phương trình lượng giác giải Tích lớp 11

Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

Chương ➊

GIẢI TÍCH 11

Bài ②. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Ⓐ. Tóm tắt lý thuyết cơ bản:
Ghi nhớ 1
➊. Phương trình sinx = a


a > 1: Phương trình vơ nghiệm



 x  arcsin  a  k2
a  1: Phương trình: sinx = a  
(k  Z)
 x   arcsin  a  k2

❷.Chú ý:

 f (x)  g(x)  k2




sinf(x) = sing(x)  
(k  Z) , giả thiết cho theo đơn vị Radian

f (x)   g(x)  k2



0
0

sinx = sin0  x=  +k360
(k Z) , giả thiết cho theo đơn vị độ
0 0
0
x=180 -  +k360

❸. Các trường hợp đặc biệt:


+ k2
2

. sinx = –1  x = –
+ k2
2

. sinu = 1  u =

. sinx = 0  x = k

. sinu = 0  u = k

❹. Công thức cơ bản:

 sin 2   cos 2   1 ,
với mọi 


tan .cot   1 ,
1

với mọi  

 sin 2a  2 sin a cos a
k
2



1  tan 2  



1  cot 2  



sin u   sin v  sin u  sin(  v )





+ k2

2

. sinu = –1  u = –
+ k2
2

.sinx = 1  x =

cos 2 
1
2

sin 

,

với mọi   k2 

,

với mọi   k



sin u  cos v  sin u  sin   v 
2

 
sin u   cos v  sin u  sin  v  


2

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

 cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  1  2 sin 2 a  2 cos 2 a  1
1  cos 2a
1  cos 2a
 sin 2 a 
; cos2 a 
2
2
 cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
 sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b






ab
ab
.cos
2
2
ab
ab
cosa  cos b  2 sin
.sin
2
2

ab
ab
sina  sin b  2 sin
.cos
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2cos
.sin
2
2
cosa  cos b  2 cos

1


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

GIẢI TÍCH 11

Ⓐ. Tóm tắt lý thuyết cơ bản:
Ghi nhớ 2
❶. Phương trình cosx = a


a > 1: Phương trình vơ nghiệm



 x  arccos  a  k2
a  1: Phương trình cosx = a  
(k  Z)
 x  arccos  a  k2

❷.Chú ý:



cosf(x) = cosg(x)  f(x) =  g(x) + k2, k  Z
cosx = cos0  x =  0 + k3600, k  Z

❸.Các trường hợp đặc biệt:

.cosx = 1  x = k2

.cosu = 1  u = k2

.cosx = –1  x =  + k2

.cosu = –1  u =  + k2

.cosx = 0  x =


+ k
2

.cosu = 0  u =


+ k
2

❹. Công thức cơ bản:

①. cos u   cos v  cos u  cos(  v )



②. cos u  sin v  cos u  cos   v 
2




③. cos u   sin v  cos u  cos   v 
2

2
2
④. cos x   1  cos x  1  sin x  0
 sin x  0  x  k (k  Z )

Ghi nhớ 3
❶. Phương trình tanx = a


+ k (k  Z).
2



ĐK: x 



Phương trình có nghiệm x = arctan(a) + k, k  Z;

❷. Chú ý:



tanf(x) = tang(x) f(x) = g(x) + k, k  Z
tanx = tan0  x = 0 + k1800, k  Z

❸. Các trường hợp đặc biệt:


+ k
4

.tanx = –1  x = –
4
. tanx = 0  x = k
.tanx = 1  x =

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155



+ k
4

.tanu = –1  u = –
4
. tanu = 0  u = k
.tanu= 1  u =

2


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

GIẢI TÍCH 11

Ghi nhớ 4
❶. Phương trình cotx = a



ĐK: x  k (k  Z).
Phương trình có nghiệm x = arccota + k, k  Z;

❷.Chú ý:



cotf(x) = cotg(x)  f(x) = g(x) + k, k  Z
cotx = cot0  x = 0 + k1800, k  Z

❸.Các trường hợp đặc biệt:


+ k
4

.cotx = –1  x = – + k
4

.cotx = 0  x =
+ k
2


+ k
4

.cotu= –1  u = – + k
4

.cotu = 0  u =
+ k
2

.cotx = 1  x =

.cotu = 1  u=

Ⓑ. Phân dạng bài tập:
Dạng ❶: Phương trình sinx = a

Cách giải:





a > 1: Phương trình vơ nghiệm
 x  arcsin  a  k2
a  1: Phương trình: sinx = a  
(k  Z)
 x   arcsin  a  k2
 x    k 2
sin x  sin   
(k  Z )
 x      k 2

Bài tập minh họa:
Ví dụ 1
Tập nghiệm của phương trình
A.
C.

là
B.

.
.

D.

.
.

Lời giải



Ta có: sin x  0  x  k , k  .
Chọn B.
FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

3


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

GIẢI TÍCH 11

Ví dụ 2
Nghiệm của phương trình

là
.

A.

.

C.

.

B.
D.

.

Lời giải






 x   k 2
1

6
s inx   
5
2

 k 2
x 

6
Chọn D

Ví dụ 3

Tập nghiệm của phương trình
A.
C.

là
.

.

B.
.

D.

.

Lời giải





  

x    k 2
x   k 2




3

4 3
12
Ta có sin  x   


k  
4 2

 x        k 2
 x  5  k 2

4
3
12

Chọn D

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

4


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

GIẢI TÍCH 11

Ví dụ 4

Nghiệm của phương trình

là

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải





 sin  x    0  x   k  x 
 k  k    .
3
3
3


 Chọn A

Bài tập rèn luyện
Câu 1: Nghiệm của phương trình s inx  1 là

Lời giải

2

Ⓐ. x    k ; x  5  k .
6

Ⓑ. x  

6


6

 k 2 .

Ⓒ. x     k 2 ; x   5  k 2 .
6

6
5
Ⓓ. x   k 2 ; x 
 k 2 .
6

6



Câu 2: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai?

Ⓐ. sin x  1  x    k 2 .
2
Ⓑ. sin x  0  x  k .
Ⓒ. sin x  0  x  k 2

Ⓓ. sin x  1  x   k 2 .
2

Lời giải

Câu 3: Nghiệm của phương trình 2 sin x  1  0 là


x    k 2

2
6
 k 2 , k   .
Ⓐ. x  
Ⓑ. 
,k  .
3
 x  7  k 2


6

Lời giải

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

5


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

Ⓒ. x  


6

 k 2 , k   .

GIẢI TÍCH 11



 x  3  k 2
Ⓓ. 
,k  .
 x  2  k 2

3



3

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình sin  x   
là
4 2

5


Ⓐ. S    k 2 ,
 k 2 | k    .
12
12

5
 

Ⓑ. S     k 2 , 
 k 2 | k    .
12
 12

5
 

Ⓒ. S    k 2 ,
 k 2 | k    .
12
 12


7


Ⓓ. S    k 2 , 
 k 2 | k    .
12
12


Lời giải

 2x  
Câu 5: Phương trình sin     0 có nghiệm là
 3 3
 k 3

Ⓐ. x   
 k    . Ⓑ. x   k  k    .
2
2
6
2 k 3

Ⓒ. x  
 k    . Ⓓ. x  k  k   .
3
2

Lời giải

Câu 6: Phương trình 2sin x  3  0 có tập nghiệm là
 

Ⓐ.    k 2 , k    .
 6

 

Ⓑ.    k 2 , k    .
 3

5


 k 2 , k    .
Ⓒ.   k 2 ,
6
6

2


 k 2 , k    .
Ⓓ.   k 2 ,
3
3


Lời giải



Câu 7: Nghiệm của phương trình sin  x    0 là
3



Ⓐ. x    k  k    .
Ⓑ. x    k 2  k    .
3
3

Ⓒ. x   k 2  k    .
Ⓓ. x  k  k   .
6

Lời giải

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình sin 3x  1  0 là

Lời giải

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

6


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

 


Ⓐ.   k , k    .
 2

 

Ⓒ.   k 2 , k    .
 6


GIẢI TÍCH 11

 

Ⓑ.   2k , k    .
 2

2
 

Ⓓ.   k
, k   .
3
 6


Câu 9: Tập nghiệm của phương trình sin x  0 là


Ⓐ. S    k 2 , k    .

Ⓑ. S  k , k  .
2

 

Ⓒ. S  k 2 , k   .
Ⓓ. S    k 2 , k    .
 2


Lời giải

Câu 10: Cho phương trình sin x  1 , nghiệm của phương trình là:

Lời giải

2



 x  6  k 2
Ⓐ. 
 x    k 2

2


 x  6  k 2
Ⓒ. 
 x  5  k 2


6



 x  6  k 2
Ⓑ. 
 x     k 2

6
Ⓓ. x    k 2 .
2

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin 2 x  1  0 là


Ⓐ. x    k , k  .
Ⓑ. x   k 2 , k  . .
4
2


Ⓒ. x   k , k  .
Ⓓ. x    k 2 , k  .
4
2
Câu 12: Phương trình sin x 

1
có bao nhiêu nghiệm trên đoạn

2

Lời giải

Lời giải

 0; 20  ?
Ⓐ. 10.

Ⓑ. 11.

Ⓒ. 21.

Ⓓ. 20.

1
có hai họ nghiệm có dạng
2
3 
 
x    k và x    k , k        0   
 . Khi đó, tính
4 
 4
 2  2 ?

Câu 13: Phương trình sin 2 x  

Ⓐ.

2
3

.

 2
Ⓑ.
.
3

Lời giải

25  2
25  2
Ⓒ.
. Ⓓ.
.
72
72

Câu 14: Số nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 trên đoạn đoạn
0; 2  là
FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

Lời giải

7


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

Ⓐ. 3.

Ⓑ. 1.

Ⓒ. 4.

GIẢI TÍCH 11

Ⓓ. 2.



Câu 15: Tập nghiệm của phương trình sin  x  cos    x là
 3



1

Ⓐ.   k , k    .
Ⓑ.   k , k    .
12

12



1


Ⓒ.   k , k    .
Ⓓ.   k , k    .
2

2


Lời giải



Câu 16: Cho phương trình 3sin  2 x    1  m có nghiệm khi
5

m   a; b. Khi đó b  a bằng

Lời giải

Ⓐ. 6.

Ⓑ. 0.

Ⓒ. 2.

Ⓓ. 4.
Lời giải

Câu 17: Phương trình 2sin x  1  0 có tập nghiệm là:
5



Ⓐ. S    k 2 ;
 k 2 , k    .
6
6

2


Ⓑ. S    k 2 ; 
 k 2 , k    .
3
3




Ⓒ. S    k 2 ;   k 2 , k    .
6
6

1

Ⓓ. S    k 2 , k    .
2

3
2

Lời giải

Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x  0 trên đoạn  0;   là

Lời giải





Câu 18: Gọi n là số nghiệm của phương trình sin 2 x  300 





trên khoảng 1800 ;1800 . Tìm n .
Ⓐ. n  5 .

Ⓐ. 1 .

Ⓑ. n  3 .

Ⓑ. 2 .

Ⓒ. n  4 .

Ⓒ. 0 .

Ⓓ. n  6 .

Ⓓ. Vô số.



Câu 20: Phương trình sin  2 x    1 có mấy nghiệm trong nửa
2

  
khoảng   ;  ?
 2 2
Ⓐ. 0 .
Ⓑ. 2 .
Ⓒ. 1 .
Ⓓ. 3 .

Lời giải

Câu 21: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của


3
phương trình sin  3x   
bằng
4 2


Lời giải

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

8


Bài tập trắc nghiệm rèn luyện 2021 - 2022

Ⓐ.


9

.

Ⓑ.


6

.

Ⓒ. 


6

.

Ⓓ. 


9

GIẢI TÍCH 11

.

Câu 22: Phương trình 2 sin x  m  0 vô nghiệm khi m là
Ⓐ. 2  m  2 .
Ⓑ. m  2 .
 m  2
Ⓒ. 
.
Ⓓ. m  2 .
m  2

Lời giải

Câu 23: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3sin 2 x  m 2  5  0 có nghiệm?
Ⓐ. 6.
Ⓑ. 2.
Ⓒ. 1.
Ⓓ. 7.

Lời giải

Câu 24: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin x  sin 2 x  0 trên đoạn  0; 2  .

Lời giải

Ⓐ. 4 .

Ⓑ. 5 .

Ⓒ. 3 .

Ⓓ. 2 .

FB:Duong Hung – Zalo 0774860155

9