Bài tiểu luận linh hóa tử

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
——————– * ———————

TIỂU LUẬN
LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MƠ ĐUN
Đề tài:

LINH HĨA TỬ

Giảng viên hướng dẫn : GS.TS. Lê Văn Thuyết
Học viên thực hiện

: Hà Văn Quý
Lớp Cao học Toán K20

HUẾ, 11-2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn
Thuyết đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tơi hồn thành tốt tiểu luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến q thầy cơ giáo trong khoa Tốn,
trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tơi trong suốt
q trình học tập tại khoa.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo và
bạn bè trong suốt thời gian tôi làm tiểu luận.
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Hà Văn Quý.

i


MỤC LỤC
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
iii

Chương 1. Một số kiến thức về Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Vành và Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Môđun con và môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4. Song môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5. Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 2. Lý thuyết Linh hóa tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1. Linh hóa tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

ii


MỞ ĐẦU
Chúng ta đều biết rằng các cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành là sự khái

quát hóa từ các tập hợp số với hai phép toán (+) và (×) thơng thường. Mơđun là
khái niệm mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm khơng gian vectơ. Một
cấu trúc R-môđun M được xây dựng từ một vành R. Vấn đề đặt ra là tìm hiểu
các tính chất của một môđun M thông qua vành R. Một trong những công cụ hỗ
trợ khảo sát mối liên hệ giữa đó là linh hóa tử.
Để có tính hệ thống trong trình bày, tiểu luận sẽ nhắc lại hết sức ngắn gọn khái
niệm, tính chất cần thiết về vành, mơđun trong Chương 1. Chương 2 là nội dung
chính của tiểu luận, giới thiệu khá chi tiết về linh hóa tử và cuối cùng là giải quyết
ba bài toán liên quan đến vành nửa đơn.
Để hồn thành được tiểu luận này, tơi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Giáo
sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết đã giảng dạy và tạo điều kiện. Mặc dù đã có nhiều cố
gắng, song trong q trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót,
mong q thầy cơ giáo và các bạn chỉ bày thêm để cuốn tiểu luận được hoàn thiện
hơn.
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012
Học viên thực hiện
Hà Văn Quý.

iii


CHƯƠNG 1
Một số kiến thức về Mơđun
Phần này trình bày hết sức ngắn gọn một số khái niệm và tính chất cần thiết
để chuẩn bị cho Chương 2. Các khái niệm vành, iđêan, môđun, song môđun xem
như đã biết và được chứng minh đầy đủ trong [1], [2]. Những chứng minh cịn lại
(mà trong [2] chưa trình bày) là của bản thân học viên, mong nhận được sự góp ý
của Thầy và người đọc.

1.1. Vành và Iđêan

Định nghĩa 1.1 ([1], tr. 78). Một tập hợp R được gọi là một vành nếu trên R có
hai phép tốn hai ngơi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Tập hợp R là một nhóm aben đối với phép cộng.
(ii) Phép nhân trên R là kết hợp.
(iii) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng. Tức, với các
phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta có
(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy.
Vành R đối với phép cộng có phần tử không, ký hiệu 0; đối với phép nhân nếu
có phần tử đơn vị gọi là vành có đơn vị.
Trong tồn bộ tiểu luận này, nếu khơng nói gì thêm, ta quy ước vành R ln
có đơn vị khác không và được ký hiệu là 1.
Định nghĩa 1.2. (i) Một tập hợp A của một vành R được gọi là một vành con
của R, nếu A lập thành một nhóm con aben với phép cộng của R và đóng
đối với phép nhân, tức ab ∈ A, ∀a, b ∈ A.

1


(ii) Một tập hợp con I của một vành R được gọi là một iđêan trái (hoặc iđêan
phải) của R, nếu I là một vành con của R và thỏa mãn tính chất RI ⊂ I(hoặc
IR ⊂ I).
(iii) Nếu I vừa là iđêan phải vừa là iđêan trái của R thì được gọi là một iđêan
của R.

1.2. Mơđun
Định nghĩa 1.3 ([2], tr. 4). Cho R là một vành có đơn vị khác khơng. Một
R-mơđun phải M là:
1) Một nhóm cộng aben M với
2) Ánh xạ M × R −→ M, (m, r) −→ mr được gọi là phép nhân môđun, thỏa

các điều kiện sau:
i) Quy tắc kết hợp:

(mr1 )r2

= m(r1 r2 )

ii) Quy tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r,
m(r1 + r2 )
iii) Quy tắc unita:

m1

= mr1 + mr2
=m

trong đó m, m1 , m2 là các phần tử tùy ý của M , r1 , r2 ∈ R.
Lúc đó, R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải ta ký hiệu
M = MR . Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.
Nhận xét 1. Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:
0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r)
với mọi m ∈ M, r ∈ R.
Định nghĩa 1.4. Một R-môđun trái M là đơn nếu nó khơng có một mơđun con
khơng tầm thường nào.
Một R-môđun trái M là nửa đơn nếu M là một tổng trực tiếp của các môđun
đơn.
Một vành R là nửa đơn trái nếu R là một tổng trực tiếp của các iđêan trái cực
tiểu.([4], VIII.3, tr. 556)
2

1.3. Môđun con và môđun thương
Định nghĩa 1.5 (Môđun con). Cho M là một R-môđun phải. Tập con A của
M được gọi là môđun con của M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR , nếu A là một
R-mơđun phải với phép tốn cộng và nhân mơđun hạn chế trên A.
Chú ý rằng ký hiệu A ≤ M để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thơng
thường A ⊂ M . Ngồi ta nếu ta viết
A ≤ M có nghĩa A là mơđun con thực sự của M .
=

A

M có nghĩa A là khơng phải là môđun con của M .

Sau đây là dấu hiệu nhận biết một môđun con:
Định lý 1.3.1. Giả sử M là một R-môđun phải. Nếu A là một tập con khác ∅ của
M , thì các khẳng định sau là tương đương:
i) A ≤ M ,
ii) A là nhóm con của nhóm cộng của mơđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có
ar ∈ A,
iii) Với mọi a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.
Chứng minh. i) ⇒ ii). Giả sử A = ∅ và là môđun con của M . Khi đó, theo Định
nghĩa 1.5, A là một R-môđun. Theo Định nghĩa 1.3, A cùng với phép tốn cộng
trong M là một nhóm cộng aben, do đó A là một nhóm con của nhóm cộng của
mơđun M . Cũng theo Định nghĩa 1.5, phép nhân môđun M × R −→ M, (m, r) −→
mr, hạn chế trên A nên với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.
ii) ⇒ iii). Do tính chất của nhóm con của nhóm cộng nên với mọi a1 , a2 ∈ A
ta có ngay a1 + a2 ∈ A.
iii) ⇒ i). Lưu ý rằng, vành R trong tiểu luận này ln được giả thiết có đơn
vị khác khơng. Do đó, từ A = ∅, nên với mọi a ∈ A, ta có 0M = a0R ∈ A và

−a = (−a)1R ∈ A. Hay A là nhóm cộng. Hơn nữa, tính aben của A có được do
A ⊂ M . Vậy A là một nhóm cộng aben.
Mặt khác phép nhân môđun trên A thừa hưởng các điều kiện trong định nghĩa
1.3 nên A là một R-môđun. Theo Định nghĩa 1.5, A ≤ M .
3


Nhận xét 2. Mỗi iđêan phải của vành R cũng là một môđun con của RR .
Định lý 1.3.2 (Xây dựng môđun thương). Cho MR và N ≤ M . Khi đó:
1) M/N là một nhóm cộng aben với phép toán cộng :
(x + N ) + (y + N ) = x + y + N.
2) Quy tắc
M/N × R

−→ M/N

(m + N, r) −→ (m + N ).r = mr + N
là phép nhân mơđun.
3) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một R-môđun
phải.
Định nghĩa 1.6 (Môđun thương). M/N xác định như trong Định lý 1.3.2 được
gọi là môđun thương của môđun M trên mơđun con N của nó.

1.4. Song mơđun
Định nghĩa 1.7 (Song mơđun). 1. Cho R, S là hai vành. Nhóm aben (M, +) là
một song môđun R-bên phải S-bên trái, ký hiệu S MR , nếu:
(a) M là R-môđun phải và M là S-mơđun trái,
(b) Ta phải có
(sx)r = s(xr), r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.
2. Cho R, S là hai vành. Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên

phải, ký hiệu MR−S , nếu:
(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun phải,
(b) Ta phải có
(xs)r = (xr)s, r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.

4


1.5. Đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.8. Cho A, B là hai R-môđun phải. Đồng cấu môđun α từ A vào B
là một ánh xạ α : A −→ B thỏa:
∀a1 , a2 ∈ A, ∀r1 , r2 ∈ R [α(a1 r1 + a2 r2 ) = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 ] .
Lúc đó ta viết α : AR −→ BR .
Định nghĩa 1.9. Đồng cấu α : AR −→ BR được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn
cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh (tương ứng tồn ánh, song ánh).
Bổ đề 1.5.1. Cho α : AR −→ BR . Lúc đó:
1) U ≤ A ⇒ α(U ) ≤ B.
2) V ≤ B ⇒ α−1 (V ) ≤ A.
Định nghĩa 1.10. Theo Bổ đề 1.5.1, α−1 (0) là môđun con của AR . Ta gọi là nhân
của đồng cấu α. Ký hiệu Ker(α).
Nhận xét 3. Nhân của đồng cấu mơđun α cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên
α đơn cấu khi và chỉ khi Ker(α) = 0.

5


CHƯƠNG 2
Lý thuyết Linh hóa tử

2.1. Linh hóa tử

R là một vành, M là một R-mơđun trái. Ta có thể tìm hiểu các tính chất của
M từ R và ngược lại. Một trong những khái niệm được đề cập để khảo sát mối liên
hệ đó là linh hóa tử. Các chứng minh trong phần này được tham khảo chủ yếu từ
[2], [3]. Ngoài ra, học viên đã mạnh dạn đưa ra và chứng minh một số ví dụ minh
họa khái niệm liên quan.
Định nghĩa 2.1. Cho M là một R-môđun trái. X ≤ M là môđun con của M .
Khi đó, linh hóa tử (trái) của X trong R là:
lR (X) = {r ∈ R|rx = 0, ∀x ∈ X}.
Mỗi với A ⊆ R, linh hóa tử (phải) của A trong M là:
rM (A) = {x ∈ M |ax = 0, ∀a ∈ A}.
Với mỗi tập {x}, {a}, ta viết tắt là lR (x) và rM (a). Khi khơng có sự nhầm lẫn
nào, ta có thể lược bỏ chỉ số dưới R và M .
Nếu bắt đầu với R - mơđun phải M , ta cũng định nghĩa linh hóa tử phải rR (X)
và linh hóa tử trái lM (A).
Nếu A ⊆ lR (X) ta nói A linh hóa X.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của khái niệm linh hóa tử.
Mệnh đề 2.1.1. Cho R MS là một song môđun, X ⊆ M, A ⊆ R. Khi đó:
1) lR (X) là một iđêan trái của R.
2) rM (A) là một môđun con của MS .
Hơn nữa, nếu X là một môđun con của R M thì lR (X) là một iđêan (hai phía) của
R.
6