Phân rã QR chéo hóa ma trận

PHÂN RÃ QR &
CHÉO HÓA MA TRẬN


Phân rã QR
Phân rã QR (thừa số hóa) là phân rã ma trận thành ma trận trực giao
(Q) và ma trận tam giác trên (R). Phân tích nhân tử QR được sử dụng
để giải các bài tốn bình phương nhỏ nhất tuyến tính và tìm các giá trị
riêng.


Có một số phương pháp để thực sự tính tốn sự phân rã QR, chẳng hạn như bằng 
quy trình Gram – Schmidt , phép biến đổi Householder hoặc phép quay Givens .

=> Nhưng ở bài này mình chỉ nghiên cứu quy trình Gram - Schmidt


Giải thuật Gram-Schmidt

• ●Cho  một cơ sở B của một khơng gian vector A
• Tìm một cơ sở trực giao .


Giải thuật Gram-Schmidt

• ●Từ cơ sở trực giao
 .
 .
 .
 



tìm họ trực chuẩn

.

=> Chúng ta đã thu được một cơ sở trực giao từ một cơ sở thông thường cho không gian con vector V.


Phân rã QR

 

•

Viết lại các ma trận này dưới dạng ma trận:

Hoặc

=> Chúng ta đã thu được sự phân rã QR của ma trận A bắt đầu từ quá trình Gram-Schmidt, trong
đó Q là ma trận trực chuẩn và R là ma trận tâm giác trên.


Ví dụ 1:
 

Cho ma trận
Xét 3 vector
Tìn cơ sở trực giao

Ví dụ 1:
 

Tìm cơ sở trực chuẩn


Ví dụ 2:
 

Cho ma trận
Xét 3 vector
Tìn cơ sở trực giao


Ví dụ 2:

 

Tìm cơ sở trực chuẩn


Chéo hóa
ma trận
 

Cho ma trận được gọi là ma trận chéo hóa nếu tồn tại ma trận khả nghịch sao cho
với D là một ma trận chéo. Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa A và D là dạng chéo của A

Thuật tốn chéo hóa ma trận
 
Bước
1: Tìm đa thức đặc trưng

Bước 2: Tìm trị riêng cùng với số bộ tương ứng ().
Bước 3: Với mỗi tìm cơ sở khơng gian riêng tương ứng với mỗi trị riêng.
Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách dựng các vector trong cơ sở thành cột, ta có P
làm chéo hóa A và có dạng chéo.


Ví dụ 1:
 

Cho ma trận

Đa thức đặc trưng:
Trị riêng
Vậy A có 3 trị riêng .


Ví dụ 1:
 

Lập ma trận


 

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:
 

Cho ma trận

Đa thức đặc trưng:
Trị riêng
Vậy A có 3 trị riêng .


Ví dụ 2:
 

Lập ma trận


Ví dụ 2:
 


THANK YOU!

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons
by Flaticon, and infographics & images by Freepik

Please keep this slide for attribution