Hinh tam giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>DẠNG TOÁN LỚP 5: CHIA HÌNH CHO TRƯỚC THÀNH CÁC PHẦN THEO TỈ SỐ DIỆN TÍCH Tạp chí “Thế giới trong ta” số 3+4-2011 có bài viết của tác giả Thy Yên “Bồi dưỡng kiến thức hình học cho học sinh lớp 5 bằng dạng toán chia hình cho trước thành các phần theo tỷ số diện tích”, tác giả đã tìm tòi và đưa ra cách giải quyết một dạng toán ít gặp nhưng rất bổ ích cho việc: củng cố, khắc sâu, nâng cao kiến thức hình học cho học sinh lớp 5, giúp giáo viên tiểu học rèn luyện năng lực dạy giải toán hình học nói riêng và giải toán tiểu học nói chung. Đọc xong bài viết, tôi thấy: Mỗi bài tập ví dụ đưa ra, tác giả đã có ngay kết quả chia hình. Làm như vậy, bài toán không khác gì các bài toán hình học phổ biến trong toán 5 (đại trà và nâng cao) là “cho hình đã được chia, so sánh tỷ lệ diện tích các hình, tỷ lệ các đoạn thẳng, …”. Tôi muốn góp thêm ý kiến với tác giả: đây là dạng toán ngược với dạng toán phổ biến trên. Làm sao để có được cách chia hình (theo yêu cầu đề toán) mới là yêu cầu cấn đạt khi giải bài toán dạng này. Đây là một dạng toán khó đối với học sinh lớp 5. Vì thực chất các bài toán dạng này không khác gì các bài toán dựng hình THCS, THPT. Để giải được các bài toán dạng này đòi hỏi người dạy, người học phải rất thành thục việc vận dụng linh hoạt các công thức tính diện tích các hình đã học, nổi bật nhất là mối quan hệ giữa các yếu tố trong từng công thức. Điều này tác giả đã nói rõ trong phần đầu bài viết. Trở lại với những ví dụ tác giả đã nêu trong bài viết: Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD, nối A với C. Hãy tìm một điểm E trên AC sao cho khi nối B với E và D với E (trong bài in là nối với N) thì hai đoạn thẳng BE và DE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Bài giải: (Theo bài viết) Lấy E là trung điểm của AC, nối E với B và E với D thì 2 đoạn thẳng DE và BE chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau. Thật vậy: … Yêu cầu của bài toán: Hãy tìm một điểm E trên AC sao cho … Phải “tìm” như thế nào để lấy được “E là trung điểm của AC” mới là giải bài toán. Việc chứng minh sau đó cũng là một phần của bài giải nhưng là chứng minh “bài giải là đúng” chứ không phải chứng minh “E là điểm giữa của AC thoả mãn yêu cầu bài toán”. (Nếu khi lấy E là điểm giữa của AC mà chứng minh E không thoả mãn yêu cầu bài toán thì có nghĩa phải chọn E ở vị trí khác trên AC!) Bài giải (phải có phần “tìm” – theo yêu cầu đề ra): Giả sử điểm E đã được chọn. Theo bài ra: E phải thoả mãn để S(ABED) = S(BEDC). S(ABED) = S(ABE) + S(AED) S(BEDC) = S(BEC) + S(EDC) Muốn vậy, S(ABE) = S(BEC) và S(AED) = S(EDC). 2 tam giác ABE và BED có chung đường cao hạ từ A B xuống AC; để S(ABE) = S(BEC) thì AE = EC => E là điểm giữa của AC.. Khi E là điểm giữa của AC thì, tương tự, ED chia tam B giác ADC thành 2 phần có diện tích có diện tích bằng nhau. E Vậy, điểm E cần tìm là điểm giữa của AC. Thật vậy: (theo chứng minh của tác giả Thy Yên). Bài toán 2 : Cho tam giác ABC, hãy vẽ một đường thẳng đi qua hai cạnh AB và AC chia tam C D giác đó thành hai phần bằng nhau (có diện tích bằng nhau) 1 Bài giải : « .... Trên cạnh AC lấy một điểm N sao cho NC = AC. Trên AB lấy điểm M sao 4 1 cho MB = AB. Nối M với N ta được đoạn thẳng MN chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích 3 bằng nhau, hay ... ». Đã « tìm » đâu mà biết ngay được ví trí 2 điểm cắt đường thẳng cần vẽ với AC và AB là N và.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 1 AC và MB = AB ». 4 3 Theo tôi, bài giải phải thêm: Vẽ đường thẳng chia tam giác ABC thành 2 phần, A cắt AC tại N, AB tại M. Đoạn thẳng MN phải thoả mãn điều kiện: N 1 S(AMN) = S(MNCB) = S . Nối BN. Nếu S(MNB) = S(BNC) thì: M 2 (ABC) C 1 1 S(BNC) = S :2= S . 2 (ABC) 4 (ABC) B Khi 2 tam giác có cùng đường cao hạ từ B xuống AC, thì tỷ lệ cạnh đáy bằng tỷ lệ diện tích của 1 1 1 chúng: NC = AC. (I) Khi đó S(MNB) = S(ABC) : 2 = S(AMN) : 2 = S . 4 2 2 (AMN) 1 1 Tương tự (I), MB = AM = AB. 2 3 1 1 Đường thẳng cần vẽ cắt AC tại N và AB tại M với NC = AC và MB = AB. 4 3 Thật vậy: (đã chứng minh). + Nhưng, nếu S(MNB) ≠ S(BNC) thì ta có cách chia khác. Cách 2: A Vẽ đường thẳng chia tam giác ABC thành 2 phần, cắt AC tại N, AB tại M. Đoạn thẳng MN phải thoả mãn điều kiện: N 1 S(AMN) = S(MNCB) = S . M 2 (ABC) C 1 Nối MC. Giả sử S(MBC) = 2/5 S(MNCB) = S . 5 (ABC) B S(MBC) 1 MB 1 = => = . 2 tam giác ABC và MBC có chung đường cao hạ từ C xuống AB, S(ABC) 5 AB 5 1 4 1 1 3 − Khi đó S(AMC) = 1− (S(ABC)) = S(ABC); S(MNC) = (S(ABC)) = S(ABC)). 5 5 2 5 10 S(MNC) 3 4 5 NC 3 (Hai tam giác MNC và AMC chung đường cao hạ từ M = : = => = S(AMC) 10 5 8 AC 8 xuống AC, tỷ lệ giữa 2 cạnh đáy bằng tỷ lệ 2 diện tích). Vậy, M,N thoả mãn để đoạn MN chia S (ABC) thành 2 phần bằng nhau khi M trên AB với MB = 1/5 AB; N trên AC với NC = 3/8 AC. Chứng minh:tương tự – (Cũng có thể dựa vào kết quả giải để chứng minh gọn hơn). Tương tự như vậy, mỗi bài toán “chia hình cho trước thành các phần theo tỷ số diện tích” có nhiều cách giải khác nhau và cùng cho kết quả đúng theo yêu cầu bài toán. 1 Bài toán 4: Cho hình thang ABCD có đáy AB bằng đáy CD. Hãy chia hình thang ABCD 2 thành 3 tam giác có diện tích bằng nhau. Trong bài viết, tác giả chỉ vẽ hình gợi ý các cách chia. Mỗi hình vẽ là một cách giải bài toán. Nhưng cần chú ý: Mỗi học sinh có thể có nhiều cách chia trên một hình; khi hình thay đổi (hình thang thường sang hình thang vuông) là điều kiện đã cho của bài toán thay đổi, buộc phải có lời giải phù hợp với điều kiện của bài toán, không thể coi là một cách giải khác. Có thể từ cách chia hình thang vuông, học sinh tìm được cách chia khác với hình thang thường: M với « NC =.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Một ví dụ khác: Hãy chia hình tam giác ABC thành 2 phần: một tam giác và một tứ giác sao cho diện tích hình tam giác chia được bằng 6/35 diện tích tam giác ABC. Để cho mọi học sinh bình thường có thể “nhập cuộc” với dạng toán này, giáo viên phải bắt đầu từ một bước trung gian (như một giả định): Tam giác ABC được chia như hình bên, với AN=1/4AC, AM = 2/5 AB. Hãy so sánh diện tích tam giác AMN với diện tích tam giác ABC. A 1 2 N HS sẽ tính được S(ANB) = S ;S = S 4 (ABC) (AMN) 5 (AMN) M 1 2 2 1 × C S(AMN) = (S(ABC)) = S(ABC) = S(ABC) 4 5 20 10 GV: 2/20 hay 1/10 là tích của 2 phân số nào? (...) B - Mỗi phân số chính là tỷ lệ giữa những đoạn thẳng nào? (...) Bài giải: Giả sử tam giác ABC được chia như hình bên. S(AMN) AM = (2 ∆ có chung đường cao hạ từ N xuống AB, tỉ lệ cạnh đáy = tỉ lệ diện tích). S(ABN) AB S(ABN) AN S(AMN) AM AN 6 2 3 1 6 = = × = = × = × (tương tự)  . S(AABC) AC S (ABC) AB AC 35 5 7 5 7 Vậy: Khi lấy M trên AB sao cho AM = 2/5 AB và lấy N trên AC sao cho AN = 3/7AC, nối MN ta chia ∆ABC thành 2 phần: 1 tam giác và một tứ giác, trong đó diện tích hình tam giác chia được bằng 6/35 diện tích tam giác ABC. Hoặc, tương tự khi lấy AM = 1/5 AB và AN = 6/7AC GV kích thích HS tìm ra nhiều cách chia trên 1 hình tam giác được xác định: - Em hãy phân tích 6/35 thành tích 2 phân số?(6/35 = a/b x c/d với a<b; c<d) 6 2 3 3 2 6 1 = × = × = × HS: 35 7 5 7 5 7 5 Từ đây, GV hướng dẫn HS chọn ra từng cặp phân số để xác định cách chia. Trên một tam giác, từ một cặp phân số được xác định, . Ví dụ: với 2/7 x 3/5, ta có 6 cách chia: * Lấy A là đỉnh của tam giác nhỏ được chia: C1: : AN=2/7AC và AM = 3/5 AB; C2: AN = 3/5AC và AM = 2/7AB (Tương tự như vậy khi chọn B hoặc C làm 1 đỉnh của tam giác nhỏ được chia) Với 3 cặp phân số, bài toán có thể có 18 cách giải. Với học sinh tiểu học, nhất thiết phải bắt đầu từ hình vẽ với những giả định (giả sử) theo yêu cầu bài toán; hướng dẫn học sinh huy động vốn kiến thức để khảng định giả định là đúng để chọn, hoặc loại bỏ giả định để chọn phương án đúng, không thể bằng kinh nghiệm và kiến thức của mình mà giáo viên “phỏng đoán” trước cho học sinh kết quả, chỉ yêu cầu học sinh chứng minh kết quả. Như vậy, tác dụng của dạng toán sẽ giảm đi rất nhiều (không muốn nói là mất). Với suy nghĩ của mình, tôi chỉ góp ý kiến trao đổi và rất mong tác giả Thy Yên cùng các đồng nghiệp tiếp tục trao đổi.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>