HSG 9 Quan Tan Phu 20142015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. ĐỀ THI HSG LỚP 9 VOØNG 1 – Naêm Hoïc: 2014-2015 QUẬN TAÂN PHUÙ Thời gian: 120 phút (NGAØY THI: 23/08/2014). Baøi 1: (2 ñiểm) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c  0 . Tính: N  Baøi 2: (4 ñieåm) 1) Giải phương trình: 9. . a2  b2  c2.  a  b  c. 2. . 4x  5  3x  1  x  4. 2) Trường THCS A có 1050 học sinh. Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã được xây thêm 4 phòng học mới. Kết quả là sĩ số trung bình mỗi lớp giảm xuống 8 học sinh. Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia thì sĩ số trung bình mỗi lớp học phải giảm thêm 7 học sinh nữa. Để đạt được đều đó, trường cần phải xây thêm 5 phòng học nữa. Em hãy cho biết để thực hiện xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất cả bao nhiêu phòng học và mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Baøi 3: (4 ñieåm) Giải hệ phương trình: 1) Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của ABC . Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc 2) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a  b  c  3 . Tìm GTNN của: 1 2015 P 2  2 2 a  b  c ab  bc  ca Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC. Vẽ đường cao AH của ABC , BC  25cm , AH  12cm . 1) Tính AB, AC. 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC . Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm của  O1  lean BC, AC, AB. KI cắt AH tại N. Trên AB lấy L sao cho AL = AN. Chứng minh: BL = AK rồi từ đó suy ra LO1 ñi qua trung ñieåm cuûa AC. 3) Vẽ đường kính AD của (O). Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C lần lượt cắt (O) tại E, F. Gọi H1;H2 là trực tâm của ABF, ACE . Chứng minh trung điểm của H1H2 là điểm cố ñònh. Baøi 5: (2 ñieåm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  2 là số chính phương. xy yz xz 2) Tìm x,y,z  Z bieát   3 z x y.   HẾT  . HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. ĐỀ THI HSG LỚP 9 VOØNG 1 – Naêm Hoïc: 2014-2015 QUẬN TAÂN PHUÙ Thời gian: 120 phút (NGAØY THI: 23/08/2014). Baøi 1: (2 ñiểm) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c  0 . Tính: N . a2  b2  c2.  a  b  c. 2. Ta coù: a3  b3  c3  3abc  a3  b3  c3  3abc  0   a  b  3ab  a  b  c3  3abc  0   a  b  c  3  a  b c  a  b  c  3ab  a  b  c  0 3. 3.    a  b  c  a. .   a  b  c a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca  0 2. .  b2  c2  ab  bc  ca  0  a2  b2  c2  ab  bc  ca  0  vì a +b  c  0 .   a  b    b  c    c  a  0  a  b  c 2. Khi đó: N . 2. 2. a2  b2  c2.  a  b  c. Baøi 2: (4 ñieåm) 1) Giải phương trình: 9. . 2. . a2  a2  a2.  a  a  a. 2. . 3a2. 3a. 2. . 1 3. . 4x  5  3x  1  x  4. 1 3 4x  5  3x  1  x  4  9  4x  5  3x  1   x  4 . Ñieàu kieän: x  . 9. . .  9  x  4  x  4. . . . . 4x  5  3x  1. . . 4x  5  3x  1  0   x  4  9  4x  5  3x  1  0.  1   4x  5  3x  1  9  vì x + 4  0 do x    3    4x  5  3x  1  2.  4x  53x  1  81  2. 12x2  19x  5  75  7x.   75 75 x  x    7 7 48x 2  76x  20  49x 2  1050x  5625 x 2  1126x  5605  0    75 x  7     x  1121 loại Vậy S  5      x  5  nhaän . 2) Trường THCS A có 1050 học sinh. Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã được xây thêm 4 phòng học mới. Kết quả là sĩ số trung bình mỗi lớp giảm xuống 8 học sinh. Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia thì sĩ số trung bình mỗi lớp học phải giảm thêm 7 học sinh nữa. Để đạt được đều đó, trường cần phải xây thêm 5 phòng học nữa. Em hãy cho biết để thực hiện xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất cả bao nhiêu phòng học và mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?. HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. . Gọi x (học sinh) là số học sinh trung bình của mỗi lớp x  N* ;x  1050 Số phòng học của trường là:. . 1050  phoøng  x. 1050  4  phoøng  x Số học sinh trung bình của mỗi lớp sau khi xây thêm 4 phòng là:  x  8 học sinh Soá phoøng hoïc sau khi xaây theâm 4 phoøng laø:. Số học sinh trung bình mỗi lớp để trường đạt chuẩn quốc gia là: x  8  7  x  15  học sinh Số phòng học của trường để trường đạt chuẩn quốc gia là:. 1050 1050 45  9  phoøng  x x. Ta coù phöông trình:  1050   1050   4   x  8    9   x  15   1050x  8400  4x2  32x  1050x  15750  9x2  135   x   x .  x  50  nhaän   5x  103x  7350  0   x  50  5x  147   0   147 x    loại   5 Vậy số học sinh trung bình mỗi lớp là: 50(học sinh) 1050 Số phòng học của trường là:  21 phoøng  50 2. Baøi 3: (4 ñieåm) Giải hệ phương trình: 1) Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của ABC . Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên áp dụng BĐT trong tam giác, ta được: a  b  c a  b  c  0   b  c  a  b  c  a  0 c  a  b c  a  b  0   Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:   b  c  a   c  a  b    b  c  a c  a  b  c   b  c  a c  a  b  2     c  a  b   a  b  c    c  a  b a  b  c  a   c  a  b a  b  c  2    b   b  c  a a  b  c   b  c  a   a  b  c     b  c  a a  b  c  2  Nhân vế theo vế, ta được:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Vậy BĐT đã được chứng minh. 2) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a  b  c  3 . Tìm GTNN của: 1 2015 P 2  2 2 a  b  c ab  bc  ca. P. 1 2015 1 1 1 2013   2    2 2 2 2 a  b  c ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca 2. HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG AÙp duïng BÑT:. 1 1 1 9    , x,y,z  0 ; dấu “=” xảy ra khi x = y = z, ta được: x y z xyz. 1 1 1 9     1 vì a + b  c  3  (1) 2 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c2 2. Áp dụng BĐT 3  xy  yz  zx    x  y  z  ; dấu “=” xảy ra khi x  y  z , ta được: 2. 3  ab  bc  ca   a  b  c  9  vì a + b + c  3  ab  bc  ca  3 2. 1 1 2013 2013 (2)    ab  bc  ca 3 ab  bc  ca 3 Từ (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: P  672 Daáu “=” xaûy ra khi x = y = z = 1 Vaäy Pmin  672 khi x  y  z  1 . Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC. Vẽ đường cao AH của ABC , BC  25cm , AH  12cm . A. AL = AN. J K O1. L N B. H I. O. C. 1) Tính AB, AC. Ñaët BH = x, x > 0. suy ra HC = 25 – x. 25 2  x  9  nhaän Ta coù: AH2  BH.HC  252  x  25  x     BH  9  cm  x  16  loại  Ta coù: AB2  BH.BC  AB2  9.25  AB  15  cm Do AB < AC neân BH < HC  x  25  x  x . AC2  CH.BC  AC2  16.25  AC  20  cm. 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC . Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm của  O1  lean BC, AC, AB. KI cắt AH tại N. Trên AB lấy L sao cho AL = AN. Chứng minh: BL = AK rồi từ đó suy ra LO1 đi qua trung ñieåm cuûa AC. Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt IK tại S. HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG ASK  KIB  ...   Ta coù: AKS  IKB  ...  ASK  AKS  SAK caân taïi A  AS  AK  KIB  IKB  ...  Mà AK = AJ nên AS = AJ. Do đó: ANS  ALJ c  g  c.  ANS  ALJ maø ANS  ASK  900 neân ALJ  ASK  900 Maët khaùc: ASK  AKS  LKN neân ALJ  LKN  900  LJ  KI maø BO1  KI neân LJ // BO1  LJ // BO1  cmt Xét tứ giác BLJO1 , ta có:   BL // JO1   AC  tứ giác BLJO1 là hình bình hành (…)  BL  O1J  AK. Cách 2 (tính toán) AB  AC  BC 15  20  25 Ta coù: AK    5  O1I  5  cm 2 2 Ta chứng minh được: HIN ∽ IO1B g  g .  NH . BI.HI 1.10   2  cm  AN  AH  NH  12  2  10  cm O1I 2. mà AL = AN (gt) nên AL = 10 (cm)  BL  AB  AL  15  10  5  cm Do đó: BL = AK Gọi Q là giao điểm của LO1 và AC. Ta chứng minh được AK = KL (=5cm)  K là trung điểm của AL nên dễ chứng minh được O1AL vuông cân tại O1  ...  ALQ vuông cân tại A  AQ  AL  10  cm  CQ  AC  AQ  20  10  10  cm. Do đó AQ = CQ (=10 cm)  Q là trung điểm của AC  LO1 đi qua trung điểm của AC. 3) Vẽ đường kính AD của (O). Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C lần lượt cắt (O) tại E, F. Gọi H1;H2 là trực tâm của ABF, ACE . Chứng minh: A là trung điểm của H1H2 .. HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG H2. A F. J. K O1. H1. B. C. O. H I. E D Ta coù: CF // AD vaø CF  CE  AD  CE Ta chứng minh được tứ giác BFCE là hình chữ nhật…  O là trung điểm của dây EF  EF là đường kính của (O)  AEF vuông tại A  AE  FA mà FA  BH2 ... nên AE // BH2 Ta coù: CF // AD vaø CF  CE  AD  CE maø AH1  CE neân AD  AH1  H1  AD Cmtt, ta có: H2  AD , do đó H1 ,A,H2 thẳng hàng..  AH1  BE tứ giác ABEH1là hình bình hành Ta coù:   AH2  BE tứ giác AEBH2 là hình bình hành  AH1  AH2 maø H1 ,A,H2 thaúng haøng neân A laø trung ñieåm cuûa H1H2. Baøi 5: (2 ñieåm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  2 là số chính phương. Đặt A  n4  n  2  k2 (không mất tính tổng quát, giả sử k  N ) * Xét n = 0 thì A = 2 (loại) * Xét n = 1 thì A = 2 (loại).  . * Xeùt n  2  2  n  0  n4  n  2  n4  n2. . . 2. 2. Ta chứng minh: n2  1  n4  n  2.  n4  2n2  1  n4  n  2  2n2  n  1  0 2. . .  1 7   n     0  đúng  4  16  2.  . Vaäy n2  1  n4  n  2  n2. 2. . . 2.  .  n2  1  k2  n2. 2.  k2  n4. HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG  n4  n  2  n4  n  2 Thử lại A = 16 là số chính phương Vaäy khi n = 2 thì A laø soá chính phöông. 2) Tìm x,y,z  Z bieát. xy yz xz   3 z x y. Caùch 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  xy yz xy yz 2   2y   x z x z  yz xz yz xz 2   2z   y x y x  xy xz xy xz   2   2x y z y  z. . xy yz xz xy yz xz    x  y  z maø    3 neân x  y  z  3 z x y z x y. Maët khaùc x, y, z  Z neân x = y = z = 1. Caùch 2: Do vai trò của x, y, z là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử: x  y  z  1 Ta coù:. y x xy yz zx z 2 y x     z     z  2z .  3z  3  3z  z  1  z  1 vì z  Z z x y z x y x y. . Với z = 1 thì VT 1  xy . .  x  y  1 vì x,y  Z. . . y x y x   xy  2 .  xy  2  3  xy  2  xy  1  xy  1 vì x,y  Z x y x y. . Thử lại ta thấy x  y  z  1 thỏa đề bài.. Vaäy nguyeân döông duy nhaát cuûa phöông trình laø:  x;y;z    x;y;z .   HẾT  . HSG L9 – Voøng 1 - Q.TP (2014-2015). .

<span class='text_page_counter'>(8)</span>