Tài liệu Giải tích đa trị P2 docx

1.3. Định lý Kakutani 35
với mọi y K.Vì
p, y x 0 y K
nên ta có
(3.7) p (T
K
(x))

= N
K
(x).
Vì K là miền vững của F , nên tồn tại
v F (x) T
K
(x).
Do đó, lu ý đến (3.7) ta có
(3.8) C
F
(p, x) p, v 0.
Đặt
I(x)={i {1,...,s} :
i
(x) > 0}.
Vì
s

i=1

i
(x)=1và
i

(x) 0 với mọi i, nên I(x) = . Với mỗi i I(x),do

i
(x) > 0 nên
x supp
i
U
p
j(i)
.
Từ đó suy ra
C
F
(p, x)=sup



s
i=1

i
(x)p
j(i)
,y : y F (x)



iI(x)

i

(x)C
F
(p
j(i)
, x)
< 0.
Điều này mâu thuẫn với (3.8). Định lý đã đợc chứng minh.
Nhận xét 1.3.3 (xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 84). Định lý 1.3.3 vẫn
đúng khi X là một không gian tuyến tính tôpô, lồi địa phơng, Hausdorff.
Định lý điểm bất động Kakutani:
Định lý sau là dạng mở rộng của định lý điểm bất động Kakutani (xem Định
lý 1.3.5 dới đây) từ trờng hợp các không gian hữu hạn chiều sang trờng hợp
không gian vô hạn chiều.
Định lý 1.3.4 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972). Cho K là tập lồi, compắc,
khác rỗng trong không gian Banach X. Cho G : K K là ánh xạ đa trị hêmi
liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại x K
sao cho x G(x).
Chứng minh. Đặt F (x)=G(x) x. Từ các giả thiết đặt trên G suy ra rằng
F : K X là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng.
Ngoài ra, ta có
(3.9) F (x)=G(x) x K x T
K
(x)
36 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
với mọi x K.VìF (x) = với mọi x K, nên từ (3.9) suy ra tập lồi K là
miền vững của F . Theo Định lý 1.3.3, tồn tại x K sao cho 0 F (x). Tức là
tồn tại x K sao cho x G(x).
Kết quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.4 và Mệnh đề 1.3.1.
Định lý 1.3.5 (Định lý điểm bất động Kakutani, 1941). Cho K IR
n

là tập lồi,
compắc, khác rỗng. Cho G : K K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong
K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại x K sao cho x G(x).
Bài tập 1.3.1. Đặt K =[0, 1] IR. Hãy xây dựng các ánh xạ đa trị
G : K K thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong khi phát biểu Định lý
1.3.5 ta bỏ đi một trong các điều kiện sau (nhng vẫn giữ nguyên ba điều
kiện còn lại), thì kết luận của định lý không còn đúng nữa:
(i) G là ánh xạ nửa liên tục trên ở trong K;
(ii) G có giá trị lồi;
(iii) G có giá trị đóng;
(iv) G có giá trị khác rỗng.
(Gợi ý
: Xét các ánh xạ đa trị
G
1
(x)=

{1} nếu 0 x
1
2
{0} nếu
1
2
<x 1,
G
2
(x)=

{x +
1
2
} nếu 0 x<
1
2
{0, 1} nếu x =
1
2
{x
1
2
} nếu
1
2
<x 1,
G
3
(x)=

(x, 1) nếu 0 x<1
(0, 1) nếu x =1,
G
4
(x)=



[
1

2
, 1] nếu x =0
nếu 0 <x<1
[0,
1
2
] nếu x =1,
và để ý rằng ánh xạ đa trị G : K K không có điểm bất động ở trong
K khi và chỉ khi
gph G {(y, y):y K} = .)
Bài tập 1.3.2. Vẽ đồ thị của các ánh xạ G
1
G
4
nói trong phần gợi ý
của bài tập trên.
Bài tập 1.3.3. Chứng minh rằng ánh xạ G
1
nói trong phần gợi ý của Bài
tập 1.3.1 không là hêmi liên tục trên ở trong K.
Bài tập 1.3.4. Đặt K =[0, 1] IR. Hãy xây dựng các ánh xạ đa trị
G : K K thích hợp để chứng tỏ rằng nếu trong khi phát biểu Định lý
1.3.4 ta bỏ đi một trong các điều kiện sau (nhng vẫn giữ nguyên ba điều
kiện còn lại), thì kết luận của định lý không còn đúng nữa:
1.4. Các quá trình lồi 37
(i) G là ánh xạ hêmi liên tục trên ở trong K;
(ii) G có giá trị lồi;
(iii) G có giá trị đóng;
(iv) G có giá trị khác rỗng.
Bài tập 1.3.5. Cho K =

B
IR
2
là hình tròn đơn vị trong IR
2
. Cho F :
K IR
2
là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng,
khác rỗng. Chứng minh rằng nếu
x K y F (x) sao cho x, y =0,
ởđóK :=
K \ int K ký hiệu biên của K, thì tồn tại x K thỏa mãn
0 F (x).
1.4 Các quá trình lồi
á
nh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón lồi có nhiều tính chất tơng tự nh các
tính chất của toán tử tuyến tính. Lớp các ánh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón
lồi đã đợc S. M. Robinson nghiên cứu khá kỹ trong những năm 1972-1976.
Định nghĩa 1.4.1.
á
nh xạ F : X Y ,ởđóX và Y là các không gian định
chuẩn, đợc gọi là một quá trình lồi
9
nếu gph F là một hình nón lồi trong không
gian tích X ì Y . Nếu gph F là một hình nón lồi đóng trong X ì Y thì F đợc
gọi là một quá trình lồi đóng
10
.

Nhắc lại rằng tập K trong một không gian tuyến tính Z đợc gọi là một
hình nón nếu 0 K và z K với mọi z K và >0.
Ví dụ 1.4.1. Các tập hợp sau đây là những hình nón trong IR
n
:
K
1
:= IR
n
+
= {x =(x
1
,...,x
n
) IR
n
: x
i
0 i =1, 2,...,n},
K
2
:= {x =(x
1
,...,x
n
) IR
n
: x
i
> 0 i =1, 2,...,n}{0}.

Các tập hợp sau đây là những hình nón trong C[a, b] (không gian gồm các hàm
số f :[a, b] IR liên tục trên đoạn [a, b] IR):
K
3
= {f C[a, b]:f(t) 0 t [a, b]},
K
4
= {f C[a, b]:f(t) > 0 t [a, b]}{0}.
Bài tập 1.4.1. Chứng minh rằng gph F là một hình nón khi và chỉ khi
0 F (0) và F (x)=F (x) với mọi x X và >0.
9
TNTA: convex process.
10
TNTA: closed convex process.
38 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.4.2. Cho F : X Y là một quá trình lồi đóng. Chuẩn F của
F là số thực suy rộng đợc cho bởi công thức
(4.1) F =sup
x(dom F )\{0}
d(0,F(x))
x
,
ởđód(a, M):= inf
xM
a x là khoảng cách từ a đến M.
Trong phần còn lại của mục này, nếu không nói gì thêm thì X, Y đợc giả
thiết là các không gian Banach.
Từ Định nghĩa 1.4.1 suy ra rằng nếu F là quá trình lồi đóng thì F
1
cũng

là một quá trình lồi đóng. Định lý sau đa ra điều kiện đủ để F
1
là một ánh
xạ đa trị Lipschitz.
Định lý 1.4.1 (Tính Lipschitz của quá trình ngợc). Cho F : X Y là quá
trình lồi đóng. Nếu rge F = Y thì F
1
là một ánh xạ đa trị Lipschitz, tức là
tồn tại >0 sao cho
(4.2) F
1
(y
1
) F
1
(y
2
)+y
1
y
2


B
Y
với mọi y
1
,y
2
Y .

Để thiết lập (4.2) dới giả thiết quá trình lồi đóng F là ánh xạ đa trị tràn
(tức là rge F = X), chúng ta cần sử dụng kết quả sau.
Định lý 1.4.2 (Định lý Robinson-Ursescu). Cho F : X Y là ánh xạ đa trị
lồi, đóng. Giả sử rằng y F (x) và y int(rge F ). Khi đó tồn tại >0 và
>0 sao cho với mỗi y

B(y, ) tồn tại x F
1
(y) thỏa mãn
(4.3) x x y y.
Chứng minh. Chứng minh đầy đủ của định lý này khá phức tạp (xem Ursescu
(1975), Robinson (1976a), Aubin và Ekeland (1984)). Chúng ta sẽ chỉ xét trờng
hợp X là không gian Banach phản xạ. Đặt
(4.4) (y)=d(x, F
1
(y)) (y Y ).
Khẳng định 1: là hàm lồi.
Thật vậy, do F là ánh xạ đa trị lồi nên F
1
cũng là ánh xạ đa trị lồi. Do
đó, với mọi y,y

Y và với mọi t (0, 1) ta có
F
1
((1 t)y + ty

) (1 t)F
1
(y)+tF

1
(y

).
1.4. Các quá trình lồi 39
Vì vậy, nếu y rge F và y

rge F thì
((1 t)y + ty

)
= d

x, F
1
((1 t)y + ty

)

d

x, (1 t)F
1
(y)+tF
1
(y

)

=inf

x [(1 t)u + tv] : u F
1
(y),v F
1
(y

)

inf

(1 t)(x u) + t(x v) : u F
1
(y),v F
1
(y

)

=(1 t)inf
uF
1
(y)
x u + t inf
vF
1
(y

)
x v

=(1 t)(y)+t(y

).
Dễ thấy rằng (y) < + khi và chỉ khi y rge F. Ta đã chứng minh rằng với
mọi y,y

dom = {y : (y) < +} ta có
((1 t)y + ty

) (1 t)(y)+t(y

) t (0, 1).
Nếu y/ dom hoặc y

/ dom thì bất đẳng thức cuối là hiển nhiên. Tóm lại,
là hàm lồi.
Khẳng định 2: là nửa liên tục dới ở trong Y .
Để chứng minh khẳng định này ta chỉ cần chứng tỏ rằng các tập mức
lev

() ( IR) là đóng (xem Bài tập 1.4.2 ở dới đây). Lấy IR. Giả
sử {y
k
}lev

(), y
k
y. Ta sẽ chứng tỏ rằng y lev

().DoX là

không gian Banach phản xạ, các hình cầu đóng trong X là compắc yếu (Định lý
Banach-Alaoglu). Với mỗi k, F
1
(y
k
) là tập lồi đóng khác rỗng. Theo Bổ đề
Mazur (Tập lồi đóng trong không gian định chuẩn là tập đóng yếu), F
1
(y
k
)
là tập lồi đóng yếu, khác rỗng. Do đó tồn tại x
k
F
1
(y
k
) sao cho
(4.5) x
k
x =inf
xF
1
(y
k
)
x x.
Thật vậy, lấyx M, ởđóM := F
1
(y

k
). Đặt = x x và
M

= {x M : x x }.
Ta có M

là tập compắc yếu, khác rỗng. Vì (x):=x x là hàm lồi, liên
tục, nên từ Bổ đề Mazur suy ra rằng là nửa liên tục dới ở trong X theo tôpô
yếu. Theo Định lý Weierstrass, tồn tại x
k
M

thỏa mãn (4.5). Ta có
x
k
x = d(x, F
1
(y
k
)=(y
k
) k IN.
Vậy {x
k
}

B(x, ). Suy ra {x
k
} có dãy con hội tụ theo tôpô yếu. Giả sử

rằng x
k
w
x

B(x, ).Do(x
k
,y
k
) gph F , (x
k
,y
k
)
w
(x, y), và gph F là
tập lồi đóng yếu, ta có (x, y) gph F .Dođóx F
1
(y).Vìx
k
x
với mọi k IN,tacóx x . Suy ra
(y)=d(x, F
1
(y)) x x .
40 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Vậy ta có y lev

().
Khẳng định 3: là liên tục ở trên int(rge F ).

Thật vậy, lấy y
0
int(rge F ) và >0 sao cho

B(y
0
,) rge F.
Xét họ các tập mức của hàm :
lev

(k)={y : (y) k} (k IN).
Trong khi chứng minh Khẳng định 2 ta đã chỉ ra rằng lev

(k) là đóng với mỗi
k IN.Tacó
(4.6)

B(y
0
,)=


k=1

lev

(k)

B(y
0

,)

.
Thật vậy, lấy y

B(y
0
,) rge F .Do(y) IR, tồn tại k IN để (y) k.
Khi đó, y lev

(k). Để tiếp tục chứng minh, chúng ta cần sử dụng Định lý
Baire: Nếu M là một không gian mêtric đủ, thì M không thể biểu diễn đợc
dới dạng hợp của một số đếm đợc các tập đóng có phần trong rỗng. Do X
là không gian Banach,

B(y
0
,) là không gian mêtric đủ. Do định lý Baire và
do (4.6), tồn tại

k IN sao cho
int

lev

(

k)

B(y

0
,)

= .
Vì vậy tồn tại y Y và >0 sao cho

B(y, ) lev

(

k)

B(y
0
,),
tức là
0 (y)

k y

B(y, ).
Do là lồi và bị chặn ở trên

B(y, ), nên là liên tục ở trên B(y, ) int(rge F )
(xem Ioffe và Tihomirov (1979)). Khi đó là liên tục trên int(rge F ).
Vì y int(rge F ) và hàm liên tục trên int(rge F ),tacó là Lipschitz địa
phơng tại y, tức là tồn tại >0 và
0
> 0 sao cho
|(y

) (y)|
0
y

yy,y



B(y, )
(xem Ioffe và Tihomirov (1979)). Suy ra
(4.7) |(y) (y)|
0
y yy

B(y, ).
Đặt =2
0
và lu ý rằng (y)=0vì y F (x). Với mỗi y

B(y, ),do
(4.7) tồn tại x F
1
(y) sao cho (4.3) nghiệm đúng. Định lý đã đợc chứng
minh.
1.4. Các quá trình lồi 41
Bài tập 1.4.2. Cho hàm số thực suy rộng : X IR {+},ởđóX là
không gian định chuẩn. Chứng minh rằng là nửa liên tục dới ở trong
X khi và chỉ khi các tập mức lev

():={x X : (x) } ( IR)
là đóng.
Chứng minh Định lý 1.4.1:
Đặt x =0, y =0.DoF là quá trình lồi đóng, ta có y F (x). Từ giả
thiết rge F = Y suy ra y int(rge F ). Theo Định lý 1.4.2, tồn tại >0 và
>0 sao cho với mỗi y

B(y, ) tồn tại x F
1
(y) thỏa mãn (4.3). Với
mỗi y

Y tồn tại t>0 sao cho
ty



B(y, )=

B(0,).
Do (4.3), tồn tại x F
1
(ty

) sao cho x 0 ty

0.VìF
1
là
quá trình lồi, nên ta có x tF

1
(y

) và x ty

. Đặt x

=
1
t
x,tacó
x

F
1
(y

) và x

y

.
Cố định hai điểm y
1
,y
2
Y . Lấy tùy ý x
1
F
1

(y
1
). Do tính chất
đã chứng minh ở đoạn trên, ta chọn đợc u F
1
(y
2
y
1
) sao cho u
y
2
y
1
. Đặt x
2
= x
1
+ u,tacó
(4.8) x
2
x
1
= u y
2
y
1
.
Ta lại có x
2

F
1
(y
2
). Thật vậy, do u F
1
(y
2
y
1
), x
1
F
1
(y
1
),vàdo
F
1
là quá trình lồi đóng, ta có
1
2
x
1
+
1
2
u
1
2

F
1
(y
1
)+
1
2
F
1
(y
2
y
1
)
F
1
(
1
2
y
1
+
1
2
(y
2
y
1
)) = F
1

(
1
2
y
2
)=
1
2
F
1
(y
2
).
Từ đó suy ra x
1
+ u F
1
(y
2
), hay x
2
F
1
(y
2
). Do (4.8), tồn tại v

B
X
sao cho x

1
x
2
= y
1
y
2
v. Vậy
x
1
F
1
(y
2
)+y
1
y
2


B
Y
.
Ta đã chứng tỏ rằng (4.2) nghiệm đúng với mọi y
1
,y
2
Y .
Mệnh đề 1.4.1 (Định lý ánh xạ mở). Cho F : X Y là ánh xạ đa trị lồi,
đóng. Nếu rge F = Y thì F là ánh xạ mở; nghĩa là với mọi tập mở U X,

tập F (U)=
xU
F (x) là mở trong Y .
Chứng minh. Giả sử F thỏa mãn giả thiết của mệnh đề. Giả sử U X là tập
mở. Lấy y F (U) và giả sử x U là điểm thỏa mãn bao hàm thức y F (x).
Do rge F = Y ,tacóy int(rge F ). Theo Định lý 1.4.2, tồn tại >0 và >0
để với mỗi y

B(y, ) tồn tại x F
1
(y) sao cho (4.3) nghiệm đúng. Chọn


(0,) đủ bé để có
(4.9)

B(x,

) U.
42 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Khi đó, với mỗi y

B(y,

) tồn tại x F
1
(y) thỏa mãn
x x y y

.

Vậy x

B(x,

) U.Doy F (x) và do (4.9), từ đó ta có y F (U).Vì
bao hàm thức cuối đúng với mọi y

B(y,

), nên

B(y,

) F (U).Tađã
chứng tỏ rằng F (U) là tập mở.
Nhận xét 1.4.1. Các định lý ánh xạ mở có vai trò quan trọng trong giải tích
và giải tích ứng dụng. Ví dụ nh một số điều kiện cần cực trị (trong lý thuyết
tối u) hay điều kiện đủ cho tính điều khiển đợc của các hệ động lực (trong lý
thuyết điều khiển) có thể đợc dẫn ra nh những hệ quả trực tiếp của của các
định lý ánh xạ mở. Định lý ánh xạ mở trong Mệnh đề 1.4.1 chỉ áp dụng đợc
cho các ánh xạ đa trị có đồ thị là tập lồi đóng. Đồng thời với các nghiên cứu
của các tác giả nớc ngoài, Giáo s Phạm Hữu Sách, Giáo s Phan Quốc Khánh
và Phó Giáo s Phạm Huy Điển đã có nhiều đóng góp trong việc xây dựng các
định lý ánh xạ mở và định lý hàm ngợc tổng quát; xem Sach (1988a,b), Khanh
(1986, 1988, 1989), Dien và Sach (1991). Trong các công trình đó, các ánh xạ
đa trị đợc xét không nhất thiết phải có đồ thị lồi. Nói riêng ra, trong ba bài
báo nói trên, bằng cách sử dụng khái niệm không gian tựa mêtric (quasi-metric
space) tác giả Phan Quốc Khánh đã thu đợc các định lý ánh xạ mở tổng quát,
mà từ đó ta có thể thu đợc Định lý Ljusternik quen biết, Định lý quy nạp của
V. Pták (Ptáks induction theorem, 1974), một kết quả trớc đó của Phạm Hữu

Sách, và nhiều kết quả khác. Các kết quả trong Khanh (1986, 1988, 1989) đã
thu hút đợc sự chú ý của nhiều chuyên gia trong ngành.
Nhận xét 1.4.2. Trong Chơng 5 của giáo trình này có trình bày một định lý ánh
xạ mở địa phơng (xem Định lý 5.4.1) và định lý hàm ngợc (xem Định lý 5.4.2)
cho ánh xạ đa trị có dạng đặc biệt: F (x)=f(x)+K,ởđóF : IR
n
IR
m
là
ánh xạ đơn trị và K IR
m
là tập lồi.
Nhận xét 1.4.3. Các tác giả Huỳnh Thế Phùng và Phạm Huy Điển (xem Phung
và Dien (1991)) đã chỉ ra rằng điểm cân bằng (không điểm) của một ánh xạ
đa trị lồi đóng, nếu tồn tại, có thể tính đợc bằng một thuật toán gồm hữu hạn
bớc.
Bài tập 1.4.3. Cho A : X Y là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng A
là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ F cho bởi công thức F (x)={Ax} (x
X) là ánh xạ đóng.
Bài tập 1.4.4. Chứng minh rằng Định lý ánh xạ mở Banach Cho A :
X Y là toán tử tuyến tính liên tục. Nếu A(X)=Y thì A là ánh xạ
mở (tức là với mọi tập mở U X, A(U ) là tập mở trong Y ) là hệ quả
của Mệnh đề 1.4.1.
1.4. Các quá trình lồi 43
Ví dụ 1.4.1 (Quá trình lồi đóng). Cho K Y là hình nón lồi đóng và cho
f C
1
(X, Y ). Với mỗi x
0
X ta đặt F

x
0
(v)=f

(x
0
)v + K (v X). Khi
đó, F
x
0
(ã) là một quá trình lồi đóng phụ thuộc vào tham số x
0
.
Mệnh đề 1.4.2 (Điều kiện đủ để một quá trình lồi đóng có chuẩn hữu hạn).
Cho F : X Y là quá trình lồi đóng. Nếu dom F = X, thì số F đợc định
nghĩa bởi công thức (4.1) là hữu hạn.
Chứng minh. Xét quá trình ngợc F
1
: Y X, F
1
(y)={x X : y
F (x)}.VìF là quá trình lồi đóng, nên F
1
cũng là quá trình lồi đóng. Ta có
rge F
1
= {x X : y Y sao cho x F
1
(y)}
= {x X : y Y sao cho y F (x)}

= {x X : F (x) = }
= dom F.
Do giả thiết dom F = X,tacórgeF
1
= X.
á
p dụng Định lý 1.4.1 cho ánh
xạ F
1
, ta tìm đợc hệ số >0 sao cho
(4.10) (F
1
)
1
(x

) (F
1
)
1
(x)+x

x

B
Y
(x, x

X).
Với mọi x X,

(F
1
)
1
(x)={y Y : x F
1
(y)}
= {y Y : y F (x)}
= F (x).
Do đó (F
1
)
1
= F. Vậy từ (4.10) ta có
(4.11) F (x

) F (x)+x

x

B
Y
(x, x

X).
(Điều đó chứng tỏ F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X.)
á
p dụng (4.11) cho
x

=0và lu ý rằng 0 F (0),tacó
0 F (x)+x

B
Y
(x X).
Khi đó, với mọi x X \{0}, tồn tại y F (x) và v

B
Y
sao cho
0=y + xv.
Suy ra
y xv x.
Vậy
d(0,F(x))
x

x
x
= x X \{0}.
44 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Từ đó ta có
F =sup
x=0
d(0,F(x))
x
.
Mệnh đề đã đợc chứng minh.
Ví dụ 1.4.2. Đặt F (x)={y IR : y x

2
} với mọi x IR.TacóF : IR IR
là ánh xạ đa trị lồi đóng, vì gph F = {(x, y) IR
2
: y x
2
} là tập lồi đóng.
a) Lấy x =0, y =0. Vì rge F = IR
+
, nên y/ int(rge F ). Do đó giả thiết
của Định lý 1.4.2 không đợc thỏa mãn với bộ ba {F, x, y} đã chọn. Nhận xét
rằng kết luận của định lý đó không còn đúng. Thật vậy, giả sử tồn tại >0 và
>0 với tính chất
(4.12) y

B(y, ) x F
1
(y) sao cho x x y y.
Khi đó
y [, ] x IR sao cho y x
2
, |x| |y|.
Chọn y = , ta thấy ngay rằng không tồn tại x IR sao cho y x
2
. Vậy
không tồn tại >0 và >0 với tính chất (4.12).
b) Bây giờ ta lấy x =0, y =1. Hiển nhiên y int(rge F ). Do Định lý
1.4.2, >0 và >0 với tính chất (4.12).
Hình 6
Bài tập 1.4.5. Với x, y nh trong phần b) của Ví dụ 1.4.2, hãy chỉ ra các

số >0 và >0 thỏa điều kiện (4.12).
1.4. Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị 45
1.5 Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị
Trong mục này, nếu không nói gì thêm thì X, Y là các không gian định chuẩn
tùyývàF là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử x int(dom F ). Ta nói F là Lipschitz địa phơng
11
tại (hoặc ở gần) x, nếu tồn tại >0 và >0 sao cho
(5.1) F (x
2
) F (x
1
)+x
2
x
1


B
Y
với mọi x
1
,x
2


B(x, ). Trong trờng hợp F (x)={f(x)} là ánh xạ đơn trị,
bao hàm thức (5.1) trở thành
f(x
2

) f(x
1
)+x
2
x
1


B
Y
.
Nếu tồn tại >0 và >0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi x

B(x, ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz địa phơng tại x.
Định nghĩa 1.5.2 (Robinson (1979)). Ta nói F là Lipschitz trên địa phơng
12
tại (hoặc ở gần) x dom F nếu tồn tại >0 và >0 sao cho
(5.2) F (x) F (x)+x x

B
Y
với mọi x

B(x, ). Trong trờng hợp F (x)={f(x)} là ánh xạ đơn trị, bao
hàm thức (5.2) trở thành
f(x) f(x)+x x

B
Y
.

Nếu tồn tại >0 và >0 sao cho tính chất đó nghiệm đúng với mọi x

B(x, ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz trên địa phơng tại x.
Định nghĩa 1.5.3 (Robinson (1981)). Cho X = IR
n
, Y = IR
m
. Ta nói F :
X Y là ánh xạ đa trị đa diện
13
nếu tồn tại một số hữu hạn các tập lồi đa
diện
1
,
2
,...,
s
trong không gian tích IR
n
ì R
m
sao cho
gph F =
s

i=1

i
.
Định lý 1.5.1 (Robinson (1981)). Nếu F : IR

n
IR
m
là ánh xạ đa trị đa diện
thì, với mọi x dom F , F là Lipschitz trên địa phơng tại x.
Định lý này đợc chứng minh bằng cách áp dụng Định lý 1.1.2. Bạn đọc
có thể xem chứng minh chi tiết trong Chơng 7 cuốn chuyên khảo của G. M.
Lee, Nguyễn Năng Tâm và N. Đ. Yên (Lee, Tam và Yen (2005)).
11
TNTA: locally Lipschitz at x, locally Lipschitz near x.
12
TNTA: locally upper-Lipschitz.
13
TNTA: polyhedral multifunction.
46 1. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.5.4 (Aubin (1984)). Ta nói F là giả-Lipschitz
14
ở gần điểm
(x, y) gph F nếu tồn tại >0, >0 và à>0 sao cho
F (x
2
) B(y, à) F (x
1
)+x
2
x
1


B

Y
với mọi x
1
,x
2


B(x, ).
Nhận xét 1.5.1. Nếu F là giả-Lipschitz ở gần điểm (x, y) gph F , thì ta phải
có x int(dom F ).
Nhận xét 1.5.2. Tính chất giả-Lipschitz của ánh xạ đa trị có vai trò quan
trọng giải tích phi tuyến và lý thuyết tối u (xem Rockafellar và Wets (1998),
Mordukhovich (2006a,b)). Để ghi công của J.-P. Aubin trong việc đề xuất khái
niệm này, Donchev và Rockafellar (1996) đề nghị gọi tính chất giả-Lipschitz
là tính liên tục Aubin (Aubin continuity). Trong Chơng 5 chúng ta sẽ đara
những điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm của một hệ bất đẳng thức phụ thuộc tham
số là liên tục Aubin theo tham số. Sử dụng kết quả đó, cũng trong Chơng 5,
ta sẽ đa ra điều kiện đủ để hàm giá trị tối u của một bài toán quy hoạch toán
học phụ thuộc tham số là Lipschitz địa phơng.
Bài tập 1.4.5. Cho x X. Chứng minh rằng nếu F : X Y là giả-
Lipschitz ở gần mỗi điểm (x, y) {x}ìF (x) thì F là nửa liên tục dới
tại x. Khẳng định ngợc lại có đúng không?
14
TNTA: pseudo-Lipschitz.
Chơng 2
Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Tay nào cầm đợc khói sơng
Mới mong giữ nổi yêu thơng cho mình
(Trần Mạnh Hảo, Ru em Thúy Kiều)
Chơng này giới thiệu các khái niệm cơ bản và một số định lý chính về đạo

hàm của ánh xạ đa trị. Cách xây dựng đạo hàm của ánh xạ đa trị thông qua nón
tiếp tuyến Bouligand của đồ thị ở đây đợc J.-P. Aubin (1981) đề xuất.
ô
ng đã
sử dụng cách tiếp cận này để nghiên cứu các tính chất của nghiệm của bao hàm
thức vi phân.
2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland
Đợc I. Ekeland đề xuất năm 1974, nguyên lý biến phân sau đây là một công
cụ hiệu quả để thiết lập các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ngợc trong giải
tích không trơn. Ngoài ra, ngay từ năm 1976, F. H. Clarke đã sử dụng nguyên
lý này để thiết lập quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch toán
học trong không gian Banach với dữ liệu là các hàm số không trơn. Trong lý
thuyết đối đạo hàm (xem Mordukhovich (2006a,b)), nguyên lý biến phân của
Ekeland cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng. Nguyên lý này là công cụ
chính để thu đợc các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ngợc cho ánh xạ đa trị
trong chơng này và trong Chơng 5.
Định lý 2.1.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland). Cho (X, d) là không gian mêtric
đủ, : X IR {+} là hàm số nửa liên tục dới, bị chặn dới ở trong X.
Khi đó, nếu x X thỏa mãn
(1.1) (x) inf
xX
(x)+
47
48 2. Đạo hàm của ánh xạ đa trị
với >0 và nếu >0 là số thực cho trớc, thì tồn tạix X sao cho
(i) (x) (x);
(ii) d(x, x) ;
(iii) Với mọi x X \{x}, (x) <(x)+

d(x,x).
Chứng minh. Trong chứng minh này chúng ta sẽ sử dụng kiểu thứ tự bộ phận
do Bishop và Phelps đa ra năm 1963. Với mỗi >0, ta định nghĩa thứ tự


trong tích X ì IR nh sau:
(1.2) (x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) y
2
y
1
+ d(x
1
,x
2
) 0.
Thứ tự

là phản xạ, phản xứng và bắc cầu.
Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có (x, y)

(x, y) với mọi (x, y) X ì IR.
Tính phản xứng: Giả sử rằng (x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) và (x
2
,y
2
)

(x
1
,y
1
).
Ta cần chứng tỏ rằng (x
1
,y
1
)=(x
2
,y
2

). Do (1.2),
(x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) d(x
1
,x
2
)
y
1
y
2

.
Theo giả thiết,
(1.3) d(x
1
,x
2
)
y
1

y
2

và d(x
2
,x
1
)
y
2
y
1

.
Suy ra 2d(x
1
,x
2
) 0. Vì thế x
1
= x
2
. Từ (1.3) ta có y
1
y
2
và y
2
y
1

.Do
đó (x
1
,y
1
)=(x
2
,y
2
).
Tính bắc cầu: Giả sử rằng (x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
) và (x
2
,y
2
)

(x
3
,y
3

).
Khi đó
d(x
1
,x
2
)
y
1
y
2

và d(x
2
,x
3
)
y
2
y
3

.
Suy ra
d(x
1
,x
2
)+d(x
2

,x
3
)
y
1
y
3

.
Do d(x
1
,x
3
) d(x
1
,x
2
)+d(x
2
,x
3
), nên ta có
d(x
1
,x
3
)
y
1
y

3

.
Từ đó suy ra (x
1
,y
1
)

(x
3
,y
3
).
Khẳng định 1: Nếu (x
1
,y
1
) X ì IR, thì
:={(x, y) X ì IR :(x
1
,y
1
)

(x, y)}
2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland 49
là tập đóng.
Thật vậy, giả sử dãy {(x
k

,y
k
}X ì IR thỏa mãn
(x
1
,y
1
)

(x
k
,y
k
)(k =2, 3, 4,...)
và x
k
x, y
k
y.Dod(x
1
,x
k
) (y
1
y
k
)/ với mọi k IN, nên ta có
d(x
1
,x) (y

1
y)/; tức là (x
1
,y
1
)

(x, y). Vậy (x, y) . Ta đã chứng
minh rằng là tập đóng.
Khẳng định 2: Cho M X ì IR là tập đóng sao cho tồn tại >0 để y
với mọi (x, y) M. Khi đó, với mỗi (x
1
,y
1
) M tồn tại (x, y) M sao cho
(x
1
,y
1
)

(x, y) và (x, y) là một phần tử cực đại trong M theo thứ tự


(tức là, nếu (x, y) M và (x, y)

(x, y) thì (x, y)=(x, y)).
Bắt đầu từ (x
1
,y

1
) M ta xây dựng dãy {(x
k
,y
k
)} nh sau: Giả sử (x
k
,y
k
)
đã đợc xác định. Đặt
M
k
= {(x, y) M :(x
k
,y
k
)

(x, y)}.
Theo Khẳng định 1, M
k
là tập đóng. Ngoài ra, vì (x
k
,y
k
) M
k
nên M
k

= .
Đặt

k
=inf{y : x X, (x, y) M
k
}.
Hiển nhiên
k
và
k
y
k
. Chọn (x
k+1
,y
k+1
) M
k
sao cho
(1.4) y
k+1


k
+ y
k
2
.
(Nếu

k
= y
k
thì đặt (x
k+1
,y
k+1
)=(x
k
,y
k
). Giả sử
k
<y
k
.Do
k
< (
k
+
y
k
)/2, tồn tại (x, y) M sao cho
k
y<(
k
+ y
k
)/2. Đặt (x
k+1

,y
k+1
)=
(x, y), ta thấy rằng (1.4) nghiệm đúng.) Dãy {M
k
} là các tập đóng lồng nhau:
M
k+1
M
k
với mọi k IN. (Thật vậy, nếu (x, y) M
k+1
thì
(x
k
,y
k
)

(x
k+1
,y
k+1
)

(x, y).
Do đó (x, y) M
k
.) Đặt d((x, y), (x

,y

)) = d(x, x

)+|y y

|. Với mọi k,ta
có
k

k+1
y
k+1
và
|y
k+1

k+1
|
1
2
|y
k

k
| 2
k
|y
1
|.

(Thật vậy, do (1.4) ta có
y
k+1

k+1
y
k+1

k

1
2
(y
k

k
)=
1
2
|y
k

k
|.
Vì y
k+1

k+1
0,từđósuyra
|y

k+1

k+1
| ... 2
k
|y
1

1
| 2
k
|y
1
|).
50 2. Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Với mọi (x, y) M
k+1
ta có
|y
k+1
y| |y
k+1

k+1
| 2
k
|y
1
|.
Vì (x

k+1
,y
k+1
)

(x, y), nên
0 d(x
k+1
,x)
y
k+1
y

.
Do đó
0 d(x
k+1
,x)
y
k+1
y


2
k

|y
1
|.
Từ đó suy ra

diam M
k+1
:= sup{d((x, y), (x

,y

)) : (x, y) M
k+1
, (x

,y

) M
k+1
}0
khi k . Vậy {M
k
} là dãy tập đóng lồng nhau, có đờng kính giảm tới 0.
Vì X ìIR là không gian mêtric đủ, nên tồn tại duy nhất phần tử (x, y) X ìIR
thỏa mãn


k=1
M
k
= {(x, y)}.
Do (x, y) M
1
,tacó(x, y) M và (x
1

,y
1
)

(x, y). Giả sử (x, y) M
thỏa mãn
(1.5) (x, y)

(x, y).
Do (1.5) và do (x, y) M
k
với mọi k IN,tacó
(x
k
,y
k
)

(x, y)

(x, y).
Vậy (x, y) M
k
với mọi k IN. Từ đó suy ra (x, y)=(x, y). Ta đã chứng
minh rằng (x, y) là phần tử cực đại trong M. Khẳng định 2 đã đợc chứng
minh.
Đặt
M = epi = {(x, y) X ì IR : (x) y}.
Do hàm số là nửa liên tục dới, M là tập đóng trong X ì IR. Thật vậy, ta
sẽ chứng minh rằng :=(X ì IR) \ M là tập mở. Giả sử (x, y) .Do

(x, y) / M,tacó(x) > y. Lấy

0
,
(x)y
2

.Vì là nửa liên tục dới
tại x, tồn tại lân cận mở U của x sao cho
(x) (x) x U.