Phân rã QR chéo hóa ma trận

PHÂN RÃ QR &
CHÉO HÓA MA TRẬN


Phân rã QR
Phân rã QR (thừa số hóa) là phân rã ma
trận thành ma trận trực giao (Q) và ma
trận tam giác trên (R). Phân tích nhân tử
QR được sử dụng để giải các bài tốn
bình phương nhỏ nhất tuyến tính và tìm
các giá trị riêng.


Có một số phương pháp để thực sự tính tốn sự phân rã
QR, chẳng hạn như bằng quy trình Gram – Schmidt , phép
biến đổi Householder hoặc phép quay Givens .
=> Nhưng ở bài này mình chỉ nghiên cứu quy trình Gram - Schmidt


Giải thuật Gram-Schmidt
•
•

Cho một cơ sở B của một khơng gian vector A= 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 .
Tìm một cơ sở trực giao {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 }.
▪
𝑢1 = 𝑎1
▪

𝑢2 = 𝑎2 −

▪

𝑢3 = 𝑎3 −

▪

⋮

▪

𝑢𝑛 = 𝑎𝑛 −

‫𝑎ۦ‬2 ,𝑢1 ۧ
𝑢1 2
𝑎3 ,𝑢1
𝑢1 2

𝑎𝑛 ,𝑢1
𝑢1 2

𝑢1
𝑢1 −

𝑎3 ,𝑢2
𝑢2 2

𝑢1 −

𝑎𝑛 ,𝑢2
𝑢2 2

𝑢2
𝑢2 −

𝑎𝑛 ,𝑢𝑛−1
𝑢𝑛−1 2


Giải thuật Gram-Schmidt
•

Từ cơ sở trực giao 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 tìm họ trực chuẩn{𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 }
𝑢
▪
𝑞1 = 1 .
▪

𝑞2 =

▪

𝑞3 =

▪

▪

⋮
𝑞𝑛 =

𝑎1
𝑢2
𝑢2
𝑢3
𝑢3

𝑢𝑛
𝑢𝑛

.
.

.

=> Chúng ta đã thu được một cơ sở trực giao từ một cơ sở
thông thường cho không gian con vector V.


Phân rã QR
Viết lại các ma trận này dưới dạng ma trận:
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛
⋯
𝑎2 , 𝑞1
𝑎1 , 𝑞1
⋯
0
𝑎2 , 𝑞2
⋱
= 𝑞1 𝑞2 ⋯ 𝑞3
0

0
𝑎𝑛−1 , 𝑞𝑛−1
0
0
0
0
0
Hoặc A = 𝑄𝑅
•

𝑎𝑛 , 𝑞1
𝑎𝑛 , 𝑞2
⋮
𝑎𝑛 , 𝑞𝑛−1
𝑎𝑛 , 𝑞𝑛

=> Chúng ta đã thu được sự phân rã QR của ma trận A
bắt đầu từ q trình Gram-Schmidt, trong đó Q là ma
trận trực chuẩn và R là ma trận tâm giác trên.


Ví dụ 1:
1 2 4
Cho ma trận 𝐴 = 0 0 5
0 3 6
Xét 3 vector 𝑎1 = 1, 0, 0 , 𝑎2 = 2, 0, 3 , 𝑎3 = 4, 5, 6 .
Tìn cơ sở trực giao 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 :
• 𝑢1 = 𝑎1 = 1, 0, 0
• 𝑢2 = 𝑎2 −

• 𝑢3 = 𝑎3 −

‫𝑎ۦ‬2 ,𝑢1 ۧ
𝑢1 2
𝑎3 ,𝑢1
𝑢1 2

𝑢1 = 0, 0, 3

𝑢1 −

𝑎3 ,𝑢2
𝑢2 2

𝑢2 = (0, 5, 0)


Ví dụ 1:
Tìm cơ sở trực chuẩn {𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 }
𝑎
• 𝑞1 = 1 = 1, 0, 0
• 𝑞2 =

𝑎1
𝑢2
𝑢2
𝑢3
𝑢3

= (0, 0, 1)

• 𝑞3 =
= (0, 1, 0)
1 0 0
1 2 4
𝑄 = 0 0 1 ,R = 0 3 6
0 1 0
0 0 5
𝐴 = 𝑄𝑅
1 2 4
1 0 0 1 2 4
0 0 5 = 0 0 1 0 3 6
0 3 6
0 1 0 0 0 5


Ví dụ 2:
0 1 2
Cho ma trận 𝐴 = 0 1 2
1 0 1
Xét 3 vector 𝑎1 = 0, 0, 1 , 𝑎2 = 1, 1, 0 , 𝑎3 = 2, 2, 1 .
Tìn cơ sở trực giao 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 :
• 𝑢1 = 𝑎1 = 0, 0, 1
• 𝑢2 = 𝑎2 −

• 𝑢3 = 𝑎3 −

‫𝑎ۦ‬2 ,𝑢1 ۧ
𝑢1 2
𝑎3 ,𝑢1

𝑢1 2

𝑢1 = 1, 1, 0

𝑢1 −

𝑎3 ,𝑢2
𝑢2 2

𝑢2 = (0, 0, 2)


Ví dụ 2:

Tìm cơ sở trực chuẩn {𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 }
𝑎
• 𝑞1 = 1 = 0, 0, 1

• 𝑞2 =
• 𝑞3 =
0
𝑄=

𝑎1
𝑢2
𝑢2
𝑢3
𝑢3
2
2

2
2

0
1 0
𝐴 = 𝑄𝑅

=(

2 2
, , 0)
2 2

= (0, 0, 1)
0
0
1
0

0 1 2
0 1 2 =
0
1 0 1
1

2
2
2
2

0
=

0
1
2
2
2
2

0

1
0
1
,R =
0 2 2 2 2

0
1
0

0

1

2 2 2 2


Chéo hóa

ma trận
Cho ma trận 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 được gọi là ma trận chéo hóa
nếu tồn tại ma trận khả nghịch 𝑃 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛 sao cho
𝑫 = 𝑷−𝟏 𝑨𝑷 với D là một ma trận chéo. Khi đó ta nói
ma trận P làm chéo hóa A và D là dạng chéo của A


Thuật tốn chéo hóa ma trận
Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 .
Bước 2: Tìm trị riêng 𝜆 𝑖 cùng với số bộ 𝑟𝑖 tương ứng
(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘).
Bước 3: Với mỗi 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 tìm cơ sở khơng gian
riêng tương ứng với mỗi trị riêng.
Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách dựng
các vector trong cơ sở thành cột, ta có P làm chéo
hóa A và 𝑃−1 𝐴𝑃 có dạng chéo.


Ví dụ 1:
3 2 1
Cho ma trận 𝐴 = 2 6 0
0 0 5
3−𝜆
2
0
𝐴 − 𝜆𝐼 =
2
6−𝜆
0
0

0
5−𝜆
Đa thức đặc trưng: 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −(𝑥 − 7)(𝑥 − 5)(𝑥 − 2)
Trị riêng 𝜑 𝜆 = 0 ⇔ 𝜆 = 7 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 5 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 2(𝑏ộ𝑖 1)
Vậy A có 3 trị riêng 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 5, 𝜆3 = 7.
1 2 1
1 2 1
−2
▪ 𝜆1 = 2: 𝐴 − 𝜆1 𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 = 2 4 0 → 0 0 −2 → 𝛼 1
0 0 3
0 0 0
0


Ví dụ 1:
−2
• 𝜆2 = 5: 𝐴 − 𝜆2 𝐼 = 𝐴 − 5𝐼 = 2
0

2 1
−2 2
1 0 → 0 3
0 0
0 0

−4
• 𝜆3 = 7: 𝐴 − 𝜆3 𝐼 = 𝐴 − 7𝐼 = 2
0

−4 2

2
1
−1 0 → 0 0
0 −2
0 0

−2
Lập ma trận 𝑃 =

1
0

1
6

1
2
1

−
1
3
1 0

1
1 →𝛼
0
1
1
2

1
6
−1
3

1

1
2

→𝛼 1
0
0


2 0 0
D= 0 5 0
0 0 7
2 1 2
−
5 5 15
−1
𝑃 = 0 0 1
2 4 1
5 5 5
1
−2
6
−1

𝐴 = 𝑃𝐷𝑃 = 1 − 1
3
0
1

Ví dụ 1:

1
2

1
0

2 0
0 5
0 0

0
0
7

−

2
5

0
2
5

1
5

2
15

0

1

4
5

1
5

3 2
= 2 6
0 0

1
0
5


Ví dụ 2:
1 2 0
Cho ma trận 𝐴 = 0 3 0
2 −4 2
1−𝜆

2
0
𝐴 − 𝜆𝐼 =
0
3−𝜆
0
2
−4 2 − 𝜆
Đa thức đặc trưng: 𝜑𝐴 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = −(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
Trị riêng 𝜑 𝜆 = 0 ⇔ 𝜆 = 3 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 2 𝑏ộ𝑖 1 , 𝜆 = 1(𝑏ộ𝑖 1)
Vậy A có 3 trị riêng 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 2, 𝜆3 = 3.
1
0 2 0
2 −4 1
−
2
▪ 𝜆1 = 1: 𝐴 − 𝜆1 𝐼 = 𝐴 − 1𝐼 = 0 2 0 → 0 2 0 → 𝛼 0
0 0 0
2 −4 1
1


Ví dụ 2:
−1
• 𝜆2 = 2: 𝐴 − 𝜆2 𝐼 = 𝐴 − 2𝐼 = 0
2

2 0
−1 2
1 0 → 0 1

−4 0
0 0

−2
• 𝜆3 = 3: 𝐴 − 𝜆3 𝐼 = 𝐴 − 3𝐼 = 0
2

2 0
−2 2
0 0 → 0 −2
0
0
−4 1

Lập ma trận 𝑃 =

−1
2

0

0
1

0
1

−1
2
−1

2

1

0
0
0 →𝛼 0
0
1
0
−1 → 𝛼
0

−1
2
−1
2

1


Ví dụ 2:
1 0 0
D= 0 2 0
0 0 3
−2 2 0
𝑃−1 = 2
0 1
0 −2 0
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 =

−1
2

0

0
1

0
1

−1
2
−1
2

1

1
0
0

0 0
2 0
0 3

−2 2
2
0

0 −2

0
1 2
1 = 0 3
0
2 −4

0
0
2


THANK YOU!
CREDITS: This presentation template was created
by Slidesgo, including icons by Flaticon, and
infographics & images by Freepik
Please keep this slide for attribution