bo de on thi hsg toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN 9 LẦN 2 NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. C©u 1 (4 điểm) a) T×m sè c¸c sè nguyªn n sao cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình ph¬ng cña tæng hai ch÷ sè cña nã. C©u 2. (3 điểm) xy  1. . yz  1. y z Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: Chøng minh r»ng: x = y = z hoÆc xyz = 1.. . zx  1 x .. C©u 3 (4 điểm) 2 4 2 4 a) Giải phương trình 13 x  x  9 x  x 16 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh.  x  2 y  1 3  3 2  x  4 x y  1  9 x  8 y  52  4 xy. C©u 4 (7 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R). Điểm C di động trên cung lớn AB. Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H. Đờng tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q. Chứng minh rằng khi C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO  EF c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định. C©u 5 (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P. a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2 2015 . T×m. a2 b2 c2   b c c a a b. Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............. II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C©u 1 (4 điểm) a) T×m sè c¸c sè nguyªn n sao cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình ph¬ng cña tæng hai ch÷ sè cña nã. ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. a)Ta thÊy B lµ sè chÝnh ph¬ng  4B lµ sè chÝnh ph¬ng §Æt 4B = k2 (k  N) th× 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2  (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 V× 2n-1+k  2n-1-k nªn ta cã c¸c hÖ  2n  1  k 1  2n  1  k 3  2n  1  k 51  2n  1  k 17 (1)  (2)  (3)  (4)  2n  1  k  51 2n  1  k  17 2n  1  k  1 2n  1  k  3. Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4  12;  3; 4;13 VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ n  . 0,5 điểm 0,5 điểm. 0,5 điểm. b)Gäi sè ph¶i t×m cã d¹ng ab ( (a, b  N ;0  a  10;0  b  10) .. 0,5 điểm. 2 2 Theo gi¶ thiÕt ta cã 10a  b  ab ( a  b)  b  b(a  1) a (10  a). 0,5 điểm 0,5 điểm. 2.  a  10  a  a (10  a )   25 2   Ta cã nªn b 5. Thay b lần lợt từ 1 đến 5 ta có ab 13;63;91 . C©u 2 (2 điểm) - a) Gi¶i ph¬ng tr×nh Bình phương 2 vế ta được : x 2 (13 1  x 2  9 1  x 2 ) 2 256 .. -. Áp dụng bđt bunhia :. -. (13 1  x 2  9 1  x 2 ) 2 ( 13. 13  13x 2  3 3. 3  3x 2 ) 2 40(16  10 x 2 ) 2 x  2 2 5  VT  x 40(16  10 x ) . Áp dụng cosi VT VP . Nghiệm. hoăc. x. 2 5.. 1. 1,0 ®iÓm 2 diểm.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> -. b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x  2 y  1 3  3 2  x  4 x y  1  9 x  8 y  52  4 xy  x  2 y  1 3  3 2  x  4 x y  1  9 x  8 y  52  4 xy  x 2 y  1  3  2  x( x  2 y  1)  13 x  8 y  52 0  x  2 y  1 3  x  2 y  1 3     13x  9 x  8 y  52 0  13x  9 x  8 y  52 0  x  2 y  1 3    x  2 y  13 0.  x  2 y  1 3   y  1 5  y.  x  2 y  1 3    y 5  y 2  11 y  24 0     x 3  2 y  1    y 5  y 3    y 8.  y 3   x 7. C©u 3 (3 điểm) xy  1. . y Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: Chøng minh r»ng: x = y = z hoÆc xyz = 1.. yz  1 z. . zx  1 x .. §¸p ¸n. biÓu ®iÓm. §iÒu kiÖn x; y; z d¬ng xy  1. Ta cã. y. . yz  1 z. . zx  1  x. x. 1 1 1  y  z y z x. 2. 1,0 điểm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  y z (1)  x y  yz   x y  (2)  z x xy    y  z  z  x (3)  xz   (*). 1,0điểm. Nếu x = y = z hệ (*) luôn đúng. 0,5 điểm. Nếu x; y; z đôi một khác nhau, nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta có xyz = 1 VËy x = y = z hoÆc xyz = 1. 0,5 điểm. C©u 4 (4 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R). Điểm C di động trên cung lớn AB. Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H. Đờng tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q. Chứng minh rằng khi C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO  EF c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định. ĐÁP ÁN. BIỂU ĐIỂM. C. x. D E F. O H. A. P. Q K. B. I. ⇒ AD//HC (1) a) Kẻ đường kÝnh BD ta có CH ⊥ AB ; DA ⊥ AB MÆt kh¸c DC  CB; HA  CB  DC / / HA(2) . Từ (1) & (2) suy ra ADCH là hình bình hành nên CH = AD. Gọi K là trung điểm AB xét tam giác ADB có OK là đường trung bình nên AD = 2.OK ( không đổi). VËy CH = 2.OK không đổi. 3. 1,0 điểm. 1,0 điểm.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta có ∠ xCA =∠CBA Mà tứ giác AFEB nội tiếp nên ∠ CFE =∠CBA nên ∠xCA =∠CFE suy ra Cx//EF Mà Cx ⊥OC ⇒ OC⊥ EF c) Gäi đường thẳng kẻ từ H vuông góc PQ c¾t OK t¹i I V× HE ⊥ CQ ⇒CE=EQ ; HF⊥ CP ⇒CF=FP ;. 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm. Vậy EF // PQ, mà HI ⊥ PQ // EF ⇒ HI // OC MÆt kh¸c CH//OI nên tứ giác OCHI là hình bình hành suy ra OI = CH (không ®ổi) nên I cố định. 1,0 điểm. C©u 5 (2 điểm) a 2  b 2  b2  c 2  c 2  a 2 2015 .. Cho c¸c sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a2 b2 c2 P   b c c a a b §¸p ¸n 2. 2. 2. 2. 2. biÓu ®iÓm. 2. Đặt x=√ b +c ; y=√ c + a ; z =√ b +a ⇒ x+ y+ z=2010. 0,5 điểm. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã x b  c , y c  a , z a  b nªn. x 2  y 2  z 2 2(a 2  b 2  c 2 )  a 2 . y 2  z 2  x2 2 x2  z 2  y 2 2 y 2  x2  z 2 ;b  ;c  (1) 2 2 2. 2. a+b ¿ ⇒ √2 z ≥ a+ b; Mặt khác 2( a2 +b2 )≥ ¿ Tương tự √ 2 y ≥ a+c ; √ 2 x ≥ b+ c ; (2). 0,5 điểm. Từ (1) & (2) ta có 1. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. y +z −x x +z − y y +x −z P≥ + + x y z 2 √2 1 ( x 2+ y 2+ z 2 ) 1 + 1 + 1 −2(x + y + z ) (3) x y z 2 √2. [. (. (. ). ) 0,5 điểm. ]. 2. x+ y+z ¿ nªn tõ (3) suy ra 3(x 2 + y 2+ z2 )≥ ¿ 1 1 1 1 1 P  x  y  z   x  y  z      2 2  x y z 3. Ta có.  x yz1 2   .9  2 2 3 .  2015 2 2  4 . 2015 2 2015 2 P 4 6 Giá trị nhỏ nhất của khi x = y = z suy ra a = b = c =. Hết. 4. 0,5 điểm.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>