0 ∈ K ).
• ∀a + I, b + I ∈ K I ⇒ (a + I) − (b + I) = (a − b) + I ∈ K I (do K là
iđêan của vành R nên ∀a, b ∈ K thì a − b ∈ K .
• ∀x + I ∈ R I , ∀a + I ∈ K I ta có (x + I)(a + I) = xa + I ∈ K I (vì
K là iđêan).
Vậy K I là iđêan của vành R I .
Giả sử có iđêan K của R sao: K = K I . Lúc đó:
∀a ∈ K ⇒ K ⇒ a ∈ K
⇒ K = K.
∀a ∈ K ⇒ a ∈ K

1.5.9 Ví dụ. Mơ tả các iđêan trong vành thương
Ta có
Z

10Z

Z

10Z .

= {x + 10Z|x ∈ Z}
= {r + 10q + 10Z|0 ≤ r ≤ 9} = {r + 10Z|r = 0, 1, ..., 9}
= {0 + 10Z, 1 + 10Z, ..., 9 + 10Z} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
= Z10

Theo Định lí 1.5.8 các iđêan trong vành thương Z 10Z sẽ có dạng K 10Z ,
trong đó K là các iđêan trong vành số nguyên Z sao cho 10Z ⊆ K .
Vì K là iđêan của vành Z nên sẽ có dạng mZ. Mặt khác 10Z ⊆ K = mZ,
nên m chỉ có thể là 1, 2, 5, 10. Như vậy vành thương Z 10Z có 4 iđêan là:
Z

10Z ,

2Z

10Z ,

5Z

10Z ,

10Z

10Z

Trong đó:
K1 = Z 10Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
K2 = 2Z 10Z = {x + 10Z|∀x ∈ 2Z} = {0, 2, 4, 6, 8}

K3 = 5Z 10Z = {x + 10Z|∀x ∈ 5Z} = {0, 5}
K4 = 10Z 10Z = {x + 10Z|∀x ∈ 10Z} = {0}.


17

CHƯƠNG 2
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC IĐÊAN

2.1

Một số iđêan đặc biệt

2.1.1 Định nghĩa.
i) Một iđêan thực sự I của vành R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu

∀a, b ∈ R, ab ∈ I, a ∈
/ I thì ∃n ∈ N, bn ∈ I.
ii) Một iđêan thực sự p của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu

∀a, b ∈ R, ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p.
iii) Một iđêan thực sự M của vành R được gọi là iđêan cực đại nếu

∀I là iđêan của R , và I ⊇ M thì I = M hoặc I = R.
2.1.2 Ví dụ. Trong vành số nguyên Z cho iđêan I = mZ:
i) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = pk với p là số
nguyên tố và k ∈ N∗ .
ii) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = p với p là số
nguyên tố.
iii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi m = p với p là số nguyên tố.

2.1.3 Ví dụ. Trong vành đa thức R[x] :
i) Iđêan sinh bởi một đa thức bất khả quy trong R[x] chính là iđêan nguyên
tố;
ii) Iđêan sinh bởi x là iđêan cực đại.
2.1.4 Định nghĩa. Cho R là vành giao hốn có đơn vị.
i) spec(R) là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vànhR, và tập spec(R)
được gọi là phổ của vành.


18

ii) I là một iđêan của vành R, tập

V (I) = {p ∈ spec(R)|p ⊃ I}
được gọi là đa tạp xác định bởi iđêan I (hoặc V (I) là tập đại số).
iii) Nếu vành R có duy nhất một iđêan cực đại thì ta gọi R là vành địa
phương. Nếu một vành có hữu hạn iđêan cực đại thì ta gọi vành đó là vành
nửa địa phương.
2.1.5 Ví dụ. Trong vành số nguyên Z :

spec(Z) = {pZ|p là số nguyên tố}
V (6Z) = {2Z, 3Z}.
2.1.6 Mệnh đề. Cho R là vành giao hốn có đơn vị, I là iđêan của vành R.
Khi đó:
i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên;
ii) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là trường.
Chứng minh. i) (⇒) Giả sử I là iđêan nguyên tố, R là vành giao hốn có
đơn vị nhiều hơn 1 phần tử nên R/I khác khơng, và nó cũng là vành giao
hốn có đơn vị. Ta cần chứng minh rằng R/I khơng chứa ước của không. Với
x = x + I, y = y + I ∈ R/I ta có: xy = 0 ⇔ (x + I)(y + I) = xy + I = 0 ⇔

xy ∈ I ⇔ x ∈ I hoặc y ∈ I(vì I nguyên tố) ⇔ x = 0 hoặc y = 0.
Vậy R/I không chứa ước của không hay R/I là miền nguyên.
(⇐) Giả sử R/I là miền nguyên nên R/I có nhiều hơn một phần tử hay
R = I . Giả sử xy ∈ I ⇒ xy = 0 và xy = xy ⇒ x = 0 hoặc y = 0 ⇒ x ∈
I hoặc y ∈ I ⇒ I là iđêan nguyên tố.
ii) (⇒) Vì R là vành giao hốn có đơn vị nên R/I là vành giao hốn có
đơn vị. Vì I là iđêan cực đại nên 0 = I = R nên R/I có nhiều hơn một phần
tử.
Vì I là iđêan cực đại nên với x ∈ R, x ∈
/ I thì B = x, I = R. Ta có
1 ∈ R nên ∃y ∈ R, a ∈ I sao cho 1 = xy + a suy ra

1 = xy + a = xy + a = xy.
Như vậy y là phần tử nghịch đảo của x hay R/I là một trường.
(⇐) Giả sử I, J là hai iđêan của vành R, I ⊆ J, I = J suy ra ∃b ∈ J −I ⇒
b = 0 ⇒ ∃c, bc = 1 ⇒ bc + I = 1 + I ⇒ ∃a ∈ I : bc + a = 1. Vậy ∀x ∈ R ta
có x = x · 1 = x(bc + a) = xbc + xa ∈ J . Như vậy J = R hay I là iđêan cực
đại.


19

2.1.7 Hệ quả. Cho I là iđêan của vành R giao hốn có đơn vị, khi đó:
i) I là iđêan cực đại ⇒ I là nguyên tố ⇒ I là nguyên sơ.
ii) R là miền nguyên khi và chỉ khi 0 là iđêan nguyên tố.
Chứng minh. i) Theo mệnh đề trên, ta có: I là iđêan cực đại ⇒ R/I là trường.
R/I là trường suy ra R/I là miền nguyên. R/I là miền nguyên suy ra I là
nguyên tố.
Rõ ràng nếu I là nguyên tố, theo định nghĩa suy ra ngay I là nguyên sơ.
ii) Ta có R = R/ 0 , nên nếu R là miền nguyên thì R/ 0 hiển nhiên là

miền nguyên. Mà theo mệnh đề trên, R/ 0 là miền nguyên khi và chỉ khi
0 là ngun tố.
2.1.8 Mệnh đề. Trong một vành giao hốn có đơn vị ln tồn tại ít nhất
một iđêan cực đại.
Chứng minh. Xét tập hợp ω gồm tất cả các iđêan khác R. Khi đó, ω với thứ
tự bao hàm theo nghĩa tập hợp sẽ lập thành 1 tập hợp sắp thứ tự bộ phận.
Vì 0 ∈ ω nên ω = φ. Giả sử:
I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ In ⊂ ... là một dãy xích tùy ý các iđêan trong ω . Ta sẽ chứng
minh rằng mọi dãy trong ω đều bị chặn. Giả sử (Iα ) là một dãy iđêan trong
ω , sao cho mỗi cặp α, β thì Iα ⊂ Iβ hoặc Iα ⊃ Iβ .
∞

Ii là một iđêan của R. Mặt khác 1 ∈
/ I vì 1 ∈
/ Iα nên I ∈ ω .

Rõ ràng I =
i=1

Và vì I chính là giới hạn trên của dãy nên theo bổ đề Zorn, ω có ít nhất một
phần tử cực đại.
2.1.9 Hệ quả. Mỗi iđêan của một vành giao hốn R, và khác R ln nằm
trong một iđêan cực đại nào đó.
Chứng minh. Gọi I là iđêan của R và khác R. Khi đó R/I = 0. Theo Mệnh
đề 2.1.8 thì vành thương R/I có iđêan cực đại K . Khi đó tồn tại duy nhất
iđêan M sao cho K = M/I . Vì K cực đại trong R/I nên M cực đại trong
R.
2.1.10 Hệ quả. Giả sử x là phần tử không khả nghịch của vành R. Khi đó
x sẽ nằm trong một iđêan cực đại nào đó của R.
Chứng minh. Vì x khơng khả nghịch nên iđêan sinh bởi x khác R. Theo hệ

quả trên suy ra iđêan sinh bởi x sẽ nằm trong một iđêan cực đại nào đó của
R. Như vậy x sẽ nằm trong một iđêan cực đại nào đó của R.


20

2.1.11 Mệnh đề. Cho R là vành giao hốn có đơn vị, khi đó R là vành địa
phương với iđêan cực đại m duy nhất khi và chỉ khi mọi phần tử x ∈ R\m
đều khả nghịch trong vành R.
Chứng minh. Giả sử mọi phần tử x ∈ R\m đều khả nghịch trong vành R ta
cần chứng minh R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Giả sử
I là một iđêan thực sự tuỳ ý của R. Ta sẽ chứng minh I ⊆ m. Giả sử ngược
lại I
m. Khi đó ∃x ∈ I mà x ∈
/ m, nên x khả nghịch vì x ∈ R\m. Do đó
I = R (mâu thuẫn). Vậy I ⊆ m.
Bây giờ giả sử R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Khi
đó nếu x ∈ R\m thì x khơng thể khả nghịch vì nếu trái lại thì theo hệ quả
trên x ∈ m, điều này là mâu thuẫn.
2.1.12 Mệnh đề. Trong vành chính, mọi iđêan nguyên tố khác 0 đều là iđêan
cực đại.
Chứng minh. Gọi 0 = x ∈ R thì 0 = x . Giả sử x ⊂ y , y ∈
/ x . Ta có:
x ⊂ y nên
yz ∈ x
x ∈ y ⇒ ∃z ∈ R : x = yz ⇒ y ∈
/ x
⇒ z ∈ x ⇒ ∃t ∈ R : z = tx ⇒ x = yx = ytx
⇒ yt = 1 ⇒ y = 1
Vậy x là cực đại.

2.1.13 Mệnh đề. Cho R là một vành mà mọi phần tử x ∈ R, ∃n ∈ N sao
cho xn = x. Khi đó, mọi iđêan nguyên tố của vành đều là cực đại.
Chứng minh. Gọi p là iđêan nguyên tố của vành R, x ∈ R\p. Như vậy 0 =
x ∈ R/p. Theo giả thiết ta có: x = xn ⇒ x(xn−1 − 1) = 0. Vì p nguyên tố
nên R/p là miền nguyên, vậy xn−1 − 1 = 0 ⇒ xn−1 = 1 hay x có phần tử
nghịc đảo là xn−2 . Như vậy R/p là một trường hay p là iđêan cực đại.
Nếu ∀x ∈ R, x2 = x thì vành R được gọi là vành Boolean.

2.2

Các phép toán trên các iđêan

2.2.1 Chú ý. Cho I, J là hai iđêan của vành giao hốn R có đơn vị. Khi đó
các tập hợp:

I ∩J


21

I + J = {a + b|a ∈ I, b ∈ J}
I : J = {a ∈ R|aJ ⊂ I} = {a ∈ R|ab ∈ I, ∀b ∈ J}
đều là những iđêan của vành R. Thật vậy, sau đây chúng ta sẽ chứng minh
điều này.
I ∩ J là một iđêan của vành R, khẳng định này đã được chứng minh ở
Chương 1.
Rõ ràng I + J ⊆ R, và vì I, J = φ nên I + J = φ. Với mọi x, y ∈ I + J
tồn tại a1 , a2 ∈ I; b1 , b2 ∈ J sao cho

x = a1 + b1 , y = a2 + b2 ∈ I + J.

Vì I, J là iđêan nên a1 − a2 ∈ I, b1 − b2 ∈ J . Từ đó suy ra:

(a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) ∈ I + J hay (a1 + b1 ) − (a2 + b2 ) ∈ I + J
nên x − y ∈ I + J . Với mọi r ∈ R thì rx = r(a1 + b1 ) = ra1 + rb1 ∈ I + J (vì
I, J là iđêan nên ra1 ∈ I, rb1 ∈ J ). Do vậy I + J là một iđêan của vành R.
Ta có ∀a, b ∈ I : J và ∀c ∈ J thì ac và bc ∈ I do vậy (ac − bc) ∈ I hay
(a − b)c ∈ I . Do vậy a − b ∈ I : J . Mặt khác, ∀r ∈ R ta có r(ac) = a(rc) ∈ I
do vậy ra ∈ I : J, ∀r ∈ R, a ∈ I : J . Vậy I : J là một iđêan của vành R.
Gọi IJ là iđêan của R sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab, trong đó a ∈ I
và b ∈ J. Dễ thấy rằng khi đó
n

ai bi |ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N .

IJ =
i=1

2.2.2 Định nghĩa. Cho I, J là hai iđêan của vành giao hoán R có đơn vị.
Khi đó:
i) I ∩ J gọi là giao của hai iđêan I và J .
ii) I + J gọi là tổng của hai iđêan I và J .
iii) IJ gọi là tích của hai iđêan I và J .
iv) I : J gọi là thương của I và J .
2.2.3 Ví dụ. Trong vành số nguyên Z, cho hai iđêan I = mZ và J = nZ.
i) I + J = {mx + ny|x, y ∈ Z} = dZ, trong đó d = (m, n) là ước chung
lớn nhất của m và n.
ii) I ∩ J = {x|x ∈ I, x ∈ J} = k Z, trong đó k = [m, n] là bội chung nhỏ
nhất của m và n.
iii) IJ = mnZ.
iv) I : J = {a ∈ Z|ab ∈ mZ, ∀b ∈ nZ} = {k ∈ Z|knp = mq vớip, q ∈

Z} = {x · md |d = (m, n), x ∈ Z} = md Z.


22

2.2.4 Nhận xét. Dựa vào định nghĩa của tổng, giao, tích các iđêan, ta suy
ra được các tính chất sau:
i) Tính chất giao hốn: Tổng, giao, tích các iđêan có tính chất giao hốn.
ii) Luật modula: Cho I, J, K là các iđêan của vành R, khi đó nếu I ⊃ J
hoặc I ⊃ K thì:
I ∩ (J + K) = I ∩ J + I ∩ K.
iii) Phép nhân phân phối với phép cộng: Cho I, J, K là các iđêan của vành
R, khi đó
I(J + K) = I ∩ J + I ∩ K.
iv) IJ ⊂ I ∩ J ⊂ I + J.
2.2.5 Chú ý. (i) Khi I = 0, ta kí hiệu AnnR (J) := 0 : J và được gọi là linh
hoán tử của iđêan J .
(ii) Cho x ∈ R. Khi đó AnnR (x) := AnnR (< x >) = {a ∈ R|ax = 0}.
(iii) Gọi D là tập tất cả các ước của không trong vành R thì

AnnR (x) \{0}.

D=
x∈R
x=0

Định lý sau đây thường được gọi là Định lí tránh nguyên tố.
2.2.6 Định lí. Cho vành R.
(i) Giả sử p1 , p2 , . . . , pn là các iđêan nguyên tố và I là một iđêan của vành
n

R sao cho I ⊆

pi . Khi đó ∃i, 1 ≤ i ≤ n : I ⊆ pi .
i=1

(ii) Giả sử I1 , I2 , . . . , In là các iđêan của vành R và p là iđêan nguyên tố
m

của vành R sao cho p ⊇
m

Ii . Khi đó ∃i, 1 ≤ i ≤ m : p ⊇ Ii .
i=1

Ii thì ∃i, 1 ≤ i ≤ m : p = Ii .

Đặc biệt, nếu p =
i=1

Chứng minh. i) Khẳng định i) hoàn toàn đúng với n = 1. Giả sử khẳng định
n

đúng với n = k. Ta xét các iđêan p1 , p2 , ..., pk+1 với I ⊆

pi .
i=j
k+1

Ta giả sử ngược lại là ∀j ∈ {1, 2, ..., k + 1} I không chứa trong

pi .
i=j

k+1

Chọn xj ∈ I\

pi ∀j ∈ {1, 2, ..., k + 1}.
i=j


23

n

k+1

pi , điều này vơ lí vì xj ∈ I\

Nếu ∃t sao cho : xt ∈
/ pt suy ra xj ∈
/
i=1

pi
i=j

k+1

mâu thuẫn với giả thiết I ⊆

pi .
i=1
k+1

Nếu xi ∈ pi ∀i, ta xét phần tử: y =

xi x2 ...xi−1 xi+1 ...xn
i=1
k+1

Ta có: y ∈ I và y ∈
/ pi (1 ≤ i ≤ k + 1) nên I không chứa trong

pi , mâu
i

thuẫn. Vậy buộc I ⊂ pi nào đó.
ii) Giả sử ngược lại ∀i ∈ {1, 2, ..., n}, Ii \p = φ. Chọn xi ∈ Ii \p, ∀i =
1, 2, ..., n và đặt x = x1 x2 ...xn , vì (x ∈ ∩Ii ) ⊂ p nên ∃xj ∈ p nên vơ lí. Vậy
Ii ⊂ p với i nào đó.
2.2.7 Định nghĩa. Hai iđêan I, J của vành R được gọi là nguyên tố cùng
nhau nếu I + J = R.
2.2.8 Bổ đề. Cho I, J là các iđêan trong vành R, chúng nguyên tố cùng
nhau. Khi đó:
I ∩ J = IJ.
Chứng minh. Ta ln có (I + J)(I ∩ J) ⊆ IJ . Do I và J nguyên tố cùng
nhau nên I + J = R. Từ đó suy ra (I ∩ J) ⊆ IJ . Mặt khác theo nhận xét
trên thì IJ ⊆ (I ∩ J). Vì vậy I ∩ J = IJ .

2.2.9 Bổ đề. Cho I, J, K là các iđêan trong vành R giao hốn có đơn vị. Khi
đó:
i) I ⊆ (I : J);
ii) (I : J)J ⊆ I ;
iii) (I : J) : K = (I : JK) = (I : K) : J ;
iv) ( i Ii : J) = i (Ii : J);
v) (I : i Ji ) = i (I : Ji ).
Chứng minh. i) Ta có ∀x ∈ I thì xy ∈ I, ∀y ∈ R. Do đó I ⊆ (I : J).
ii) Ta có

(I : J)J = {

n
i=1

xi yi |xi ∈ (I : J), yi ∈ J, n ∈ N}.

Vì xi ∈ (I : J) ⇒ xi yi ∈ I, ∀yi ∈ J, ∀i = 1, 2, ..., n nên
đó (I : J)J ⊆ I .
iii) Ta có:

n
i=1 xi yi

∈ I. Do


24

(I : J) : K = {x ∈ R|xa ∈ (I : J), ∀a ∈ K}

= {x ∈ R|xab ∈ I, ∀a ∈ K, ∀b ∈ J}(∗)
= {x ∈ R|(xb)a ∈ I, ∀a ∈ K, ∀b ∈ J}
= {x ∈ R|(xb) ∈ (I : K), ∀b ∈ J}
= (I : K) : J
Mặt khác, từ (*) suy ra ni=1 xki ji ∈ I ⇒ x ni=1 ki ji ∈ I ⇒ x ∈ (I : JK).
Do đó (I : J) : K ⊆ I : JK. Giả sử x ∈ (I : JK) ⇒ x ni=1 ki ji ∈ I, ∀ki ∈
K, ji ∈ J ⇒ xji ki ∈ I ⇒ x ∈ (I : J) : K . Suy ra I : JK ⊆ (I : J) : K . Do
đó I : JK = (I : J) : K.
iv) Với n = 2, mệnh đề tương đương với (I ∩ J) : K = (I : K) ∩ (J : K)
Ta có: x ∈ (I ∩ J) : K ⇔ xK ⊂ (I ∩ J) ⇔ xK ⊂ I và xK ⊂ J ⇔ x ∈ I :
K và x ∈ J : K ⇔ x ∈ (I : K) ∩ (J : K). Vậy mệnh đề đúng với n = 2.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k − 1, ta cần chứng minh mệnh đề cũng
đúng với n = k. Theo giả thiết quy nạp
k−1

(

k−1

I1 ) : J =
i=1

k

Ta có (

i=1

k−1

k−1

Ii ) ∩ Ik ) : J = (

Ii ) : J = ((

i=1

(Ii : J).

i=1

k

Ii : J) ∩ (Ii : J) =
i=1

Ii : J.
i=1

Vậy mệnh đề đúng với n = k hay iv) đúng.
v) Với n = 2, mệnh đề trở thành: I : (J + K) = IJ ∩ IK. Ta có x ∈ I :
(J + K) ⇔ x(J + K) ⊂ I ⇔ xJ + xK ⊂ I ⇔ xJ ⊂ I và xK ⊂ I ⇔ x ∈
(I : J) và x ∈ (I : K) ⇔ x ∈ (I : J ∩ I : K). Vậy mệnh đề đúng với n = 2.
Giả sử mệnh đề với n = k − 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k .
Theo giả thiết quy nạp ta có:
n

I:

i=1

k−1

Ji =

(I : Ji ).
i=1

Từ đó suy ra

I:(

k−1
i=1

Ji +Jk ) = (I :

k−1
i=1

k−1

Ji )∩(I : Jk ) =

k

(I : Ji )∩(I : Jk ) =
i=1

(I : Ji ).
i=1

Vậy mệnh đề đúng với n = k hay v) là đúng.
2.2.10 Nhận xét. Cho I là 1 iđêan của vành R. Tập Rad(I) được xác định
như sau:
Rad(I) = {r ∈ R|∃n ∈ N : rn ∈ I}