Su dung MTCT ho tro phan tich thanh nhan tu trong viecgiair phuong trinh he phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Đào Văn Chánh Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa, Phú Yên. Trong Đề thi Đại học và Cao đẳng môn Toán từ 2014 trở về trước, Đề thi TNTHPT (Từ 2015 đến nay), có câu giải phương trình, hệ phương trình Đại số, (thường đánh số 7 hay 8), là câu tương đối khó đối với đa số học sinh. Để giải được câu này, việc phân tích thành nhân tử một vế của phương trình (vế còn lại là zero) là cách đầu tiên nghĩ tới, trước khi quan tâm tới các cách khác. Vấn đề là rất khó để biết được nhân tử là gì. Nếu biết được thì cũng rất “hên xui”. Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay (MTCT) (Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần như học sinh nào cũng có) để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử (ở những bài giải được bằng cách phân tích thành nhân tử) một cách chắc chắn và nhanh gọn, không phải mò mẫm mất thời gian và sức lực. Sau khi đã dự đoán được một nhân tử, việc tìm ra nhân tử còn lại cũng có rất nhiều con đường, cả dễ lẫn không dễ, mà tôi tạm phân loại và trình bày sau đây: I. Phân tích thành nhân tử đa thức 1 biến bậc bốn. 2 2 Ví dụ 1: Ví dụ phân tích thành nhân tử biểu thức (2 x  x  3)  2  x .. x    2, 0, 2 Nhập trực tiếp phương trình vào MTCT và ra lệnh giải với nghiệm ban đầu là 0 ta được x  1.322875656, x  0.6180..., x  1.618033.. 2 3 nghiệm 1 .. Rồi lưu các nghiệm đó lần lượt vào các. ô nhớ A,B,C(Chỉ có các MTCT plus mới có tính năng này). Muốn lưu nghiệm x1 vào ô nhớ A chẳng hạn thì sau khi MTCT tìm ra x1 , ta bấm các phím   (Để lưu vào bộ nhớ tạm X) rồi các phím: ALPHA X SHIFT RCL ( ). (Máy hiện X  A ). Sau đó nhập vào MTCT: AB:AC:BC rồi bấm dấu “=” nhiều lần để kiểm tra tích nào “chẵn”. Ở đây ta có BC  1 , kiểm tra tiếp B  C 1 . Vậy B, C là 2 2 nghiệm phương trình x  x  1 0  dự đoán nhân tử là x  x  1 . Để tìm nhân tử còn lại ta nhập (2 x 2  x  3)2  2  x 2 x2  x  1 vào MTCT: . Dễ thấy số hạng có bậc cao nhất của thương là 4x nên ta sửa vào (2 x 2  x  3)2  2  x  4x2 2 x  x  1 MTCT: và ra lệnh tính với x 1000 ta được kết là là  7 0.x  7 . Kết 2 2 2 2 quả : (2 x  x  3)  2  x (4 x  7)( x  x  1) ..  3x 2  x  3 (8 x  3) 0  PT   2 2 2  3x 2  x  3 (8 x  3)2 (2 x 2  1) Ví dụ 2: Giải 3x  x  3 (8 x  3) 2 x  1 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  3x Ta sẽ cố gắng phân tích thành nhân tử. 2. 2.  x  3  (8 x  3)2 (2 x 2  1) x0    2, 2. bằng cách nhập như thế vào ta được nghiệm : x1 0; x2 0.85714... MTCT và ra lệnh giải với nghiệm ban đầu là 6 x2  2 x 7 2 Nghiệm khi nhớ vào B trở thành . Vậy nó có thừa số là 7 x  6 x . Tìm thừa số còn lại bằng.  3x. 2. 2.  x  3  (8 x  3) 2 (2 x 2  1). cách nhập vào MTCT biểu thức. 7 x2  6 x.  3x. 2.  x  3  (8 x  3)2 (2 x 2  1). 2 của thương là  17x nên ta sửa vào MTCT: với x 1000 ta được kết là là  9 0.x  9 .. Vậy.  3x. 2. Ta dễ thấy số hạng có bậc cao nhất 2. 7 x2  6x.  17 x 2. và ra lệnh tính. 2.  x  3  (8 x  3)2 (2 x2  1) (7 x 2  6 x)(17 x 2  9). Việc giải tiếp theo không có gì khó, dành cho bạn được. Nhược điểm : Không thể áp dụng nếu phương trình vô nghiệm và chỉ có các máy PLUS mới có chức năng nhớ các nghiệm, đặc biệt là các nghiệm “lẻ” ! II.. 2 2 Phân tích thành nhân tử đa thức bậc hai hai biến ax  by  cxy  dx  ey  f .. Ta xem nó như tam thức bậc hai của x (hoặc y). Ta tìm x (hoặc y) theo biến còn lại. Nguyên tắc là thế nhưng áp dụng không dễ, do phải đối mặt với các phép tính bằng tay cồng kềnh, rất dễ sai sót. Ta cũng làm như thế, nhưng không biến đổi gì cả mà ra lệnh cho MTCT giải. Do máy chỉ giải được với hệ số là các số cho nên ta gán 1 biến cho 1000 chẳng hạn, và giải biến còn lại theo 1000 này. Ví dụ ta gán 1000 cho biến y và giải được x 1001 chẳng hạn thì ta đoán được x  y  1 và ta có thừa số là ( x  y  1) 2 2 Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử biểu thức f ( x, y ) 2 x  y  3xy  3x  2 y  1 (Đề ĐH khối B 2013). f ( x, y ) 2 x 2    3 y  3 x  y 2  2 y  1 Giải: Ta xem f ( x, y ) như là một tam thức bậc hai của x: . Gán 999 y  1 x 999  y  1, x   y 1000 . Giải phương trình bậc hai tìm x ta có 2 2 . Vậy đoán. f ( x, y ) ( x  y  1)  2 x  y  1. Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử biểu thức g ( x, y ) 2 xy ( x  2 y )  2 y ( x  1)  x  1 . Ta cũng làm như 1 1 x 1999 2 y  1; x   2000 2 y . Vậy đoán g ( x )  2 xy  1   2 y  x  1 . trên, ta có Việc kiểm tra các điều dự đoán (thường đúng) bên trên không có gì khó khăn !.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> III. Phân tích thành nhân tử biểu thức lượng giác. 3 Ví dụ 5: Giải: 8sin x  9sin x  5cos x 0 ..  4 nên đoán nhân tử có thể là sin x cos x, tan x 1, Giải : Dùng MTCT giải được nghiệm 2sin x  2,... Nếu đi theo hướng nhân tử là sin x cos x , ta phân tích được phương trình tương đương: x. (sin x  cos x)(2sin 2 x  4cos 2 x  1) 0 .. Giải tiếp theo dành cho bạn đọc. 3 2 Nếu đi theo hướng nhân tử là tan x 1 , ta có 8sin x  9sin x  5cos x 8sin x tan x  9 tan x  5 0 (do cos x 0 không thỏa). Đặt t tan x , 1   PT  8t  1   9t  5 0  t 3  5t 2  9t  5 0 2  1  t    (t  1)(t 2  4t  5) 0  t 1. Ví dụ 6: (Đề AA1-2014): Giải : sin x  4cos x 2  sin 2 x ..  3 nên đoán nhân tử là 2 cos x  1,sin x  Giải: Dùng MTCT nhẩm nghiệm được được kết quả là PT  (sin x  2)(2cos x  1) 0 x. 3 cos x,... và ta. IV. Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn: 2 2 Ví dụ 7: Giải phương trình 3x  x  3  (8 x  3) 2 x  1 0 (1). 2 2 2 Đặt t  2 x  1  t 2 x  1 . Bây giờ ta giải t theo x. PT (1) trở thành mt 2  (8 x  3)t  3 x 2  x  3  m(2 x 2  1) 0 (1’). Vấn đề quan trọng ở đây là tìm m    3;  2;  1;1; 2;3. để giải được t theo x “chẵn” (Còn nếu như “lẻ” thì coi như “bằng không” !) Sử dụng MTCT : 2 m    3;  2;  1;1; 2;3 Với mỗi , ta giải phương trình bậc hai Ax  Bx  C 0 với ba hệ số: A m; B 8 x  3; C 3x 2  x  3  m(2 x 2  1) . Để giải tự động, ta nhập vào máy như sau: M M  1: C 3x 2  x  3  m(2 x 2  1) :.  (8 x  3) . (không nhập được nghiệm thứ hai. t2 . (8 x  3)2  4 MC 2M.  (8 x  3)  (8 x  3) 2  4MC 2M vì MTCT không đủ bộ nhớ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bấm phím CALC , cho m  5 (tùy) và x 1000 rồi bấm dấu “=” nhiều lần. Nếu với m nào đó gặp thông báo “Math ERROR” thì bấm phím  hoặc  (để “go to” vượt qua) rồi lại bấm phím CALC để tính toán với m “Tiếp theo” . Ta thấy chỉ có khi A m 3 thì phương trình có hai nghiệm 1000 x 1000 t1   t1  t  2999  3 x  1 t 3 3 và 2 3 ). “đẹp” là (cũng dễ tìm ra 2 sau khi đã biết 3x 2  x  3  (8 x  3) 2 x 2  1 0 x    2 x2  1   3   Vậy ta có dự đoán:. . . 2 x 2  1  3x  1 0. 3 3 2 Ví dụ 8: Giải (7 x  2) x  1 2 x  6 x  3x  2 (2). 2 3 2 3 3 Đặt t  x  1 . Phương trình viết lại mt  (7 x  2)t  2 x  6 x  3 x  2  m( x  1) 0 Sử dụng. MTCT : m    3;  2;  1;1; 2;3 Với mỗi , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: A m; (gan x 1000), B 7 x  2,. C 2 x 3  6 x 2  3x  2  m( x 3  1) Để giải tự động, ta nhập vào máy: M M  1: C 2 x3  6 x 2  3x  2  m( x 3  1) :. (7 x  2)2  4MC 2M.  (7 x  2) . . Ta tìm được khi m 2 thì được nghiệm “chẵn” là (cũng dễ tìm ra t2 sau khi đã biết t1 1500 ).. . (2)  2 x 3  1  3x. . t1 1500 . 3000 3x  2 2 và t2 1999 2 x  1. . x3  1  2 x  1 0. Vậy ta có dự đoán: (1  y ) x 2  2 y 2  x  2 y  3xy (1)  (2)  y  1  x 2  2 y 2 2 y  x Ví dụ 9: Giải hệ . (1)   mt 2  ( y  1)t   x  2 y  3xy  m( x 2  2 y 2 )  0 , ta có Sử dụng MTCT : m    3;  2;  1;1; 2;3 Với mỗi , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: A  m, B  y  1, C  x  2 y  3xy  m( x 2  2 y 2 ) Ta tìm được khi m 1 thì được nghiệm “chẵn” là t  1101  x  y  1 và t 1200  x  2 y .. Đặt. t  x2  2 y 2. . . . (1)  x 2  2 y 2  x  y  1 x 2  2 y 2  x  2 y 0 Vậy ta có dự đoán : Kiểm tra dự đoán thì khá dễ dàng (và thường là đúng). Việc giải tiếp theo dành cho bạn đọc.. V.. Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách nhân liên hiệp. 5 3x  8  x  1  2 x  11 . Ví dụ 10: Giải.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 8 11 PT  x  ,x  3 2 . ĐK:. 2x  9 3x  8  x  1. . 5 2 x  11  5. . . 3x  8  x  1 4 x 2  40 x  99. Dùng MTCT giải phương trình cuối thì nó có nghiệm là x 3, x 8  ( x  3)( x  8) 0  x 2  11x  24 0 . Vậy dự đoán nhân tử là x 2  11x  24 . Trước hết ta tìm a, b   sao cho 5  3a  b 0  a  3   b 4 5 3x  8  ax  b 0 có nghiệm là x   3;8 , có nghĩa là  20  8a  b 0 10  3c  d 0  a  1   x   3;8 15  8c  d 0 b  7 Tương tự cho 5 x  1  cx  d 0 có nghiệm là. 5.  . 3x  8  3x  4  5 x  1  x  7. . 4  x 2  11x  24  Ta viết phương trình lại :  9( x 2  11x  24)  ( x 2  11x  24)   5 3x  8  3x  4 5 x  1  x  7 4  x 2  11x  24   x 2  11x  24 0   9 1  4(4')  5 3x  8  3x  4 5 x  1  x  7 8 x   3x  4  0, x  7  0 3 Dễ thấy phương trình (4’) vô nghiệm vì điều kiện . (1  y ) x  y  x 2  ( x  y  1) y (a)  2  2 y  3 x  6 y  1 2 x  2 y  4 x  5 y  3 (b) Ví dụ 11: Giải  (ĐH khối B năm 2014) x  y  0    x 2 y  4 x 5 y  3 Giải: ĐK:  . Ta phân tích thành nhân tử (a). Cho x=1000. Cho máy giải phương trình tìm y  1, y 999  x  1 . Vậy ta dự đoán (a) có nhân tử là ( y  1)( x  y  1) y được hai nghiệm là (a)  (1  y ) . . . x  y  1 ( x  y  1). (1  y )( x  y  1) x  y 1. . . ( x  y  1)( y  1) y 1. . y1.  y 1   y x  1 Do. 1 x  y 1. . 1 y 1. vô nghiệm. y  1 Nếu thì đơn giản. Bạn đọc tự giải 2 x   1; 2 Nếu y  x  1 thì ĐK trở thành và (b) trở thành 2 x  x  3  2  x 2 x 2  x  3 0 2 x 2  x  3 0  2   2 2 2 (2 x  x  3) 2  x . (4 x  7)( x  x  1) 0 (Xem ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức một biến bậc bốn) Để kết thúc bài viết, xem như rèn luyện, mời các bạn giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1). 4 x  2  22  3x x 2  8 (THTT ) 2. 2). x2  x  1 2  x2  4  2 x4 x 1. 3). 2 x  2 y  (2 x  1)( y  1) 1  3  3 3 y  2 8 x  2 y  2. 4).  3x 3 y  3xy 2  2 x 2  3xy  2 y  2 0   x  y  x  y. 5) 6) 7). 8). ( x  3) (4  x)(12  x)  28  x 0 4. 3. .. 2. 2 x  2 x  9 x  14 x  12 0 x 2  2 3x 2  6 x .. ( x  5 y  4) x  y 2  2 xy  2 y 0   x  y 2  x  y 2 2 y .. 2 2 9) (4 x  7) x  1  x  2 x  5 MTCT không chỉ hổ trợ có bấy nhiêu vấn đề trong bài viết, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều sự hổ trợ khác của MTCT trong giải toán..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>