CŨNG cố KIẾN THỨC HÌNH học QUA KHAI THÁC bài TOÁN cơ bản

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong bối cảnh ngành Giáo dục và Đào tạo đang nỗ lực đổi mới phương
pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động của học sinh trong
hoạt động học tập, để đáp ứng những đòi hỏi được đặt ra cho sự bùng nổ kiến
thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực
giải quyết vấn đề và tính sáng tạo.
Hướng giải quyết hiện nay là tích cực hố hoạt động học tập của học sinh,
khơi dậy và phát triển năng lực tự học nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích
cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh. Hình học là một mơn học rất quan trọng
trong việc rèn luyện tính lơgic, tư duy sáng tạo, giúp học sinh khơng những học
tốt mơn Tốn mà cịn có thể học tốt các môn học khác. Vậy làm thế nào để học
sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách phát triển bài toán và chủ động trong
học tập để các em ln có thể tự học và tự sáng tạo? Ngoài việc rèn luyện kỹ
năng giải từng dạng tốn, tìm nhiều cách giải cho một bài tốn…thì việc khai
thác phát triển bài toán cũng hết sức cần thiết. Nhưng khai thác như thế nào?
Khai thác ở mức độ nào? Đó mới là điều chúng ta cần tập trung suy nghĩ. Với
mục tiêu đó bản thân xin được trao đổi một kinh nghiệm nhỏ nhằm hướng dẫn
học sinh biết khai thác sáng tạo các bài toàn đơn giản trong sách giáo khoa thành
các bài tốn mới đa dạng, có đơn giản, có phức tạp, giúp học sinh tự phân tích,
tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt hố, tương tự, quy lạ về quen, quy khó về dễ,
để từ đó giúp học sinh hứng thú hơn trong học toán.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Khai thác sáng tạo, linh hoạt từ một bài tốn hình học cơ bản thành những
dạng bài toán khác phù hợp với từng đối tượng học sinh.
- Phát huy tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn của
1

học sinh.
- Giúp giáo viên có tư liệu tham khảo về vấn đề này.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
- Nghiên cứu về tình hình dạy và học vấn đề này ở trường.
- Đưa ra được một số bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh và hướng
giải quyết.
IV. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
- Các tài liệu liên quan bàn về vấn đề này.
- Giáo viên, học sinh lớp 8, 9
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các bài tốn hình học phù hợp với đối tượng học sinh lớp 8, 9, phương pháp
giải các bài toán đó.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: tìm hiểu các tài liệu về khai thác một số bài
tốn cơ bản từ đó tổng hợp và đưa ra các câu hỏi phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
- Phương pháp điều tra khảo sát: Nghiên cứu nắm tình hình của các khối lớp,
từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp.
- Phương pháp thể nghiệm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn bị kĩ cho từng
tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy, thực hiện kiểm tra đánh giá từ đó nắm tình hình
học tập của học sinh để điều chỉnh quá trình dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp
đỡ học sinh yếu kém. Tham khảo tài liệu của các đồng nghiệp, dự giờ một số lớp
học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập các tư liệu cho bài dạy như tranh
ảnh, bài toán, bài đố vui, trị chơi, sách báo có liên quan…
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: qua quá trình giảng dạy và tìm hiểu sự tiến
bộ của học sinh rút ra kinh nghiệm cho bản thân từ đó hồn thiện

2

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận:
Ở trường THCS, trong dạy học Tốn: Cùng với việc hình thành cho học sinh
một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý … ; thì việc giải các bài tốn
có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trọng tâm của phương
pháp dạy học Toán ở trường phổ thơng. Đối với học sinh THCS, có thể xem việc
giải bài tốn là một hình thức chủ yếu của việc học tốn.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở trường THCS tơi đi sâu
nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tơi thấy: Trong chương
trình Tốn THCS "Các bài tốn về hình học" rất đa dạng, phong phú và trừu
tượng. Học sinh khi học tốn đã khó, đối với hình học lại càng khó hơn bởi: Để
làm bài tốn hình học thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, tính chất,
…, mà mình đã được học một cách linh hoạt. Bên cạnh đó để giải một bài tốn
hình học lớp trên thì học sinh phải nắm vững tất cả kiến thức, các bài toán cơ
bản ở lớp dưới. Trong một bài tốn hình học từ giả thiết đã cho ta có thể xây
dựng nhiều câu hỏi liên quan đến tất cả các kiến thức mà học sinh đã được học
và có rất nhiều bài tốn có thể vận dụng để giải các bài toán khác liên quan.
Nhưng trong thực tế giảng dạy tơi thấy, học sinh khi giải tốn hình học rất ít học
sinh có thể tổng hợp được kiến thức để vận dụng linh hoạt trong q trình giải
tốn. (Học sinh khơng biết bài tốn này có liên quan đến bài tốn nào), do đó
việc tìm ra lời giải bài tốn vơ cùng khó khăn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Thực trạng đó khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh
có thể vận dụng kiến thức một cách linh hoạt” để giải quyết tốt được các bài
tốn. Với trách nhiệm của người giáo viên tơi thấy mình cần giúp các em học tốt
hơn phần này.
Tơi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản

thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tịi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của
các bạn đồng nghiệp. Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "củng cố kiến thức
hình học qua khai thác bài tốn cơ bản”
Với đề tài này tơi mong muốn sẽ giúp học sinh biết cách tổng hợp được các
kiến thức liên quan, có thể từ những kiến thức cơ bản đã cho hay từ mối liên hệ
3


giữa câu hỏi này với câu khác giải quyết tốt bài tốn đưa ra. Đồng thời hình
thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực
tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết
quả cao nhất, tốt nhất.
Chương 2: Các biện pháp chính để thực hiện
Trên cơ sở từ bài toán với giả thiết cho trước “Cho tam giác ABC có ba
góc nhọn (ABkhai thác bài toán này để đưa ra nhiều câu hỏi, tập hợp nhiều dạng bài tập khác
nhau nhằm giúp học sinh có thể củng cố lại hệ thống kiến thức một cách rõ ràng.
Trước hết ta cùng tìm hiểu một số câu hỏi liên quan đến dạng toán chứng minh
tam giác đồng dạng mà học sinh thường gặp trong toán lớp 8 qua bài tập sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ hai đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.
1) Chứng minh: ABD ∽ ACE
2)Chứng minh: ADE ∽ ABC
3) Tia DE và CB cắt nhau tại I. Chứng minh: IBE ∽ IDC .

Hướng dẫn giải:
Ở dạng toán này chủ yếu chúng ta sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam
giác để chứng minh.
1) Xét ABD và ACE có: �A Chung và �

ADB  �
AEC  900 => ABD ∽ ACE (g.g)
AD

AB

AD

AE


�

2) Xét ADE và ABC có: �A Chung và
( ABD ∽ ACE )
AE AC
AB AC

=> ADE ∽ ABC (c.g.c)
3) Xét IBE và IDC có: I$ Chung (*)
4


�  EBC
�  1800
IBE
� �
IDC
ADE  1800

�
�
� �
�
�� IBE  IDC (**)
�
� �
EBC
ADE (ADE ∽ ABC ) �
�

Từ (*) và (**) => IBE ∽ IDC (g.g)
Trên đây ta đã làm quen với một dạng toán cơ bản, với bài tốn này ta cịn có thể
khai thác để đưa ra rất nhiều dạng toán khác nữa. Sau đây là dạng tốn về chứng
minh một số hệ thức hình học được khai thác trên cơ sở giả thiết bài toán trên.
Bài tốn: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.
4) Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: ID.IE = OI2 – OC2
5) Phân giác AL của ∆ABC cắt DE tại J. Chứng minh:
6) AH cắt BC tại K, chứng minh:

LB JD

LC JE

HK HD HE
HA HB HC


 1 và



2
AK BD CE
AK BD CE

Hướng dẫn giải: Để chứng minh hệ thức hình học dạng này ta có thể sử dụng
các kiến thức hình học lớp 8: Tính chất đường phân giác, định lí Talet và tính
chất của hai tam giác đồng dạng chứng minh…
4) Ta có: OI2 – OC2 = (OI – OC)(OI + OC) = IB.IC
Để chứng minh ID.IE = OI2 – OC2 ta cần chứng minh ID.IE = IB.IC
Mặt khác theo câu 3 ta có: IBE ∽ IDC =>
5) Vì AL là phân giác của ABC nên ta có:

5

IE IB

hay ID.IE = IB.IC
IC ID

LB AB

(1)
LC AC


JD AD

(2)

JE AE

AJ là phân giác của ADE nên ta có:
Mặt khác theo câu 2 ta có:
Từ (1) (2) (3) =>

AD AB

(3)
AE AC

LB JD

LC JE

6) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH  BC
HK

S

HD

S

HE

S

HBC
HAC

HBA
Ta có: AK  S ; BD  S ; CE  S
ABC
ABC
ABC

Mặt khác: S HBC  S HAC  S HBA  S ABC
HK

HD

HE

 AK  BD  CE 
Từ

S HBC  S HAC  S HBA S ABC

 1 (đpcm)
S ABC
S ABC

HK HD HE
AK  AH BD  BH CE  HE


 1 ta có:


1

AK BD CE
AK
BD
CE

Hay 1 

AH
BH
HC
HA HB HC
 1
 1
 1 =>


 2 (đpcm)
AK
BD
CE
AK BD CE

Như vậy bằng cách bổ sung thêm các kết luận từ giả thiết ban đầu ta có thể đưa
ra nhiều dạng bài tập khác nhau, qua đó giúp học sinh cũng cố các kiến thức đã
học một cách toàn diện. Những kết luận được đưa ra ở trên chủ yếu giúp học
sinh khối 8 ôn lại một số kiến thức quan trọng trong q trình học. Cũng với giả
thiết trên ta có thể đưa ra thêm một số câu hỏi nữa để cũng cố kiến thức hình học
cho học sinh khối 9.
Bài tốn: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.

7) Chứng minh tứ giác AEHD, BEDC nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải:
6


- HS dễ dàng chứng minh được: �
AEH  �
ADH  900 => �
AEH  �
ADH  1800 => tứ
giác AEHD nội tiếp đường trịn đường kính AH.
�  BDC
�  900 => Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn
- Tứ giác BEDC có BEC

đường kính BC.
Lời bình: bằng cách tương tự học sinh có thể chứng minh thêm được nhiều tứ
giác nội tiếp khác như: Tứ giác ADKB, KHDC, BEHK, AEKC. Từ các tứ giác
nội tiếp đó sẻ cho ta các mối quan hệ về các góc bằng nhau vì cùng chắn một
cung trên đường trịn. Từ đó cho ta thêm một dạng bài tập về chứng minh cặp
góc bằng nhau nữa:
Bài tốn: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.
8) chứng minh BD là phân giác của góc EDK

Hướng dẫn giải:
� (cùng chắn cung EH)
A1  D
Theo câu 7 ta có tứ giác AEHD nội tiếp => �

1
� (cùng chắn cung BK)
A1  D
Mặt khác Tứ giác ABKD nội tiếp đường tròn => �
2
� D
� hay BD là phân giác của góc EDK.
 D
1
2

Lời bình: bằng cách tương tự ta có thể chứng minh được EC là phân giác của
góc KED; AK là phân giác của góc EKD. Từ đó ta có thể khai thác thêm một kết
luận khác từ bài toán này:
Bài tốn: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.
9) chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEK.
7


Hướng dẫn giải:
Theo câu 8 ta đã chứng minh được EC, AK, BD là tia phân giác của các góc
trong tam giác EDK => H là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác
DEK hay H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEK.
Lời bình: Như vậy qua thấy điểm H ở đây có tính chất rất đặc biệt nó vừa là trực
tâm của tam giác ABC vừa là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEK. Cũng liên
quan đến vị trí điểm H này nếu lấy điểm M đối xứng với điểm H qua K thì ta có
thêm một kết luận mới trong bài tập này:
Bài tốn: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.

10) Gọi M là điểm đối xứng với H qua K. Chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp
đường tròn.

Hướng dẫn giải:
8


�B
�
- HS dễ dàng chứng minh được tam giác BHM cân => B
1
2

Mặt khác theo câu 7, tứ giác ABKD nội tiếp đường tròn => �A2  B�1
 �A2  B�2 và �A2 ; B�2 cùng chắn cung MC nên tứ giác ABMC nội tiếp đường
trịn.
Lời bình: tương tự nếu lấy điểm N đối xứng với H qua D, điểm P đối xứng với H
qua E thì ta có các điểm A, B, C, M, N, P cùng nằm trên một đường trịn và
đường trịn đó chính là đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Như vậy ta có
điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nếu bây giờ ta cho đoạn
thẳng BC cố định còn điểm A di chuyển trên cung lớn BC thì ta sẻ có một dạng
bài tập nữa liên quan đến quỹ tích điểm H khi điểm A thay đổi:
Bài toán: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.
11) Cho điểm B, C cố định tìm quỹ tích trực tâm H khi điểm A di chuyển trên
cung lớn BC.

Hướng dẫn giải:
Gọi điểm M là điểm đối xứng với H qua K, theo câu 10 ta có tứ giác ABMC nội
tiếp đường tròn. Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì điểm M di chuyển

trên cung nhỏ BC. Mặt khác điểm M đối xứng với điểm H qua K nên điểm H sẻ
di chuyển trên cung đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn O qua BC.
Lời bình:
9


Như vậy nếu điểm A di chuyển trên cung lớn BC thì điểm H sẻ di chuyển trên
cung đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn O qua BC. Mà BHC  BMC
từ đây ta sẻ có bài tốn về cực trị hàm số như sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ ba đường cao
AK, BD và CE cắt nhau tại H.
12) Cho điểm B, C cố định tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC để tam giác BHC
Có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải
Ta dễ dàng chứng minh được BHC  BMC
Vậy để diện tích tam giác BHC lớn nhất thì diện tích tam giác BMC lớn nhất
1
2

Ta có: S BMC  KM .BC mà BC cố định nên để S BMC lớn nhất thì KM có độ dài lớn
nhất � M nằm chính giữa cung BC � A nằm chính giữa cung lớn BC.
CHƯƠNG 3: Kết quả thực hiện
Vào đầu năm học trước khi thực hiện nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh, tôi đã
tiến hành khảo sát chất lượng học sinh khá và giỏi, đề ra khá nhiều nội dung,
trong đó có bài tập tổng hợp gồm nhiều dạng toán vận dụng nhiều kiến thức liên
quan. Trong khi chấm bài tập trên tôi thấy hầu như học sinh khơng hồn thành
được bài tập đã ra, hoặc có giải được thì chỉ giải một số dạng bài tập cơ bản.
Qua điều tra tôi đã tổng hợp kết quả như sau:

Số h/s

Số h/s hoàn thành

Số h/s giải được các
10

Số h/s không giải


bài tập
32

câu hỏi dạng cơ bản

được

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

1

3.1%

10

31.3%

21

65.6%

Qua quá trình trang bị cho học sinh phương pháp giải tốn hình học với cách
tiếp cận ở đề tài trên tôi thấy học sinh rất say mê học tập và thực sự đã phát huy
được tính tị mị, sáng tạo, tích cực học tập của học sinh .
Cụ thể :Sau khi học sinh được giáo viên truyền đạt nội dung của đề tài
thì học sinh tiếp thu nhanh ,vận dụng tốt đặc biệt là số học sinh giỏi, khá tăng
lên rõ rệt.
Kết quả khảo sát như sau :
Số h/s

32

Số h/s hồn thành

Số h/s giải được các

Số h/s khơng giải

bài tập

câu hỏi dạng cơ bản

được

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

20

62.5%

12

37.5%

0

0%

PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trên cơ sở “cũng cố kiến thức hình học qua khai thác bài toán cơ bản” học

sinh được cũng cố kiến thức đồng thời rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo
11


trong học tập mơn Tốn. Ý tưởng “ dạy học phát huy tính tích cực sáng tạo của
học sinh” đã có từ lâu. Cái mới ở đây là: “Từ những bài tốn khơng mới (đối với
giáo viên), nếu người dạy biết sắp xếp chúng theo một hệ thống nhất định có thể
giúp học sinh tiếp thu bài nhanh hơn,vững vàng hơn. Người dạy cần tạo cho học
sinh thói quen khơng chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích,
khai thác nó để có những kết quả mới. Thơng qua việc hướng dẫn học sinh tìm
tịi, sáng tạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự
tin hơn trong giải tốn, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao
năng lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu
khoa học. Tuy nhiên trong nội dung đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong nhận được sự giúp đỡ góp ý của các đồng nghiệp để đề tài này được
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn ./.
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ XÁC NHẬN
(Ký tên và đóng dấu)

NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Huy Hải

12