- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
Bài tập toán cao cấp 2021 Đại học ngoại thương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (314.67 KB, 32 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG
TS PHÙNG DUY QUANG
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH
KINH TẾ
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2016
1
Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Bài 1.1. Tính các định thức sau
5 7
b)
8 12
a) 2010
1 0
5
2
e) 3
0 3
f) 2 3
2 4
2 4 1
4 2
9 6
c)
1 3
3
9
d) 1
3 5
2 8 13
4
2
g) 1 1
1
5
2
3
3
5 3 2
3
1
h) 2 1 1
Bài 1.2. Tính các định thức sau
1
2
a)
3
4
0 3
1 4
2 3
3 4
2
3
1
6
1
2
b)
3
2
0 3 2
2 3 1
4 5 1
6 5 4
2 1 3 4 0
1 0 2
1
2 3 5
4
2
1
3
c) 3 1 2 0 2 d) 3 2 1
4 3 0 1 3
2 4
3
4 1 8 0
5
4 3
5
3 1
0 1
1 2
1 1
5 2
2 8 9
Bài 1.3. Chứng minh rằng định thức : D = 1 8 7 chia hết cho 17.
1 7 0
2 9 0
Bài 1.4. Chứng minh rằng định thức D = 1 2 5 chia hết cho 19.
4 6 5
Bài 1.5. Chứng minh các đồng nhất thức sau:
2
3
3
2
1
a
b
a) a1
a
b
c
a2
b1
b2
a1 x b1 y c1 = a1
a 2 x b2 y c 2
a2
b1
b2
c1
c2
1
1
1
c) a
b
b3
c (a b c)(b a)(c a)(c b) d) 1 b ca 1 b b 2
1 c ab 1 c c 2
c3
a3
ax by c
1 a bc
b) 1 b ca (b a)(c a)(c b)
1 c
ab
1 a bc
1 a a2
Bài 1.6. Trong các định thức cấp n, xác định dấu của
a) Tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
b) Tích của các phần tử nằm trên đường chéo phụ
Bài 1.7. Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a) Đổi dấu tất cả các phần tử của nó
b) Viết các cột theo thứ tự ngược lại
Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất của định thức cấp 3 chỉ nhận các phần tử là
a) 0 và 1
b) 1 và -1
Bài 1.9. Giải phương trình sau
3x 2 x 2 x 2
1
2 3 4
=0
3
2 2 2
9
2
3
18
Bài 1.10. 1) Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng:
1 2 3
a) A =
; B =
0 4 2
0 1
2 3
4 1
1 0 2
b) A = 1 2 1 ; B =
0 1 1
1 0 2 2
2 1
2 1
3 2 1
0
3
2) Tính
cos x sin x
cos x
n
a)
sin x
4 1
b)
0 3
n
a 1 0
c) 0 a 1
0 0 a
100
Bài 1.11. Tìm tất cả các ma trận B giao hoán với ma trận A, nghĩa là AB = BA, biết:
1 2
1 1
1
a) A =
3 4
b) A =
1
Bài 1.12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
1 2
a)
3 4
1 0 2
c) 3 1 3
2 3 1
a b
b)
c d
0
2 1 3
4 2 2 3
e)
1
3
1 2
2
1
1 4
2 1 3
d) 3 2 1
1
0 5
1
0
f)
0
0
0 1 3
2 4 6
0 2 3
0 0 1
Bài 1.13. Giải các phương trình A X = B, biết:
2 3
5 6
5 4
a) A =
; B = 7 8
3 4
1
3
;B=
9
c) A =
3
1
0
d) A .
0
0
1
1
.
0
0
...
...
...
...
...
1
1
.
1
0
1
2
b) A =
; B = 2 3
4 3
4 3
1 2
1
1
0
1
. ; B .
1
0
0
1
2
1
.
0
0
... n 1
n
... n 2 n 1
...
.
.
...
1
2
...
0
1
Bài 1.14. a) Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: A 2 2010 A E 0 . Tìm ma trận
nghịch đảo A-1 của A (nếu tồn tại) (E là ma trận đơn vị).
4
b) Cho A là ma trận vng cấp n có r (A) n 1. Tìm r( A )
Bài 1.15. Tìm hạng của các ma trận sau:
2 1 3
0
3 1
A=
;
2 4 2
5 7
2
1
2
B=
1
2
2 1 3 1
1 2 2 3
D = 3 1 1 2 ; E =
2 4 4 4
8 6 2 10
2 3 1
0 1 4
;
2 2 3
1 4
0
0
1 2 3
2
1 2 1
C=
;
3
3 5 1
2 4 2
4
1 2 3 0 4
3 1 2 3 2 ; F =
1
3 4 3 1
2
3 4
1
2 0
1
3
1
6 10 8
2 4 6 7
Bài 1.16. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:
1 m 1 2
2 1 m 5
1 10 6 1
a b
thoả mãn: X 2 (a d)X ad bc 0
c d
Bài 1.17. a) Chứng minh rằng, ma trận A
b) Giả sử A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên lớn hơn 2. Chứng minh rằng Ak = 0
khi và chỉ khi A2 = 0.
Bài 1.18. a) Giả sử Ak = 0 (k là số nguyên lớn hơn 2). Chứng minh rằng
(E – A)-1 = E + A + A2 + … + Ak -1
b) Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các
phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng r (A) n 1
Bài 1.19. a) Cho A là ma trận vng cấp n có A-1 = 3A. Tính det(A2009 – A)
b) Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận A, B vuông cấp n sao cho AB – BA = E.
Bài 1.20. Tính các định thức cấp n sau
5
1
2
3
1 0
3
a) 1 2 0
... ... ...
1 2 3
x
y
0
c) 0
...
x
0
...
0
1
0
1
0
...
...
...
...
...
n
n
n
...
0
... 0
1
a
0
1 1 a
a
b) 0
1 1 a
... ...
...
0
0
0
y ... 0 0
x ... 0
0
... ... .... ...
0
1
... x
... 1
1
0
y
1
d)
... 0
... 0
... 0
... ...
... 1 a
0
0
...
0
1
1 a1
1 1
0
a2
...
...
0
0
0
0
... ...
1 0
1 0
... ... ...
0 ... a n 2
0 ... 1
6
...
0
a n 1
CHƯƠNG 2. KHƠNG GIAN VÉC TƠ
Bài 2.1. Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết:
a) x1 = (2; 1; -1; 3); x2 = (- 2; 1; 3; 4); x3 = (-3; 1; 4; 5)
b) x1 = (a; 1; 2; -1); x2 = (- 2; - a; 1; -1);x3 = (- 2; 4; a; 3)
Bài 2.2. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau
a) U = {x1 = (2; 1; -1); x2 = (- 2; 3; -4); x3 = (3; - 1; 2)}
b) U = {x1 = (3; -2; 4); x2 = (- 2; 2; 0); x3 =(- 1; 2; 4)}
c) U = {x1 =(1;1;0); x2 =(0;1;1); x3 = (1;0;1); x4 =(2;-2; 2)}
d) U = {x1 = (1; -1; 2); x2 = (2; 0; 1)}
e) U = {x1 =(1;-1;2;3); x2 = (2;3;- 2;- 4); x3 = (3;2; 0; -1)}
Bài 2.3. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u1, u2, u3
a) a = (4; 9; -3; -1); u1 = (1; 2; -1; 1); u2 = (0; - 1; 2; 2); u3 = (2; 4; 1; -1)
b) a = (3; 0; 4) ; u1 = (1; -1; 2); u2 = (2; -1; 4); u3 = (0; 1; -1)
Bài 2.4. Trong R3, hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R3
a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)}
b) U = {u1 = (1 ; -1 ; -2) ; u2 = (3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u1 =(1 ; -2 ; 1) ;u2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u3 = (2 ; -5 ; - 3) }
d) U = {u1 = (1 ; -1 ; -3) ;u2 = (0 ; 0 ; 0); u3 = (5 ; -4 ; 0)}
e) U = {u1 = (1 ; 1 ; 0) ; u2 = (-1 ; 1 ; 2); u2 = (2 ; 0 ; 1) ; u3 = (1 ; 2 ; 3)}
f) U = {u1 = (1 ; 1 ; -2) ; u2 = (0 ; -1 ; 1) ; u3 = (0 ; 0 ; 2)}
Bài 2.5. Tìm hạng của hệ véc tơ sau
a) U = {u1 = (3 ; 1 ; -2) ; u2 = (-2 ; 1 ; 3) ; u3 = (-1 ; 3 ; 4)}
b) U = {u1 = (-1 ; 1 ; 2) ; u2 = (2 ; - 3 ; -1) ; u3 = (-3 ; 2 ; 6)}
c) U = {u1 = (2 ; 3 ; 1 ; 2) ; u2 = (3 ; 1 ; 2 ; 7) ; u3= (2 ; 4 ; 3 ; 3) ; u4= (1 ; 1 ; 2 ; 3)}
d) U = {u1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u2 = (2 ; 1 ; -2 ; 3) ; u3 = (-3 ; 1 ; 2 ; 1) ; u4 = (-3 ; 6 ; 3 ; 2)}
7
e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 1 ; -2) ; u2 = (1 ; 1 ; 3 ; -2) ; u3 = (2 ; 1 ; 5 ; -1) ; u4=(1 ; -1 ; 1 ; 4)}
Bài 2.6. Tuỳ theo giá trị của m, tìm hạng của hệ véc tơ sau
a) U = {u1= (1 ; - 2 ; 3) ; u2 = (2 ; 1 ; 0) ; u3 = (m ; 0 ; 0)}
b) U = {u1 = (1 ; 2 ; -1) ; u2 = (2 ; 4 ; m)}
c) U = {u1 = (1;1;1; 2) ; u2 = (1; -1; 2; 0) ; u3 = (1; 2; 0; 0) ; u4 = (m -1; -1; -1; -2)}
Bài 2.7. Tập hợp nào sau đây là không gian con của không gian R3
a) F = {(x1; 0; x2); x1, x2 R}
b) F = {(x1; 0; 1); x1 R}
c) F = {(a; b; a - 2b); a, b R }
d) F = {(x1, x2, x3): x1 - 2x2 + x3 = 1; x1, x2, x3 R}
Nếu F là không gian con của R3 thì tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 2.8. Tìm cơ sở và số chiều của khơng gian con F của R3 sinh bởi hệ véc tơ sau
a) U = {u1 = (- 1 ; 2 ; -3)}
b) U = {u1 = (1 ; - 1 ; 2) ; u2 = (-3 ; 0 ; 1)}
c) U = {u1 = (1 ; 2 ; 1) ;u2 = (- 1 ;- 3 ; 4) ; u3 = (0 ; - 1 ; 5) }
d) U = {u1 = (-1 ; 1 ; - 3) ; u2 = (0 ; 0 ; 0) ; u3 = (-1 ; 0 ; - 4)}
e) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; -1 ; 0) ; u3 = (1 ; 1 ; -1) ;u4 = (1 ; - 2 ; - 3)}
f) U = {u1 = (1 ; 0 ; 0) ; u2 = (1 ; - 1 ; 0) ; u3 = (-1 ; 1 ; 1)}
Bài 2.9. Tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R3
a) U = {u1 = (3; 1; m); u2 = (1; 1; 0) ; u3 = ( 2; 1; m)}
b) U = {u1 = (1; - 2; 2); u2 = (0; 1; -1) ; u3 = (1; -1; m)}
Bài 2.10. Cho tập F ( x; y; z) R 3 : ax by z 0; a , b R
a) Chứng minh rằng F là khơng gian con của R3
b) Tìm dim F
x 2 y mz 0
(m là tham số)
0
x y
Bài 2.11. Cho tập F ( x; y; z) R 3 :
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3
8
b) Tìm dimF
Bài 2.12. Cho hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính trên Rn và u3 khơng biễu diễn tuyến
tính qua {u1, u2}. Chứng minh rằng u1 và u2 tỷ lệ nhau.
Bài 2.13. Chứng minh rằng hạng của hệ véc tơ không đổi nếu:
a) Đổi chỗ hai véc tơ trong hệ
b) Nhân một véc tơ của hệ với một số khác không
c) Nhân một véc tơ của hệ với một số thực khác không rồi cộng vào một véc tơ khác
trong hệ
Bài 2.14. Cho U = {u1, u2, …, um} Rn. Gọi L(U) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính
của các phần tử trên U:
L(U) = {u = t1u1 + t2u2 + … + tmum| t1, t2, …, tm R}
Chứng minh rằng L(U) là không gian véctơ con của Rn và dimL(U) = r(U)
Bài 2.15. Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính trên Rn và hệ
{X, u1, u2, …, um } phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh rằng véc tơ X biểu diễn duy nhất
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong hệ U.
x y z
3
Bài 2.16. Cho tập F ( x; y; z) R : 1 0 1 0
1 2 2
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R3
b) Tìm cơ sở và số chiều của F.
Bài 2.17. Cho hệ véc tơ a1 = (2; 1; 0); a2 = (-1; 1; 1); a3 = (1; 2; -1) và các véc tơ b1 = a1 –
a2; b2 = 2a2 – a3; b2 = 2a2 – a3; b3 = a1 – 2a3.
a) Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ {b1, b2, b3}
b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b1, b2, b3}
a b
; a , b, c, d R
c d
Bài 2.18. Cho tập E A
a) Chứng minh rằng E với phép toán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số lập
thành một không gian véc tơ trên R.
b) Tìm cơ sở và số chiều của E.
9
Bài 2.19. Cho E, F là các không gian véc tơ con của E. Hỏi E F có là không gian con của
Rn hay không?
Bài 2.20. Trong R4, cho hệ véc tơ
U = {u1=(-1; 2;1;2); u2 =(1; m; 1; 3); u3 =(1; -1; -1; -1); u4 =(-1; 2; m; 2); u5 =(1; 1; -1; 1)}
Tìm một cơ sở khơng gian con L(U).
Bài 2.21. Trong không gian R4, cho hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}với u1 = (2; 3; 3; -1); u2 =
(1; -1; 3; 3);
u3 = (2; 3; 1; a); u4 = (1; -1; b; 1)
a) Tìm điều kiện của a, b để u là một cơ sở của R4.
b) Khi a = -1, b = 2; hãy biểu diễn X = (2; 3; 0; 1) qua hệ véc tơ U
Bài 2.22. Cho các tập con của R3:
E ( x; y; z) R 3 : x 2 y z 0
x y 2z 0
F ( x; y ; z) R 3 :
2x 3y mz 0
Tìm m để E F là khơng gian con của R3 có số chiều bằng 1.
Bài 2.23. Trong R3, hãy chứng minh rằng L({u1, u2}) = L({v1, v2})
a) u1 = (3; -4; 2); u2 = (2; 3; -1); v1 = (0; -17; 7);
v2 = (11; -9; 5)
b) u1 = (2; -1; 5); u2 = (-1; 4; 3); v1 = (1; 2; 8);
v2 = (4; 5; 21)
Bài 2.24. Trong R4, cho hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; a; 1); u2 = (a; 1; 2; 3); u3 = (0; 1; b; 0)}
a) Xác định a, b để hệ U là phụ thuộc tuyến tính.
b) Với a, b tìm được, hãy tìm một cơ sở và số chiều của L(U).
Bài 2.25. Giả sử u, v R n và A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
a) Nếu {Au, Av} là độc lập tuyến tính thì {u, v} là độc lập tuyến tính.
b) Nếu {u, v} là độc lập tuyến tính và A khả nghịch thì {Au, Av} độc lập tuyến tính
Bài 2.26. Trong không gian R4, cho
F ( x z; y; y z; x 2 y) : x, y, z R và
10
V = {(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 2); (1; 0; 1; 0); (-1; 1; 1; 1)}
a) Chứng minh rằng F là không gian con của R4 và V là hệ sinh của F.
b) Tìm một cơ sở của F và hạng của V.
c) Véc tơ a = (1; 1; 1; 3) có phải là một tổ hợp tuyến tính của V hay khơng? Bổ sung
các véc tơ vào hệ V để trở thành một cơ sở của R4.
11
CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG
Bài 3.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
x1 - x 2 + 2x 3 = 1
1. 3x1 - 2x 2 + 5x3 = 2
-x + x - x = 2
2
3
1
2x 3 3
x1
2 . 2x1 x 2 6x 3 11
x + 5x 4x = -4
2
3
1
4x1 + x 2 + 2x 3 = 1
+ x3 = 2
3 . x1
6x + x
+ 4x 3 = 3
2
1
x1 2x 2 x 3 2x 4 1
4 . x1 3x 2 x 3 3x 4 2
x x 3x x 4
2
3
4
1
5x1 x 2 2x 3 x 4 7
5. 2x1 x 2 4x 3 2x 4 1
x - 3x 6x 5x = 0
2
3
4
1
x1 2x 2
2x x
2
6. 1
3x 2
5x1 + x 2
x1 2x 2 x 3 3x 4
2x x 2 2x 3 5x 4
7. 1
5x1 4x 2 3x 3 7x 4
3x1 - 3x 2 + x 3 + 2x 4
3x1 2x 2 5x 3 x 4 3
2x 3x 2 x 3 5x 4 3
8. 1
- 4x 4 = 3
x1 2x 2
x1 x 2 - 4x 3 + 9x 4 = 22
1
2
5
=3
3x 3 x 4 1
x 3 3x 4 0
- x 3 + x 4 = -1
- 4x3 + 6x 4 = 1
3x1 5x 2 2x 3 2
9. 2x1 7x 2 2x 3 12
x 5x 3x 9
2
3
1
x1 4x 2 2x 3 4
- x3 9
3x1
10. 3x1 5x 2 3x 3 15
2x 7x 3x 13
1
2
3
2x1 4x 2 5x 3 11
- 4x 3 7x 4 2
2x1
- 2x 4 7
11. x1 x 2
5x 6x 3x
=-6
2
3
1
=3
2x1 5x 2 3x 3
- 3x 2 2x 3 2x 4 3
12.
3x
- 5x3 + x 4 = -12
1
2x 4 14
2x1 3x 2
13. 3x1 x 2 5x 3 3x 4 1
4x 2x 5x 3x 2
2
3
4
1
5x 3 3x 4 4x 5 2
x1
14.
2x2 3x 3
6x 5 6
2x 3x
5x 5 7
2
1
Bài 3.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mỗi hệ phương trình sau để hệ có nghiệm:
12
4x1 x 2 3x 3 x 4 3
1. x1 x 2 2x 3 x 4 a
3x x x 7
2
3
4
x1 x 2 x 3 1
2. x1 ax 2 3x 3 2
2x 3x ax 3
2
3
1
x1 x 2 x 3 1
3. x1 ax 2 x 3 1
x x ax a
2
3
1
Bài 3.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ax + y + z + t = 1
1. x + ay + z + t = 1
x + y + az + t = 1
ax y z a
2. ax y 2z 1
x ay 2z 1
+ 2z = 2
ax
=1
3. 5x + 2y
x - 2y + bz = 3
ax+by + z =1
4. x+aby + z =b
x +by az 1
x ay a 2 z a 3
5. x by b 2 z b 3
x cy c 2 z c 3
y z k
kx
6. 2x (k 1) y 2z 2
x y (k 2)z 1
by
2z 1
ax
3z 1
7. ax (2b 1)y
ax
by (b 3)z b
ax y z t 1
x ay z t a
8.
2
x y az t a
x y z at a 3
Bài 3.4. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
x1 x 2
2x + 4x - x
2
3
1
1. x1 + 3x 2
3x + 7x - 3x
2
3
1
x1 + 4x 2 - 2x3
+ 2x 4 = 5
+ 5x 4 = -1
+ 5x 4 = -3
+ 9x 4 = -14
+ x 4 = -11
4x1 2x 2 x 3 3x 4
x - x + x + 2x
2
3
4
3. 1
2x1 3x 2 3x 3 x 4
4x1 x 2 x 3 5x 4
7
=5
=3
=1
x1 3x 2 5x 3 2x 4 1
3x 5x 7x 3x 1
2
3
4
5. 1
5x1 7x 2 4x 3 2x 4 5
3x1 5x 2 2x 3 x 4 5
3x1 x 2 x 3 2x 4 1
x x 2x 4x 5
3
4
2. 1 2
x1 x 2 3x 3 6x 4 9
12x1 2x 2 x 3 2x 4 10
x1 3x 2 5x 3 21
3x 5x 6x 5
2
3
4. 1
4x1 3x 2 7x 3 6
2x1 4x 2 3x 3 0
x1 5x 2 4x 3 2x 4 3
x 11x 6x x 5
2
3
4
6. 1
3x1 x 2 2x 3 5x 4 1
4x1 12x 2 4x 3 6x 4 4
13
x1 5x 2 2x 3 3x 4 15
3x 2x 2 5x 3 4x 4 8
7. 1
4x1 12x 2 10x 3 x 4 11
5x1 3x 2 7x 3 x 4 11
x1 3x 2 5x 3 2x 4 4x 5 1
4x 5x 2 3x 3 3x 4 5x 5 3
8. 1
3x1 8x 2 8x 3 x 4 x 5 4
6x1 x 2 7x 3 7x 4 3x 5 1
Bài 3.5. Tìm điều kiện để các hệ thuần nhất sau: có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm
ax - y + z = 0
1. bx + y - z = 0
x + 2y - az = 0
y
+z
+t=0
ax +
2x + (a+1)y
+ 2z
+ 2t = 0
2.
- y + (a+2)z +
2t = 0
-x
-x
-y
+ 2z + (a+2)t = 0
ax + by - cz + dt = 0
-bx + ay - dz - ct = 0
3.
cx + dy + az - bt = 0
-dx + cy + bz + at = 0
Bài 3.6. Tìm một hệ nghiệm cơ bản và công thức nghiệm tổng quát của các hệ thuần nhất
sau:
2x1 x 2 4x 3 0
1. 3x1 5x 2 7x 3 0
4x 5x 6x 0
2
3
1
2x1 x 2 5x 3 7x 4 0
2. 4x1 2x 2 7x 3 5x 4 0
2x x x 5x 0
2
3
4
1
x1 2x 2 3x 3 x 4 0
2x 3x x 2x 0
2
3
4
3. 1
3x1 x 2 4x 3 x 4 0
x1 2x 2 -3x 3 - x 4 = 0
x1 3x 2 4x 3 3x 4 0
2x 5x 5x 8x 0
2
3
4
4. 1
4x1 + 6x 2 2x 3 24x 4 0
-3x1 4x 2 + 3x 3 19x 4 = 0
3x1 x 2 8x 3 2x 4 x 5 0
2x 2x 3x 7x 2x 0
2
3
4
5
5. 1
x1 11x 2 12x 3 34x 4 5x 5 0
x1 5x 2 2x 3 16x 4 3x 5 0
3x1 2x 2 x 3 4x 4 0
6. 2x1 7x 2 6x 3 x 4 0
x 5x 5x 3x 0
1
2
3
4
x1 2x 2 4x 3 3x 4 0
7. 4x1 3x 2 5x 3 7x 4 0
2x x 3x x 0
2
3
4
1
x1 4x 2 6x 3 4x 4 x 5 0
8. x1 2x 2 2x 3 8x 4 6x 5 0
x x 4x 6x 4x 0
2
3
4
5
1
Bài 3.7. Cho véctơ X = (2k, 1, 1); X1 = (k, 1, 1); X2 = (-1, 2k, -2); X3 = (-1, -1, -1). Với
những giá trị nào của k thì véctơ X:
a) Biểu diễn một cách duy nhất qua X1, X2, X3
b) Có vơ số cách biểu diễn qua X1, X2, X3
c) Không biểu diễn được qua X1, X2, X3
Bài 3.8. Hãy xác định m sao cho x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w:
14
a) x = (7, -2, m); u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1)
b) x = (5, 9, m); u = (4, 4, 3), v = (7, 2, 1), w = (4, 1, 6)
c) x = (1, 3, 5); u = (3, 2, 5), v = (2, 4, 7), w = (5, 6, m)
Bài 3.9. 1) Cho ma trận A = [aij]n x n thoả mãn
n
|akk| >
| a
ks
| , k 1, n
s 1
sk
Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính Ax = B có nghiệm duy nhất (B).
2) Cho aij Z ( i, j 1, n ); p Z (p 0; 1) . Chứng minh rằng, hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất:
x1
a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ........ a 1n x n p
x2
a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 ........ a 2 n x n p
x3
a 31 x 1 a 32 x 2 a 33 x 3 ........ a 3n x n
p
..................................................................
a x a x a x ........ a x x n
n2 2
n3 3
nn n
n1 1
p
3) Cho n là một số nguyên dương lẻ và các số aịj (i, j = 1, 2, ..., n) thoả mãn các điều kiện
a ij a ji 0
(i, j 1, 2, ..., n)
a
0
ii
n
Chứng minh rằng hệ phương trình
a
ij
x j 0 (i 1, n ) có nghiệm khơng tầm thường.
j1
4) Chứng minh rằng: nếu a 0 thì hệ
ax (1 b) y cz (1 d) t a
(b 1) x ay (d 1)z ct b
cx (1 d) y az (b 1) t c
(d 1) x cy (1 b)z at d
ln có nghiệm duy nhất với mọi b, c, d R.
Bài 3.10. Cho hệ phương trình
15
ax1 bx 2 bx 3 ... bx 2007 bx 2008 1
bx1 ax 2 bx 3 ... bx 2007 bx 2008 2
................
bx bx bx ... ax bx
2
3
2007
2008 2007
1
bx1 bx 2 bx 3 ... bx 2007 ax 2008 2008
Tìm điều kiện đối với a và b để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Bài 3.11. Cho hệ phương trình tuyến tính có 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng
a) Bộ số (1992, 1993, …, 2002) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Khi xoá cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ đã cho thì được một ma trận vng có
định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11). Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình đã
cho.
Bài 3.12. Cho ma trận vng A = [aij]nn (n > 1) có hạng là R. Ma trận A = [Aij]nn, trong
đó Aij là phần phụ đại số của aij của ma trận A. Tìm hạng của ma trận A .
Bài 3.13. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho
0,3 0, 2 0,3
biết ma trận hệ số kỹ thuật là A 0,1 0,3 0, 2 và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa
0,3 0,3 0, 2
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng
hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi
ngành.
Bài 3.14. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và
hàm cầu như sau:
hàng hóa 1: Qs1 = -3 + 5p1; Qd1 = 12 – 4p1 + 2p2;
hàng hóa 2: Qs2 = -1 + 4p2; Qd1 = 15 + 2p1 - p2 .
Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
Bài 3.15. Xét mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân:
Y = C + I0 + G0 ; C = 0,85Yd + 150 ; Yd = (1- t)Y ( t là thuế suất thu nhập)
16
Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng với Io = 200; Go = 450
(đơn vị: tỷ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.
Bài 3.16. Xét mơ hình IS – LM với
C = 0,7Y + 25; I = 80 – 2r; G = Go;
L = 4Y – 30r; M = Mo
Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn
tỷ VNĐ).
0,3 0,2
và ma trận cầu
0
,
2
0
,
4
Bài 3.17. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành sản xuất A
30
cuối cùng B .
100
a)Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer.
b)Tính (E –A)-1 và nêu ý nghĩa của phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó.
Bài 3.18. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho
0,3 0, 2 0,3
biết ma trận hệ số kỹ thuật là A 0,1 0,3 0, 2 và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa
0,3 0,3 0, 2
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với hàng
hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của mỗi
ngành.
Bài 3.19. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa:
Q d1 40 2p1 0,5p 2 Q d2 90 0,5p1 p 2
,
Q S1 12 2p1
Q s2 20 2p 2
1) Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?
2) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p1, p2 phải thoả mãn
điều kiện gì?
17
3) Xác đinh giá và lượng cân bằng?
Qd a bp
, (a, b, c, d 0)
Qs c dp
Bài 3.20. Cho mơ hình cân bằng thị trường 1 hàng hoá:
1) Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng có thể
chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá tối thiểu để người sản xuất có thể khởi nghiệp
được (mức tối thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.
2) Xác định trạng thái cân bằng.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi các tham số a, b, c, d thay đổi.
4) Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t (đơn vị tiền tệ), hãy cho
biết số phần trăm chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất.
Bài 3.21. Xét mơ hình kinh tế:
Y = C + Io + Go (Io >0, Go>0)
C = bYd + Co
(Co>0, 0 < b < 1)
Yd = (1- t)Y
(t là thuế suất thu nhập, 0 < t <1)
Trong đó: Y – thu nhập quốc dân, C – tiêu dùng, Io – đầu tư, Go – chi tiêu chính phủ,
Yd – thu nhập sau thuế.
1) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
2) Cho biết : Io = 200; Go = 450 (đơn vị: tỷ VNĐ), Co = 150, b = 0,85 và thuế suất
thu nhập t = 0,2.
+) Xác định thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng.
+) Tăng Io lên 1% thì thu nhập quốc dân cân bằng thay đổi như thế nào ?
Bài 3.22. Cho mơ hình kinh tế
Y = C + Io + Go
C = a + bY
(Io> 0, Go> 0, a >0, 0
Trong đó: Y-thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y, C ) bằng quy tắc Cramer.
18
3) Có ý kiến cho rằng khi Io và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y tăng 2 đơn vị, ý
kiến này đúng hay sai?
4) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b thay đổi.
Bài 3.23. Cho mơ hình kinh tế
Y = C + Io + Go (Io > 0, Go > 0)
C = a + b(Y-T) (a > 0, 0
(c>0, 0
Trong đó: Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ
1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c, d.
2) Xác định trạng thái cân bằng ( Y, C, T ) bằng quy tắc Cramer.
3) Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay đổi.
Bài 3.24. Cho mơ hình kinh tế
Y = C + I + Go (Go > 0)
C = 15 + b(Y-T) (0
L=M
L = 5Y – 50r
M=Mo =1500, Go = 94
Trong đó : Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-đầu tư, r-lãi suất, Go-chi tiêu chính phủ, Mo-cung
tiền,T- thuế
1) Xác định trạng thái cân bằng.
2) Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên đối với thu nhập
sau thuế thay đổi.
3) Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế.
19
Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
VÀ ỨNG DỤNG
Bài 4.1. Tính các giới hạn sau
2
n 1
1
....
2
2
n
n
n2
n
1 1
1
... n
2 4
2
b) lim
n
1 1
1
1 ... n
3 9
3
1
1
1
...
n
1
.
2
2
.
3
(
n
1
)
n
d) lim
1
a) lim
1 2 3 4 ... (2n )
n
n2 1
c) lim
11 2 2 ... n n
e) lim
n
nn
1
1
1
...
n
n (n 1)(n 2)
1.2.3 2.3.4
f) lim
Bài 4.2. Tính các giới hạn sau bằng phương pháp khử dạng vô định
7 2x 5
b) lim
x 0
x 3
a) lim
x 9
m
d) lim
x 0
f) lim 3
x 0
m
1 ax 1
ax ax
(a 0) c) lim
(a 0)
x 0
x
x
1 2x x 2 (1 x )
e) lim
x 0
x
1 ax m 1 bx
( a , b 0)
x
x
1 x 1
n
x
g) lim
x
h) lim m
x 1
x x x
x 1
x 1
1
n
n
x 0
1 x
1 x
i) lim
Bài 4.3. Tính các giới hạn sau
a) lim
x 0
1 cos x
1 cos x
x tan x
x 2
2
b) lim
sin x
3
d) lim
x tan x
x
1 2 cos x
3
g) lim sin x 1 sin x
x
sin ax tan bx
(a b 0)
x 0
(a b ) x
c) lim
e) lim1 x tan
x 1
h) lim
x 0
20
x
2
1 1
1
x sin x tan x
f) lim
x 0
cos ax cos bx. cos cx
x2
1 cos x. cos 2x.... cos nx
ln(1 mx )
1 x sin x 1
lim
lim
k)
l)
x 0
x 0
x 0
x2
x2
x
i) lim
m) lim
x 1
x 1
x ln x
n) lim sin
x a
x a
x
. tan
2
2a
ex e x
q) lim
x 0
sin x
1
p) lim x 1 cos
x
x
2
x
arctan
x 1
4
o) lim x
x
r) lim
x 0
ln(cos x )
ln(1 x 2 )
Bài 4.4. Tính các giới hạn sau (dạng vơ định 1 )
x2 1
a) lim
2
x
x
x 2 1
k
b) lim 1
x
x
1 / sin 3 x
1 tan x
d) lim
x 0
1 sin x
1/ x 2
mx
1
1
e) lim sin cos
x
x
x
cos x
c) lim
x 0
cos 2 x
x
f) limcos x a sin bx
1/ x
x 0
Bài 4.5. Tìm miền liên tục của hàm số sau
a) y
x
sin x
b) y
sin x
c) y log 5 (sin x ) d) y 4 4 3x x 2
x
Bài 4.6. Tìm a để hàm số sau liên tục trên toàn bộ R
x 2 a khi x 0
2x a khi x 1
a) f (x)
b) f (x) x
khi x 1
khi x 0
4
log 2 x
1
x 2 3x 2
3
khi x 2
x sin khi x 0
c) f (x)
d) f (x) x 2
x
a
a
khi x 0
khi x 2
(1 x) n 1
ln(1 x) ln(1 x)
khi x 0
khi x 0
e) f (x)
f) f (x)
x
x
a
a
khi x 0
khi x 0
e bx ecx
khi x 0
g) f (x) x
a
khi x 0
Bài 4.7. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
1
s inx
a) y
b) y
c) y sin
1 x
1 e
x
x
21
1
d) y x sin
x
e) y
2 x2 1
f) y
1
x 2
1
1
x 3
2 1
xe
Bài 4.8. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x bất kỳ thuộc tập xác
định.
a) y x 3
b) y = -x – cotx
c) y x x
d) y = xn.
Bài 4.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau :
x
(2 x 2 )(3 x 2 )
y
x
arccos
4 x2
a) y
b)
2
2
(1 x)
1
c) y tan 2 (sin x) ln(cos (s inx))
d) y = ln(ln(lnx)-1)
2
1
s inx
1
e) y arcsin
f) y ln 1 2
x
1 sin 2 x
x
g) y = cos(sin2x). sin (cos2x)
h) y = sinnx – cosnx
i) y = sin(sin(sinx)))
Bài 4.10. Tính đạo hàm của các hàm số sau :
x
a
b
a b x
a) y . .
b) y = x [sin(lnx) – cos(lnx)]
b x a
d) y x x
c) y x x
2
1
e) y x ln x
g) y log cos x (s inx)
Bài 4.11. Tính các giới hạn sau :
ln(x a)
a) lim
x a ln(e x e a )
d) lim
x 0
ln(sin(ax))
(a 0)
ln(s inx)
f) y x
x
2
b) lim
x 1 ln(1 x)
tan
e) lim
x
2a
x
xe x /2
x x e x
c) lim
1 sin(ax)
(2ax ) 2
ex e x
g) lim x
h) lim
x 0
x a ln(1 x)
cot x
2
Bài 4.12. Tính các giới hạn sau :
3
ex 1 x3
a) lim
b) l im (x 2 ln x)
6
x 0
x 0
sin 2x
f) lim
x
2arctan x
3
x
e 1
1
1
c) lim
2
x sin x x
x 0
22
m
k
e) lim
k
x 1 1 x
1 xm
d) lim ln x.ln(x 1)
x 1
g) lim (t anx)
2 cos x
h) lim 2x
x /2
x
cos x
2
1
x
f) lim
2cos x
x cot x
2
1
x x
i) lim (x 2 )
x
tan
x
x 2
t anx x 2
k) lim
l)
lim
tan
x 0
x 1
4
x
Bài 4.13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau :
a) f(x) = sin (nx + a) (a là hằng số)
b) f(x) = cos(nx + a)
1
c) f(x) = e2x
d) f (x) 2 2
(a, b là hằng số)
a x b2
1
e) f (x)
(a, b là hằng số và 0< b< a).
a b (a b)x 2
Bài 4.14. Dùng tính chất và quy tắc tính tích phân bất định, tính :
e x
3
4
x
x 2x 3x
a) 2 3 5 dx
b) x . 1 x dx
c) e (1 2 )dx
x
dx
sin x cos x
d) x(x a)(x b)dx
e)
f)
dx
x
2
2
e
cos x sin x
cos 2x
dx
g) 2
h) e 3sin x cos xdx
i) x(1 x)100 dx
2
sin x.cos x
2 x2 2 x2
2 x4
1 x 2 dx
4 x2
Bài 4.15. Dùng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau :
sin 3 x
sin 2x
3
4 3
dx
a) x (5 2x ) dx
b)
c)
dx
3
2
x
5 cos 4 x
k)
dx
d)
1 x 1
dx
g)
x 1 x 1
dx
l)
x2 a2
e)
x
xdx
h) 3
1 3x
f)
i)
x
dx
x2 1
xdx
1 x 2 (x 2 1)3
Bài 4.16. Dùng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:
dx
dx
5x 3
a)
b)
c)
x x2 a2
ex 1
3 x2
dx
e 2x
d) a 2 x 2 dx
e)
f)
dx
2x
1 3e
5 7x 3x 2
23
g) x 3 . 3 1 x 2 dx
h)
dx
(x a)(x b)
i)
dx
(x 2 1)3
Bài 4.17. Dùng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:
a)
a
d)
sin x cos x
dx
sin 2 x b 2 cos 2 x
x
dx
2x
2
dx
1 ax
x
f) x.
dx
2a x
dx
b)
1 sin x
e)
c)
arctan x dx
.
1 x
x
Bài 4.18. Dùng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân sau:
a) e x dx
b) x 2 e x / 2 dx
c) x 2 arcsin xdx d) x 5 e x dx
2
e) sin x dx
i)
x 2 a 2 dx
1 x
f) sin(ln x )dx
g)
1 x dx
k) ln 2 xdx
l)
h) ln( x 1 x 2 )dx
x cos x
dx
sin 2 x
m)
a 2 x 2 dx
n) x 2 ln(1 x )dx
Bài 4.19. Tích phân các hàm hữu tỷ sau:
2 x 2 3x
3x 3 2 x 2 4
3x 1
a) 2
b) 4
c)
dx
dx
dx
x x2 1
x 3 ( x 2) 2
x 4x 8
dx
dx
x5 1
x 2 6x 9
dx e) 3
dx f)
d) 4
g)
10
2
2
2
x ( x 1)
x ( x 7 1)
x 8x 16
x x 3x 5
Bài 4.20. Tích phân các hàm vơ tỷ sau:
a)
e)
dx
dx
b)
x 2x 9
x x2
xdx
dx
f)
3
ax b
x ( 4 x 1)10
xdx
x 3dx
1 3 1 x 4 d) 3x 2 4x 1
dx
x 3dx
g) 2
h)
2 3/ 2
4
(a x )
( x 1) 3 ( x 2) 5
c)
Bài 4.21. Tích phân của hàm lượng giác sau:
1 sin x cos x
a)
1 sin x cos x dx
d)
(1 cos x)
g)
cos x
4
2
dx
dx
sin x cos 5 x
3
1 cos x
dx
sin 3 x
cos 3 x
dx
e)
sin x
dx
h)
1 sin x
b)
c)
cos
3
sin 2 x
dx
x sin 2 x 1
f) cos x cos 2 x cos 4 xdx
i)
Bài 4.22. Tính các tích phân sau
24
dx
tan
8
x
k)
1 tan x
1 tan x dx
n
3
1
dx
a) 5
3 x
2
/ 2
dx
e)
/ 2 1 cos x
dx
i)
2
2
0 1 a sin x
n)
0
dx
c)
2
1 x. 1 ln x
1
dx
g) x
ex
0 e
dx
b)
x 9 x
0
4
dx
f) 2
3 x 3x 2
2
1
e
16
2
k)
1
x
x 2 1
dx
x
a
r) x 2
0
a 2 x 2n
e x 1dx
0
m)
0
q)
x
dx
ax
(25 x 2 ) 3
dx
x4
5
2
1
p) 5
2
2 x . x 1
x n 1dx
ln 2
h)
a/2
dx
l) 2
5/2
0 ( x 3)
1 x2
dx
o)
x2
1
x sin xdx
2
2
a x dx s)
2
0 1 2 cos x
0
3
3
e
dx
e x e x
d)
a
2
5/2
Bài 4.23. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
e / 2
a)
cos(ln x )dx
1
b) x 3e 2 x dx
c)
f)
0
x dx
a2 x2
d) e x cos xdx
0
3
e
e) ln xdx
3
0
0
e
3
2
3
a 7
1
x sin x
g)
dx
2
0 cos x
ln x xdx
1/ e
h) ( x cos x ) 2 dx
0
Bài 4.24. Tính các tích phân sau
4
3
5
x .
a)
2
1 x dx
0
2
x sin x
dx
b)
3
0 cos x
dx
c)
d)
0 2 cos x 3
2
0
dx
1 x ( x 1) 3
Bài 4.25. Xét sự hội tụ hoặc phân kỳ của tích phân suy rộng sau
dx
a)
5
10
1 x 1 x x
xdx
b)
2
1 x
e
e)
ax
cos(bx )dx
0
b
i)
a
f)
e
x
dx
0
1
dx
(a b) k) x ln 2 xdx
( x a )( x b)
0
dx
c) 2
1 x (1 x )
1/ e
dx
g)
2
0 x ln x
3
dx
l)
4x x 2 3
1
d)
xe
x 2
e1 / x dx
h)
x3
0
2
x 5 dx
m)
4 x2
0
1
Bài 4.26. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa:
QS = 4P – 1
Qd = 4- P2
1) Tìm điều kiện của P để hàm cung, hàm cầu cùng dương.
2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán)
3) Tìm giá cân bằng và lượng cân bằng.
25
dx
0
