Sách Toán Cao Cấp 2021 Thầy Phùng Duy Quang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG
TS PHÙNG DUY QUANG

TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH
KINH TẾ

Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà nội, 2021

1


LỜI NĨI ĐẦU

Cuốn sách “Tốn cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế” được biên soạn tương
ứng chương trình Tốn cao cấp trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính
Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế của trường Đại
học Ngoại thương Hà nội.
Với mục đích là rèn luyện tư duy suy luận bằng các tri thức của toán học cao cấp
trang bị trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải tốn bằng các cơng cụ của tốn học
cao cấp khi tiếp cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập toán
cao cấp của sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, bộ
sách này được biên soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt
mơn Tốn cao cấp. Với mục đích đó ngồi các khái niệm tốn học, chúng tơi cố gắng
trình bày các kết quả tốn học, và ý nghĩa của các định lý để người đọc hiểu và vận dụng
kết quả đó vào trong giải bài tập tốn cao cấp. Bên cạnh đó sách cũng mạnh dạn đưa vào
khối lượng tương đối lớn các ví dụ cùng với các phương pháp giải tốn, kết với các ví dụ
áp dụng toán cơ sở trong các bài toán kinh tế để người đọc thấy được mạch ứng dụng của
toán học cao cấp trong lĩnh vực kinh tế.
Với mục đích trên, ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; cuốn sách được kết
cấu như sau:

Chương 1. Ma trận và định thức
Chương 2. Không gian véc tơ
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng
Chương 4. Phép tính vi phân, tích phân hàm một biến số và ứng dụng
Chương 5. Phép tính vi phân hàm nhiều biến và ứng dụng
Cuốn sách lần đầu tiên ra mắt bạn đọc nên khơng thể tránh các sai sót. Mọi góp ý xin
gửi về TS Phùng Duy Quang, Trưởng bộ mơn Tốn- -Khoa Cơ bản, Trường Đại học
Ngoại thương, địa chỉ email:
Trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc.
Hà nội, ngày 22 tháng 06 năm 2021
Chủ biên

2


TS Phùng Duy Quang
Trưởng bộ mơn Tốn
Trường Đại học Ngoại thương

3


MỤC LỤC
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC .................................................................................... 5
§1. Ma trận và các phép tốn trên ma trận................................................................................ 5
§2. Định thức của ma trận vng .......................................................................................... 12
§3. Ma trận nghịch đảo ......................................................................................................... 24
§4. Hạng của ma trận............................................................................................................ 31
CHƯƠNG 2. KHƠNG GIAN VÉCTƠ ...................................................................................... 36
§1. Khái niệm về khơng gian véc tơ...................................................................................... 36

§2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ ............................................................................ 39
§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của khơng gian vectơ ............................................ 44
§4. Khơng gian vectơ con ..................................................................................................... 52
§5. Khơng gian Euclide thực ................................................................................................ 56
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG ......................................... 59
§1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính............................................................................. 59
§2. Phương pháp giải hệ phương trình .................................................................................. 63
§3. Một số mơ hình tuyến tính trong phân tích kinh tế .......................................................... 72
Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG....... 86
§1. Hàm một biến số............................................................................................................. 86
§ 2. Giới hạn của dãy số ....................................................................................................... 91
§ 3. Giới hạn của hàm số ...................................................................................................... 98
§4. Hàm số một biến số liên tục ...........................................................................................102
§5. Đạo hàm và vi phân hàm 1 biến số.................................................................................105
§6. Ứng dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế.....................................................................112
§7. Tích phân hàm một biến số ............................................................................................120
§8. Ứng dụng tích phân trong phân tích kinh tế ...................................................................148
Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG........................ 151
§ 1. Giới hạn và liên tục ......................................................................................................151
§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến ...............................................................159
§3. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế .....................................................165
§4. Cực trị hàm nhiều biến .................................................................................................. 176
§ 5. Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế .............................................. 185
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................196

4


Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận

1. Các khái niệm
Cho m, n là các số nguyên dương
Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m
dịng và n cột được gọi là ma trận cấp m  n. Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên
trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vng. Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát như sau:
 a 11

 a 21
 ...

a
 m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 

... a 2 n 
hoặc
... ... 

... a mn 

 a 11
a
 21
 ...


a m1

a 12
a 22
...
a m2

... a 1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 

Viết tắt là A = (aij)n xn hoặc A = [aij]n xn
2 5  7 
 . A là một ma trận cấp 2 x 3 với
6 7 1 

Ví dụ 1. Cho ma trận A  

a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1
Định nghĩa 2.
 Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở
vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau.
 Ma trận chuyển vị của A là AT : AT = [aji]n xn
 Ma trận đối của ma trận A là ma trận – A = [- aij]n x n
1  3
Ví dụ 2. Cho ma trận A  4  1 . Xác định AT, - A
2 0 

Giải :
  1 3
4 2
1


Ta có A  
 ;  A   4 1

3

1
0


 2 0
T

 Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0 :   [0]m x n
Ví dụ 3. Các ma trận không cấp 2x2 và 2x3 là

0 0 
0 0 0 
2x 2  
;


 2 x 3 0 0 0 
0 0 




5


 Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận
A là ma trận dòng.

 a 11 
Ví dụ 4. Ma trận cột A   ...  , ma trận dòng là A  a 11 ... a m1 .
 
a n1 
 Ma trận vng cấp n là ma trận có số dịng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vng cấp n. Khi đó các phần
từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, cịn các phần tử an1, a n 12 ,
… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.
Ví dụ 5. Cho các ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 3 là

1 2 3 
 1 3
A  1; B  
; B   2  1 4



  4 1
1 1 3
 Ma trận tam giác là ma trận vng khi có các phần tử nằm về một phía của đường
chéo chính bằng 0.

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:
a 11
0

A   ...

0
 0

a 12
a 22
...
0
0

... a 1n 1
... a 2 n 1
...
...
... a n 1 n 1
...
0

a 1n 
a 2 n 
... 

a n 1 n 
a nn 

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:
 a 11
a
 21
A   ...

a n 11
 a n1


0
a 22
...
a n 1 2

...
0
...
0
...
...
... a n 1 n 1

a n2

...

a n n 1

0 

0 
... 

0 
a nn 

Ví dụ 6. Cho một ví dụ về ma trận vng cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp
3.
Giải:
1 2  5
1 2  5
1 0 0




A  2  1 4  ; B  0 1 4  ; C  2  1 0
1 1
0 0 6 
1 1 6
6 
6


 Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngồi
đường chéo chính đều bằng 0
 Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị cấp n:

1

0

E n  ...

0
 0

0 ... 0
1 ... 0

0
0

... ... ... ...

0 ... 1 0 
0 ... 0 1 

 Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)
 Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)
6 
2
2 5  7 

7 
Ví dụ 7. Cho ma trận A  
và B   5

6 7 1 
 7 m 2 

a) Tìm AT và – A
b) Tìm m để AT = B
Giải:
 2 6
 2  5 7 
a) Ta có A   5 7 và A  
 6  7  1

 7 1
T

6 
 2 6  2



7   m 2  1  m  1
b) A  B   5 7   5
 7 1   7 m 2 
T

2. Phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số
Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m  n: A  a ij mn ; B  b ij mn
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m  n, kí hiệu A + B và được xác định
như sau: A  B  a ij  b ii mn
Tích của ma trận A với một số  là một ma trận cấp m  n, kí hiệu  A và được xác
định như sau: A  .a ij mn
Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép tốn tuyến tính
7


Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m  n,  ;  là các số bất kì ta ln
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6)  (A + B) =  A +  B
7) (  +  )A =  A +  A
8) (   )A =  (  B)
1  2 4 
 2 1  2
;B  

 . Khi đó
0 1  1
2 1 3 

Ví dụ 8. Cho các ma trận A  

1  2 4 
 2 1  2   4  7 14 
2A  3B  2.
 (3).




0 1  1
 2 1 3    6  1  11
1 3

Ví dụ 9. Cho ma trận B  
 . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
5 3
Giải:
1
2

1 1 3 1 0  1 / 2 3 / 2


2 5 3 0 1   5 / 2 1 / 2 

Phương trình đã cho  C  B  E  .
b) Phép nhân ma trận với ma trận
Cho hai ma trận :
 a 11
a
A =  21
 ...

a m1

a 12
a 22
...

a m2

... a 1n 
... a 2 n 
;
... ... 

... a mn 

 b11
b
21
B= 
 ...

b n1

b12
b 22
...
b n2

... b1p 
... b 2 p 
... ... 

... b np 

Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dịng của ma trận B.
Định nghĩa 4.

Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m  p, kí hiệu là AB và được xác
định như sau:

8


 c11
c
AB =  21
 ...

c m1

c12
c 22
...
c m2

... c1n 
... c 2 n 
... ... 

... c mn 

n

trong đó c ij  a i1b1 j  a i 2 b 2 j  ...  a in b nj   a ik b kj ; i  1,2,..., m; j  1,2,..., p 
k 1

Chú ý 1.

 Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma
trận đứng sau.
 Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dịng bằng số dịng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
 Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij là tích vơ hướng của dịng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
1 2
0 1 4
và B  

 . Tính A.B và B.A
3 1 
1 3 2

Ví dụ 10. Cho hai ma trận A  
Giải :

1 2 0 1 4 1.0  2.1 1.1  2.3 1.4  2.2 2 7 8 
.



3 1  1 3 2 3.0  1.1 3.1  1.3 3.4  1.2  1 6 14

Ta có A.B  

Nhưng số cột của B khác số dịng của A nên khơng tồn tại tích BA.
1 2 3  1
 2  1 0



Ví dụ 11. Cho ma trận A  
 ; B  2  1 1 0  . Tính A.B, BA

3
2
0


3 0 2 1 

Giải:
1 2 3  1
7  1
 2  1 0 
3 5
Ta có A.B  
.2  1 1 0   


 3 2 0 3 0 2 1  1  8  7 3 



Cịn B.A khơng tồn tại
Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận
Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.
1) (AB)C = A(BC)
2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD
3)  (AB) = (  A)B = A(  B)

9


4) AE = A;

EB =B

Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A
T

5)  AB   BT A T
Chú ý 2. Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn. Nếu A.B   thì chưa chắc
A   hoặc B   .

0 1 
0 0
;B  

.
0 0
1 0

Ví dụ 12. Cho các ma trận A  

1 0
0 0
; B.A  

 và AB  BA

0 0
0 1 

Khi đó A.B  

1 0
0 0 
1 0 0 0 0 0
, ta có A.B  
;B


.


0 0 
0 1 
0 0  0 1  0 0 

Ví dụ 13. Cho A  

c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định
A0 = E; An = An -1. A ( n là số nguyên dương)
a b 
 . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
c d 

Ví dụ 14. Cho A  

X 2  (a  d )X  (ad  bc)  

Giải:
a b  a b 
a b 
1 0
.
 (a  d ).
 (ad  bc).




c d  c d 
c d 
0 1 

Ta có A 2  (a  d)A  (ad  bc)E  

0  0 0
 a 2  bc (a  d )b  a (a  d ) b(a  d ) ad  bc



  . (đpcm)

2 
ad  bc 0 0
(a  d )c bc  d  c(a  d ) d(a  d )  0

= 

1 1
2
3
n
 . Tính A , A , ..., A (n là số tự nhiên)
0
1



Ví dụ 15. Cho ma trận A  
Giải:
1 1 1 1

1 2

1 2 1 1

1 3

3
Ta có A 2  
 0 1  0 1  ; A  0 1  0 1  0 1 ; .... ; tương tự ta có thể dự
0
1


 




 


1 n 
.
0 1 

đốn A n  

Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An.
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có
dạng
i) đổi chỗ 2 dịng (cột) cho nhau: d i  d j (c i  c j )
10


ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i )
iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hd i  d j (hc i  c j )
1  2 4 6 
Ví dụ 16. Cho ma trận A  2 1  2 5 . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:
1  1 2 4

(1) nhân dịng 2 với 2
(2) hốn vị dịng 1 cho dòng 2
(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3
Giải:
6
1  2 4 6 

1  2 4



Phép biến đổi (1): A  2 1  2 5  4 2  4 20
1  1 2
4 
1  1 2 4
1  2 4 6 
2 1  2 5


Phép biến đổi (2): A  2 1  2 5  1  2 4 6
1  1 2 4
1  1 2 4
6
1  2 4 6 
 1 2 4



1  2 5 
Phép biến đổi (3): A  2 1  2 5   2
1  1 2 4
 3  3 6  6

Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất
i) Các dịng khác khơng (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì ln ở trên các dịng
bằng khơng (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).
ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên

phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dịng trên.
Ví dụ 17. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang
1
0
A
0

0

1

5

6

8
1  1

0 1
1 1 3 5 
; B
0 0
0 0 2  5


0 0 0 0
0 0

3 4

7
1  1 2
2 8  1
; C  0 2 1 .
2 1  1
0 0 0

0 0 1

11


§2. Định thức của ma trận vuông
1. Khái niệm định thức
 a 11
a
Cho ma trận A =  21
 ...

a n1

a 12
a 22
...
a n2

... a 1n 
... a 2 n 
. Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A
... ... 


... a nn 

ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con ứng với phần tử aij (i,j =
1, 2, 3, ..., n).
 a 11
Ví dụ 1. A  a 21
a 31

a 12
a 22
a 32

a 13 
a 23  . Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
a 33 

Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là
a
M 11   22
a 32

a 23 
a
; M 12   21

a 33 
a 31

a 23 

a
; M13   21

a 33 
a 31

a 22 
a 32 

a
M 21   12
a 32

a 13 
a
; M 22   11

a 33 
a 31

a 13 
a
; M 23   11

a 33 
a 31

a 12 
a 32 

a
M 31   12
a 22

a 13 
a
; M 32   11

a 23 
a 21

a 13 
a
; M 33   11

a 23 
a 21

a 12 
a 22 

 a11

a
Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =  21
 ...

a
 n1

a12
a 22
...
an2

... a1n 

... a 2n 
  [a ij ]nxn .
... ... 
... a nn 

Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc A được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11
 a 11
a 21

a 12 
a
thì det(A)  11

a 22 
a 21

* Định thức cấp 2: A  

Ví dụ 2. Tính định thức D 
Giải: Ta có D 

1

6

2 14

1 6
 1.14  6.2  2 .
2 14

Ví dụ 3. Giải phương trình:

x2
9

25
0
4

12

a 12
 a 11a 22  a 12 a 21
a 22


x2
9

Giải: Ta có

25
 4 x 2  25.9 .
4

Do đó PT  4x 2  25.9  0  x 2 

25.9
 15
.
x
4
2

* Định thức cấp 3:
a 11
det A  a 21
a 31

a 12
a 22
a 32

a 13
a 23  a 11 .a 22 .a 33  a 12 .a 23 .a 31  a 13 .a 21 .a 32  a 13 .a 22 .a 31  a 12 .a 21 .a 33  a 11 .a 23 .a 32
a 33

Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà
mỗi dịng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.
* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính
hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với

đường chéo chính.
* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc
các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường
chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”
sau:


























Dấu +






Dấu 



Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta cịn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp
3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ
nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo
như quy tắc thể hiện trên hình:

13


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Dấu -

a 11
det A  a 21
a 31

a 12
a 22
a 32

a11 a12
a21 a22
a31 a32

Dấu +

a1
a2
a3

b1
b2
b3

c1
c2
c3

a1
a2

b1
b2

c1
Dấu +

c2

Dấu -

a 13
a 23  a 11 .a 22 .a 33  a 12 .a 23 .a 31  a 13 .a 21 .a 32  a 13 .a 22 .a 31  a 12 .a 21 .a 33  a 11 .a 23 .a 32
a 33

1 2 3
Ví dụ 4.Tính định thức  3  2 0 1
2 2 1

Giải: Ta có  3  1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10.
x2

Ví dụ 5. Giải phương trình 1
4

x 1
1 10
2 1

Giải:
x2

Ta có 1
4

x 1

x  1
.
1 1  x 2  3x  2 . Do đó PT  x 2  3x  2  0  
x2

2 1

 Định thức cấp n (n  3 ):
+) Khai triển định thức theo dòng i:
n

det(A) =

n

 a ij (1)i j det(M ij )   a ij (1) i  j D ij với D ij  det( M ij ) . (1)
j1

j 1

+) Khai triển định thức theo cột j
n

det(A) =

n

a
i 1

(1) i  j det(M ij )   a ij ( 1) i  j D ij (2)
ij
i 1

1 2 3
Ví dụ 6. Khai triển định thức sau :    1 2 4
1

1 5

Giải: Khai triển định thức theo dịng 1 ta có

  1.(1)11 .

2 4
1 5

 2.(1)1 2 .

1 4
1

5

14

 3.(1)1 3 .

1 2
1

1


= 1. 6 – 2. (-9) + 3. (-3) = 15.
2011

0

0 0

2

Ví dụ 7. Giải phương trình :

Giải: Đặt  4 

2010 x
2009 1
2008 4

2011 0
2010 x 2

0 0
x 1

2009
2008

1
4

1 1
2 1

x2

x 1

11

 4  2011.(1) . 1
4

x 1
0
1 1
2 1

. Khai triển định thức theo dòng 1:

x2

1 1  2011. 1
2 1
4

x 1
1 1.

2 1

Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu được
x  1
.
 4  2011( x 2  3x  2) . Khi đó PT  x 2  3x  2  0  
x  2

2. Tính chất của định thức
A =[aij]n x n với  n  det(A)
Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:

a

i1

a i2 ....a ij ....a in    bi1 bi2 ....bij ....bin    ci1 ci 2 ....cij ....cin  ;a ij  bij  cij (j  1, n)

Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dịng khác nếu
n

n

a ij    k a kj (j  1, n ) . Ký hiệu d i    k d k ; dk = (ak1 ak2 ... akn)
k 1
k

k 1
k i

Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị)
Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:
det(AT) = det(A)
a b 
T
 . CMR det(A ) =det(A)
c
d



Ví dụ 1. Cho A  

Giải: Ta có det(A) =

a b
a c
= ad- bc và det(AT) =
 ad  bc . Suy ra đpcm.
c d
b d

Chú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dịng thì cũng
đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các
dịng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột".

15


Tính chất 2. (Tính phản xứng).

Đổi chỗ hai dịng cho nhau và giữ ngun vị trí các dịng cịn lại thì định thức đổi dấu.
Ví dụ 2. So sánh hai định thức: D 

a b
c d

và D' 

c d
a b

Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D
Hệ quả 1. Một định thức có hai dịng giống nhau thì bằng khơng.
Chứng minh
Gọi định thức có hai dịng như nhau. Đổi chỗ hai dịng đó ta được, theo tính chất 2 ta có
 n = -  n  2 n  0   n  0

Ví dụ 3.

a b
a b

 0.

Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số
k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ
a 11

a 12

...

a 1n

a 11

a 12

... a 1n

...
ka i1
...

...
ka i 2
...

a n1

a n2

... ...
... ...

k
.
... ka in
a i1 a i 2
... ...

... ...
a n1 a n 2
... a nn

... ...
... a in
... ...
... a nn

Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dịng có nhân tử chung thì đưa
nhân tử chung ra ngoài dấu định thức
Hệ quả 2. Một định thức có hai dịng tỉ lệ với nhau thì bằng không.
Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngồi dấu định thức thì được một định thức
có hai dịng giống nhau nên nó bằng khơng.

12
Ví dụ 4. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:  4 

2

6

7

17  68 34  170
2
1
1
4
6

7

11

9

Giải:

Ta có  4 

12
2
6
7
17.1 17.(4) 17.2 17.(10)
2

1

1

4

12  2
1 4
 17.
2 1

6

7

11

9

6

16

7

6
2

7
 10

1

4

11

9

 17.D .

Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó  4 17
Tính chất 3. (Tính cộng tính). Nếu định thức có một dịng là tổng hai dịng thì định thức
bằng tổng của hai định thức.
a11


a12





a1n


a11


a12  a1n
  

a11


a12  a1n
  

bi1  ci1 bi 2  ci2  bin  cin  bi1 bi 2  bin  ci1 ci 2  cin





       
a n1
an2

a nn
a n1 a n 2  a nn a n1 a n 2  a nn

Hệ quả 3. Nếu định thức có một dịng là tổ hợp tuyến tính của các dịng khác thì định
thức ấy bằng khơng.
Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.
Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dịng khác thì định thức
khơng đổi.
Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
trong q trình tính định thức cấp n:
* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i  d j (c i  c j ) , phép biến đổi này định thức đổi dấu
* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i ) , phép biến đổi này định thức tăng lên
k lần.
* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hd i  d j (hc i  c j ) , phép biến
đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.

a
b
c
a'
b'
c'
Ví dụ 5. Tính định thức  3 
ax  a ' y bx  b' y cx  c' y

Giải:
Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được:  3

17

 xd1  yd 2  d 3



a b c
a ' b ' c'  0
0 0 0


a2
(a  1) 2
Ví dụ 6. Tính định thức  4 
(a  2) 2
(a  3) 2

b2
(b  1) 2
(b  2) 2
(b  3) 2

c2
(c  1) 2
(c  2) 2
(c  3) 2

d2
(d  1) 2
(d  2) 2
(d  3) 2

Giải:
Nhân dòng 1 với (-1), rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được:
a2
b2
c2
d2
 d1  d i
2a  1 2b  1 2c  1 2d  1
4 
i  2, 3, 4 4a  4
4b  4 4c  4 4d  4
6a  9 6b  9 6c  9 6d  9

Sau đó nhân dịng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4
được:
a2
b2
c2
d2
 2d 2 d3
2a  1 2b  1 2c  1 2d  1
= 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau)
4 
 3d 2  d 4

2
2
2
2
6
6
6
6
a
b
Ví dụ 7. Tính định thức  4  c
ab
2

b
c
a
bc
2

c
a
b
ca
2

1
1
1
1

Giải:
a  b  c 1
a  b  c 1

b

c
a
bc
a  b  c 1
2

Cộng các cột vào cột 1 ta được:  4  a  b  c  1

Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:
1
1
 4  (a  b  c  1). 1

b
c
a
bc
1
2

c
a
b

ca
2

1
1
10
1

18

c

1

a
1
b
1
ca
1
2


3.Các phương pháp tính định thức
Cho định thức cấp n:
a 11
...
 n  a i1
...
a n1

... a 1 j
... ...
... a ij
... ...
... a nj

... a 1n
... ...
... a in
... ...
... a nm

a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)
 Phần bù đại số của aij
Xóa đi dịng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij ) của A ta được một ma
trận con (n - 1), kí hiệu là M ij . Định thức của M ij được gọi là định thức con cấp n -1
tương ứng với phần tử aij của A và A ij  (1) i  j det( M ij )  (1) i  j .D ij được gọi là phần
bù đại số của phần tử aij của định thức d. Cho định thức cấp n là  n . Khi đó  n có thể
tính theo hai cách sau:
i) Cơng thức khai triển theo dịng thứ i :
n

n

 n   a ij (1) i  j . det(M ij )   a ij A ij (1)
j1

j1

ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:
n

n

 n   a ij (1) i  j . det(M ij )   a ij A ij (2)
i 1

i 1

Hệ quả. Đối với định thức cấp n là  n , ta có
n

i)

a

ij

j1

 khi i  k
(3)
A kj   n
0 khi i  k

n

ii)

a
i 1

ij

 khi j  k
A ik   n
(4)
0 khi j  k

Nhận xét: Mục đích của cơng thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về
tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.
Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dịng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0
nhất để khai triển. Nếu khơng có dịng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định
thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dịng hoặc cột như vậy.

19


2 1 1
Ví dụ 8. Tính định thức a)  3  3  1 2
4 5 0

1 2 1
b)  3  3 1 2
1 2 4

Giải:
a) Khai triển định thức theo dịng 3 ta có:
 3  4.( 1) 31 .

1 1
2 1
 5.(1) 3 2 .
 0  12  5  7 .
1 2
3 2

b) Khai triển định thức theo cột 1 ta có:
 3  1.(1)11 .

1 2
2 1
2 1
 3.( 1) 21 .
 (1)(1) 31 .
 0  30  5  35 .
2 4
2 4
1 2
1

Ví dụ 9. Tính định thức a)  4 

1

0

5

1 0 0

2

1 3
1
3
0 1 0 3
b)  4 
2  4 1  3
0 0 1 4
3 5 2
1
2 3 4 11

Giải:
a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi khai triển
định thức theo cột 1, ta được
1
0
0
0
4
1
8
4
1
8
1 4
1

8
11
4 
 1.( 1) .  6  1  13   6  1  13
 5 c1  c 4 2
 6  1  13
 8 2  14  8 2  14
3  8 2  14
 c1  c 2

Cộng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 với (-2) cộng vào dòng 2, rồi khai triển định thức
theo cột 2 ta được:
4 1
8
2 5
 4   2 0  5  1.(1)1 2 .
 20
 2 d1  d 3
 16  30
 16 0  30
d1  d 2

b) Nhân cột (-2) với cột 1 rồi cộng với cột 4
1 0 0
4 

0

0 1 0 5
0 0 1 4

2 3 4 9

Khai triển định thức theo dòng 1 ta được

20


1
0
4 
0
2

0
1
0
3

0 0
1 0 5 1 0 5
0 5
11
 1.(1) . 0 1 4  0 1 4 .
1 4
3 4 9
3 4 9
4 9

Nhân cột 1 với 5 cộng vào cột 3, khai triển định thức theo dòng 1 ta được
1 0 0

1 4
 4  0 1 4  1.(1)11 .
 24  16  8
4 24
3 4 24

Ví dụ 10. Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới
a 11
0
a)  n  ...
0
0

a 12
a 22
...
0
0

... a 1n 1
... a 2 n 1
...
...
... a n 1 n 1
...
0

a 1n
a 2n
...

a n 1 n
a nn

a 11
a 21
b)  n  ...
a n 11

0
a 22
...
a n 1 2

...
0
...
0
...
...
... a n 1 n 1

0
0
...
0

a n2

...

a nn

a n1

a n n 1

Giải:
Ta chỉ cần xét ý a) Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :
a 11
0
 n  ...
0
0

a 12
a 22
...
0
0

... a 1n 1
... a 2 n 1
...
...
... a n 1 n 1
...
0

a 11
a 21

Tương tự, ta có  n  ...
a n 11
a n1

a 1n
a 22
a 2n
...
...  a 11 .(1)11 .
0
a n 1 n
0
a nn

... a 2 n 1
...
...
... a n 1n 1
...
0

a 2n
...
 ...  a 11 .a 22 ...a nn
a n 1 n
a nn

0
a 22
...

a n 1 2

...
0
...
0
...
...
... a n 1 n 1

0
0
...  a 11a 22 ...a nn
0

a n2

...

a nn

a n n 1

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:
Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của
ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng cơng thức:
a 11
0
...
0

a 12
a 22
...
0

... a 1n
a 11
... a 2 n
a 21
 a 11 .a 22 .a 33 ...a nn hoặc
... ...
...
... a nn
a n1

Ví dụ 11. Tính các định thức

21

0
a 22
...
a n2

... 0
... 0
 a 11a 22 ...a nn
... ...
... a nn

1
1

2
0

3
3

4
4

1
a1
1 a 1  b1

5
5

a)  5   1  2

0
4 5 b)  4  1
1
1  2  3 0 5
1
1  2  3  4 0

a1
a1
a1

a2
a2

a3
a3

a4
a4

a 2  b2
a2
a2

a3
a 3  b3
a3

a4
a4
a 4  b4

Ví dụ 12. Tính định thức

a)  6 

0 1 1 1 1 1

1 0 x x x x
1 x 0 x x x

b)  6 

1 x x 0 x x
1 x x x 0 x
1 x x x x 0

a x x x x x
x a x x x x
x x a x x x
x x x a x x
x x x x a x
x x x x x a

Giải: a)
 Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra  6  0
 Nếu x  0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tử
chung (n -1) ra ngoài ta được:
0
x
1 x
6  2 .
x x
x
x

x
0

x
x
x
x

x
x
0
x
x
x

x
x
x
0
x
x

x
x
x
x
0
x

x
x
x
x

x
5 x
 2.
x x x
x
x
0
x

x
0
x
x
x
x

x
x
0
x
x
x

x
x
x
0
x
x

x
x
x
x
0
x

x
x
x
x
x
0

Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:
x x
0 x
6 

5 0
.
x2 0
0

0
0
0

0

0

x
0

x
0

x
0

x 0
0
0 x 0
0
0 x
0

0

0

x
0
0
5
 2 .x ( x ) 5  5x 3
0
x
0

x

b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được
a  5x

x

x ... x

x

1

x

x ... x

x

a  5x a x ... x x
1 a x ... x x
a  5x x a ... x x
1 x a ... x x
6 
 a  5x .
...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
a  5x
a  5x

x
x

x ... a
x ... x

x
a

1
1
22

x
x

x ... a
x ... x

x
a


Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta được
1

...

x

x

0 ax
0
...
0
0
a  x ...
 n  a  5x .
... ...
... ...

0
0
...

0
0
...

0
0

x

0
0

x

0
0

... a  x
0
...
0
ax

23

 a  5x .(a  x ) 6


§3. Ma trận nghịch đảo
Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vng
cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo
1. Định thức của tích hai ma trận vuông
Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n
Định lý 1. Định thức của tích hai ma trận vng bằng tích các định thức của ma trận
thành phần: det(AB)= det(A)det(B)
Hệ quả: det(An) = [det(A)]n
Chứng minh: det(An) = det(A.A...A) =det(A).det(A)....det(A) = [det(A)]n
Ví dụ 1. Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2. Tính det(AB),
det(A2B); det(2AB); det(A3); det(2A).
Giải: det(AB)= det(A).det(B)= 2. (-2) = -4
det(A2B)= det(A2).det(B) = 22. (-2) = -8
det(2AB) = 23.det(AB) = 8. (-4) = -32
det(A3) = [det(A)]3 = 23 = 8

det(2A) = 23.det(A) = 16
Ghi nhớ: A là ma trận vuông cấp n: det(kA) = kn.det(A)
2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có ma
trận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = En thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B được
gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu
A-1 = B.
Ví dụ 2.
1

1 0

0

a) Ma trận A = 
là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là A 1  0 1  . Vì ta


0 4
4 
1 0 1
.
0 4 0

có 

0  1 0  1 0 1 0
1  
1 .


.
0
0 4 0 1 


4 
4  
0 0

b) Ma trận   
 khơng khả nghịch vì mọi ma trận vng B cấp 2 đều có
0 0
.B  B.    E .

24


Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý 2. Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Định lý 3. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.
 A11
A
1
1
-1
và A =
.A =
.  12
det(A)

det(A)  

 A1n
 A11
A
trong đó: A   12
 

 A1n

A 21  A n1 
A 22  A n 2 
   

A 2n  A nn 

A 21  A n1 
A 22  A n 2 
là ma trận phụ hợp của ma trận A.
   

A 2n  A nn 

Aij= (-1)i+j.Dij (Dij là định thức có được từ det(A) bằng cách bỏ dòng i và bỏ cột j)
Aij gọi là phần phụ đại số của aij.
2  1 3
Ví dụ 3. Tìm A của A  0 3 1 .
5  2 4
-1

Giải:
2 1 3
+) Ta có A  0 3 1  22  0 nên A là ma trận khả nghịch.
5 2 4

+) Tiếp theo xác định ma trận phụ hợp A của A:
A 11  (1)11 .

3 1
1 3
1 3
 14; A 21  (1) 21 .
 2; A 31  (1) 31 .
 10
2 4
2 4
3 1

A12  (1) 21 .

0 1
2 3
2 3
 5; A 22  (1) 2 2 .
 7; A 32  (1) 3 2 .
 2
5 4
5 4
0 1

A 13  (1)13 .

0 3
2 1
2 1
 15; A 23  (1) 23 .
 1; A 33  (1) 33 .
6
5 2
5 2
0 3

 14  2  10
Khi đó ma trận phụ hợp của A là A   5  7  2 
 15  1
6 

25