Tài liệu Bài giảng điện tử Bất đẳng thức cauchy pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (658.72 KB, 41 trang )
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GING
1.2.1.Dạng thuận của bất đẳng thức Cauchy:
Tip theo thc hin ý tưởng của Cauchy (Augustin-Louis Cauchy 1789 –
1857) đối với tổng
Ta nhận được tam thức bậc hai dạng
nên
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
Với mọi bộ số
ta ln có bất đẳng thức sau
Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi bộ số
và
tỷ lệ với
nhau, tức tồn tại cặp số thực
không đồng thời bằng 0, sao cho
Bất đẳng thức (1.4) thường c gi l bt ng thc Cauchy (đôi khi còn đợc
gọi là bt ng thc Bunhiacovski, bt ng thc Cauchy-Bunhiacovski hoặc
bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
1.2.2 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy
Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực
đã cho như là phần thực của một
số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
Định lý 1. Với mọi bộ số
ta ln có đẳng thức sau
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2. Với mọi bộ số phức
ta ln có đẳng thức sau
Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
1.2.3 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy
Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức
Giả sử ta có bộ các cặp số dương
ta ln có bất đẳng thức sau
sao cho
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì
hay
Từ đây suy ra
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
Theo bất đẳng thức Cauchy, thì
Vậy nên
Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành
Mục 1.2 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
•
BÀI GIẢNG
Định lý 1.(H. W. Mclaughlin). Với mọi bộ số thực
và
ta đều có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
và
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
•
BÀI GIẢNG
ứng với mọi
Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số
Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với
ta thu được
và
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2. (A. M. Ostrowski). Cho hai dãy không tỷ lệ
và
kiện
Khi đó
và dãy số thực
thỏa mãn điều
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
•
BÀI GIẢNG
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
•
BÀI GIẢNG
Định lý 3. (K. Fan and J. Todd). Với mọi dãy số thực
và
ta đều có
thỏa mãn điều kiện
ứng với
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.3.MỘT SỐ BĐT LIÊN QUAN
•
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành
Mục 1.3 Chương 1
Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
1.4. PHƯƠNG PHÁP BĐT CAUCHY
•
BÀI GIẢNG
1.4.1. Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức
Ta suy ra với mọi cặp số không âm
đạt giá trị lớn nhất bằng
Tương tự đối với một cặp
với tổng bằng 1 cho trước thì tích
khi
Vậy
ta cũng có:
