Bài tập toán cao cấp - Phần 1 pptx

Đ ề tài 2:
Câu 1:
Cho hàm hai biến . Tính


Câu 2:
Cho hàm hai biến . Tìm cực trị
Giải hệ:
Ta xác định được 4 điểm dừng:
Câu 3:

Tìm cực
trị của hàm
với điều kiện .
Đặt:
Ta có:
Xác định điểm dừng:
là điểm cực đại
không là cực trị
là không là cực trị
là điểm cực tiểu
Xét
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 4:
Xác định cận của tích phân:
Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: .
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường
Câu 5:
Đổi thứ tự tính tích phân:
Dựa vào đồ thị ta xác định được 2 miền:
Dựa vào đồ thị ta xác định đươc cận của tích phân là:

Câu 6:
Đổi thứ tự tính tích phân:
t r a n g |2
1/4
1/2
1
1/4
y
x
1
D
1
D
2
Câu 7:
Đặt
Trong đó D là tam giác có các đỉnh là
Dựa vào đồ thị ta xác định đươc cận của tích phân là:
Câu 8:
Tính tích phân
Câu 9:
Tính tích phân
Trong đó D là hình vuông
t r a n g |3
B
A C
1
1
0
x

y
Câu 10:
Tính tích phân
Trong đó D là miên định bởi
Câu 11:
Tính tích phân
Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường và
Câu 12:
Tính tích phân
Trong đó D là nửa hình tròn
Đặt:
t r a n g |4
C âu 13:
Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường:
Tính S.
Câu 14:
Tính tích phân
Trong đó Ω là hình lập phương
Câu 15:
Tính tích phân
Trong đó Ω là hình hộp
t r a n g |5
Câu 16:
Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ:
Trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt:
Đặt
Câu 17:
Tính tích phân đường ; trong đó C có phương trình
Áp dụng công thức ta được:
Đặt:

Tích phân từng phần ta có:
t r a n g |6
Đặt:
Tích phân từng phần ta có:
Vậy:
Câu 18:
Tính
Trong đó K là đoạn thẳng có phương trình .
Câu 19:
Tính tích phân đường
Trong đó C là đường tròn
Đặt:
t r a n g |7
Câu 20:
Tính tích phân đường
Trong đó C là cung tròn nằm ở ngóc phần tư thư nhất.
Đặt:
Đặt
Câu 21:
Tính
Lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(3,0).
Ta có phương trình đường thẳng OA :
Câu 22:
Tính tích phân đường
Lấy theo đường từ A(0, 1) đến B(2, 3)
t r a n g |8
0
0 1
Ta có:
Vậy không phụ thuộc vào đường cong.

Ta có phương trình đường thẳng AB: . Tính I theo AB
Câu 23:
Cho C là elíp . Tính tích phân đường loại hai:
Áp dụng định lý Green:

Câu 24:
Tính tích phân đường loại hai:
ở dây cung từ O(0,0) đến A(1,2)
Ta có:
Vậy không phụ thuộc vào đường cong.
Ta có phương trình đường thẳng OA: . Tính I theo OA
Câu 30:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
t r a n g |9
Câu 31:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Câu 32:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Câu 33:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Ta có:
Đặt:
t r a n g |10
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Câu 34:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Phương trình nghiệm đặc trưng:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình:
Câu 35:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Xét phương trình thuần nhất: (*)
Phương trình nghiệm đặc trưng:
(*) có 2 nghiệm riêng là
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình:
Trong đó là nghiệm của phương trình:
Câu 36:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Đặt:
t r a n g |11
Ta có:
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Với:
Vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân là:
t r a n g |12