gia tri riengvecto rieng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tóm tắt lý thuyết. CHƯƠNG 4: TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG 1. Trị riêng, vectơ riêng Định nghĩa 1: Trị riêng, vectơ riêng A ∈ M n . Vô hướng λ được gọi là trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn phương trình Av = λv Vectơ khác không v được gọi là vectơ riêng của ma trận A . Định lý 1: Cho A ∈ M n i) Trị riêng của ma trận A là vô hướng λ nghiệm đúng phương trình det (A − λI ) = 0 (1) (đây còn gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A , det (A − λI ) là đa thức đặc trưng của ma trận A ). ii) Vectơ riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng λ là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình thuần nhất (2) (A − λI ) v = 0 . Nhận xét: Do A ∈ M n , nên đa thức đặc trưng là đa thức cấp n có thể có nhiều nhất là n trị riêng phân biệt. Các bước giải tìm trị riêng, vectơ riêng: Bước 1: Lập phương trình đặc trưng A − λI = 0 (phương trình đa thức cấp n theo biến λ ). Bước 2: Giải phương trình đa thức tìm các trị riêng thực λ . Bước 3: Đối với mỗi trị riêng λi tìm các vectơ riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình ĐSTT thuần nhất (A − λi I )v = 0 . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A − λi I , ma trận sau biến đổi sẽ có ít nhất 1 hàng toàn bằng 0. 2. Không gian đặc trưng Định nghĩa 2: Cho A ∈ M n . Tập hợp tất cả những vectơ riêng v ∈ Rn ứng với trị riêng cho trước λ , cùng với vectơ không lập thành không gian con E (λ ) của Rn . Ta gọi E (λ ) = {v ∈ Rn | Av = λv } = {v ∈ Rn | (A − λI ) v = 0} là không gian đặc trưng của V ứng với trị riêng λ .. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Theo định nghĩa không gian đặc trưng E (λ ) là tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A − λI ) v = 0 . Định lý 2: Nếu λ là trị riêng bội bậc m của ma trận A ∈ M n và E (λ ) là không gian đặc trưng tương ứng với λ . Khi đó: i) E (λ ) là không gian vectơ ii) Chiều của không gian đặc trưng tương ứng với λ nhỏ hơn hoặc bằng bậc bội, 1 ≤ dim E (λ ) ≤ m . Lưu ý: Chỉ có một không gian đặc trưng tương ứng với mỗi trị riêng λ . Định lý 3: Các vectơ riêng tương ứng với các trị riêng khác biệt thì độc lập tuyến tính. 3. Chéo hóa ma trận Định nghĩa 3: Ma trận đồng dạng Cho A, B ∈ M n , A được gọi là đồng dạng với B nếu tồn tại ma trận P ∈ M n không suy biến sao cho B = P −1AP (3) Định lý 4: Các ma trận đồng dạng có cùng các trị riêng giống nhau. Định lý 5: A ∈ M n , A đồng dạng với ma trận chéo nếu và chỉ nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2 ,..., vn . Trong trường hợp này nếu đặt P = [v1, v2 ,..., vn ] thì P −1AP = diag (λ1, λ2,..., λn ) trong đó λ1, λ2 ,..., λn là các trị riêng của ma trận A (không nhất thiết phải khác biệt) tương ứng với các vectơ riêng v1, v2 ,..., vn . Định nghĩa 4: Cho A ∈ M n . Ta nói A chéo hóa được nếu A đồng dạng với một ma trận chéo D , nghĩa là tồn tại P ∈ M n , P không suy biến, sao cho P −1AP = D . Kiểm tra một ma trận có chéo hóa được hay không: Định lý 6: Cho A ∈ M n , nếu A có n trị riêng khác biệt thì A chéo hóa được.. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Định lý 7: Cho A ∈ M n . Gọi λ1, λ2 ,..., λk là tất cả những trị riêng khác nhau của A , E (λi ) là không gian đặc trưng tương ứng với λi và ni = dim E (λi ) . Khi đó các điều sau là tương đương: i) A chéo hóa được; ii) đa thức đặc trưng của A có dạng n n (x − λ1 ) 1 ...(x − λk ) k iii) n1 + n2 + ... + nk = n . Nhận xét: Giả sử λ là một trị riêng của A . Khi đó nếu dim E (λ ) = k và đa thức đặc trưng có dạng m (x − λ ) g (x ) với g (λ ) ≠ 0 , nếu m > k thì A không chéo hóa được. Bài tập: 13,18,21 31,32 35,36 40-46 60-67. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>